Công nghệ CAD CAM CNC pot

Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có k

Biên soạn: GVC NGUYỄN THẾ TRANH Nội dung:

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÔNG NGHỆ CAD/CAM

Chương 2: CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Chương 3: MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC

Chương 4: CƠ SỞ CỦA CAD

Chương 5: PHẦN CỨNG VÀ PHẦN MỀM TRONG CAD

Chương 6: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM Pro/ENGINEER Wildfire

Chương 7: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN SỐ

VÀ CÔNG NGHỆ GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ CNC

là các nguồn đồ thị hiển thị và dữ liệu quản lý

Thực tế, CAD và CAM tương ứng với các hoạt động của hai quá trình hỗ trợ cho phép biến một ý tưởng trừu tượng thành một vật thể thật Hai quá trình

này thể hiện rõ trong công việc nghiên cứu (bureau d’étude) và triển khai chế

tạo (bureau des méthodes)

Xuất phát từ nhu cầu cho trước, việc nghiên cứu đảm nhận thiết kế một

mô hình mẫu cho đến khi thể hiện trên bản vẽ biễu diễn chi tiết Từ bản vẽ chi

tiết, việc triển khai chế tạo đảm nhận lập ra quá trình chế tạo các chi tiết cùng

các vấn đề liên quan đến dụng cụ và phương pháp thực hiện

Hai lĩnh vực hoạt động lớn này trong ngành chế tạo máy được thực hiện liên tiếp nhau và được phân biệt bởi kết quả của nó

* Kết quả của CAD là một bản vẽ xác định, một sự biểu diễn nhiều hình chiếu khác nhau của một chi tiết cơ khí với các đặc trưng hình học và chức năng Các phần mềm CAD là các dụng cụ tin học đặc thù cho việc nghiên cứu và được

chia thành hai loại: Các phần mềm thiết kế và các phần mềm vẽ

* Kết quả của CAM là cụ thể, đó là chi tiết cơ khí Trong CAM không truyền đạt một sự biểu diễn của thực thể mà thực hiện một cách cụ thể công việc Việc chế tạo bao gồm các vấn đề liên quan đến vật thể, cắt gọt vật liệu, công suất của trang thiết bị, các điều kiện sản xuất khác nhau có giá thành nhỏ nhất, với việc tối ưu hoá đồ gá và dụng cụ cắt nhằm đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật của chi tiết

cơ khí

Nhằm khai thác các công cụ hữu ích, những ứng dụng tin học trong chế tạo không chỉ hạn chế trong các phần mềm đồ hoạ hiển thị và quản lý mà còn sử dụng việc lập trình và điều khiển các máy công cụ điều khiển số, do vậy đòi hỏi khi thực hiện phải nắm vững các kiến thức về kỹ thuật gia công

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Trong chế tạo, việc sử dụng các dữ liệu tin học phải lưu ý đến nhiều mối quan hệ ràng buộc Các ràng buộc này nhiều hơn trong thiết kế Việc cắt gọt vật liệu trên một máy công cụ điều khiển số hay một máy công cụ vạn năng thông thường là như nhau, trong hai trường hợp vật liệu không thay đổi về tính chất

Trong khi đó các dữ liệu tin học có trong môi trường công nghiệp cũng có trong các xưởng gia công Các nguồn dữ liệu này cải thiện kỹ thuật chế tạo, chuyển đổi phương pháp và dẫn đến thay đổi quan trọng trong các công việc hoàn thành khi lập qui trình công nghệ cũng như trên vị trí làm việc Ngoài công việc cho phép điều khiển số các nguyên công gia công, việc thiết lập các dữ liệu tin học mang lại nhiều sự cải thiện về kết cấu liên quan đến cấu trúc máy và đồ

gá, các phương pháp chế tạo và kiểm tra sản phẩm, thiết kế dụng cụ cắt và các

cơ cấu tự động khác Mặt khác, các ứng dụng tin học này cũng cho phép khai thác tốt hơn các khả năng mới của máy và dụng cụ

Ngày nay việc chuyển biến từ một ý tưởng trừu tượng thành một sản phẩm thực tế có thể theo một quá trình hoàn toàn được chi phối bởi máy tính điện tử, như sơ đồ hình 1.1 đã chỉ rõ

BUREAUTIQUE

ET COMMUNICATION

CONCEPTION, MODELISATION, ANALYSE ET INGENIERIE ASSISTE PAR ORDINATEUR (CAO - IAO)

DESSIN ASSISTE PAR ORDINATEUR (DAO)

PROCEDES, SIMULATION, PROGRAMMATION

BUREAU

DE METHODES

ADMINISTRATION ET GESTION

Hình 1.1 - Sơ đồ CAO - FAO - FIO

Ta phân biệt hai loại dụng cụ tin học trong nghiên cứu thiết kế:

- Các phần mềm vẽ có sự tham gia của máy tính điện tử

(Dessin Assisté par Ordinateur-DAO hay Computer Aided Drawing - CAD)

- Các phần mềm thiết kế có sự tham gia của máy tính điện tử

(Conception Assistée par Ordinateur-CAO hay Computer Aided Design-CAD)

Trong tiếng Anh ta sử dụng từ CAD chung cho cả hai phần mềm này

Trong triển khai chế tạo ra sản phẩm từ bản vẽ thiết kế, ngày nay có các phần mềm ứng dụng đó là các phần mềm chế tạo có sự tham gia của máy tính điện tử

( Fabrication Assistée par Ordinateur - FAO hay Computer Aided Manufacturing - CAM)

