Trường điện từ

trường điện từ, tiếng việt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

ThS ĐOÀN HÒA MINH

NĂM 2006

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ………1

0.1 GIỚI THIỆU MÔN HỌC TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ………1

0.2 PHƯƠNG PHÁP HỌC VÀ THI ………2

0.3 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 2

CHƯƠNG 1 : LÝ THUYẾT TRƯỜNG 3

1.1 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG (Scalar field) 3

1.1.1 Đinh nghĩa 3

1.1.2 Mặt ñẳng trị 4

1.1.3 Gradient 4

1.2 TRƯỜNG VECTƠ (VECTOR FIELD) 6

1.2.1 Đinh nghĩa 6

1.2.2 Đường dòng 7

1.2.3 Thông lượng (Flux) 7

1.2.4 Đinh lý Green – Định lý Stokes – Định lý Ôxtrôgratxki 7

1.2.5 Divergence……….10

1.2.6 Trường ống 10

1.2.7 Lưu số (Circulation) và vectơ xoáy 12

1.3 TOÁN TỬ HAMILTON VÀ TÓAN TỬ LAPLACE 13

1.3.1 Tóan tử Hamilton 13

1.3.2 Biểu diễn grad u,divV,rotV bằng tóan tử ∇ 13

1.3.3 Tóan tử Laplace 14

1.4 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 14

1.4.1 Khái niệm 14

1.4.2 Hai mặt ñiện và từ của trường ñiện từ 15

1.4.3 Các ñại lượng cơ bản ñặc trưng cho trường ñiện từ 16

BÀI TẬP 18

CHƯƠNG 2 : TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG 20

2.1 TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 20

2.1.1 Khái niệm 20

2.1.2 Định luật Coulomb 20

2.1.3 Các hình thức phân bố ñiện tích 22

2.1.4 Các tính chất của trường ñiện tĩnh 24

2.1.5 Điện thế (Potential) 27

2.1.5.1 Khái niệm về ñiện thế .27

2.1.5.2 Điện thế tại một ñiểm trong ñiện trường 27

2.1.5.3 Hiệu ñiện thế 30

2.1.5.4 Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñiện thế 31

2.1.6 Mô tả hình học của trường ñiện 40

2.2 TRƯỜNG TỪ TĨNH 41

2.2.1 Định nghĩa 41

2.2.2 Các nguyên lý và ñịnh luật về từ trường 41

2.2.3 Các tính chất của trường từ tĩnh 46

Mục lục

2.2.4 Từ thế Vectơ 48

2.4.5 Biểu diễn hình học của từ trường 51

BÀI TẬP 51

CHƯƠNG 2 : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH TRONG MÔI TRƯỜNG CHẤT 58

3.1 ĐIỆN MÔI (DIELECTRIC MATERIALS) 58

3.1.1 Khái niệm 58

3.1.2 Sự phân cực (Polarization) 58

3.1.3 Điện tích liên kết (Bound Charges) 60

3.1.4 Điện trường trong chất ñiện môi 62

3.2 TỪ MÔI (MAGNETIC MATERIALS) 63

3.2.1 Khái niệm 63

3.2.2 Dòng ñiện liên kết (Bound Current) 65

3.2.3 Từ trường trong từ môi 67

3.3 VẬT DẪN ĐIỆN (ELECTRICAL CONDUCTORS) 69

3.3.1 Khái niệm 69

3.3.2 Phương trình lien tục 71

3.3.3 Nghiệm xác lập của phương trìng Laplace 72

3.4 ĐIỀU KIỆN BỜ 73

3.4.1 Điều kiện bờ với các vectơ D và B 73

3.4.2 Điều kiện bờ với các vectơ H và E 75

3.4.3 Tổng kết các ñiều kiện bờ 76

3.5 NĂNG LƯỢNG CỦA TRƯƠNG ĐIỆN TỪ 77

2.5.1 Năng lượng trường ñiện ñược tích lũy bởi tụ ñiện 77

2.5.2 Năng lượng trường từ ñược tích lũy bởi cuộn cảm 78

2.5.3 Năng lượng từ trường 79

BÀI TẬP 79

CHƯƠNG 4 : TRƯỜNG ĐIỆN BIẾN THIÊN 82

4.1 ĐIỆN TRƯỜNG XOÁY 83

4.1.1 Sức ñiện ñộng 83

4.1.2 Đinh luật Faraday 84

4.1.3 Điện trường xoáy 86

4.2 DÒNG ĐIỆN DỊCH 86

4.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 88

CÂU HỎI ÔN TẬP 88

CHƯƠNG 5 : SÓNG ĐIỆN TỪ 90

5.1 KHÁI NIỆM 90

5.2 SÓNG PHẲNG TRONG CHÂN KHÔNG HAY ĐIỆN MÔI KHÔNG TỔN HAO 91

5.3 SÓNG PHẲNG TRONG ĐIỆN MÔI CÓ TỔN HAO 96

5.4 DÒNG CÔNG SUẤT – VECTƠ POYNTING 100

5.5 SÓNG PHẢNG TRONG VẬT DẪN ĐIỆN TỐT 102

5.6 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ 106

5.7 HIỆN TƯỢNG SÓNG ĐỨNG – TỈ SỐ SÓNG ĐỨNG 112

5.8 TRỞ KHÁNG VÀO CỦA MÔI TRƯỜNG NHÌN TỪ NGUỒN 114 5.9 MẬT ĐỘ DÒNG CÔNG SUẤT CỦA SÓNG TỚI, SÓNG PHẢN XẠ VÀ

SÓNG KHÚC XẠ 115

5.10 BÀI TÓAN HAI MẶT PHÂN CÁCH 116

5.11 SÓNG TỚI CÓ PHƯƠNG TRUYỀN VUÔNG GÓC VỚI MẶT CỦA MỘT VẬT DẪN ĐIỆN TỐT 117

5.12 VẬN TỐC SÓNG, VẬN TỐC NHÓM, VẬN TỐC PHA 119

CÂU HỎI ÔN TẬP 121

BÀI TẬP 123

PHỤ LỤC 126

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

Lời nói ñầu

LỜI NÓI ĐẦU

Trường ñiện từ là một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật như Vật

lý, Điện kỹ thuật, Điện tử, Viễn thông, Kỹ thuật ñiều khiển,…Trường ñiện từ không phải là một môn học mới lạ ở bậc ñại học, các khái niệm và một số ñịnh luật cơ bản về Trường ñiện từ ñã giảng dạy từ bậc phổ thông trung học Vào ñại học, sinh viên lại một lần nữa tiếp cận với một số khái niệm và ñịnh luật về Trường ñiện từ trong môn Vật lý ñại cương Đây là lần thứ ba, sinh viên trở lại với Trường ñiện từ Tuy không phải là hoàn toàn mới lạ, nhưng Trường ñiện từ vẫn là một môn học khó, với cả thầy lẫn trò Trở lại với Trường ñiện từ, với tư cách là một môn học, sinh viên có một cách tiếp cận mới Ở ñây, môn Trường ñiện từ là hệ thống hoàn chỉnh, vừa có tính tổng quát cao lại vừa ñi sâu chi tiết, với phương pháp tính toán mới, ñòi hỏi kỹ năng toán học cao hơn, ñòi hỏi khả năng trù tượng hóa và khái quát hóa cao hơn Hơn nữa, ñây là một môn cơ sở, sinh viên chưa thể ứng dụng ngay và chưa thấy hết các ứng dụng của nó vào chuyên ngành, ñiều này cũng là một nguyên nhân làm cho người học kém hứng thú

Nội dung của môn Trường ñiện từ khá lớn, bao gồm phần lý thuyết tổng quát và các phần vận dụng trong các lĩnh vực cụ thể Khi tham khảo nhiều giáo trình của các trường ñại học, ta sẽ thấy có sự khác nhau về việc chọn lựa nội dung lẫn cách tiếp cận

Tổng quát, môn Trường ñiện từ bao gồm các nội dung sau:

- Các cơ sở toán học cần cho môn học này;

- Trường ñiện từ tĩnh và dừng trong chân không và trong các môi trường: các khái niệm, ñịnh luật, ñịnh lý, phương trình;

- Vật liệu ñiện từ;

- Các phương pháp giải các bài toán trường ñiện từ;

- Trường ñiện từ biến thiên và hệ phương trình Maxwell;

- Sóng ñiện từ; nhiễu xạ sóng ñiện từ;

