Skkn toán học thpt (12)

1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp tính tích phân hàm ẩn tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong Chương trình mơn Tốn Trung học phổ thơng, phép tính Ngun hàm - Tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, tích phân ứng dụng rộng rãi thực tế tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, sở để nghiên cứu Giải tích đại Ngồi phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân yêu cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt phần Nguyên hàm - Tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh, học kỹ phương pháp tính, đứng trước yêu cầu tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn đa số em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước toán dạng Muốn học sinh học tốt phần người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách dập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức tính tích phân hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục, chọn sáng kiến sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp tính Tích phân hàm ẩn tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số” Với Sáng kiến hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính nguyên hàm, tích phân nói chung ngun hàm, tích phân số hàm ẩn nói riêng lớp toán kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số tích phân II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Từ kì thi THPT QG năm 2017 Giáo dục Đào tạo chuyển đổi hình thức thi mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa Giáo dục Đào tạo, đề thi TN THPT, học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm ẩn tốn tích phân cho kết hợp với cực trị, tương giao đồ thị hàm số, toán phân hóa đối tượng mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có kinh nghiệm việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi, giúp giáo viên tự tin lên lớp Trước áp dụng sáng kiến vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường lớp 12A2, 12A3 Trường THPT Xuân Trường toán tính nguyên hàm - tích phân hàm ẩn, thu kết sau: Lớp Sĩ số 12A1 12A2 38 37 Giỏi SL % 18,4 13,5 Khá SL % 10 26,3 24,3 TB SL 21 22 % 55,3 59,5 Yếu SL % 2,7 Kém SL % 0 Qua khảo sát tơi thấy trình độ nhận thức học sinh lớp chênh lệch không đáng kể Số lượng học sinh nắm kiến thức dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hình lời giải chưa có kiến thức kĩ cần thiết Thực sáng kiến hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn lớp tốn tính tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số thông qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tương tự để học sinh vận dụng phương pháp học vào giải vấn đề Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Sáng kiến làm rõ vấn đề mà học sinh gặp khó khăn, lúng túng, sai lầm thường gặp chí khơng có định hình lời giải việc tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn, tốn tích phân kết hợp với tốn cực trị, tương giao đồ thị hàm số Sáng kiến góp phần gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân hàm ẩn, tốn ứng dụng tích phân kết hợp với yếu tố cực trị, tương giao đồ thị hàm số cho học sinh, phần coi khó, địi hỏi tính tư logic cao khơng giúp giáo viên lên lớp tự tin; học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức Sáng kiến làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 2.1 Giải pháp 1: Xác định sở lý luận thực tiễn phương pháp sử dụng sáng kiến Phương thức 1: Xác định rõ kiến thức lý thuyết nguyên hàm tính chất Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f  x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lí Giả sử hàm số F  x  nguyên hàm hàm số F  x  K Khi đó: Với số C, hàm số F  x   C nguyên hàm f  x  K Ngược lại, với