ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2011 z ĐẠI HỌ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2011 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Hà Huy Vui TS Phó Đức Tài HÀ NỘI-2011 z Mục lục Mục lục Mở đầu Giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 12 1.1 Bài tốn đặc trưng giá trị tới hạn vơ hạn 12 1.2 Một nhận xét tốn đặc trưng giá trị tới hạn vơ hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 17 Tô pô hàm đa thức hạn chế mặt đại số ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 22 2.1 Đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 23 2.2 Một số điều kiện đủ cho tồn phép chiếu tốt 35 2.3 Tô pô thớ 41 Tô pô hàm hữu tỷ hai biến phức 45 3.1 Các giá trị rẽ nhánh 46 3.2 Đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 53 z 3.2.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler 54 3.2.2 Điều kiện Malgrange điều kiện M-tame 62 3.2.3 Điều kiện Fedoryuk 68 Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh ánh xạ đa thức 70 Kết luận 79 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 z Mở đầu Việc nghiên cứu tính chất tơ pơ đa tạp đại số chia thành hai mảng đề tài: (i) Nghiên cứu đa tạp xạ ảnh; (ii) Nghiên cứu đa tạp affine Thành tựu nghiên cứu mảng đề tài thứ lý thuyết Lefschetz Bằng cách khảo sát Lefschetz pencil, cụ thể thông qua việc mô tả tô pô thớ tổng qt mơ tả tốn tử đơn đạo quanh thớ đặc biệt - mà thớ có kỳ dị, tính chất tơ pơ đa tạp xạ ảnh hiểu rõ ([10], [38], [36]) Với mảng đề tài thứ hai, nhiều chuyên gia lĩnh vực nhận xét, tình hình khác Cịn nhiều câu hỏi đa tạp affine ánh xạ đa thức chưa có câu trả lời, cho trường hợp hai biến Cái tương tự Lefschetz pencil trường hợp affine phân thớ Milnor toàn cục Từ kết tổng quát R Thom ([43]), f ánh xạ đa thức từ tập đại số không kỳ dị V vào không gian Ck f xác định phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ tập đại số B khơng gian đích Ck Đó phân thớ Milnor tồn cục Do tính khơng compact khơng gian Cn , xuất tượng mà ta khơng gặp nghiên cứu Lefschetz pencil, tượng kỳ dị vô hạn Một thớ f −1 (t0 ) thớ đặc biệt không chứa điểm kỳ dị, mà cịn ánh xạ f không xác định phân thớ tầm thường lân cận điểm vô hạn thớ f −1 (t0 ) Bởi vậy, giá trị tới hạn, tập z B chứa giá trị tới hạn vô hạn Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu tính chất tơ pơ tập đại số affine, toán cần phải giải Đặc trưng giá trị tới hạn kỳ dị vô hạn Mặc dù khoảng gần 30 năm trở lại nhiều nhà toán học nghiên cứu toán này, cịn tốn mở Ngay V toàn Cn f ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta chưa biết cách trả lời, ngoại trừ trường hợp đặc biệt mà ta liệt kê Khi V = C2 k = 1, tức f đa thức hai biến phức, giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng theo nhiều cách khác Đầu tiên kết Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) M Suzuki ([42]), nói giá trị t giá trị tới hạn vô hạn f đặc trưng Euler thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát Sau Hà Huy Vui ([44]) đưa khái niệm số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ chứng minh ba điều kiện sau tương đương: (i) t giá trị tới hạn vô hạn f ; (ii) số Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ 0; (iii) số Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ −1 Nói cách khác, giá trị t giá trị tới hạn vô hạn điều kiện Fedoryuk điều kiện Malgrange đa thức t không thỏa mãn Khi V = Cn , n > k = 1, [30] M Tibar tiêu chuẩn thơng qua đặc trưng Euler nói chung khơng cịn Cũng ví dụ cụ thể, L Paunescu A Zaharia ([32]) chứng tỏ đặc trưng thông qua số mũ Lojasiewicz trường hợp hai biến khơng cịn A Parusinski thực bước đột phá tìm cách khai thác ưu điểm trường hợp ánh xạ từ C2 vào C, tất đa thức hai biến có kỳ dị lập vơ hạn Trong [24], với giả thiết đa thức f : Cn → C có kỳ dị lập vơ hạn n tùy ý, A Parusinski chứng minh ba điều kiện sau tương đương: z (i) t giá trị tới hạn vô hạn f ; (ii) đặc trưng Euler thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát; (iii) số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ −1 Luận án tìm cách khai thác ưu điểm khác trường hợp ánh xạ từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức Trong luận án nghiên cứu cấu xạ từ M vào N, với M, N tập đại số không kỳ dị dimM = dimN + Điểm chung ánh xạ với đa thức hai biến thớ tổng quát đường cong Với điều kiện ta hy vọng kết trường hợp C2 vào C mở rộng cho lớp ánh xạ xét Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ tình sau: Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 ; Hạn chế đa thức mặt đại số không kỳ dị Cn ; Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức ánh xạ có dạng gf : C2 \ {g = 0} → C với f, g đa thức hai biến phức Một nội dung khác luận án đưa mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ khơng thỏa mãn điều kiện M-tame Luận án gồm Chương Phụ lục Chương gồm hai phần Trong phần đầu, chúng tơi giới thiệu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ nhắc lại kết biết Kết Chương trình bày phần thứ hai Theo định lý Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng M Suzuki, đặc trưng giá trị tới hạn đa thức hai biến thông qua bất biến tô pô đặc trưng Euler Kết chương nói rằng, F cấu xạ tập đại số phức khơng kỳ dị có thớ chiều giá trị t0 giá trị tới hạn vô hạn F địa phương t0 F xác định phân thớ tầm thường tô pô Như vậy, F z cấu xạ có thớ chiều (phức) chất, toán đặc trưng giá trị tới hạn vơ hạn F cịn tốn tơ pơ: có phép tầm thường hóa F cho ánh xạ liên tục có phép tầm thường hóa cho ánh xạ khả vi Kết Chương trình bày báo [28] Định lý Chương sau: Định lý (xem Định lý 1.2.1) Cho cấu xạ F : M → N, M, N ⊂ Cn tập đại số phức không kỳ dị cho dimM = dimN + t0 ∈ N giá trị qui F Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) t0 giá trị qui vơ hạn F, tức tồn lân cận D t0 vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F ' pr2 D giao hoán (ii) F tầm thường tô pô địa phương t0 , tức tồn lân cận D t0 đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F ' pr2 D giao hoán Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ xác định trong hai trường hợp sau: (a) F = (F1 , F2 , , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 ánh xạ đa thức; (b) F = g|V hạn chế hàm đa thức g : Cn → C lên V, V ⊂ Cn mặt đại số không kỳ dị, tức V = {x ∈ Cn : g1 (x) = g2 (x) = · · · = gn−2 (x) = 0} tập đại số không kỳ dị dimC V = Cho t0 giá trị qui F Khi đó, với t đủ gần t0 thớ F −1 (t) tập đại số phức chiều không kỳ dị z Hàm tuyến tính L : Cn → C gọi phép chiếu tốt t0 tồn lân cận đủ nhỏ D t0 cho với t ∈ D ta có i) ánh xạ hạn chế Lt : F −1 (t) → C riêng ii) số dL (F −1 (t)) := #Lt−1 (A), A giá trị qui Lt , khơng phụ thuộc vào t Các kết Chương là: Định lý (xem Định lý 2.1.7) Cho F = (F1 , F2 , , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 ánh xạ đa thức Cho t0 giá trị qui F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, t0 giá trị tới hạn vơ hạn đặc trưng Euler thớ F −1 (t0 ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Định lý (xem Định lý 2.1.8) Cho F = g|V : V → C hạn chế g lên V, V ⊂ Cn mặt đại số không kỳ dị g đa thức n biến Cho t0 giá trị qui F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, t0 giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng Euler thớ F −1 (t0 ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Các Định lý cho phép mô tả thay đổi tô pô thớ tổng quát thớ ứng với kỳ dị vô hạn Cho V tập Cn Ta định nghĩa phép gắn k đoạn lên V ánh xạ liên tục φ : U := ∪i=1, ,k [ai , bi ] → Cn thỏa mãn • φ((ai , bi )) vi phơi với (0, 1), • φ(ai ) = φ(a1 ) với i, • với a , b ta có φ(a) , φ(b) a, b ∈ {ai , i = 1, , k}, • φ(U) ∩ V = {φ(b1 ), , φ(bk )} 0 Đặt V = V ∪ φ(U) Ta nói V nhận từ V phép gắn k đoạn thẳng z Định lý (xem Định lý 2.3.7) Cho F cấu xạ xác định trong hai trường hợp (a) (b) Cho t0 giá trị tới hạn vô hạn F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, sai khác tương đương đồng luân thớ tổng quát F −1 (t) nhận từ thớ đặc biệt F −1 (t0 ) sau s phép gắn, s số điểm tới hạn Lt chạy vô hạn t → t0 Cũng chương đưa ví dụ chứng tỏ tiêu chuẩn thơng qua số Lojasiewicz giá trị tới hạn vô hạn với trường hợp ánh xạ từ C2 vào C, khơng cịn với trường hợp (a) (b) Nội dung Chương viết dựa báo ([33], [34]) Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn hàm hữu tỷ hai biến phức Cho P : Cn → C ánh xạ đa thức z ∈ Cn điểm kỳ dị cô lập P Khi đó, số Milnor P z định nghĩa µz (P) := dimC Oz /( ∂P ∂P , , ), ∂x1 ∂xn ∂P ∂P với Oz vành chuỗi lũy thừa hội tụ z ( ∂x , , ∂x ) iđêan sinh n ∂P ∂P ∂x1 , , ∂xn Cho F = gf : C2 \ {g = 0} → C hàm hữu tỷ, f, g ∈ C[x, y] khơng có nhân tử chung khác Theo Định lý phân thớ Thom hàm hữu tỷ F phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ bên tập hữu hạn B(F) ⊂ C Đặt A(F) := {(x, y) ∈ C2 : f (x, y) = g(x, y) = 0} Ký hiệu K0 (F) tập giá trị qui F K1 (F) tập hợp giá trị t0 ∈ C \ K0 (F) cho tồn p ∈ A(F) để µ p ( f − t0 g) , µ p ( f − tg) với t khác đủ gần t0 Ta có Định lý (xem Định lý 3.1.10) Cho F = f g : C2 \ {g = 0} → C hàm hữu tỷ Giả sử deg f > deg g Khi B(F) = K0 (F) ∪ B∞ (F) ∪ K1 (F) z ... NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62. 46. 10. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... hệ tập giá trị tới hạn vô hạn với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ khơng thỏa mãn điều kiện M-tame Cho F : Cn → Cm ánh xạ đa thức Nhắc lại B∞ (F) tập giá trị tới hạn vô hạn K0... khác luận án đưa mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ khơng thỏa mãn điều kiện M-tame Luận án gồm Chương Phụ lục Chương gồm