- Các phần tử bức xạ sóng ñiện từ và anten;

- Đường truyền sóng, ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng;

- Cơ sở thuyết tương ñối về trường ñiện từ

Nói chung, có hai cách tiếp cận khác nhau:

- Đi từ tổng quát ñến cụ thể:

Trong cách tiếp cận này, cấu trúc chương trình môn học ñược sắp xếp theo thứ tự khởi ñầu là các nguyên lý và ñịnh luật, hệ thống phương trình maxwell, sau ñó triển khai ứng dụng các nguyên lý và ñịnh luật này cho trường ñiện từ tĩnh và dừng, các phương pháp giải các bài toán trường ñiện từ, trường ñiện từ biến thiến, sóng ñiện từ, ñường truyền sóng, ống dẫn sóng, hốc cộng hưởng

chất: ñiện môi, từ môi và vật dẫn Từ ñó khái quát hóa các khái niệm, các nguyên lý, ñịnh luật thành hệ phương trình Maxwell cho trường ñiện từ tĩnh và dừng Bước kế tiếp là hình thành các khái niện ñiện trường xoáy và dòng ñiện dịch, thông qua ñó thành lập hệ phương trình Maxwell cho trường ñiện từ biế thiên Tới ñây, trường ñiện từ ñã ñược xây dựng thành một hệ thống hoàn chỉnh

ñủ ñể vận dụng vào việc phân tích quá trình truyền sóng ñiện từ trong các nôi trường chất và các ứng dụng khác

Việc chọn lựa nội dung và cách tiếp cận tùy thuộc vào chuyên ngành và mục tiêu môn học Giáo trình này ñược biên soạn chủ yếu cho các chuyên ngành Kỹ thuật ñiện, Điện tử, Viễn thông và Kỹ thuật ñiều khiển Để người học không bở ngở,

dễ tiếp thu và có thể tận dụng thời gian dành cho môn học, nhưng vẫn bảo ñảm

ñủ lượng kiến thức và rèn luyện ñược các kỹ năng cần thiết cho sinh viên của các chuyên ngành này, chúng tôi chọn cách tiếp cận thứ hai và chọn một nội dung tối thiểu cho giáo trình Giáo trình bao gồm 5 chương và các phục lục:

Chương 1: Lý thuyết trường Chương này nhằm ôn lại các kiến thức toán học và

kỹ năng cần thiết cho môn học, hình thành khái niệm tổng quát về trường ñiện từ, làm nền tảng cho các chương sau

Chương 2: Trường ñiện từ tĩnh và dừng trong chân không Chương này nhằm hình thành các khái niệm, các nguyên lý, ñịnh luật cơ bản về trường ñiện từ; giới thiệu các phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về trường ñiện từ Chương 3: Trường ñiện từ tĩnh và dừng trong các môi trường Chương này nhằm phân tích cho người học hiểu ñược sự tương tác giữa trường ñiện từ và các môi trường chất Khái quát hóa các khái niệm và các ñịnh luật về trường ñiện từ trong mội trường chất Từ ñó tổng kết thành hệ phương trình Maxwell cho trường ñiện

từ tĩnh và dừng

Chương 4: Trường ñiện từ biến thiên Chương này hình thành các khái niệm ñiện trường xoáy, dòng ñiện dịch và xây dựng hệ phương trình Maxwell cho trường ñiện từ biến thiên

Chương 5: Sóng ñiện từ Đây là chương quan trọng vì có nhiều ứng dụng trong chuyên ngành, khảo sát sóng ñiện từ truyền trong các môi trường ñiện môi và dẫn ñiện

Các phụ lục nhằm ôn lại một số kiến thức toán học cần thiết như: các hệ tọa ñộ trực chuẩn, trụ và cầu; sự chuyển ñổi giữa các hệ tọa ñộ; vi phân ñường, vi phân mặt, vi phân khối trong các hệ tọa ñộ; các toán tử Gradient, Divergence, Curl trong các hệ tọa ñộ…

Để rút ngắn phần lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán trường ñiện từ ñược hình thành trong phần bài tập Phần kiến thức về ñường truyền truyền sóng, ống dẫn sóng, hộp cộng hưởng và anten ñã ñược ñưa vào môn Anten và truyền sóng

Tuy ñã có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy môn Trường ñiện từ, nhưng sau khi hoàn thành giáo trình này, tôi vẫn chưa an tâm và cảm thấy còn nhiều thiếu sót Tôi mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của quí thầy, cô, của sinh viên và

Lời nói ñầu

Xin chân thành cám ơn quí thầy cô trong bộ môn Viễn thông và Kỹ thuật ñiều khiển, khoa Công nghệ Thông tin và Truyền thông ñã giúp ñỡ tôi hoàn thành giáo trình này

Đặc biệt cám ơn Kỹ sư Nguyễn cao Quí ñã phản biện và giúp ñở tôi trong việc sửa lỗi và in ấn giáo trình

ĐOÀN HÒA MINH

Trường ñiện từ là một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật như Vật lý, Điện

kỹ thuật, Điện tử, Viễn thông, Kỹ thuật ñiều khiển,…mục tiêu chính của môn học là giúp

cho sinh viên “ có kiến thức cơ bản về trường ñiện từ và sóng ñiện từ một cách có hệ

thống; vận dụng ñược các phương pháp phân tích, tính toán về trường và sóng ñiện

từ trong chuyên ngành” Để ñạt ñược mục tiêu này, sinh viên cần phải thỏa mãn các yêu

cầu cụ thể sau:

Có các kỹ năng toán học cần thiết: vi tích phân, hình học giải tích, ñại số tuyến

tính, hàm biến phức, và các kiến thức cơ bản về vật lý ñại cương

Hiểu và vận dụng ñược các khái niệm, ñịnh lý, mô hình về lý thuyết trường nói

chung và trường ñiện từ nói riêng

Có khả năng hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về trường ñiện từ bao gồm: các khái

niệm ñặc trưng cho trường ñiện từ và dòng ñiện; các ñịnh luật và ñịnh lý về

trường ñiện từ; sự hình thành trường ñiện, trường từ, dòng ñiện và các thông sồ

ñặc trưng cho sự tương tác giữa trường ñiện từ với các môi trường chất như ñiện

môi, từ môi, vật dẫn

Hiểu ñược cơ chế hình thành sóng ñiện từ, thành lập ñược phương trình truyền

sóng trong các môi trường và vận dụng chúng ñể giải các bài toán về sự truyền

sóng trong các môi trường chất

Có khả năng tổng hợp các phương pháp giải các bài toán về trường ñiện từ và

sóng ñiện từ như vận dụng các ñịnh luật Coulomb, Ampere-Biot-Savart, Gauss,

Ampere lưu số, Faraday, ñịnh lý Umop-Poynting,…; vận dụng các phương trình

Poisson, Laplace và các ñiểu kiện bờ, hệ phương trình Maxwell dưới các dạng

tích phân, vi phân (ñiểm) và phasor; và một số phương pháp ñặc biệt khác

Có khả năng giải các bài toán sóng truyền trong vật dẫn, truyền qua nhiều môi

trường có các thông số ñiện từ khác nhau Có khả năng phân tích các hiện tượng

MỞ ĐẦU Trang 2

0.1.3 Nội dung của môn học:

Ôn tập: các hệ tọa ñộ trực chuẩn, trụ và cầu; sự chuyển ñổi tọa ñộ ñiểm và biểu diễn

các vectơ trong các hệ tọa ñộ; biểu diễn các vi phân dài, vi phân mặt và vi phân khối

trong các hệ tọa ñộ;

Lý thuyết trường và khái niệm tổng quát về trường ñiện từ

Trường ñiện tĩnh và trường từ dừng trong chân không

Trường ñiện tĩnh và trường từ dừng trong các môi trường chất

Trường ñiện từ biến thiên

Sóng ñiện từ phẳng trong chân không và trong các môi trường chất

Các phương pháp giải các bài toán về trường ñiện từ và sóng ñiện từ (thực hiện và

tổng kết thông qua việc giải bài tập, không trình bày trong phần lý thuyết)

0.2 PHƯƠNG PHÁP HỌC VÀ THI

Hướng tới các phương pháp dạy học lấy sinh viên làm trung tâm:

Đặc vấn ñề và cùng giải quyết vấn ñề trên lớp

GV chỉ trình bày trên lớp các khái niệm, nguyên lý, ý tưởng SV tự học các nội

dung có tính suy luận và ứng dụng

Kiểm tra vấn ñáp ở ñầu các buổi học

Chỉ ñịnh nội dung SV phải chuẩn bị cho buổi học kế tiếp

Thi tự luận hoặc làm bài tập lớn, có tính ñiểm kiểm tra thường xuyên trên lớp

0.3.TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tham khảo chính:

[1] Đoàn Hòa Minh – GIÁO TRÌNH TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – ĐHCT – 2006

[2] Richard E.DuBroff… Electromagnetic Concepts and Applications- Prentice Hall

International, Inc

Tài liệu tham khảo thêm:

[1] Ngô Nhật Ảnh- Trương Trọng Tuấn Mỹ - Trường Điện Từ- Trường ĐHKT

TPHCM-2000

[2] Kiều Khắc Lâu – Lý Thuyết Trường Điện Từ- NXB Giáo Dục-1999

[3] Nguyễn Bình Thành- Nguyễn Trần Quân- Lê Văn Bảng - Cở Sở Lý Thuyết

Trường Điện Từ - NXB ĐH&THCN-1969

[4] Nguyễn Đình Trí – Tạ Quang Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh – Toán học cao

cấp – NXB Giáo Dục - 2003

LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Mục tiêu:

Chương này giúp cho người học:

− Hiểu ñược các khái niện chung về trường vô hướng và trường vectơ

− Ôn lại một số kiến thức và rèn luyện các kỹ năng toán học cần thiết, làm nền tảng cho các chương sau

− Hình thành khái niệm chung về trường ñiện từ, hiểu vận dụng ñược một số ñại lượng ñặc trưng cơ bản của trường ñiện từ

− Các kiến thức và kỹ năng toán học ñã yêu cầu ở phần mở ñầu

− Các kiến thức vật lý ñại cương

Một trường vô hướng hoàn toàn xác ñịnh nếu ta có hàm của trường:

(dĩ nhiên, cũng có thể xác ñịnh bằng các tọa ñộ trụ hoặc cầu)

Nói cách khác, tại mọi ñiểm M trong miền Ω tương ứng với một giá trị xác ñịnh của hàm u(M)

Nếu miền xác ñịnh là một mặt phẳng P, khi ñó hàm của trường là hàm 2 biến:

Sau ñây, ta chỉ nghiên cứu các trường vô hướng mà giá trị của hàm u(M) không phụ thuộc vào thời gian t, với mọi ñiểm M(x,y,z), gọi là trường ổn ñịnh hay trường dừng

Chương 1

1.1 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG (Scalar field)

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 4

1.1.2 Mặt ñẳng trị (Level surface)

Xét một trường vô hướng u = u(x,y,z) xác ñịnh trong miền Ω Quỹ tích những ñiểm mà tại ñó giá trị của trường bằng một hằng số C nào ñó ñược gọi là mặt ñẳng trị của trường ứng với giá trị C

Từ ñịnh nghĩa trên, ta có phương trình của mặt ñẳng trị là:

1.1.3.1 Định nghĩa Gradient: Tại mỗi ñiểm trong trường vô hướng cho bởi hàm

u,x

uix

u

∂

∂+

∂

∂+

1.1.3.2 Vi phân toàn phần của một trường vô hướng:

Trong một trường vô hướng, từ một ñiểm M(r) ta di chuyển ñến ñiểm M'(r), giả sử 2 ñiểm này rất gần nhau, khi ñó ñoạn dịch chuyển có thể biểu diễn bằng vectơ d hướng từ

M ñến M' (hình 1.1), ta có:

dr = '

M M

z

Hình 1.1

C’

Nói chung, M và M' nằm trên 2 mặt ñẳng trị khác nhau, nghĩa là khi ñi từ M ñến M' giá trị của trường thay ñổi một lượng là:

phân toàn phần của trường vô hướng

Về mặt toán học ta có thể viết:

dzz

rudyy

rudxx

rurdu

∂

∂+

∂

∂+

1.1.3.3 Đạo hàm theo hướng (Directional Derivatives)

Biểu thức (1.8) ñược viết lại:

dltrugradr

trugradl

ru

)

()

∂

∂ ( )

biểu diễn tốc ñộ biến thiên

của vectơ gradu(r) theo hướng ñó

1.1.3.4 Tốc ñộ biến thiên cực ñại của trường vô hướng

kỳ t Gọi α là góc giữa t và gradu(r) ở ñiểm M Phương trình (1.11) có thể viết lại:

)cos(

)()

cos(

)()

()

(

α

trugradt

rugradl

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 6

Ý nghĩa: Vectơ Gradient tại mỗi ñiểm trong trường vô hướng u cho biết phương mà dọc theo phương ấy tốc ñộ biến thiên của trường có giá trị tuyệt ñối cực ñại

1.1.3.5 Hướng của vectơ gradient và mặt ñẳng trị

tuyến với mặt ñẳng trị tại M và:

0)()()

()

(r = gradu r dr=u M| −u M =

nhau, nhgĩa là: Gradient của một trường u tại mỗi ñiểm M luôn cùng hướng với pháp tuyến của mặt ñẳng trị ñi qua ñiểm ñó (Hình 1.2)

1.1.3.6 Tích phân ñường của Gradient

Gradient của một trường vô hướng là một vectơ, tích phân ñường của nó là:

a b

b a b

a b

l

)(udl

]t)

rugrad[l

Pt(1.14) cho phép ta tính tích phân ñường của Gradient của một trường vô hướng bằng

1.2.1 Định nghĩa :

Trường vectơ là một phần không gian mà tương ứng tại mỗi ñiểm của nó có một ñại lượng vectơ xác ñịnh (biểu ñiễn bởi một vectơ)

Ví dụ: - Điện trường; từ trường

- Trên một dòng nước chảy (vận tốc không ñổi theo thời gian), tại mỗi ñiểm trong dòng nước cũng có một vectơ vận tốc xác ñịnh Vậy trường vận tốc dòng nước cũng là một trường vectơ

Một trường vectơ hoàn toàn xác ñịnh nếu ta biết hàm vectơ của trường:

1.2 TRƯỜNG VECTƠ (Vector field)

V = V (x,y,z) =V (r) = V (M) (1.15)

hệ qui chiếu vuông góc ta có thể biểu diễn:

Sau ñây ta chỉ xét các trường vectơ dừng hay ổn ñịnh tức là những trường vectơ mà hàm

y , ta có một trường phẳng

1.2.2 Đường dòng:

Trong một trường vectơ, ñường dòng của trường là các ñường cong C mà mọi tiếp ñiểm trên ñường cong ñó, tiếp tuyến của nó cùng phương với vectơ của trường tại ñiểm ñó (hình 1.3)

Ví dụ: - Các ñường sức trong ñiện trường hay từ trường

- Đường dòng chảy của dòng nước

Chiều của ñường dòng là chiều của vectơ trường tại mỗi ñiểm

1.2.3 Thông lượng (Flux)

Ta qui ước pháp tuyến dương của mặt S tại một ñiểm M trên mặt S là pháp tuyến hướng

ra phía lồi ñối với mặt không kín và hướng ra phía ngoài ñối với mặt kín Nếu S là mặt phẳng thì chiều pháp truyến dương là chiều cụ thể mà ta phải chỉ ra

1.2.3.2 Định nghĩa thông lượng

vectơ V (M) = V (x,y,z) = V (r)

ñổi trên mặt S Thông lượng qua mặt S, ký hiệu là Φ ñược ñịnh nghĩa bởi biểu thức:

Φ = S.|

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 8

Bây giờ, giả sử S là một mặt cong và V biến thiên theo M, trong hệ qui chiếu vuông

Ta chia mặt S ra thành n mảnh vô cùng nhỏ nhỏ không dẫm lên nhau Gọi tên và cả diện tích của các mảnh ấy là dS1 , , dSn Nếu các mảnh dSi ñủ nhỏ, sao cho có thể coi chúng như các mặt phẳng và vectơ V tương ứng với mọi ñiểm trên dSi là không ñổi Do ñó

dΦi ≈ dSi.| V(Mi)| cos(n (Mi), V(Mi)) = V(Mi).dSi

Trong hệ tọa ñộ trực chuẩn dSi dydz.i dxdz.j dxdy.k

rr

rr

++

i i i i

i i i

i i n

sdVz)dxdyy,

R(x,z)dzdx y,

Q(x,z)dydzy,

Các ñịnh lý này ñã ñược chứng minh trong giáo trình toán cao cấp [4], nên ở ñây ta chỉ nhắc lại, không chứng minh, nhầm ñể vận dụng trong các phần sau