nguyên hàm f  x  K tồn số C cho G  x   F  x   C với x  K Do F  x   C, C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất Nếu f  x  , g  x  hai hàm số liên tục K thì:  f '  x  dx  f  x   C b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k hai số thực khác c)   mf  x   ng  x   dx  m  f  x  dx  n  g  x  dx với m,n hai số thực khác a) d) Với a, b   a  ta có: nguyên hàm f  x   f  ax  b  dx  F  ax  b   C , F  x  a Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa, tính chất tích phân phương pháp tính tích phân Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b)  F(a) gọi tích phân f từ b a đến b kí hiệu  f ( x )dx Trong trường hợp a phân f đoạn  a; b  a  b , ta gọi b  f ( x )dx a tích b Người ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số F(b)  F(a) Như Nếu F b nguyên hàm f K  f ( x )dx  F( x ) b a  F ( b)  F ( a) a Tính chất Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1)  f ( x )dx  ; 2) a 3) 4) b c a b b b a a b  f ( x )dx    f ( x )dx ; c  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a b b a a   f ( x )  g ( x ) dx   f ( x )dx   g ( x )dx ; a b b a a 5)  kf ( x )dx k  f ( x )dx với k  Chú ý: F( x )  f ( x ) với x  K F ( x )   f ( x )dx Phương pháp đổi biến số b Tính tích phân I   g ( x )dx Giả sử g( x ) viết dạng a f  u( x ).u( x ) , hàm số u( x ) có đạo hàm K , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp f  u( x ) xác định K a, b hai số thuộc K Khi b u(b) a u( a)  f u( x ).u( x )dx   f (u)du Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân b b b a a a không  f ( x )dx   f (u)du  f (t )dt  Phương pháp tính tích phân phần phụ thuộc vào biến tức b Công thức b  u( x )v( x )dx   u( x )v( x ) a   v( x )u( x )dx (trong u, v có đạo b a a hàm liên tục K a, b hai số thuộc K ) Trên cơ tóm tắt định nghĩa tính chất giáo viên nhấn mạnh đưa ý áp dụng để giải toán Phương thức 3: Các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số hàm số giải pháp trọng tâm sáng kiến Thực sáng kiến chia nội dung thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm (giải pháp 2) Phần Phương pháp sử dụng phương pháp đổi biến số (giải pháp 3) Phần Phương pháp sử dụng phương pháp tính tích phân phần (giải pháp 4) Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân (giải pháp 5) Phần Bài tốn tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số (giải pháp 6) Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng sáng kiến - Nêu ví dụ áp dụng - Phân tích định hướng lời giải cho ví dụ - Nêu nhận xét, bình luận đưa tốn tổng qt (nếu có) 2.2 Giải pháp 2: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cách biến đổi đưa nguyên hàm Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng dạng toán đưa 10 ví dụ minh họa cho phương pháp, ví dụ khác có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận đưa tốn tổng quát có Cuối đưa tập tương tự để học sinh rèn luyện 2.2.1 Kiến thức sử dụng * Nếu F( x )  f ( x ) với x  K F ( x )   f ( x )dx * Các công thức đạo hàm 1) u.v  u.v   uv  ; n uv  uv  u    ; v2 v 3) u  u  u  ; u   5)     u u   ; 4) nu u  u n 1 2) 2.2.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ (THPTQG – MĐ 101 – 2018) Cho hàm số f x thoả mãn 2 f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 35 19 A  B  C  D  36 36 15 Phân tích định hướng lời giải : Để tính f 1 ta phải xác định hàm số f 2   f  x  Từ giả thiết f   x   x  f  x   hợp điều kiện f      f  x   f  x    2x    x  C kết f x ta suy hàm số f  x  Khi ta có lời giải sau: Ta có f   x   x  f  x    Lời giải f  x   f  x   2x d  f  x   dx   xdx      xdx  f  x    f  x   1   x2  C  f  x    f  x x C  f  x  2 C Theo giả thiết: f         9 4C  f 1   Vậy f  x    x2  Chọn B Bình luận: Qua ví dụ ta thấy đề thiết kế dựa kiến