Khi sự tích hợp trên máy tính điện tử cho các hoạt động thiết kế và chế tạo được thực hiện, tức là khi việc thực hiện có thể trực tiếp dựa vào các dữ liệu

số được tạo ra bởi việc thiết kế, tập hợp các hoạt động đặc trưng của CAD/CAM được mô tả dưới khái niệm chế tạo được tích hợp bởi máy tính điện tử

( Fabrication Intégrée par Ordinateur - FIO hay Computer integrated Manufacturing - CIM)

Do vậy CIM biểu diễn các hoạt động tương ứng với thiết kế, vẽ, chế tạo

và kiểm tra chất lượng của một sản phẩm cơ khí

1.1.2 Đối tượng phục vụ của CAD/CAM

Xu thế phát triển chung của các ngành công nghiệp chế tạo theo công nghệ tiên tiến là liên kết các thành phần của qui trình sản xuất trong một hệ thống tích hợp điều khiển bởi máy tính điện tử (Computer Integrated Manufacturing - CIM)

Các thành phần của hệ thống CIM được quản lý và điều hành dựa trên cơ

sở dữ liệu trung tâm với thành phần quan trọng là các dữ liệu từ quá trình CAD

Kết quả của quá trình CAD không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà chính là dữ liệu điều khiển thiết bị sản xuất điều khiển số như các loại máy công cụ, người máy, tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác

Công việc chuẩn bị sản xuất có vai trò quan trọng trong việc hình thành bất kỳ một sản phẩm cơ khí nào

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Công việc này bao gồm:

- Chuẩn bị thiết kế ( thiết kế kết cấu sản phẩm, các bản vẽ lắp chung

của sản phẩm, các cụm máy.v.v )

- Chuẩn bị công nghệ (đảm bảo tính năng công nghệ của kết cấu,

thiết lập qui trình công nghệ)

- Thiết kế và chế tạo các trang bị công nghệ và dụng cụ phụ v.v

- Kế hoạch hoá quá trình sản xuất và chế tạo sản phẩm trong thời

gian yêu cầu

Hiện nay, qua phân tích tình hình thiết kế ta thấy rằng 90% thời lượng thiết kế là để tra cứu số liệu cần thiết mà chỉ có 10% thời gian dành cho lao động sáng tạo và quyết định phương án, do vậy các công việc trên có thể thực hiện bằng máy tính điện tử để vừa tiết kiệm thời gian vừa đảm bảo độ chính xác và chất lượng

CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết

kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số chức năng nhất định

CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết

kế và Chế tạo

Tự động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp

người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế

Tự động hoá chế tạo là dùng máy tính điện tử để kế hoạch hoá, điều

khiển và kiểm tra các nguyên công gia công

1.1.3 Vai trò của CAD/CAM trong chu kỳ sản xuất

Sản xuất sản phẩm

Kiểm tra chất lượng

Rõ ràng rằng CAD/CAM chi phối hầu hết các dạng hoạt động và chức năng của chu kỳ sản xuất Ở các nhà máy hiện đại, trong công đoạn thiết kế và chế tạo, kỹ thuật tính toán ngày càng phát huy tác dụng và là nhu cầu không thể thiếu được

1.1.4 Chức năng của CAD

Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD

cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở

dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khả năng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay

từ giai đoạn phát triển sản phẩm cho đến giai đoạn cuối của quá trình sản xuất,

tức là hỗ trợ điều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số

Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết

kế Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế

và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau:

TĐH thiết kế

Vẽ bằng MTĐT

Nhu cầu TTB mới

Nhu cầu

thị trường

Vẽ chi tiết Thiết kế

SP

Khái niệm

SP mới

Sản xuất sản phẩm

Kiểm tra chất lượng

TĐH KHH QTSX

KHH QTSX

TB ĐK bằng MTĐT

TĐH KTCL

Lập biểu đồ

SX

Vẽ BĐ, lập nhu cầu NVL KT

Hình 1.3 - Sơ đồ chu kỳ sản xuất khi dùng CAD/CAM

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

- Thiết kế mô phỏng hình học 3 chiều (3D) những hình dạng phức tạp

- Giao tiếp với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D thực hiện nhanh chóng các chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số

- Phân tích và liên kết dữ liệu: tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép

- Tạo bản vẽ và ghi kích thước tự động: có khả năng liên kết các bản vẽ 2D với mô hình 3D và ngược lại

- Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu, trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,

- Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho công nghệ gia công điều khiển số

- Giao tiếp dữ liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn

- Xuất dữ liệu đồ hoạ 3D dưới dạng tập tin STL để giao tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể

Những ứng dụng của CAD trong ngành chế tạo máy:

• Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ)

• Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số

• Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả những hình dáng phức tạp nhất

• Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu

1.2 THIẾT KẾ VÀ GIA CÔNG TẠO HÌNH

Theo lịch sử hình thành và phát triển ta có thể phân biệt công nghệ thiết kế và gia công tạo hình như sau:

- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống

- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM

- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp CIM

1.2.1 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống

Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡng Do vậy qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt (Hình 1.4):

- Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình chép hình,

- Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ liệu,

- Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết

- tạo mẫu chép hình - phay chép hình

1.2.2 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM

Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình (Hình 1.5):

- Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạo bản vẽ với sự trợ giúp của máy vi tính

- Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp

từ giá trị lấy mẫu 3D

- Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới dạng mô hình khung lưới

- Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM)

Về công nghệ, khác biệt cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô hình hoá hình học

MẪU SẢN PHẨM

Hình 1.4 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống

Hiệu chỉnh

Lấy mẫu

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế

bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia

công điều khiển số Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh)

Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế

và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng:

• Bề mặt gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn

• Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể

• Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia công tạo hình

1.2.3 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp (CIM)