QdyPdxdxdy

y

Px

Ta cũng có ñịnh lý rằng: Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các ñạo hàm riêng cấp một của chúng trong một miền ñơn biên D, thì ñiều kiện ắt có và ñủ ñể tích phân ñường

y

Px

Qdxdzx

Rz

Pdydzz

Nếu S là một mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa ñộ, chẳn hạn nến S song song với mặt phẳng Oxy, ta có z = hằng số, nên dz = 0 Khi ñó, pt(1.24) trở thành phương trình (1.22)

1.2.4.3 Định lý Ostrogradski

Định lý Ostrogradski biểu diễn mối quan hệ giữa tích phân bội ba và tích phân mặt

Định lý: Nếu các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên miền V thì ta có công thức:

∂

∂+

∂

∂

S W

RdxdyQdzdx

Pdydzdz

dxdyz

Ry

Qx

P

trong ñó S là biên của miền V, tích phân mặt lấy theo mặt ngoài của S (Vectơ pháp tuyến

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 10

1.2.5 Divergence

mặt cong hai phía trong trường ấy, thông lượng qua mặt cong S ñược xác ñịnh bởi công thức (1.21), ta viết lại:

=Φ

S

z y

V

S

z y

xdydz V dzdx V dxdy)

trong ñó, Vn là hình chiếu của vectơ V lên hướng n, Φ là một số ñại số

thì Φ ñặc trưng lưu lượng của luồng nước qua mặt cong S

Gọi W là miền giới hạn bởi mặt cong S, theo ñịnh lý Ôxtrôgratxki ta ñược:

dzdxdyz

Vy

Vx

Vdxdy

VdzdxVdydz

V

W

z y x

S

z y

∂

∂+

∂

∂

=+

∂

∂+

∂

∂

z

Vy

Vx

Công thức (1.28) ñược viết lại:

dzdxdyVdivdxdy

VdzdxVdydz

V

W S

z y

dV

rr

r

(1.30b) pt(1.30a) và (1.30b) chính là nội dung của ñịnh lý Divergence

1.2.6 Trường ống:

- Điểm nguồn: Giả sử divV(M) > 0, vì divV(M) liên tục, ta có thể tìm một miền lân cận khá bé của M, trong ñó divV > 0 Giả sử W là một miền trong lân cận ñó và S là biên của nó Từ pt(1.30) ta suy ra thông lượng Φ qua mặt S theo chiều từ trong ra ngoài

là một số dương Nói cách khác, thông lượng ñi vào mặt S ít hơn thông lượng xuất phát

từ M ñi ra qua mặt S Điểm M lúc ñó ñược gọi là ñiểm nguồn

- Điểm rò: Nếu divV(M) < 0 thì thông lượng qua mặt S theo hướng ñi vào lớn hơn ñi ra Trường hợp này, M là ñiểm rò

Để thấy rõ ý nghĩa của divergence, ta khảo sát một luồng nước chảy Ta hình dung có một mặt cong kín trong luồng nước, khảo sát lượng nước vào và ra xuyên qua mặt kín ñó Nếu mặt kín có bao bọc một ñiểm nguồn nước, thì lượng nước chảy ra nhiều hơn lượng

lượng nước chảy ra; nếu mặt kín không có ñiểm nguồn và cũng không có lỗ rò thì lượng nước ñi vào sẽ bằng lượng nước ñi ra khỏi mặt kín

gọi là trường ống Nói cách khác, trường ống là một trường vectơ không có ñiểm nguồn

và ñiểm rò

Để hiểu ý nghĩa của khái niệm trường ống, ta xét một ống dòng, tức là phần không gian

với một luồng nước chảy thì ống dòng chính là một dòng nước (chẳng hạn, dòng nước từ

ống dòng là S0 Gọi S là mặt cong kín tạo bởi S0, S1 và S2 (Hình1.5)

0dxdydzVdivds

VdsVdsVdsVdxdy)Vdzdx Vdydz

(V

W S

n S

n S

n S

n S

z y

x

2 1

0

=

=+

+

=

=+

+

=

Trên mặt S0 mọi pháp tuyến ñều vuông góc với tiếp tuyến của mặt, và cũng vuông góc

0dsV

V

Vậy, trong một ống dòng, thông lượng tính theo chiều của ñường dòng (chiều của vectơ tiếp tuyến với ñường dòng) qua mọi tiết diện của ống ñều không ñổi nếu trường vectơ ñã cho là trường ống Thông lượng vào ở ñầu này của ống luôn luôn bằng với thông lượng

ra ở ñầu kia Trong ống không có sự tăng thông lượng (không có ñiểm nguồn) và cũng

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 12

1.2.7 Lưu số (Circulation) và vectơ xoáy (Curl)

Lại xét một trường vectơ xác ñịnh bởi hàm vectơ:

V = Vxi + Vyj + Vzk = Pi + Qj + Rk

và L là một ñường cong kín trong trường

L

dl.V

RdzQdyPdxC

L

++

Qdxdzx

Rz

Pdydzz

Qy

RRdz

Qdy

Pdx

S L

y

Px

Qx

Rz

Pz

Qy

n L

ds.Rods

RoRdz

Qdy

ky

Px

Qjx

Rz

Piz

Qy

RV

S L

rrr

r

∫∫

là ñiểm không xoáy

L

RdzQdy

nước bình thường, công tổng cộng sinh ra khi ñi dọc theo một ñường cong kín bằng 0, vì

công sinh ra khi ñi “thuận chiều” luồng nước bằng với công cản khi ñi dọc theo phần

“ngược chiều” luồng nước (hình 1.6)

Nếu trong luồng nước có một xoáy nước tại ñiểm M và L là một ñường cong kín khá bé bao quanh M, thì ta thấy ngay, công ñó không triệt tiêu: nếu ñi theo L thuận chiều xoáy thì sinh ra một công dương, còn nếu ñi ngược chiều xoáy thì sinh ra một công âm

jx

i

∂

∂+

∂

∂+

chỉ là các ký hiệu biểu diễn phép tính ñạo hàm riêng, thật ra

máy móc các qui tắc tính toán như ñối với một vectơ thông thường

1.3.2 Biểu diễn grad u, div Vvà rot V bằng toán tử ∇

Gradient:

uk

uj

uiu

1.3 TOÁN TỬ HAMILTON VÀ TOÁN TỬ LAPLACE

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 14

Divergence:

z

Vky

Vjx

ViV

∂

∂+

∂

∂+

Vkx

Vz

Vjz

Vy

ViV

Ta có: ∇.V =0 ⇔⇔⇔ V là trường ống

0V

2 2

zyx

∂

∂+

∂

∂+

z

uy

ux

uu

∂

∂+

∂

∂+

uy

ux

uu

2 2 2 2 2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

Trường ñiện từ bức xạ là sự thống nhất hai hình thái vận ñộng sóng và hạt photon của

tính trong chân không

Từ ñịnh nghĩa trên, ta triển khai thêm một số ý như sau:

- Trường ñiện từ là một thực thể vật lý và thuộc tính cơ bản của một thực thể vật lý là tồn tại và vận ñộng khách quan, trước hết là theo ý nghĩa ñộng lực học

V div V

=

∇

V rot V

x =

∇

1.4 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

- Để thấy rõ cơ chế tương tác của một thực thể vật lý cơ bản, ta phải xét nó qua sự tương tác với các thực thể khác Vậy, việc nghiên cứu về trường ñiện từ luôn gắn liến với các thực thể khác tham gia tương tác với nó Trường ñiện từ và thực thể tương tác với nó tạo thành một hệ thống vật lý Ta có hai mô hình hệ thống vật lý: hệ thống trường lượng tử - hạt mang ñiện và hệ thống trường liên tục – môi trường chất

- Hệ thống trường lượng tử - hạt mang ñiện: là một trong các mô hình cơ bản về hệ tương tác giữa trường ñiện từ và các dạng vật chất khác Hạt cơ bản là một thực thể hoàn chỉnh không chia nhỏ ñược, tức ta không biết cấu trúc nội tại của hạt Do ñó, theo mô hình này,trường ñiện từ phải trao ñổi những lượng tử năng lượng, ñộng lượng,… nhất ñịnh Với mô hình tương tác trường – hạt, trường và hạt có những ñiểm giống nhau (ví dụ: sự tương tác , các thông số,… ñược lượng tử hóa), tuy nhiên cũng có những ñiểm khác nhau: hạt rất tập trung ở một ñiểm trong không gian còn trường thì phân bố rải ra và

có thể tách ra những lượng tử trường; hạt chuyển ñộng với những vận tốc khác nhau, thường nhỏ hơn c, nhưng trường và các lượng tử trường luôn luôn chuyển ñộng với vận tốc c trong chân không với mọi hệ qui chiếu