thức nguyên hàm, công thức nguyên hàm hàm số hợp Do người đề dễ dàng thiết kế mối liên hệ f   x  , f  x  biểu thức g  x  dễ tính ngun hàm ta hồn tồn tìm hàm số f  x  vấn đề giải Tương tự dựa vào công thức tính đạo hàm hàm số chứa căn; đạo hàm tích, thương hai hàm số ta xét tiếp số ví dụ sau Ví dụ (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f  x  có đạo f ( x)   với x x x  1; e  Giá trị f  e  biết f 1  3? hàm liên tục 1;e  thỏa mãn xf '  x   xf  x   f  x   Phân tích định hướng lời giải : Thực biến đổi giả thiết ta  x f   x    x f  x    x f  x   , lúc vế phải có dáng dấp bình phương, ta thực thêm bớt được: x f   x   x f  x    x f  x    2 Nhận thấy  x f  x     f  x   x f   x  nên chia hai vế cho  x f  x    , Khi ta có lời giải sau Lời giải Với x  1; e , ta có xf '  x   xf  x   f  x   x 2  x f   x    x f  x    x f  x    x f   x   x f  x    x f  x     f   x  x  f  x   x f  x     2 (do f  x    với x  1; e  ) x x Lấy nguyên hàm hai vế ta được:   ln x  C x f  x    C  C  1 3  Cho x  e    ln e   f  e    e f  e   2e Cho x   Ví dụ Cho hàm số f liên tục, f  x   1, f    thỏa mãn f   x  x   x f  x   Tính f A B  3 C D Phân tích định hướng lời giải : Mấu chốt tốn cơng thức tính đạo hàm    f x 1  f  x  Từ giả thiết f   x  x   x f  x   , điều kiện f x 1 f    công thức đạo hàm ta suy hàm số f  x  Khi ta có lời giải sau Lời giải Ta có f  x  x2   x f  x        x f  x   dx   x 1 f  x  f x 1 dx     x x2        f x 1  f  x   dx   x    dx  x x2   1 f  x    x2   C  Mà f     C   Suy f f  x    x2   3 1   f  3  Chọn B Qua cách tư ví dụ 1, 2, kĩ sử dụng quy tắc tính đạo hàm, lối tư tương tự ta thực ví dụ 4, 5, 6, Ví dụ Cho hàm số f  x   , liên tục đoạn 1;2  thỏa mãn f (1)    x f ( x )   x f ( x ) với x  1;2  Tính tích phân I   f ( x )dx A ln3 B ln3 C 4 ln3 D 4ln3 Lời giải   Ta có x f ( x )   x f ( x )    f ( x )  x      f ( x)   x  f (x) x2   1 1       .dx      x  c , f (1)   c  f ( x) f (x) x x  10 Nên ta có  2x2  x   f ( x)  f ( x) x 2x  Khi 2 2 x d (1  x ) I   f ( x )dx   dx    ln  x 2  2x 1  2x 1  1  ln  ln3  ln3 4 Chọn A Ví dụ Cho hàm số f ( x ) đồng biến, có đạo hàm đoạn 1;4  thoản mãn với x  1;4 Biết f (1)  , tính I   f ( x )dx x  x f ( x )   f ( x ) A 1186 90 B 1186 45 2267 45 Lời giải C D 2267 90 Do f ( x ) đồng biến đoạn 1;4   f ( x )  0, x  1;4 Ta có x  x f ( x )   f ( x )  x 1  f ( x )    f ( x ) , x  1;4 2 f ( x )  0, x  1;4  f (x)  1 f ( x )  x  f ( x )  f ( x )  x  f ( x)   f ( x )   xdx   f ( x )  f (1)      f (x)  x x x  c Vì 3     c  c  2 3 2 4 2   f (x)  x x    f (x)   x x    f (x)  x3  x  3 3 9 18 3  23   16 25  1186 Khi I   f ( x )dx    x  x  dx   x  x  x   9 18  45 18  45  18 1 Chọn B 41 b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: b S   f  x   g  x  dx a 2.6.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ (Đề thi TN THPT năm 2021-mã đề 101) Cho hàm số f ( x )  x  ax  bx  c với a, b, c số thực Biết hàm số g  x   f  x   f   x   f   x  có hai giá trị cực trị 3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  A ln f  x y  gx  B ln C ln18 D ln Phân tích định hướng lời giải : Do hàm số g  x  có hai giá trị cực trị 3 nên từ lý thuyết cực trị hàm số ta g   x1   g   x2   có hệ điều kiện  , với x1 , x2 điểm cực trị g x   3; g x       Phương trình hồnh độ giao điểm S x2  f  x f x  có nghiệm x1 , x2 nên gx     g  x    1 dx x1   Lời giải Ta có f   x   x  2ax  b , f   x   x  a , f   x   g  x   f  x   f   x   f   x   g   x   f   x   f   x   Vì g  x  có hai cực trị 3 nên không giảm tổng quát, giả sử g  x  có hai điểm cực trị x1 , x2 g  x1   3 , g  x2   42 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y  f x 1 gx  f x y  gx   f  x   g  x    f  x   f  x   f   x   f   x    x  x1  f   x   f   x     g  x      x  