Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒ THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG TRÌNH EULER WARING CHO ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒ THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG TRÌNH EULER - WARING CHO ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ ĐẶC SỐ KHƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒ THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG TRÌNH EULER - WARING CHO ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ ĐẶC SỐ KHƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Mục lục i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mở đầu Phương trình Euler - Waring đa thức tuyến tính đa thức Laurent trường đóng đại số đặc số khơng 1.1 Phương trình Euler - Waring đa thức tuyến tính 1.2 Phương trình Euler - Waring đa thức Laurent 21 Phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng 2.1 Phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số không 2.2 24 24 Ứng dụng phương trình Euler - Waring tốn học phổ thơng 46 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 c ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Họ tên Hồ Thị Thu Huyền c iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Vũ Hoài An, trực tiếp hướng dẫn tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo Khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo Khoa học, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hồ Thị Thu Huyền Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c Mở đầu Lý chọn đề tài Bài toán chia kẹo Euler [1]: Có n kẹo giống chia cho m em bé Hỏi có cách chia kẹo? Hay tốn sau đây: Bài tốn A (Bài tốn Euler [1]): Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + · · · + xm = n, m, n ∈ N∗ Sự tương tự Bài toán Euler đề cập [4] Ở đó, Dong - IL Kim xét phương trình Waring sau: f1k (z) + · · · + fnk (z) = z, (1) f1 (z), , fn (z) đa thức với hệ số phức, k số nguyên dương Trong [2], Nguyễn Hồi Nam xét phương trình sau đa thức trường đóng đại số đặc số không: f1k (z) + · · · + fnk (z) = Mặt khác, tương tự đa thức số nguyên cho ta ứng dụng kiểu phương trình tốn học phổ thơng (xem [2]) Theo hướng nghiên cứu này, xem xét vấn đề: Phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng Cụ thể, chúng tơi xét hai phương trình sau: c f1k (z) + · · · + fnk (z) = p(z), (2) f1k1 (z) + · · · + fnkn (z) ≡ p(z), (3) f1 (z), , fn (z), p(z) đa thức trường đóng đại số đặc số khơng, k, k1 , , kn số ngun dương Mục đích, nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu Tổng hợp trình bày kết [4] tương tự phương trình (1), (2) (3) Chú ý cơng cụ chúng tơi dùng có khác so với Dong-Il.Kim Nguyễn Hoài Nam Trong [4], Dong-Il.Kim dùng công thức Nhị Thức Newton bất đẳng thức bậc số khơng điểm Trong [2], Nguyễn Hồi Nam dùng Định lý đường cong hữu tỷ Ở dùng Định lý Mason suy rộng [3, Định lý 2.1.2 ] Ứng dụng kết phương trình (2) (3) tốn học phổ thơng Để ý C trường đóng đại số đặc số khơng Do kết xét K trường đóng đại số đặc số không thay K C Ngồi ra, chúng tơi xét tương tự vấn đề Dong-Il.Kim mở rộng cho Bài tốn chia kẹo Euler phương trình nghiệm nguyên Nội dung nghiên cứu Luận văn tổng hợp, trình bày kết phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng Các kết đề cập [4] tương tự nó, trường hợp đặc biệt đề cập [2] Các ví dụ ứng dụng đề cập [1] Cụ thể: - Trình bày Định lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3, 2.1.7, 2.1.8 Định lý 1.1.9 kết Dong - Il Kim [4, Định lý 2.1.2] Định lý 1.2.1, 1.2.3 trường hợp riêng Định lý 3.2.1 [4] - Trình bày ví dụ Bài tốn chia kẹo Euler c - Trình bày ví dụ ứng dụng vấn đề Dong - Il Kim [4] phương trình nghiệm nguyên Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: Chương trình bày phương trình Euler - Waring đa thức tuyến tính đa thức Laurent trường