- Hệ thống trường liên tục – mội trường chất liên tục: là hệ tương tác thường ñược xét trong thực tế Môi trường chất là một tập hạt liên kết theo một qui luật nhất ñịnh (như cấu trúc nguyên tử, phân tử, tinh thể,…) Trong cấu trúc chất thực tế, các hạt thường cách nhau những khoảng chân không rất lớn so với kích thước hạt, nhưng lại vô cùng nhỏ so với kích thước thông thường trong kỹ thuật Do cấu trúc của chất thực tế rất gián ñoạn, theo ñó, trường cũng phân bố không ñều, tập trung mạnh ở lân cận các hạt và yếu dần ở vùng giữa các hạt Nhưng trong thực tế các thiết bị kỹ thuật ñiện-ñiện tử và các dụng cụ

ño ñều hoạt ñộng theo những giá trị trung bình của trường và môi trường trong những vùng ñủ lớn so với kích thước của hạt Vì vậy, trong giáo trình này, ta khảo sát trường ñiện từ theo theo quan niệm liên tục hóa môi trường và trường ñiện từ trong không gian

và thời gian Ta sẽ “dàn ñều” các hạt chất ra miền lân cận thành một mô hình chất liên tục hóa và trung bình hóa ñịa phương Mô hình phân bố này ñược gọi là môi trường chất Theo ñó trường ñiện từ cũng ñược quan niệm liên tục hóa theo nghĩa trung bình ñịa phương Tương tác của hệ cũng ñược liên tục hóa, không gian và thời gian cũng ñược liên tục hóa theo Từ ñó, ta có thể mô tả tương tác của hệ dưới dạng những phương trình ñạo hàm riêng của những biến liên tục

- Cũng cần nói thêm rằng, tính liên tục của trường ñiện từ thể hiện ở cấu trúc sóng và tính gián ñoạn của nó thể hiện ở cấu trúc lượng tử (hạt) Những tương tác cực nhanh hoặc ở những dải tần cực cao, ngoài dải tần vô tuyến ñiện, như ở dải tần ánh sáng, thực nghiệm và lý thuyết cho cho thấy rõ nét sự ñồng nhất giữa hai hình thái vận ñộng sóng và hạt photon của trường ñiện từ bức xạ Mỗi lượng tử bức xạ (photon) của trường mang một năng lượng ñược tính theo công thức Einstein:

Từ dải tần vô tuyến ñiện trở xuống, hiện tượng lượng tử hoàn toàn không rõ nét và trường ñiện từ thể hiện tính chất sóng là chính Đây cũng là lý do mà ta chỉ khảo sát mô hình liên tục của trường ñiện từ

1.4.2 Hai mặt ñiện và từ của trường ñiện từ :

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 16

Phân tích tương tác của trường ñiện từ lên môi trường chất trong một hệ qui chiếu quán tính ta thấy trường ñiện từ có hai mặt (hay hai luật) tương tác với các hạt hoặc vật nhỏ mang ñiện tuỳ theo cách chuyển ñộng của vật trong hệ:

Đó là các lực Lorentz của trường ñiện từ tác dụng lên vật mang ñiện Ta nói trường ñiện

từ có hai mặt thể hiện và gọi hai mặt thể hiện ấy lần lượt là trường ñiện và trường từ

Ta cũng biết rằng, trường ñiện từ ñược sinh ra bởi các hạt hay vật mang ñiện tích, trong

ñó, trường từ chỉ xuất hiện khi các hạt hoặc vật mang ñiện chuyển ñộng Như vậy, dòng ñiện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang ñiện nên cũng tạo ra trường từ

Cần chú ý rằng, trường ñiện và trường từ cùng các lực Lorentz và năng lượng của chúng

là những khái niệm tương ñối Bởi vì sự chuyển ñộng của các vật mang ñiện là tương ñối, phụ thuộc vào hệ qui chiếu mà ta xét Trường ñiện từ vẫn tồn tại ñộc lập với hệ qui chiếu, nhưng tác dụng ñộng lực học của nó sẽ khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau Hơn nữa, trường ñiện và trường từ có thể chuyển hóa lẫn nhau, trường ñiện từ là một thực thể thống nhất, toàn vẹn, ta chỉ có thể khảo sát từng mặt tác dụng ñiện hoặc từ chứ không thể tách riêng ñiện trường và từ trường thành hai thực thể khác nhau

1.4.3 Các ñại lượng cơ bản ñặc trưng cho trường ñiện từ

Ta có thể chia ra làm hai loại thông số:

- Thông số biến trạng thái: là các ñại lượng biểu diễn trạng thái và quá trình ñộng lực học của hệ (ví dụ: năng lượng, ñộng lượng,…) hoặc biểu diễn năng lực tương tác của các thành viên của hệ (ví dụ: ñiện tích, vectơ cường ñộ ñiện trường, vectơ cảm ứng từ,…)

- Thông số hành vi: là các ñại lượng biểu diễn tính qui luật các hoạt ñộng, hành vi của một thực thể trong quá trình tương tác với các thực thể khác (ví dụ: hệ số phân cực, các toán tử,…)

Như vậy, ñiện tích có giá trị là một số thực Trong hệ thống SI, ñơn vị của ñiện tích là Coulomb (C), ñiện tích của một electron là e = -1,6.10-19C

ñiện, ño một thuộc tính chứ không phải là một chất gì tạo nên hoặc mang trong vật

Điện tích ñiểm: Một vật tích ñiện có kích thước rất nhỏ so với vùng không gian khảo sát

Một ñiện tích ñiểm dùng ñể xác ñịnh sự tồn tại và ño khả năng tác dụng lực của trường ñiện từ gọi là ñiện tích thử

Xét một ñiện tích thử ∆q ñứng yên tại một ñiểm M trong một hệ qui chiếu quán tính, nếu vật mang ñiện chịu tác dụng một ñiện lực ∆F thì ta nói lân cận ñiểm M có tồn tại một trường ñiện từ

tính bằng lực ñiện từ tác dụng lên một ñơn vị ñiện tích dương ñứng yên tại ñiểm ấy

E.dqFdq

chịu tác dụng một lực Lorentz về từ (mà ta có thể phân biệt với lực Lorentz về ñiện), ta bảo rằng lân cận vật ñó tồn tại một trường từ (hiểu là một thể hiện của trường ñiện từ) Một vật mang ñiện chuyển ñộng cũng tương ñương với một dòng ñiện chạy trong một dây dẫn Vậy, một ñoạn dây dẫn có dòng ñiện chạy qua ñặt ở vị trí ñang xét cũng chịu tác dụng một Lorentz về từ

Một kim nam châm ñược ñặt trong vùng ñó cũng chịu tác dụng lực từ, ta biết nam châm

có những dòng ñiện phân tử hoặc spin

Thực nghiệm cho thấy, lực từ dFB có phương vuông góc với v và vuông góc với một

ñiện và kim nam châm, mà là chiều ñặc trưng riêng của trường ñiện từ về mặt tác dụng lực Lorentz từ

Trên cơ sở khảo sát quan hệ tỉ lệ giữa lực từ và vận tốc, người ta ñã thành lập ñược biểu thức:

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang 18

Trong ñó, dấu “x” là tích hữu hướng của hai vectơ B là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào trường ñiện từ

1.4.3.4 Phần tử dòng ñiện:

Xét một dây dẫn có tiết diện vô cùng nhỏ so với chiều dài của nó có dòng ñiện chạy qua,

ta gọi là dòng ñiện dài hay dòng ñiện dây tóc

r

vô cùng nhỏ có chiều

là chiều dòng ñiện, sao cho dl có thể coi như ñoạn thẳng

Đại lượng vectơ Idl

r

ñược gọi là phần tử dòng ñiện

Trong ñó I là cường ñộ dòng ñiện

thời gian dt lượng ñiện tích tải qua tiết diện dây dẫn là dq, cường ñộ dòng ñiện trên dây dẫn là i = dq/dt

dt

dql

vrrvr

M 3 M 0

r r 4

q E

πε

=

2 2 2

a) Xét về mặt thế năng thì trường ñiện là một trường vô hướng Hãy viết phương trình của mặt ñẳng thế (tương ứng với một giá trị c nào ñó) và chứng minh trường ñiện là một trường thế