x2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  S  f  x    g  x    1 dx   x   f  x  g  x     g  x    dx   x  f x y  là: gx  x2 x2 x2 1 x1   g  x       dx  g x   x    x2  g x     g  x    dx  ln g  x    x  x2    f   x   f   x     dx g x        x x2  ln12  ln  2ln 1 Chọn D Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số bậc bốn f ( x )  ax  bx  cx  dx  e hàm số bậc ba g  x   mx  nx  px  q Các hàm số y  f   x  y  g  x  có đồ thị hình vẽ Biết f 1  g 1  diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  , y  g   x  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  A 32 15 B 16 C 16 25 D 16 15 43 Phân tích định hướng lời giải : Từ đồ thị được: f   x   g   x   ax  x  1 x    a  x  x  x  Từ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  , y  g   x  : S   f   x   g   x  dx  tìm a , từ tính diện tích hình phẳng cần tìm Lời giải Ta có: f   x   4ax  3bx  2cx  d , g   x   3mx  2nx  p Đồ thị hàm số y  f   x  cắt đồ thị y  g   x  điểm x  0, x  1, x  nên   f   x   g   x   ax  x  1 x    a x  x  x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  , y  g   x         4a x  x  x dx   4a x  x  x dx   a  a  2 a  a  2    f   x   g   x   8 x  3x  x  8 x  24 x  16 x f  x   g  x     f   x   g   x   dx  2 x  x  x  C Mà f 1  g 1   f 1  g 1  2  2  C  2  C   f  x   g  x   2 x  x  x S   2 x  x  x dx  32 15 Chọn A Ví dụ (Đề KSCL HK2 năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  x  cx  d parabol y  g  x  có đỉnh nằm trục tung Biết đồ thị y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh 44 độ 2;1;2 thỏa mãn AB  (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  f  x  y  g  x  A 13 B 238 C 71 D 71 Phân tích định hướng lời giải: Chú ý đến tính chất đối xứng parabol có đỉnh nằm trục tung cho ta tung độ điểm A C nhau: f  2   f   Với A  2; f  2   , B 1; f 1  AB  tìm mối liện hệ a, c Từ dễ dàng tính diện tích Lời giải Ta có A  2; f  2   , B 1; f 1  AB    f  2   f 1    f  2   f 1  (do f  2   f 1 ) 2     8a   2c  d    a   c  d    3a  c  1 (1)   Do parabol y  g  x  có đỉnh năm trục tung nên tung độ điểm A, C  f  2   f    8a   2c  d  8a   2c  d  16a  4c  (2) Từ (1) (2) suy a  1, c  4 45 Do đồ thị y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ 2;1;2 nên: f  x   g  x   a  x   x  1 x    x  x  x  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  f  x  y  g  x  S x  x  x  dx  2 71 Chọn C Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Sở GD ĐT Nam Định) Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  e, a  g  x   mx  nx  px  q Đồ thị hàm số f   x  g  x  cắt điểm phân biệt có hồnh độ 3; 1;1 Biết f    g   , tính  A ln 23 51 B ln f   x   g  x  dx f x  gx 63 95 C ln 37 62 D ln 49 87 Lời giải f   x   4ax  3bx  2cx  d ; g   x   3mx  2nx  p Đồ thị hàm số f   x  g  x  cắt điểm phân biệt có hồnh độ 3; 1;1 nên f   x   g   x   4a  x  3 x  1 x  1  a  x  x  x  3   f  x   g  x     f   x   g   x   dx   4a x  x  x  dx  x4  x2 f  x   g  x   4a   x   3x   C   Có f    g    f    g     C  f  x   g x   f  x   g  x  dx   Chọn B d  f  x   g  x   f  x  gx dx  l n f  x   g  x  2  ln 63 95 46 Ví dụ (Đề KSCL lần năm 2022-Chuyên Hùng Vương Phú Thọ) Cho hàm số f ( x )  x  bx  c (b, c  ) có đồ thị đường cong  C  đường thẳng d  : y  g  x  tiếp xúc với  C  điểm x0  Biết (d ) (C) cịn có hai điểm chung khác có hồnh độ x1, x2  x1  x2  x2 gx  f x   x  1 x1 dx  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  C  đường thẳng  d  A 29 B 28 143 Lời giải C D 43 Ta có  d   C  tiếp xúc với điểm x0  cịn có hai điểm chung khác có hoành độ x1, x2  x1  x2  nên f  x   g  x    x  1  x  x1  x  x2  x2 Do tồn tích phân g x  f x   x  1 dx  x1 x2 g x  f x   x  1 x1 nên   x1 ; x  x 4 dx      x  x1  x  x2  dx  3 x1 x2     x  x1  x  x1  x1  