Từ công nghệ CAD/CAM ta dễ dàng thực hiện ý tưởng liên kết mọi thành phần trong một hệ thống tích hợp (Hình 1.6) Theo công nghệ tích hợp, công việc mô hình hoá hình học - vẽ - tạo bản vẽ được tích hợp trong CAD; kết quả mọi thông tin về hình dáng được lưu lại dưới dạng CGM, lưu trữ trong cơ sở dữ liệu trung tâm Công nghệ tiên tiến nhất có khả năng hỗ trợ thực hiện toàn bộ qui trình thiết kế và chế tạo theo công nghệ tích hợp:

• Cho phép thiết lập mô hình hình học số CGM trực tiếp từ ý tưởng

MẪU SẢN PHẨM

Hình 1.5 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM

Lấy mẫu, số hoá

Hiệu chỉnh

• Có khả năng thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật; liên kết với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể; lập trình chế tạo; điều khiển quá trình gia công điều khiển số; lập qui trình lắp ráp; tạo phôi,

1.3 MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Mô hình hoá hình học là mô tả đối tượng hình học bởi

mô hình toán học - mô hình hình học số

Khái niệm mô hình hình học được sử dụng cho thực thể hình học có thể mô tả được, đó là những thực thể hình học cơ sở, được sử dụng trên bản vẽ

kỹ thuật hay trên màn hình, đó là:

- Điểm,

- Đường cong, bao gồm cả đoạn thẳng,

- Mặt cong, bao gồm cả mặt phẳng,

- Khối (cấu trúc đặc)

Mô hình hình học được diễn giải bởi con người nhưng hình thức mô tả

chúng phải thích hợp, rõ ràng sao cho có thể chuyển đổi thành mô hình hình học số duy nhất Tức là yêu cầu mô hình hình học phải được mô tả bởi các giá

CAM

Hình 1 6 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghê tích hợp

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

- Điểm có thể mô tả bởi giá trị toạ độ,

- Đường cong có thể được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình,

- Mặt cong có thể được mô tả bởi tập hợp điểm hoặc lưới đường cong, hoặc phương trình,

- Khối có thể được định nghĩa bởi các mặt cong bao quanh nó

1.3.1 Phương pháp mô tả đường cong

1 Đường cong 2D được mô tả bởi 2 phương pháp:

a Sử dụng các đường cong 2D cơ sở

b Như là chuỗi điểm trên mặt phẳng

2 Đường cong 3D được mô tả bởi một trong các cách sau:

a Chuỗi điểm 3D

b Giao tuyến giữa 2 mặt cong

c Hình chiếu của đường cong 2D lên mặt cong 3D

d Tập đường cong 2D trên các mặt phẳng hình chiếu trục đo

3 Phương pháp đơn giản mô tả đường cong 2D

Người ta sử dụng họ đường cong bậc hai conic, bao gồm: đoạn thẳng, đường tròn, đường êlip, đường Parabol, đường Hyperbol Chúng được xác định

rõ ràng bởi thông số của chúng như: toạ độ tâm, bán kính, tiêu điểm

Ta có thể gọi họ đường cong conic là đường cong cơ sở tạo nên đường cong đa hợp bằng cách nối kết liên tục theo chuỗi, có thể sử dụng góc lượn tại vị trí yêu cầu để đạt độ trơn láng

4 Phương pháp phổ biến nhất để mô tả đường cong tự do 2D và 3D

Đây là phương pháp xác định chuỗi điểm đường cong đi qua, phương pháp gián tiếp để mô tả đường cong 3D là xác định giao tuyến giữa 2 mặt cong Trong trường hợp này ta không thể xác định đường cong một cách chính xác Phương pháp phổ biến xác định dường cong 3D trong vẽ kỹ thuật là xác định hình chiếu 2D của chúng, sau đó xác định hình chiếu trên mặt cong, đây chính là phép chiếu ngược

1.3.2 Phương pháp mô tả mặt cong

Ta không thể vẽ mặt cong hình học, nhưng có thể mô tả chúng trên bản vẽ dưới dạng mô hình:

• Mô tả mặt cong bởi phép quét hình

• Mặt cong nội suy điểm

• Mô hình mặt cong kết nối

1.3.3 Phương pháp mô tả khối hình học

Khác biệt cơ bản với mô hình mặt cong, ngoài dữ liệu hình học thuộc mặt bao, phương pháp mô hình hoá theo cấu trúc khối, cho phép quản lý dữ liệu thuộc miền không gian bên trong thực thể hình học

Về phương pháp tạo hình, phương pháp mô hình hoá hình học theo cấu trúc khối sử dụng thuật toán BOOL (phép toán về tập hợp) trên các khối hình học cơ sở Khối hình học cơ sở có thể là:

- Khối cơ sở bậc hai

- Khối quét hình: hình thành trên cơ sở quét hình mặt giới hạn bởi đường viền 2D khép kín theo đường định hình

1.3.4 Phương pháp mô hình hoá hình học

Theo phương pháp mô tả điểm, đường cong, mặt cong, khối hình học đã

đề cập ở trên, ta có thể xây dựng giải thuật mô hình hoá hình học theo cấu trúc mặt cong và cấu trúc khối theo qui tắc chung như sau:

• Thực thể hình học được mô tả như cấu trúc thể hiện mối tương quan giữa các thực thể hình học cơ sở cùng loại hoặc khác loại

• Mặt cong được mô tả bởi phép nội suy điểm; nội suy lưới đường cong; phép quét hình đường mặt cắt; mặt cong cơ sở bậc hai