Fdr

I

ldr

ñặt ñiện tích q là ñiểm nguồn (giả sử q>0)

f) Chứng minh trường ñiện thế là một trường ñiều hòa

1.2 Tính divergence và curl của trường vận tốc phẳng tại mỗi ñiểm của một vật quay tròn với vận tốc góc ω xung quanh trục Oz, theo hướng ngược chiều kim ñồng hồ

1.3 Tính thông lượng của vectơ V { Vx, Vy, Vz} gởi qua diện tích của một khối trụ kín:

x2 + y2 = R2, chiều cao của hình trụ này là h

trong hệ tọa ñộ cầu Xác ñịnh tốc tăng của hàm này theo hướng của vectơ Ar =rr0 +φr, rr0

và φr là vectơ ñơn vị của tọa ñộ r và φ, tại ñiểm P(2,π/4,0)

1.5 Trong hệ tọa ñộ trực chuẩn, dòng nước chảy theo phương Ox với vận tốc là v=3yz lít/phút.m2 Tính lưu lượng nước chảy qua một diện tích hình chữ nhật với 4 góc là (0,0,0), (0,3,0), (0,0,2) và (0,3,2), ñơn vị tính trên các trục là m

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 20

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG

Mục tiêu:

Chương này nhằm hình thành các khái niệm, các nguyên lý, ñịnh luật cơ bản về trường ñiện từ; giới thiệu các phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về trường ñiện từ

Kiến thưc nền:

- Toàn bộ kiến thức và phương pháp ñã học chương trước;

- Kiến thức và kỹ năng toán học như ñã yêu cầu ở phần mở ñầu

Trường ñiện từ dừng là trường mà các ñại lượng ñặc trưng cho nó không phụ thuộc thời gian và có dòng ñiện không ñổi tồn tại trong không gian của trường Như ta biết, trường từ ñược sinh ra do các hạt mang ñiện chuyển ñộng hay dòng ñiện Vì vậy, khái niệm trường ñiện từ tĩnh là không chặt chẽ, không hoàn toàn chính xác Tuy nhiên, nếu xét riêng từng mặt tác dụng ñiện hoặc từ Ta có thể ñịnh nghĩa các khái niệm trường ñiện tĩnh và trường từ tĩnh

2.1.1 Định nghĩa trường ñiện tĩnh

Trường ñiện tĩnh là một thể hiện của trường ñiện từ gắn với môi trường mang ñiện tích phân bố tĩnh trong một hệ qui chiếu quán tính Đó là trạng thái mà hai mặt ñiện và

từ có thể tồn tại hoàn toàn riêng lẻ Nó thể hiện những hiện tượng ñơn ñộc về ñiện mà không kèm theo những thể hiện về từ

2.1.2 Định luật Coulomb

Khi một vật tích ñiện sẽ sinh ra xung quanh nó một trường ñiện (ta xét riêng về mặt trường ñiện của trường ñiện từ) Đễ ñơn giản, ta xét một ñiện tích ñiểm q1 ñứng yên tại một ñiểm M1 trong một hệ qui chiếu quán tính Trường ñiện do nó sinh ra là một trường ñiện tỉnh Trong cùng hệ qui chiếu ñó, tại ñiểm M2 ta ñặt một ñiện tích ñiểm

q2 Như vậy trường ñiện do q1 sinh ra tại ñiểm M2 , có vectơ cường ñộ trường ñiện là

1

E , sẽ tác dụng lên q2 một lực là F12 Ngược lại, trường ñiện do q2 sinh ra tại ñiểm

M1, có vectơ cường ñộ trường ñiện là E 2, sẽ tác dụng lên q1 một lực là F21 (hình2.1) Định luật Coulomb:

Điện lực do ñiện tích ñiểm q1 tác dụng lên ñiện tích q2 ñặt cách q1 một khoảng R là:

0 2 0

2 1

12 r

R 4

q q F πε

Ở ñây, r0 là vectơ ñơn vị hướng từ q1 ñến q2; εεεε0 = 8,854.10-12

F/m là hằng số ñiện môi tuyệt ñối của chân không (permittivity of free space)

CHƯƠNG 2

2.1 TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

Khi q1 và q2 có ñơn vị là Coulomb (C), R có ñơn vị là m, thì F12có ñơn vị là Newton (N)

Tương tự, F21lực do q2 tác dụng lên q1 ngược chiều và có ñộ lớn bằng với lực do q1tác dụng lên q2

q q

0

1 r R 4

q

q

3 0

= πε

N 1 k

N 1 k k k

3 k 0

k

E R

R 4

Hình 2.2

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 22

2.1.3 Các hình thức phân bố ñiện tích

Pt(2.6) mô tả trường ñiện sinh ra bởi một tập các ñiện tích ñiểm rời rạc Chúng ta sẽ

mở rộng công thức này cho trường hợp trường ñiện sinh ra bởi một môi trường chất có ñiện tích phân bố một cách liên tục

2.1.3.1 Trường ñiện của một vật thể có phân bố ñiện tích khối

Xét một môi trường chất là một vật có thể tích V trong hệ qui chiếu quán tính (Hình2.3) Gọi r là vectơ tọa ñộ của một ñiểm N bất kỳ nằm trong vật thể, r M là vectơ tọa ñộ của ñiểm M mà ta sẽ tính cường ñộ ñiện trường

q r

Trong trường hợp này ∆V biến thành ñiểm có tọa ñộ r

b Trường ñiện sinh ra bởi một vật thể có phân bố ñiện tích khối

Xét một thể tích vi cấp dV có tọa ñộr nằm trong một vật thể có mật ñộ ñiện tích khối

ρV, ñiện tích tương ứng là: dq = ρV dV, Vectơ cường ñộ ñiện trường do ñiện tích dq sinh ra tại ñiểm M có tọa ñộ là r M :

R R

dV r R

R

dq r

E

3 0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

a Mật ñộ ñiện tích mặt

Có nhiều trường hợp mà ñiện tích chỉ phân bố mặt ngoài của một vật thể Xét 1 ñiểm

N bất kỳ có tọa ñộ là r trên mặt vật thể Tưởng tượng một diện tích ∆S bao quanh

ñiểm này có ñiện tích tương ứng là ∆q (Hình 2.4) Mật ñộ ñiện tích mặt tại ñiểm có tọa ñộ r là:

dS

dq S

q r

Hình 2.4

b Trường ñiện của một vật thể có phân bố ñiện tích mặt

Trường ñiện do ñiện tích dq chứa trong diện tích vi cấp ds sinh ra tại ñiểm M có tọa

ñộ r M là:

R R

dS r R

R

dq r

E

0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

Khi ñiện tích chỉ phân bốtrên một ñường dây, sự phân bố ñiện tích ñược mô tả bởi mật

ñộ ñiện tích ñường Xét 1 ñiểm N bất kỳ có tọa ñộ là r trên ñường dây l Tưởng tượng một ñoạn dây nhỏ có chiều dài ∆l xung quanh ñiểm này có ñiện tích tương ứng

là ∆q (Hình 2.5.a) Mật ñộ ñiện tích ñường tại ñiểm có tọa ñộ r là:

dl

dq l

q r

Hình 2.5.a

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 24

b Trường ñiện của một vật thể có phân bố ñiện tích ñường

Trường ñiện do ñiện tích dq chứa trong chiều dài vi cấp dl sinh ra tại ñiểm M có tọa ñộ

M

r là:

R R

dl r R

R

dq r

E

0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

Mặc dù các cách phân bố ñiện tích khác nhau sinh ra các trường ñiện khác nhau, nhưng trường ñiện tĩnh có các tính chất chung như sau:

2.1.4.1 Lưu số của trường ñiện tĩnh

Theo ñịnh lý Stokes và pt(1.36) , lưu số của vectơ cường ñộ ñiện trường E dọc theo một ñường cong kín L trong diện trường là:

ds r E x dl

r E

S L

)].