x2  dx  x1 x2     x  x1    x1  x2  x  x1   dx    x1 x2   x  x1 3  x  x1 2      x1  x2   3   x1  x  x1     x2  x1  (1) Giả sử y  g  x   m Phương trình hồnh độ giao điểm  d   C  : f  x   g  x    x  bx  c  m  Theo định lý Viet bậc bốn ta có: x1  x2     x1  x2  2 (2) 47 Từ (1) (2) ta có: x1  2; x2  Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  C  đường thẳng  d  : S 1 2 2 29  f  x   g  x  dx    x  1 x  x   dx  Bài tập tương tự Câu (Đề thi TNTHPT f ( x )  x  ax  bx  c với năm a , b, c 2021-mã đề số 102) thực Cho Biết hàm số hàm số g  x   f  x   f   x   f   x  có hai giá trị cực trị 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f x y  gx  A ln B ln C 3ln D ln Câu Cho hai hàm số f ( x )  ax  bx  cx  3x g  x   mx  nx  x ; với a, b, c, m, n   Biết hàm số y  f  x   g  x  có ba điểm cực trị 1;2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f   x  y  g  x  32 71 71 64 B C D 9 Câu Cho hai hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên A Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị thỏa mãn x2  x1  f  x1   f  x2   đồ thị qua điểm M  x0 ; f  x0   Hàm số g  x  hàm số bậc hai có đồ thị qua điểm M điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  Tính tỉ số S1 ( S1 S2 S2 diện tích hai hình phẳng tạo đồ thị hai hàm f  x  , g  x  ) 48 B 35 32 Câu Cho hai hàm số A f   x   ax  bx  cx  d , C y  f x D 33 29 y  g  x  liên tục  có g  x   mx  nx  p với a.q  thỏa mãn f    g   Đồ thị hàm số f   x  g  x  cho hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  f  x  y  g  x  16 Câu A 15 hàm số B Cho 16 D 15 3 y  f  x   x  ax  bx  a, b    biết C hàm số 1 f   x   f   x  có hai điểm cực trị x  1, x  Với t số tùy ý thuộc đoạn 0;1 , gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đượng gx  f x  x  0, y  f  t  , y  f  x  S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  f  x  , y  f  t  , x  Biểu thức P  8S1  4S nhận giá trị số nguyên? A B C D Câu Cho hàm số f  x   x  bx  c  b, c    có điểm cực trị x1 , x2 , x3 Đồ thị hàm số g  x   mx  nx  p  m, n, p    qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  A T  4 Giá trị T  b  c   m  n  p  15 B T  C T  D T  1 49 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Cho dù chưa trực tiếp tính thành tiền sáng kiến nguồn tư liệu hữu ích cho giáo viên học sinh Hiệu mặt xã hội - Với sáng kiến này, đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn, tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Sau nghiên cứu sáng kiến đồng nghiệp tổ tự tin giảng dạy phần kiến thức Với phương pháp trình bày SKKN áp dụng giảng dạy trường THPT Xuân Trường vào lớp 12A2, 12A3 có đối chứng kết khảo sát ban đầu Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng ghép dạy lớp, dạy tự chọn, ôn tập tốt nghiệp cho học sinh bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi thấy học sinh hứng thú, tích cực chủ động, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng sáng kiến với dạng tốn đầu tơi cho học sinh làm kiểm tra khảo sat 15 phút, 45 phút (Đề kiểm tra phần phụ lục kèm theo) thu kết sau: Kết thứ Lớp 12A2 12A3 Sĩ số 38 37 Giỏi SL % 17 44,7 13 35,1 Khá SL % 14 36,8 15 40,5 TB SL % 18,4 24,3 Yếu SL % 0 0 Kém SL % 0 0 Yếu SL % 0 0 Kém SL % 0 0 Kết thứ hai Lớp 12A2 12A3 Sĩ số 38 37 Giỏi SL % 19 50 17 45,9 Khá SL % 17 44,7 16 43,2 TB SL % 5,26 10,8 50 Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát ban đầu chưa áp dụng SKKN nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Sáng kiến đồng nghiệp áp dụng vào bồi dưỡng đội tuyển Học sinh giỏi mơn Tốn lớp 12 trường, góp phần vào nâng cao chất lượng đội, kết đội tuyển đạt giải Ba, giải Khuyến khích, đồng đội xếp thứ 19 IV CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tơi xin cam kết báo