• Khối hình học được mô tả bởi phép quét hình mặt cắt; khối

cơ sở bậc 2

Trong trường hợp tổng quát, thực thể hình học được xác dịnh từ những thực thể cơ sở cấp thấp hơn Ví dụ như đường cong được thiết lập từ điểm, mặt cong từ điểm và đường cong, khối từ các bề mặt bao,

Các thực thể hình học cấp thấp và tham số thiết kế được gọi là yếu tố điều khiển hình học, có thể hiệu chỉnh được để thay đổi hình dáng và kích thước

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Chương 2

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học

2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG

Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện

2.1.1 Biểu diễn đường cong

Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng:

, (x y =x2 +y2 − =

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:

2 / 1

) 1 ( )

g

y= = − : Phương trình tường minh (2.2)

Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có:

x = x(θ) = cosθ ; y = y(θ) = sinθ: Phương trình tham số (2.3)

Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t=tgα=y/(x+ 1 )

Kết hợp với phương trình (2.1) ta có:

) 1 /(

) 1 ( )

cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá

Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

)

(t x

Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong

2.1.2 Đặc tính của đường cong

Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc: r=r(t)=[x(t),y(t),z(t)]

Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:

a Độ chảy của đường cong

b Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1 Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá

2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị:

Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

dt t r

s=∫θ0

) (

&

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:

ds dr

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó

vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2)

Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T

và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp Vectơ

B vuông góc với vectơ N và T được gọi là

vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

4 Độ cong và bán kính cong:

Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) Độ cong được định nghĩa như sau:

ds dT

2 ) 1 /( y y

k= && + &

trong đó: y&≡dy/dx ; y&& ≡ y& /dx

Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi:

k

/ 1

=

5 Độ xoắn của đường cong:

Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:

N ds

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi Phương trình cơ bản

mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

; /ds T

dr = dT/ds=kN

kT B ds

dN/ =τ − ; dB/ds = N−τ − 1 (2.12)

2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG

2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1 Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn

Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các Các điểm phía trong mặt cầu thoả bất đẳng thức: x2 +y2 +z2 − 1 < 0

và phương trình: x2 + y2 +z2 − 1 = 0 (2.13)

biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu

Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0

2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số

Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi

phương trình:

)]

, ( ), , ( ), , ( [ ) , (u v x u v y u v z u v

trong đó: u và v là tham số của mặt cong

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13)

bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:

)sin,sincos,cos(cos),

với: 0≤ u≤ 2π và −π/ 2 ≤v≤π/ 2

Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ

3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số

Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte

)

,

(u≡x v≡y , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số:

)),(,,(),(u v u v z u v

r = hay z=z ( y x, ) (2.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh:

2 / 1 2

2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong

Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) (Hình 2.4):

T

t v t u t

q( ) = [ ( ), ( )] (2.18)

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho:

r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19)

mặt lưới liên kết theo điều

kiện kết nối liên tục tạo

(u=1,v=1)

đường sinh phương v

đường sinh phương u

u

t t u v

) ( ,

*

*

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Vectơ tiếp tuyến

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

u r

r u = ∂ / ∂ ; r v = ∂r/ ∂v ; r uv = ∂ 2r/ ∂u∂v (2.20)

Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có:

v r u r dt

dv v

r dt

du u

r dt

dr

r& = u& + v&

∂

∂ +

∂

∂

=

trong đó: r& là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); r u và r v là vectơ tiếp tuyến của

đường cong đẳng tham số u = u * , v = v * Ba vectơ tiếp tuyến r& , r u , r v xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4)

Vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:

v u v

u r r r r

r& = u& + v& = Λ & (2.23) trong đó: Λ = r , u r v ; q& =dq(t) /dt= (du/dt,dv/dt) = [u& v& ]T Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau:

q G q q q r r

=

v v v u

v u u u T

r r r r

r r r r G

.

.

: Ma trận cơ sở thứ nhất (2.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:

2 / 1

) /(

) ( /r q q G q r

dudv r r

uv

uu v r u r v v r u r v r r

u u

r&& = & ( & + & ) + && + & ( & + & ) + && (2.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có:

q D q n r v n r v n r u n

vv uv

uu & & & &

&

&& = ( ) 2 + 2 + ( ) 2 = (2.29a) trong đó: ⎥

n r n r D

vv uv

uv uu

.

.

: ma trận cơ sở thứ hai

Độ cong pháp tuyến

Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:

) ( )

( s T s T s T s s kN

dt

T s d dt

r d

r&& = &= & = && + &&= && + & &

Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0:

n kN s n

q G q

q D q s

q D q s

n r n kN

T T

.

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:

Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q&

Độ cong chính

Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q&:

q G q

q D q q

T n

Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:

0 2

k

n n

k n

2 / 1 2 1

) ( − +

a

ac b b

k n

2 / 1 2 2

) ( −

h g G

e d D

c ; b= g d +g d −eh

2

1 2 2 1

Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu

diễn độ trơn láng của mặt cong

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay

2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s (sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34)

x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35)

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ

độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:

x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36) trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng

Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với

hệ số h

Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M:

Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ

(S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

0 0 1

0 0

0 0

0 cos sin

0 sin cos

θθ

θθ

R

2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D Toạ độ

(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển

t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (2.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch

chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ

0 0 1 0

0 0 0 1

z y

0 0

0

0 0 0

0 0 0

z y x

s s

s S

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép

quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ

độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1)

quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ

quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ

quanh trục z ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có

giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):

0 0

0 0

0 0 0 1

)

,

(

C S

S C x

0 0

0 0 1 0

0 0

) , (

C S

S C

y

0 0 ( , )

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép

dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:

1 0 0 0

33 32 31

23 22 21

13 12 11

t

R t

t t

r r r

r r r

r r r H

z y x

hay biểu diễn dưới dạng khác:

Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ

độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế

Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi

là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học

Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm

việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống

Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:

P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H trong đó:

P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z) P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z)

so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

2.3.4 Khung toạ độ

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học

từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ toạ độ

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu:

ih = (1 0 0 1) ; jh = (0 1 0 1) ; kh = (0 0 1 1) (2.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:

i’h = ih H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a) j’h = jhH = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b) k’h= khH = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c)

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42) Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:

P’h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (2.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ

Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ

toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố định)

ta có:

P’h = Ph H

hay:

Ph = P’h H-1

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

trong đó:

Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)

r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc

r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống)

z y x

z y x

z y x

z x

t t t

a a a

o o o

n n n

0 0

0

1

t a t o t n

a o n

a o n

a o n H

z y z

y y y

x x x

n = (nx ny nz) ; o = (ox o y o z ) ; a = (a x a y a z ) ; t = (t x t y t z )

Tóm lại:

Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất

là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình

Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận:

Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm riêng r u , r v của mặt cong Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường cong đẳng tham số của mặt cong

Chương 3

MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC

3.1 MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG

Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật

3.1.1 PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC

Mô hình toán học biểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình tường minh hoặc phương trình tham số Phương trình ẩn và phương trình tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D Đường cong đa thức tương ứng với các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau:

Phương trình đa thức ẩn

0 )

n j

j i

ijx y c y

x g

Phương trình đa thức tường minh

r

Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm:

1, Đường cong đa thức chuẩn tắc,

2, Đường cong Ferguson,

3, Đường cong Bezier,

4, Đường cong B-spline đều,

5, Đường cong B-spline không đều

3.1.2 ĐƯỜNG CONG 2D

Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ

kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D

1 Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn

Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình:

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

0 )

( ) ( x − a 2 + y − b 2 − r2 = ; ax + by + c = 0

Mô hình này có ưu điểm:

- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến,

- Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong

Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt

và mặt nón, đường cong conic có thể là:

1, Elip : 2 1 0

2 2

x

2, Parabôn : y2 − ax 4 = 0

3, Hyperbôn : 2 1 0

2 2

Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được

sử dụng phổ biến hơn cả Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được sử dụng

2 Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh

Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx2 + mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol

Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức

là:

0 ) ( )

- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến

- Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong

- Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự

Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể điều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng Dạng phương trình (3.1) còn được gọi

là dạng phi tham số

3.1.3 ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ

Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ

và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1 Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình

đa thức vectơ bậc 3 Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D

1 Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc

Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định

Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3:

r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu2 + du3

Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở

U và vectơ hệ số A như sau:

d c b

a u u u u

Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng

có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi: i = 1, ,4} theo phương pháp sau:

Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1:

i i

r ( ) = ; với i = 1, ,4

Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn

bởi phương trình đa thức:

r

0

) (

2 Đường cong Ferguson

Ferguson giới thiệu một

phương pháp khác sử dụng phương

trình (3.2) Theo đó đường cong

được thiết lập bởi (Hình 3.1):

a Hai điểm đầu cuối P0 và P1.

b Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo:

d c b r t

b r t

d c b a r P

a r P

3 2 ) 1 (

) 0 (

) 1 (

) 0 (

1 0 1 0

+ +

t P P

d c b

1 1 2 2

1 2 3

3

0 1 0 0

0 0 0 1

Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau:

S )

r = = , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.5)

Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến t0 = t1 = P1 − P0 Sự lựa chọn này thoả yêu cầu về hình dáng

Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở Có thể biểu diễn (3.5) dưới dạng khác:

r(u) = (U C) S

= (1- 3u2 +2u3)P0 + (3u2 - 2u3)P1 + (u - 2u2 + u3)t0 + (-u2 + u3)t1 (3.6)

3 1

3 2 0

3 1 0

( )

(

3 u

Hi là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau:

0 ) 0 ( )

1 ( )

0 ( )

1

(

1 ) 1 ( )

0 ( )

1 ( )

0

(

3 2

3 1

3 3

3

0

3 2

3 1

3 3

H H

H H

H H

( )

( )

2

3 1

3 2

3

H & & với mọi j = 0,1

Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3)

Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite

3 Đường cong Bezier

Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp

Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (3.5)

Bốn đỉnh điều khiển Bezier V0, V1, V2, V3 (hình 3.2a) thoả điều kiện:

V0 là điểm đầu của đường cong,

V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu,

V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối,

V3 là điểm cuối của đường cong

Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau:

V0 = P0 ; V1 = (V0 + t0/3) ; V2 = (V3 - t1/3) ; V3 = P1

Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier

Vi là:

P0 = V0 ; P1 = V3 ; t0 = 3(V1-V0) ; t1 = 3(V3-V2) hay dưới dạng ma trận:

LR V

V V V

t t P

1 0 1 0

3 3 0 0

0 0 3 3

1 0 0 0

0 0 0 1

Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R:

r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.8)

1

0 3 6 3

0 1 3 3

0 0 0 1

V V V

V R

Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) Tương tự như

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức:

∑

=

=

+ +

+

=

=

3 0 3

3

3 3 2

3 2 1

3 1 0

3 0

) (

) ( )

( )

( )

(

) ( ) (

i i i

V u B

V u B V u B V u B V u B

R UM u

r

(3.9)

trong đó:

3 3

0( u ) ( 1 u )

1( u ) 3 u ( 1 u )

B = − )

1 ( 3 )

n

i n

n u

−

! )!