( [ ).

với S là diện tích giới hạn bởi ñường cong kín L

Trước tiên, ta xét trường ñiện E sinh ra bởi một ñiện tích ñiểm q Ta có biểu thức của

− +

−

− +

− +

− πε

= πε

=

2 2 0 2

0 2

0

0 0

0 0

3

0 [( x x ) ( y y ) ( z z ) ]

k ) z z ( j ) y y ( i ) x x ( 4

q R R 4

q )

(

Vì trường ñiện sinh ra do một hệ ñiện tích ñiểm là chồng chất của các trường ñiện sinh

ra bởi từng ñiện tích ñiểm riêng lẻ và tích phân của một tổng bằng tổng tích phân của từng số hạng, nên ta có thể mở rộng pt(2.18) và pt(2.19) cho trường hợp trường ñiện sinh ra bởi một tập hợp nhiều ñiện tích ñiểm hoặc một vật có phân bố ñiện tích liên tục

Kết luận: Lưu số của vectơ cường ñộ ñiện trường dọc theo một ñường cong kín luôn bằng 0, pt(2.18) và pt(2.19) nghiệm ñúng cho mọi trường hợp Vậy, ñiện trường là một trường không xoáy

q ñược ñặt tại ñiểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và E ñược tính tại ñiểm M(x,y,z) Thay E vào tích hữu hướng ∇ x E ta ñược:

E x

và kết quả là:

ds r E x dl

r E

S L

)].

( [ ).

Pt(2.19.a) và (2.19.b) lần lượt là ñịnh luật Ampere lưu số cho trường ñiện dạng tích phân và dạng ñiểm

x S

dV E dxdydz E dxdy

E dzdx E dydz E ds E

− +

−

− +

− +

− πε

∇

=

∇

2 2 0 2

0 2

0

0 0

0

0 [( x x ) ( y y ) ( z z ) ]

k ) z z ( j ) y y ( i ) x x ( 4

q )

(

E

.

2 2 0 2

0 2

0

0 0

2 2 0 2

0 2

0

0 0

2 2 0 2

0 2

0

0 0

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

z z y

y x

x

z z z

q

z z y

y x

x

y y y

q

z z y

y x

x

x x x

q

− +

− +

−

−

∂

∂ +

− +

− +

−

−

∂

∂ +

− +

− +

Tính các ñạo hàm riêng phần và rút gọn, ta ñược:

E

V S

Trong ñó, V là thể tích ñược giới hạn bởi mặt kín S

Do tính chất của tích phân (tích phân của một tổng bằng tổng tích phân của từng số hạng) và nguyên lý chồng chất ñiện trường, ta có thể mở rộng Pt(1.29) cho trường hợp

R

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 26

trường ñiện sinh ra bởi một tập các ñiện tích ñiểm hay một phân bố ñiện tích liên tục nằm ngoài mặt kín S

Kết luận: Thông lượng của vectơ cường ñộ trường ñiện gởi qua một mặt kín S:

0 0

Trước tiên, ta cũng xét trường hợp trường ñiện do một ñiện tích ñiểm sinh ra (hình2.7)

Ta tưởng tượng một mặt cầu rất nhỏ S1, có bán kính là r1, bao quanh q và nằm gọn trong mặt kín S Gọi V01 là thể tích của miền giữa 2 mặt S và S1 Chiều của các pháp tuyến dương ñược chọn hướng ra ngoài miền V01 như hình vẽ (n trên S và n1 trên

S1) Vì q nằm ngoài miền V01, nên áp dụng pt(2.21), ta ñược:

.

0

S S

V

ds E ds E dv E

Suy ra:

0

2 1 2 1 0 1

3 1 1 0

) 4 )(

1 ( 4 4

.

1

q r r

q ds n r

r q ds E ds E

s S

Tổng quát: Ta xét trường ñiện E sinh ra do một phân bố ñiện tích bất kỳ, có những phần ñiện tích nằm trong và nằm ngoài mặt kín S, gọi Q là tổng ñiện tích nằm trong mặt kín S, ta có:

0 S

Q ds E

ĐỊNH LUẬT GAUSS DẠNG ĐIỂM:

Xét một trường ñiện E (rr)

r

ñược sinh ra bởi một phân bố ñiện tích bất kỳ Một cách tổng quát ta biểu diễn một phân bố ñiện tích bằng mật ñộ ñiện tích khối ρv Xét một thể tích V0 ñược bao bọc bởi mặt kín S0 Điện tích chứa bởi trong mặt kín S0 là:

∫

= 0

V

dv ) ( Pv

Áp dụng pt(2.24) trên mặt S0 , ta ñược: ∫ ∫ρ

ε

= ε

=

0

0 0

dv ) ( 1 Q s d ) (

d ) (

r r r r r

0

v V

r r

r r

( E

r r

2.1.5.1 Khái niệm về ñiện thế

Theo tính chất của trường ñiện tĩnh (2.1.4), xE

rr

∇ dọc theo một ñường cong kín luôn luôn bằng không Do ñó, trường ñiện là một trường thế Để thấy ñược ý nghĩa của trường thế ta sẽ tính công của vector cường ñộ ñiện trường khi di chuyển một ñơn vi ñiện tích dường ñi từ ñiểm A ñến B trong trường ñiện (Hình 2.8)

Giả sử ñi từ A ñến B theo ñường A1B và ñi từ B ñến A theo ñường B2A bất kỳ, như vậy ta ñược một ñường cong kín

Theo phương trình (2.19) ta ñược : ∫ = ∫ + ∫ = ∫ =

L A B B A S

dS E rot l

d E l

d E l

d E

1 2 ( )

0

v r v r r r

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 28

Suy ra: ∫ = − ∫ = ∫

B 1

A B 2 A A 2 B

l d E l d E l

d E

r r r r r

Ta cũng nhớ lại , tích phân ñường của grad của một trường vô hướng u cũng có tính chất này Phương trình (1.14) ñược viết lại :

∫ = −

B A

A

B [ u r )]

)]

r u [ l d ) ( u

r r

r r r

=

Giá trị u (r) ñược gọi là ñiện thế tại ñiểm M (r)

2.1.5.2 Điện thế tại một ñiểm trong ñiện trường:

Trước tiên ta xét trường hợp ñiện trường sinh ra do một ñiện tích ñiểm q ñặt tại vị trí

có toạ ñộ r r0 trong một hệ qui chiếu vuông góc, ta sé gọi ñiểm này là ñiểm nguồn Ta

sẽ thiết lập biểu thức tính ñiện thế u(rr) tại một ñiểm có toạ ñộ là rr, ta sé gọi là ñiểm trường (Hình 2.9) Khoảng cách từ ñiểm trường ñến ñiểm nguồn là : R= rr−rr0 Gọi R0

r

là vectơ ñơn vị hướng từ ñiểm nguồn ñến ñiểm trường

Mỗi ñiểm trường tương ứng với một ñại lượng vô hướng R Vì vậy ta cũng có thể xem khoảng cách từ ñiểm nguồn ñến các ñiểm trường là một trường vô hướng và mặt ñẳng trị của nó là các mặt cầu có tâm là ñiểm rr0 và bán kính là R

Ta có ,∇r.R là một vectơ luôn vuông góc với mặt ñẳng trị nên cùng phương với R0

vị trí mới M' có toạ ñộ là ( r + ∆ R R0 ) Ở ñây, R0 là vectơ ñơn vị trên hướng MM' và

∆ ñây ký hiệu biến thiên chứ không phải tóan tử Laplace

Lấy ñạo hàm R theo hướng MM' , ta ñược:

|

|

Hình 2.10 minh họa cách tính |∇.R| với giá thiết rằng M0 và M nằm trên mặt phắng Oyz, khi ñó các vòng tròn là các mặt cắt qua tâm của các mặt cầu ñắng trị

Kết quả ∇r.R là một vectơ ñơn vị vuông góc với mặt ñẳng trị

r r

=

Trong một trường tĩnh do một ñiện tích ñiểm sinh ra, ñiểm nguồn là cố ñịnh, hàm biểu diễn trường vô hướng u (rr) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách R (Từ ñiểm nguồn ñến ñiểm trường ) Ta có thể viết:

) R ( u ) (

R

) R ( u R ).