cáo sáng kiến đúc rút qua q trình cơng tác, giảng dạy, nghiên cứu tài liệu môn, không chép vi phạm quyền Nếu vi phạm chép vi phạm quyền xin chịu hình thức kỷ luật Trên báo cáo sáng kiến tơi đúc rút q trình học tập cơng tác mình, chắn có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Văn Khoa Nguyễn Thị Lan Hương CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) 51 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN Danh mục tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [2] Sách tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) [3] Sách giáo Bí chinh phục điểm cao kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn – Nhóm tác giả PGS.TS Lê Văn Hiện (Chủ biên) – Trương Quốc Toản – Lê Thảo – Ma Huyền Mỹ - Trần Đơng Phong – Nguyễn Thanh Hồi – Nguyễn Thanh Hiếu – Nguyễn Đỗ Chiến [4] Các trang mạng diendantoanhoc.net; mathvn.com; toanhocbactrungnam.vn;… [5] Các đề thi chọn HSG tỉnh, đề khảo sát cuối năm 2022 tỉnh Nam Định, đề thi tốt nghiệp THPT năm 52 PHỤ LỤC Đề kiểm tra 15 phút thỏa mãn f 1  xf   x   f  x   x với Câu Cho hàm số f  x  x  Tính  f  x dx A 71 C 136 B 59 D 21 Câu Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn 0;2 thỏa mãn  f  x dx  Tính  tích phân I   f  2sin x  cos xdx A Câu B 3 hàm số Cho f x C liên tục D 6 tập  f   x  x   x f  x   f  x   1 , f    Tính f A B C  f  x  mãn  3 D Đề kiểm tra 45 phút y  f  x  liên tục, không âm  thỏa mãn Câu Cho hàm số f  x  f   x   x thỏa  f    Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  đoạn 1;3 A M  20 ; m  B M  11 ; m  C M  20 ; m  D M  11 ; m  Câu ln mãn Cho   số f  x  hàm  f e x  dx  1,  A 10 Câu tục tập hợp  x  1 f  x  dx  3 Tính f Xét liên B 4 hàm số B thỏa thỏa mãn C 5 f  x  liên tục D 12 đoạn 0;1  f  x  dx A   x dx x 3 f  x   f 1  x    x Tích phân  C 15 D 53 1  x   x2 Câu Cho hàm số y  f  x     x   x  e f  ln x  Tính giá trị I   dx   xf x  dx x  A I  27 Câu 32 B I  Cho hàm  số C I  f x liên tục D I  đoạn 37 0;1 thỏa mãn thỏa mãn   x f x  f 1  x    x Tính I   f  x  dx A  Câu  B Cho 16 hàm số C f x  20 liên tục D đoạn  0;4  f  x  f   x  f  x      f   x   f  x   với x  0;4  Biết  x  1 f     f    , giá trị f   C e3 D e2  1 f  x  Câu Cho hàm số y  f ( x ) thỏa mãn  dx  f (1)  f (0)  Tính x 1 A e2 I B 2e f  x  x  1 A I  dx B I  C I  1 D I  Câu Cho hàm số y  f ( x )  ax  x  bx  c, a  y  g ( x )  mx  nx  p, m  có đồ thị cắt ba điểm A, B, C hình vẽ Biết đồ thị hàm số y  g ( x ) parabol có trục đối xứng x   diện tích tam giác ABC Tính  f  x  dx 54 A  B 4 C  D 28 55 MỤC LỤC I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: 2 Mô tả giải pháp sau có sáng kiến 2.1 Giải pháp 1: Xác định sở lý luận thực tiễn phương pháp sử dụng sáng kiến 2.2 Giải pháp 2: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cách biến đổi đưa nguyên hàm 2.3 Giải pháp 3: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn cách đổi biến số 16 2.4 Giải pháp 4: Tính tích phân hàm ẩn phương pháp tích phân phần 29 2.5 Giải pháp 5: Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 34 2.6 Giải pháp 6: Phương pháp giải tốn Tích phân kết hợp cực trị, tương giao đồ thị hàm số 40 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 49 IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN 50 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN 51 ... cho học sinh bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tơi thấy học sinh hứng thú, tích cực chủ động, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng sáng kiến với dạng toán. .. chưa áp dụng SKKN tơi nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Sáng kiến đồng nghiệp áp dụng vào bồi dưỡng đội tuyển Học sinh giỏi... kiến làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 2.1 Giải