ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ TRANG THUẬT TOÁN LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ TRANG THUẬT TOÁN LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên – 2021 c ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường phịng chức trường, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn c iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 1.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 12 1.3.1 Một số vấn đề sơ lược bất đẳng thức biến phân 12 1.3.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16 Chương Một số thuật toán lai ghép giải toán chấp nhận tách nhiều tập 22 2.1 Phát biểu toán số cải tiến phương pháp CQ 22 2.2 Thuật toán hội tụ 26 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c iv Một số ký hiệu viết tắt H khơng gian Hilbert X khơng gian Banach h., i tích vô hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T c Mở đầu “Bất đẳng thức biến phân” nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài toán giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [5] Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” D Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [7] Bất đẳng thức biến phan tập nghiệm toán khác thường gọi bất đẳng thức biến phân hai cấp Gần có nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm đến bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách (đa tập), lớp tốn áp dụng để giải số lớp toán khác, đặc biệt toán liên quan đến xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh Y học Mục đích luận văn trình bày lại kết Wang cộng tài liệu [14] phương pháp lặp xoay vịng tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert Nội dung luận văn cấu trúc thành hai chương, đó: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert, ánh xạ không giãn bất đẳng thức biến phân Chương trình bày lại chi tiết kết Wang cộng phương pháp lặp kiểu đường dốc kết hợp với phương pháp CQ xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập không gian Hilbert c Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điển bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 1.4 đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân cổ điển tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2] [7] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh c Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H , ta ln có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H , ta có kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2 = kxk2 + 2hy, x + yi Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H , lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R : P∞ 2 n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n c với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H , từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ (1.2) Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y , nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 c → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k ≤ kxk với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kxk Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k xn + xm k ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên n→∞ kx∗ k = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho ky ∗ k = d Ta có kx∗ − y ∗ k2 = 2(kx∗ k2 + ky ∗ k2 ) − 4k x∗ + y ∗ k ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = Suy x∗ = y ∗ Vậy tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k = inf x∈C kxk Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.7 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H , tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C Chứng minh Vì C tập lồi, đóng khác rỗng nên x − C tập lồi, đóng khác rỗng Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn phần tử PC ∈ C cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C c Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định gọi phép chiếu mêtric từ H lên C Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= Khi PC x = x + y − hx, ui kuk2 u Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, a ∈ H phần tử cho trước R số dương Khi đó, ta có: x kx − ak ≤ R, PC x = a + R (x − a) kx − ak > R kx − ak Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H −→ C phép chiếu mêtric Mệnh đề 1.