1 (

! )

r

0

) ( )

( , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.10b) Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau:

r(0) = V 0 ; r(1) = V 1 ;

) (

) 0 ( n V1 V0

4 Đường cong B-spline đều

Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này

Xét 4 đỉnh điều khiển V0, ,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như sau: (Hình 3.3)

M0 là điểm giữa của đoạn thẳng V0V2 : M0= (V0+V2)/2

M1 là điểm giữa của đoạn thẳng V1V3 : M1= (V1+V3)/2

P0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V1M0 : P0= (2V1+M0)/3

P1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V2M1 : P1= (2V2+M1)/3

Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện:

1 Đường cong bắt đầu từ điểm P 0 và kết thúc tại điểm P 1 ,

2 Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 0 có giá trị bằng (M 0 -V 0 ),

3 Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 1 có giá trị bằng (M 1 -V 1 )

Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều khiển như sau:

P0≡r(0) = [4V1+(V0+V2) ]/6 (3.12a)

P1≡r(1) = [4V2+(V1+V3) ]/6 (3.12b)

t0≡ r&(0) = (V2 - V0) /2 (3.12c)

t1≡ r&(0) = (V3 - V1) /2 (3.12d) hay dưới dạng ma trận:

KR V

V V V

t t P

1 0 1 0

3 0 3 0

0 3 0 3

1 4 1 0

0 1 4 1 6 1

Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được

phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline

đều N và vectơ đỉnh điều khiển R:

1

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1

( )

(

i i i

V u N R

UN u

3.1.4 ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS)

NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều

và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

1 Hàm cơ sở B-spline

Xét hàm vô hướng đệ qui Ln(t )

i được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm {ti}:

) ( ) (

) (

) ( ) (

) ( )

1 1

1 1

1

t L t t

t t t

L t t

t t t

i i n i

i n

i i n i

i n

i

− + + +

], , [ , 0

, 1 )

) (

) ( ) (

) ( )

1 1 2

1 1

1

t t

t t t

L t t

t t t

i i

i i

i i

i

+ +

+

− +

+ +

+

khác

t các

] , [

] , [ ,

0

), /(

) (

), /(

) (

2 1

1 1

2 2

1

i i

i i i

i i

i i i

t t t

t t t t t t t

t t t t

Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút:

) ( i1 i

i = t − t

) (

+

khác

t các

] , [

] , [ ,

0

, / ) (

, / ) ( )

1 1

2

2

i i

i i

i i

i i

t t t t

t

t t t

L

Với n = 3, ta có:

) ( ) (

) ( ) ( )

1 2

3 2

+ + +

0

), /(

) (

), /(

) (

) /(

) (

), /(

) (

2

2 1

2 3

1

2 1

2 1 3

2 2

2 2

i i i

i i i i

i i

i i

i i i

t t

t t t

t

t t

] , [

] , [

] , [

3 2

2 1 1

+ +

+ + +

∈

∈

∈

i i

i i

i i

t t t

t t t

t t t

(3.17)

Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2

Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4 Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm

cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]:

) ( ) (

i ≡ với t ∈ [ ti+k−1, ti+k] : k = 1 , 2 , , n (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên

3 ] 1

Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau:

u = (t - ti)/(ti+1 - ti) = (t - ti)/∇i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị khác không trên miền t ∈ [ ti, ti+1], bao gồm 3 ( )

] 3 [

2 t

] 2 [

1 t

] 1 [ t

) /(

) (

)

1

2 1

2 1

1 t

Li

)(

2 t

L i

)(

3 t

L i

)(

4 t

L i

t i t i+1 t i+2 t i+3 t i+4

Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

) /(

) ( )

/(

) (

)

1 1

2 1

2 1

∇

∇ +

1 1

2 2

1

2 1

(

i

i i

i i

i i

i i

2( )

1 u N

≡ với 0 ≤ u ≤ 1

) /(

) ( )

2( )

2 u N

≡ với 0 ≤ u ≤ 1

2 Đường cong B-spline không đều

Với chuỗi điểm 3D cho trước {Pj} và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) L3j( t ) (3.17) trên miền tham số t ∈ [ ti, ti+1], ta thiết lập hàm vectơ:

r

3( ) : [ , ] )

r

2

3( ) )

( với t ∈ [ ti, ti+1]

( ) 3 ( ) 3( )

1 1

3 2

= − − − − với t ∈ [ ti, ti+1] (3.22) ( ) ( ) 3 ( )

] 1 [ 2

3 ] 2 [ 1 1

3 ] 3 [ 2

2 1 1

2 0

t i-2 t i-1 t i t i+1 t i+2

3 1 +

i

L

t i+3

3 ] 2 [ 1

−

i

] 1 [

L

3 ] 3

−

i

] 3 [ 2

3 1 2

1 1

2 1

2 1

2 1

2 1 1

2 1

) / (

0 )

/ 2 ( )

/ 2 (

0 )

/ ( )

/ (

i

i i

i i

i i

i i

i

i i i

i

i i i

i

q

) ( i1 i

i = t − t

+

∇ +

∇

=

và đường cong (3.22) được gọi là đường cong NUBRS bậc 2

Khảo sát giá trị của hàm kết nối B-spline không đều bậc 2, ta có thể rút ra kết luận: đường cong NURBS bậc 2 được hỗ trợ bởi 6 điểm nút ti-2 đến ti+3, ngay cả khi miền tham số xác định là [ti, ti+1] (Hình 3.5) Tuy nhiên các điểm biên ti-2 và ti+3 không cần thiết bởi vì dữ liệu này không được sử dụng để xác định đường cong Do đó đường cong NURBS bậc 2 hoàn toàn được xác định bởi 3 giá trị bước nút ∇i−1, ∇i, ∇i+1 và 3 đỉnh điều khiển V0, V1, V2