R ( u R ) R ( ) ( u

r r

r r r

0

RR4

qR

R4

qr

E

rr

rr

πε

=πε

=

Để ý rằng: [ ] [ ] [ ]1 2 0

0 1

R

r r

1 2 R r = − ∇ r

Thế vào biểu thức tính ñiện trường:

q R

q r

E

0

4 1

(2.31) Định nghĩa: Điện thế tại ñiểm trường M( )rr là:

( )

R

q r u

∇

−

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 30

So sánh pt(2.33) với (2.28) ta thấy có khác nhau ở dấu “-“ Để hai phương trình này giống nhau thì trong ñịnh nghĩa ñiện thế u ở pt(2.32) ta phải thêm vào dấu “-“ Tuy nhiên ñây chỉ là qui ước, ta vẫn ñịnh nghĩa ñiện thế u như ở pt(2.32) ñể phù hợp với các tính toán sau này

Trong trường hợp ñiện thế sinh ra do một tập hợp N ñiện tích ñiểm Mở rộng công thức (2.32) ta ñược:

Q r

Trong ñó RK là khoáng cách từ ñiện tích ñiểm thứ K ñến ñiểm trường mà ta xét

Trường hợp ñiện thế sinh ra bởi một phân bố ñiện tích liên tục goi dQ là trên một phân

bố vi cấp (thể tích dv, diện tích ds, ñộ dài dl) ñược coi như một ñiện tích ñiểm, áp dụng pt(2.34) với tổng ñược thay bằng tích phân trên miền có phân bố ñiện tích, ta ñược:

( ) = ∫

R

dQ r

B A

B A

l d r u l

d r E

r r r r r r

Ta ñã biết tính chất của gradient của một trường vô hướng (phương trình (1.14), ñó là:

B A

B u u l d r u

Vì ñường cong ta chọn là bất kỳ, và từ pt(2.36), ta nhận thấy lưu số của vectơ cường

ñộ ñiện trường (công của ñiện lực tác dụng lên một ñơn vị ñiện tích dương) khi ñi từ A ñến B không phụ thuộc vào ñường cong mà chỉ phụ thuộc vào ñiển ñầu và ñiểm cuối, ñây là một tính chất của trường thế

Xem lại các pt(2.32), (2.34), (2.35) ta thấy ñiện thế u( )rr tỉ lệ nghịch với khoảng cách

từ ñiểm trường ñến ñiểm nguồn Nếu ta cho B tiến ñến vô cực, RB → ∞ và uB → 0

Điều này hàm ý rằng, ñiện thế tại một ñiểm trường chính là hiệu ñiện thế giữa ñiểm

ñó với một ñiểm ñược chọn làm gốc ở vô cực (lý do tại sao ta không thêm vào dấu trừ trong công thức ñịnh nghĩa ñiện thế), cũng chính là công dịch chuyển một ñơn vị ñiện tích dương từ ñiểm ñó ra xa vô cực (lực tác dụng cùng chiều với chiều dịch chuyển nên công có giá trị dương)

Trong thực tế, ta có thể chọn một mặt ñẳng thế u0 nào ñó và qui ước ñây là gốc ñiện thế , nghĩa là gán cho u0=0 (mặt dù theo ñịnh nghĩa ñiện thế ở trên, u0 có thể khác 0)

và ñịnh nghĩa ñiện thế tại ñiểm bất kỳ khác bằng hiệu ñiện thế giữa ñiểm ñó và ñiểm bất kỳ trên mặt ñẳng thế u0 ( công của lực ñiện khi dịch chuyển một ñơn vị ñiện tích dương từ một ñiểm nào ñó trên mặt ñẳng thế u0 ñến ñiểm ñược xét) Từ pt(2.36) ta có thể tính công của ñiện lực khi dịch chuyển một ñiện tích q từ A ñến B trong ñiện trường:

=B

r r r

r r

r

Từ ñó ta cũng thấy rằng, nếu A và B cùng nằm trên một mặt ñẳng thế thì công của ñiện lực khi dịch chuyển một ñiện tích q từ A ñến B sẽ bằng 0

2.1.5.4 Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñiện thế:

Trong mục 2.1.5, hàm ñiện thế u( )rr ñược tính từ pt(2.32), (2.34) và (2.35) Bây giờ, ta trình bày một phương pháp khác, phương pháp này giúp ta tìm ñược hàm ñiện thế (và/hoặc cường ñộ ñiện trường) trong một miền ñược giới hạn một mặt kín mà các ñiều kiện ñầu ñã ñược biết

1 Phương trình Poisson và phương trình Laplace

Ta viết lại pt(2.25), ñịnh luật Gauss dạng ñiểm: ( ) ( )

0

V rr

E

r r

Với ρV( )rr là mật ñộ ñiện tích khối tại ñiểm ta xét

Thay thế E( )r u( )rr

r r r

.

ε

ρ r r

u r

r r

r r r r r

u r

r r

r r

Nếu trong miền khảo sát, ρV = 0 thì: ∆ r u( )r = 0 (2.38)

Phương trình (2.38) chính là phương trình Laplace

2 Các tính chất ñặc biệt nghiệm của phương trình Laplace

Nghiệm của phương trình Laplace có một số ñặc tính như sau:

(1) Nếu u( )rr thoả phương trình Laplace, thì giá trị u( )rr ở tâm của một khối cầu bằng với trung bình của các giá trị u( )rr ở trên mặt cầu ñó nghĩa là:

Chương 2: Trường Điện Từ tĩnh trong chân không Trang 32

r4

1

u r (2.39)

Với r1 là bán kính của mặt cầu S

(2) Gọi umin và umax lần lượt là các giá trị cực tiểu và cực ñại của u( )rr trên mặt S (giả sử u( )rr thoả phương trình Laplace) thì giá trị của u( )rr bên trong mặt S sẽ thoả bất phương trình:

umin ≤ u( )rr ≤ umax (2.40) (3) Nghiệm của phương trình Laplace (bên trong mặt S) không thể có các giá trị cực ñại cục bộ (Local maxima) hay cực tiểu cục bộ (Local minima)

(Ta sẽ không chứng minh các tính chất này, nếu cần xem tài liệu tham khảo [1], trang 227)

Tính chất thứ ba có thể minh hoạ bằng hình 2.11 Trong ñó một hàm hai biến f(x,y) xác ñịnh trên một vùng nào ñó của mặt phẳng Oxy, giá trị của hàm có thể biểu diễn theo trục Oz ( ñặt z=f(x,y)) Trong hình 2.11(a), f(x,y) có một giá trị cực ñại cục bộ tại ñiểm (xm,ym) bên trong miền xác ñịnh Vì vậy không thể là nghiệm của phương trình Laplace (mặc dù nó vẫn có thể là nghiệm của phương trình Poisson) Trong hình 2.11(b), hàm f(x,y) biến thiên ñều (smooth) và không có cực trị cục bộ, vì vậy hàm f(x,y) thoả mãn tính chất nghiệm của phương trình Laplace

Hình 2.11: (a) Một hàm có cực trị cục bộ

(b) Một hàm không có cực trị cục bộ

3 Các ñiều kiện bờ (Boundary conditions) và sự duy nhất nghiệm của phương trình Poisson và phương trình Laplace

Khi giải các phương trình Poisson (1.46) và phương trình Laplace (1.47) ta ñược một tập hợp vô số nghiệm sai khác nhau bởi những hàm của các biến x,y,z (trong toạ ñộ vuông góc) Chẳng hạn, nếu một hàm u nào ñó ñã nghiệm ñúng phương trình Poisson, thì khi cộng thêm vào nó những hàm có ñạo hàm cấp hai triệt tiêu (như k1x, k2y,

k3xy,k4yz,k5xyz, ) nó vẫn nghiệm ñúng phương trình Vì vậy phải dựa vào các ñiều kiện biết trước ñể có thể xác ñịnh nghiệm

a Điều kiện bờ Dirichlet

Thông thường, miền khảo sát ñược giới hạn bởi một mặt kín S, nếu hàm ñiện thế u( )rr

với các ñiểm trên mặt kín S ñược biết, ñó là ñiều kiện bờ Dirichlet, thì các phương trình Poisson và Laplace có duy nhất một nghiệm

Thực vậy, ta xét một miền ñược giới hạn bởi mặt kín S (hình 1.11) giả sử hàm ñiện thế

( )r

u r tại mỗi ñiểm trên mặt S bằng với hàm u0( )rr ñã biết :

S r S

ε

ρ r r

r r

.

0 V 0

V 2

2 1

2 e

r r

b Điều kiện bờ Neumann:

Điều kiện này là “Đạo hàm của hàm ñiện thế u( )rr theo hướng pháp tuyến dương nr

của mặt S tại mỗi ñiểm trên mặt S ñược biết trước”

Theo pt(1.11) ta có: ( ) ( )n E( )r n E ( )r

l

r u

n

r r

r r r r r r

E

r

là En, trên bờ S