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H Cho PC : H −→ C ánh xạ Khi đó, phát biểu sau tương đương: a) PC phép chiếu mêtric từ H lên C ; b) hy − PC x, x − PC xi ≤ với x ∈ H y ∈ C ; Chứng minh Thật vậy, giả sử PC phép chiếu mêtric từ H lên C , tức kx − PC xk = inf u∈C kx − uk Với x ∈ H , y ∈ C với α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x Vì C lồi nên yα ∈ C kx − PC xk ≤ kyα − xk Điều tương đương với kx − PC xk2 ≤ kα(y − PC x) − (x − PC x)k2 = α2 ky − PC xk2 + kx − PC xk2 − 2αhy − PC x, x − PC xi Từ đó, ta nhận 2hy − PC x, x − PC xi ≤ αky − PC xk2 c 14 tương đương với hAyt , y − x∗ i ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1) Từ tính h-liên tục A, cho t → 0+ , ta nhận hAx∗ , y − x∗ i ≥, ∀y ∈ C Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.15 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó, x∗ ∈ V I(C, A) x∗ = PC (x∗ − λAx∗ ) với λ > Chứng minh Suy trực tiếp từ Mệnh đề 1.8 1.3.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học, vật lý, y học hay kinh tế toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Bài tốn 1.1 Cho A : H −→ H toán tử đơn điệu, liên tục cho T : H −→ H ánh xạ khơng giãn Tìm phần tử x∗ ∈ V I(F ix(T ), A), tức x∗ thỏa mãn hAx∗ , v − x∗ i ≥ 0, ∀v ∈ F ix(T ) Năm 2001, Yamada [10] đề xuất phương pháp đường dốc để giải Bài toán 1.1 cho trường hợp A toán tử Lipschitz đơn điệu mạnh Kết Yamada cho định lý đây: Định lý 1.1 [10] Cho T : H −→ H ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ Giả sử ánh xạ A : H −→ H L-Lipchitz η -đơn điệu mạnh T (H) Khi với u0 ∈ H , µ ∈ (0, 2η ) dãy {λn } ⊂ (0, 1] thỏa mãn điều kiện: L2 (L1) limn→∞ λn = 0, (L2) Σ∞ n=1 λn = ∞, c 15 (L3) limn→∞ λn − λn+1 = 0, λ2n+1 dãy {un } xác định un+1 := T (λn+1 ) un := T un − λn+1 µA(T un ) (1.8) hội tụ mạnh nghiệm u∗ VIP(F ix(T ), A) Hơn nữa, Yamada mở rộng kết cho trường hợp tập điểm bất động F ix(T ) ánh xạ không giãn T thay tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Kết thể định lý đây: Định lý 1.2 [10] Cho Ti : H −→ H (i = 1, , N ) ánh xạ không giãn với F := ∩N i=1 F ix(Ti ) 6= ∅ F = F ix(TN T1 ) = F ix(T1 TN T3 T2 ) = = F ix(TN −1 TN −2 T1 TN ) (1.9) Giả sử ánh xạ F : H −→ H L-Lipchitz η -đơn điệu mạnh ∆ := ∪N i=1 Ti (H) Khi đó, với u0 ∈ H, µ ∈ (0, 2η ) dãy L2 {λn } ⊂ [0, 1] thỏa mãn (B1) limn→∞ λn = 0, (B2) Σ∞ n=1 λn = ∞, (B3) Σ∞ n=1 | λn − λn+N |< ∞ Dãy {un } xác định (λ ) n+1 un+1 := T[n+1] (un ) := T[n+1] (un ) − λn+1 µF (T[n+1] (un )), (1.10) hội tụ mạnh nghiệm VIP(F, F), tức u∗ ∈ F cho hv − u∗ , F (u∗ )i ≥ với v ∈ F, [.] modulo N xác định [i] = {i − kN |k = 0, 1, 2, } ∩ {1, 2, , N } c 16 1.4 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử λ ∈ (0, 1) µ > Cho F : C −→ H ánh xạ k -Lipschitzian η -đơn điệu mạnh C cho T : C −→ C ánh xạ không giãn Xác định ánh xạ G : C −→ H Gx = (I − λµF )T x, ∀x ∈ C Khi đó, G ánh xạ co µ < 2η/k Chính xác hơn, với µ ∈ (0, 2η/k ), kGx − Gyk ≤ (1 − λτ )kx − yk, ∀x, y ∈ C, τ = − p − µ(2η − µk ) Chứng minh Trước hết, với x, y ∈ C , ta có k(I − µF )x − (I − µF )yk2 = k(x − y) − µ(F x − F y)k2 = kx − yk2 − 2µhx − y, F x − F yi + µ2 kF x − F yk2 ≤ (1 − 2µη + µ2 k )kx − yk2 = [1 − µ(2η − µk )]kx − yk2 Do đó, từ tính khơng giãn T , ta có k(I − λµF )T x − (I − λµF )T yk = k(1 − λ)(T x − T y) − λ(I − µF )T x − (I − µF )T y)k ≤ (1 − λ)kx − yk + λ p − µ(2η − µk )kx − yk = (1 − λτ )kx − yk, với τ = p − µ(2η − µk ) Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.2 Cho {an } dãy số số thực khơng âm thỏa mãn tính chất an+1 ≤ (1 − sn )an + sn tn + , ∀n ≥ {sn }, {sn } {vn } thỏa mãn điều kiện c (1.11) ... phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16 Chương Một số thuật toán lai ghép giải toán chấp nhận tách nhiều tập. .. thức biến phan tập nghiệm toán khác thường gọi bất đẳng thức biến phân hai cấp Gần có nhiều người làm tốn nước quan tâm đến bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách (đa tập) , lớp tốn... phương pháp lặp xoay vịng tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert Nội dung luận văn cấu trúc thành hai chương, đó: Chương trình bày số kiến thức