Cđ8 cực trị hình học

Chuyên đề 8: Cực trị hình học (Bất đẳng thức hình học) Dạng 1: Sử dụng tính chất hình học đơn giản 1) Bất đẳng thức liên hệ độ dài cạnh tam giác Chú ý rằng: a) Với điểm ta ln có: xảy thẳng hàng điểm điểm b) Với điểm Dấu nằm hai ta ln có: xảy điểm Dấu thẳng hàng điểm nằm hai c) Cho hai điểm nằm phía đường thẳng Điểm chuyển động đường thẳng Gọi điểm đối xứng với qua Ta có kết sau: B A (d) M0 M1 M A' + Dấu xảy giao điểm cuả + cuả đường thẳng ( trùng với Dấu xảy và đường thẳng ( trùng với ) giao điểm ) d) Cho hai điểm nằm hai phía đường thẳng Điểm chuyển động đường thẳng Gọi điểm đối xứng với qua Ta có kết sau: B A' (d) M0 M1 M A + cuả Dấu xảy và đường thẳng + giao điểm cuả ( trùng với giao điểm ) Dấu xảy và đường thẳng ( trùng với ) e) Trong trình giải tốn ta cần lưu ý tính chất: Đường vng góc ln nhỏ đường xiên Trong hình vẽ: A H B 2) Trong đường tròn, đường kính dây cung lớn 3) Cho đường trịn điểm đường tròn hai điểm điểm Đường thẳng Giả sử cắt Khi với nằm đường trịn ta ln có: Bài tập 1:Cho tam giác Chứng minh rằng: điểm nằm tam giác a) A b) P M c) E điểm cắt hai cạnh B tam giác cho N F nằm C HD: a) Đường thẳng cắt Áp dụng BĐT(1) ta có: b) Theo ta có: Cộng theo vế BĐT ta có điều phải chứng minh c) Áp dụng câu 1) ta có: Bài tập 2: Cho tam giác minh rằng: trung tuyến Chứng a) b) c) Giả sử Gọi theo thứ tự đường phân giác, đường trung tuyến tam giác Chứng minh rằng: HD: a) + Xét tam giác ta có: Suy + Gọi hành nên Như vậy: điểm đối xứng với qua hình bình Trong tam giác ta có: b) Áp dụng bất đẳng thức câu a) Cho đường trung tuyến ta có: , , Cộng ba bất đẳng thức chiều ta có: c) Trong tam giác có Cộng theo vế hai BĐT được: A P Kết với điểm nằm bên đoạn Dựng Với Hơn cho Với tù Do C M D H thuộc đoạn Lấy điểm B thuộc đoạn (c.g.c) + Nếu (hình) + Nếu (hình) Bài tập 3: a) Cho tam giác nhọn có trực tâm điểm Chứng minh rằng: HD: Dựng đường thẳng qua cắt qua A Dựng đường thẳng song song Tứ giác song song với cắt D E hình bình hành nên H B A' Xét tam giác ta có: (1) Vì mà Trong tam giác vng ta có: (2) Tương tự ta có: (3) Cộng bất đẳng thức chiều ta suy Tương tự ta có: Suy Bài tập 4) Cho tam giác có cạnh điểm tùy ý cạnh , gọi hình chiếu vng góc lên Tìm vị trí điểm để: C a) có độ dài nhỏ b) Dựng đường thẳng song song với cho Tìm vị trí điểm nhỏ HD: a) Hạ cắt cho Ta có Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta tính được: Vì Nên nhỏ trung điểm b) Gọi điểm đối xứng với qua , Ta dễ chứng minh thẳng hàng Ta tính đươc.: trung điểm Ta có: Dấu xảy Ta có Dấu xảy Suy Dấu xảy Bài tập 5: Cho đường tròn điểm nằm ngồi đường trịn Một đường thẳng thay đổi quanh cắt hai điểm Tìm vị trí để lớn HD: Gọi trung điểm dây cung ta có: O N K A M Xét tam giác vng Ta có: nhỏ khơng đổi Như lớn nhỏ Bài tập 6: Cho đường tròn dây cung cố định Trên cung lớn lấy điểm Tìm vị trí điểm chu vi tam giác lớn HD: Trên tia đối lấy điểm cho Khi chu vi tam giác Là Do không đổi nên chu vi tam giác để lớn nhất.Tam giác lớn cân phân giác góc đồng thời phân giác ngồi góc Do với trung điểm cung lớn cắt đường trịn Tam giác ta có: cân định bán kính Phân giác góc Suy điểm đường kính nên đường trung trực Hay điểm thuộc đường trịn tâm Vì dây cung đường trịn lớn chu vi tam giác điểm cung nhỏ Từ cố nên đường kính Như lớn trùng với trung Bài tập 7: Cho tam giác có cố định Tìm cạnh đạt giá trị nhỏ Trên cạnh lấy hai điểm lấy điểm để chu vi tam giác HD: Gọi điểm đối xứng qua định nên Do tam giác cố A M E N F cố định: Ta có: Chu vi tam giác B I C Dấu xảy với cạnh thẳng hàng Hay giao điểm Bài tập 8: Cho tam giác vuông đường tròn tâm Gọi tiếp điểm cạnh ; giao điểm có ngoại tiếp điểm di chuyển đoạn với cung nhỏ , hình chiếu đường thẳng điểm để lớn với Gọi Xác định vị trí HD: Ta có tứ giác , A nội tiếp E P D O Tương tự có ta có: N Q B C F Suy ta có: M Trong tam giác vng Như lớn khi , hình chiếu đường thẳng nên , đường kính Từ suy cách xác định sau: Dựng đường kính cuả , giao điểm Bài tập 9: Cho hai đường tròn Một đường thẳng Tiếp tuyến cắt qua cắt điểm cắt tiếp tuyến Tìm giá trị lớn bán kính đường trịn ... có chu vi tứ giác Nhưng Dấu xảy hình chữ nhật Tức điểm giao điểm hai đường chéo hình thoi Dạng 2: Sử dụng BĐT cổ điển để giải toán cực trị Ở cấp THCS, em học sinh làm quen với bất đẳng thức... + Diện tích hình chữ nhật: + Diện tích hình thang: + Diện tích hình vng: Bài tập 1) Cho tam giác có điểm thuộc miền Gọi hình chiếu vng góc Xác định vị trí điểm để tích đạt giá trị lớn Hướng... vi tứ giác đạt giá trị nhỏ hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật (kết phụ chứng minh) Từ chứng minh ta thấy, tứ giác có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật chu