Tương tự ta có đường cong NURBS bậc 3 có dạng như sau:

r

3

4( ) )

( với t ∈ [ ti, ti+1] (3.23) = UNcR ≡ r(u) với u ∈ [ 0 , 1 ]

3 Trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS

Qua khảo sát ta thấy rằng đường cong NURBS bậc 3 (3.23) có dạng tương tự như đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13), nhưng ma trận hệ số Nc không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm nút Do vậy với cùng tập hợp đỉnh điều khiển, ta có thể đạt được hình dáng đường cong khác nhau bằng cách thay đổi khởng cách giữa các điểm nút

Khi tất cả điểm nút {ti} được xác định trên miền số nguyên liên tục và khoảng cách giữa chúng đều nhau, nếu đặt ∇i = 1, với mọi i và từ đó ∇2i = 2, , ma trận hệ

số Nc của đường cong NURBS (3.23) trở thành ma trận N của đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13)

Như vậy đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13) là trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS khi khoảng cách giữa các điểm nút đều nhau

Tương tự, đường cong NURBS có thể trở thành đường cong Bezier nếu đặt các giá trị:

ti-2 = ti-1 = ti = 0; ti+1 = ti+2 = ti+3 = 1

Từ đó ta có khoảng cách giữa các điểm nút tương ứng có giá trị như sau:

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 12 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Vậy cả 2 đường cong B-spline đều và Bezier chỉ là trường hợp đặc biệt của dường cong NURBS

3.1.5 ĐƯỜNG CONG HỮU TỶ

Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức Đường cong hữu

tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc khác Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ toạ độ đồng nhất Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier

1 Toạ độ đồng nhất

Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau:

r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = ((1-u2)/(1+u2), 2u/(1+u2), 0/(1+u2))

Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử

số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung:

R(u) = ((1-u2), 2u, 0, (1+u2)) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u))

Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ

độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)) Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h, Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1) Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá Ý nghĩa hình học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4 chiều

Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm 3D (x, y, z) nếu h ≠ 0 Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất:

Hi = (wixi, wiyi,wizi,wi ) trọng số wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng

Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học

2 Đường cong hữu tỷ bậc 2

( ), ( ), ( ( )

(

i i i

V u B u

z u y u x u

Sử dụng Hi để biểu diển đỉnh điều khiển đồng nhất của Vi, sao cho:

) , , , ( i i i i i i i

h i i

( ), ( ), ( ), ( ( )

(

i i i

H u B u

h u Z u Y u X u

Ta sẽ khảo sát hình dánh đường cong đồng nhất này Điều kiện biên của đường cong hữu tỷ được xác định bằng cách tính biểu thức (3.26) và đạo hàm của chúng tại u

= 0 và u = 1

Đặt rh(u) là phương trình đồng nhất chuẩn tắc như sau:

rh(u) = R(u)/h(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) (3.27) Lấy đạo hàm phương trình trên theo u ta có:

) ( / ) ( ))

( /(

)) ( ) ( ( )

Cụ thể đối với đường cong Bezier bậc 2 ta có:

0

1 0

( 2 )

0

(

w

w V V

r &h = h − h ;

2

1 1

( 2 ) 1 (

w

w V V

r &h = h − h

Kết quả trên chứng tỏ rằng tiếp tuyến của đường cong Bezier đồng nhất (3.26)

và đường cong Bezier chuẩn tắc (3.24) tại các điểm biên có cùng phương với nhau nhưng độ lớn của chúng thay đổi theo tỷ lệ w1/w0 và w1/w2 (Hình 3.6)

Phương trình Bezier đồng nhất (3.26) được biểu diễn dưới dạng thành phần đồng nhất như sau:

)) ( ), ( ), ( ), ( ( )

2 0 2 2

0 2 2

Hình 3.6 - Tính chất của đường cong Bezier hữu tỷ

- Đường cong Bezier chuẩn tắc

- Đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 14 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Và phương trình Bezier được biểu diễn ngắn gọn hơn dưới dạng hữu tỷ:

)) ( ), ( ), ( ( )

2 1

2 0

2

2 2 1 1

0

2 0

) 1 ( 2 )

1 (

) 1 ( 2 )

1 (

u w u u w u

w

V u w V u u w V u

w

+

− +

−

+

− +

w u B

trong đó: Vi = (xi, yi, zi) : đỉnh điều khiển Bezier, wi : trọng số

Như vậy ta đã chỉ ra rằng có thể biểu diễn đường cong Bezier hữu tỷ hoặc dưới dạng đồng nhất (3.26) hoặc dưới dạng hữu tỷ (3.30) và đường cong Bezier hữu tỷ bậc

2 được chuyển đổi thành đường cong chuẩn tắc khi wi = 1 với mọi i

Mô hình đường cong hữu tỷ bậc 2 được sử dụng rất phổ biến trong phép tham

số hoá đường cong mặt cắt cônic

3 Đường cong hữu tỷ bậc 3

Ta có thể dễ dàng xác định mô hình hữu tỷ cho đường cong Bezier và B-spline bậc cao hơn Đường cong Bezier bậc 3 hữu tỷ có dạng đồng nhất tương tự như đường cong Bezier chuẩn tắc (3.7):

R(u) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) = U M H (3.31) trong đó: U = [ 1 u u2 u3]; Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi)

1

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1

H H H

H H

w u B u

r

Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình dáng Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính Nhưng quá nhiều bậc tự do thường không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2

3.2 ĐƯỜNG CONG PHỨC HỢP

Trong các bài toán dựng hình, phần lớn dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm

Dữ liệu điểm có thể là dữ liệu thực nghiệm từ các phép đo bằng dụng cụ thông thường hay bằng máy quét toạ độ Vấn đề cần giải quyết trong các bài toán này là thiết lập đường cong tham số trơn láng r(t) từ chuỗi điểm {Pi: i = 0, ,n} Với cấu hình dữ liệu điểm này, ta thường sử dụng mô hình đường cong phức hợp từ các đoạn cong liên kết theo chuỗi

Về mặt lý thuyết, để dựng đường cong phức hợp có thể sử dụng mô hình đường cong bất kỳ như chương trước đã đề cập Tuy nhiên mô hình đường cong Ferguson và B-spline được sử dụng phổ biến nhất do các đặc điểm:

• Dễ sử dụng,

• Có hiệu suất tính toán cao,

• Có tính liên tục về toán học,

• Đạt được độ trơn láng thẫm mỹ và độ đồng đều của đường cong

Về cơ bản, giải quyết vấn đề dựng đường cong phức hợp là giải hệ phương trình tuyến tính Bằng cách đặt điều kiện liên tục bậc 2 tại mỗi điểm Pi, chúng ta thiết lập được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là hệ số của phương trình đường cong Do vậy, để dựng đường cong phức hợp cần thiết phải có các điều kiện liên tục thích hợp và giải được hệ phương trình tuyến tính

Ở đây ta sẽ khảo sát phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau:

a Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều:

- Đường cong bậc 3,

- Đường cong B-spline đều

b Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều:

- Đường cong cát tuyến,

- Đường cong B-spline không đều

c Mô hình đường cong 2D:

- Theo cấu trúc cung đôi,

- Theo đường mặt cắt conic

3.2.1 DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM CÁCH ĐỀU

1 Điều kiện liên tục tham số

Xét 2 đoạn đường cong ra(u) và rb(u) (Hình 3.7) trên miền tham số u ∈ [ 0 , 1 ]

Để 2 đoạn đường cong kết nối với nhau, chúng phải thoả điều kiện liên tục vị trí: ra(1) = P1 = rb(0) (3.32a)

Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc nhất (C1) nếu đạo hàm bậc nhất của 2 đoạn đường cong tại điểm kết nối có giá trị như nhau:

) 0 ( )

a r

r && = && (3.32c)

Các điều kiện (3.32) được gọi chung là điều kiện liên tục tham số C 2

Giả thiết đường cong phức hợp đi qua 3

điểm cho trước P 0 , P 1 , P 2 với tiếp tuyến đầu

cuối t 0 , t 2 (Hình 3.7) Nếu vectơ tiếp tuyến t 1 tại

điểm kết nối cũng được cho trước ta có thể mô

tả mỗi đoạn đường cong như đường Ferguson

Vì vậy ta sẽ xác định t 1 sao cho 2 đoạn đường

cong thoả điều kiện liên tục tham số C2 tại

điểm kết nối P 1 , tức là cần xác định t 1 từ dữ liệu

cho trước (P 0 , P 1 , P 2 , t 0 , t 2 ) và điều kiện liên tục

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 16 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

1 2 3

3

0 1 0 0

0 0 0 1

C

a

t t P P

S = 0 1 0 1 ; b [ ]T

t t P P

) (

Sau khi sắp xếp các phương trình (3.36), ta có:

n n

n n n

t

P P

P P

P P

P P t

t t t

t t t

) (

3

) (

3

) (

3

) (

3

.

1 1 0 0

1 1 1 0

0 1 1 1

.

.

.

.

1 1 1

0

0 1 1

1

0 0 1

1

2

3 1

1 3

0 2 0

1 2

2 1 0

Với vectơ tiếp tuyến ti, đường cong Ferguson ri(u) trên miền [Pi, Pi+1] được xác định bởi:

ri(u) = U C Si , với i = 0, 1, ,n-1 (3.38) trong đó: Si = [Pi, Pi+1, ti, ti+1]T

U và C được định nghĩa theo (4.2)

Trong thực tế, hầu hết các trường hợp tiếp tuyến đầu cuối t0, tn không được cho trước Do vậy ta có thể xác định tiếp tuyến đầu cuối theo một trong các điều kiện sau:

a Điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn

b Điều kiện biên đa thức

c Điều kiện biên tự do

Điều kiện biên tiếp tuyến vòng tròn

Có thể nhận thấy rằng vectơ chưa biết r = Q-P0 được xác định bởi:

) c }/(2 ) ( ) ( a { 2 b c b2 c a 2

Điều kiện biên đa thức

Tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được xác định bằng cách dựng đường cong đa thức chuẩn tắc qua các điểm biên ( 3 hoặc 4 điểm) Tiếp tuyến t0 = r & ( 0 )

Điều kiện biên tự do

Giả thiết rằng độ cong tại các điểm P0, Pn bằng 0 Điều kiện này tương ứng với trạng thái khi đường cong phức hợp không bị ảnh hưởng bởi điều kiện ngoại vi nào tại các điểm biên:

0 ) 0 ( =

r&& ; n− 1( 1 ) = 0

r&&

Theo điều kiện biên tự do, biểu thức (4.3a) và (4.3b) được biến đổi thành:

) (

Hình 3.9 - Tiếp tuyến đường tròn

Dựng đường tròn qua 3 điểm đầu

Đặt :

Q là tâm đường tròn cần dựng,

r là bán kính: r = Q-P 0 ,

a=P 1 -P 0 , b=P 2 -P 0 , c = a x b

Phương của tiếp tuyến t 0 sẽ vuông

góc với đoạn thẳng r = Q-P 0 và vectơ

c = a x b , ta có:

c r c r a