đóng đại số đặc số khơng Cụ thể: trình bày Định lý 1.1.7, 1.1.9, 1.2.1, 1.2.3 Định lý 1.1.9 kết Dong Il Kim ([4] Định lý 2.1.2) Định lý 1.2.1, 1.2.2 trường hợp riêng Định lý 3.2.1 [4] Chương trình bày phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng tốn học phổ thơng Các Định lý 2.1.7, 2.1.8 tương tự Định lý 2.1.2, Định lý 3.2.1 [4] cho phương trình P (f ) = Q(g), P, Q đa thức, f, g hàm hữu tỷ trường đóng đại số đặc số khơng Về phần ứng dụng tốn học phổ thơng, chương trình bày ví dụ Bài tốn Euler, ví dụ ứng dụng vấn đề nghiên cứu Dong - Il.Kim [4] phương trình nghiệm nguyên Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Hồ Thị Thu Huyền Email: hothuhuyen75@gmail.com c Chương Phương trình Euler - Waring đa thức tuyến tính đa thức Laurent trường đóng đại số đặc số khơng Dong - IL Kim [4] phát biểu chứng minh định lý sau Định lý B ([4], Định lý 2.1.2) Giả sử k ≥ 2, n ≥ Cho f1 , , fn đa thức tuyến tính khác thỏa mãn f1k (z) + · · · + fnk (z) = z (1) Giả sử p số n nhỏ thỏa mãn (2) Khi p = k Từ Định lý B chương chúng tơi xét phương trình (1) phương trình sau đa thức Laurent: 1.1 f1k (z) + f2k (z) = a (1.1) f1k (z) + f2k (z) = z (1.2) Phương trình Euler - Waring đa thức tuyến tính Trước tiên nhắc lại kết vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số đặc số không c Định nghĩa 1.1.1 Một trường K gọi đóng đại số đa thức ẩn có bậc khác khơng với hệ số K, có nghiệm K Ví dụ 1.1.1 Trường hữu tỷ Q khơng trường đóng đại số đa thức P (x) = x10 + khơng có nghiệm Q hệ số đa thức thuộc Q Trường số thực R khơng trường đóng đại số đa thức P (x) = √ 3x2 +1 khơng có nghiệm R hệ số đa thức thuộc R Định nghĩa 1.1.2 Cho K trường 1) Số tự nhiên n nhỏ khác không cho n.1 = số n gọi đặc số khơng trường K Kí hiệu char(K) 2) Với số tự nhiên n 6= mà n.1 6= ta nói trường K có đặc số Ví dụ 1.1.2 Trường số thực R có đặc số Trường Z13 có đặc số 13 13 ≡ 13 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn điều kiện Kí hiệu K trường đóng đại số, đặc số khơng Gọi f đa thức khác có bậc n K a không điểm f Khi f = (z − a)m p(z), với p(a) 6= m bội không điểm a f Đặt µ0 f (a) = m Kí hiệu n(f ) số không điểm f kể bội, d ∈ K l số nguyên dương Ta định nghĩa n(f, d) = n(f − d), q P nl (f ) = min{mi , l} f = a(f − z1 )m1 (f − zq )mq , i=1 nl (f, d) = nl (f − d), n0 (f ) = q, n0 (f, d) = n0 (f − d) c 2 2 6= b2 b1 a1 a2 Từ hệ (1.10) suy a1 = a2 = Mâu thuẫn f1k , f2k , f3k đôi độc lập tuyến tính Trường hợp 1.2 a1 6= 0, a2 6= 0, a3 6= Khi f1k (z) + f2k (z) + f3k (z) = (a1 + b1 z)k + (a2 + b2 z)k + (a3 + b3 z)k k−1 k−1 = (ak1 + ak2 + ak3 ) + c1k (ak−1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )z + · · · + k−m m k−m m + cm b1 + ak−m bm b3 ) + · · · + k (a1 + a3 k−1 k k k k k + ck−1 + a2 bk−1 + a3 bk−1 ) + ck (b1 + b2 + b3 )z k (a1 b1 = z Đồng hệ số đẳng thức này, ta có k−2 k−2 k k k ak−2 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0, , b1 + b2 + b3 = Với k = 4, từ đẳng thức ta nhận a21 b21 + a22 b22 + a23 b23 = 0, a21 b31 + a22 b32 + a23 b33 = 0, b41 + b42 + b43 = 0, 2 2 2 b1 b2 b3 4 a1 + a2 + a43 = 0, a1 a2 a3 3 3 3 b1 b2 b3 a41 + a42 + a43 = 0, a1 a2 a3 c 15 b1 a1 4 a41 + b2 a2 4 a42 + b3 a3 4 a43 = (1.11) Do f1k , f2k , f3k đôi độc lập tuyến tính nên ... Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng ứng dụng 2.1 Phương trình Euler - Waring đa thức trường đóng đại số đặc số khơng 2.2 24 24 Ứng dụng phương trình Euler... hệ số đa thức thuộc Q Trường số thực R không trường đóng đại số đa thức P (x) = √ 3x2 +1 khơng có nghiệm R hệ số đa thức thuộc R Định nghĩa 1.1.2 Cho K trường 1) Số tự nhiên n nhỏ khác không cho. .. trường đóng đại số đặc số không c Định nghĩa 1.1.1 Một trường K gọi đóng đại số đa thức ẩn có bậc khác khơng với hệ số K, có nghiệm K Ví dụ 1.1.1 Trường hữu tỷ Q khơng trường đóng đại số đa thức P