Phương pháp chuyển đổi giải bài toán tối ưu biến nguyên không lồi

Microsoft Word 244 Pham Duc Dai doc Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN 978 604 82 2981 8 570 PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU BIẾN NGUYÊN KHÔNG LỒI Phạm Đức Đại1, Nguyễn[.]

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU BIẾN NGUYÊN KHÔNG LỒI Phạm Đức Đại1, Nguyễn Thị Thúy Hằng1 Trường Đại học Thủy lợi, email: daipd@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU Bài toán tối ưu biến nguyên (MINLP) ứng dụng rộng rãi để giải toán tối ưu hoạt động thực tế, toán tối ưu hoạt động đóng mở bơm; tốn tối ưu hộp số; toán tối ưu đặt van mạng cấp nước Các toán tối ưu MINLP thường phi tuyến không lồi (Non-convex) dẫn đến nghiệm tốn thường cục có chất lượng thấp Các phương pháp giải toán tối ưu MINLP sử dụng phương pháp Branch and Bound [1], phương áp OA (outer approximation) [1], phương pháp phân tích Benders (GBD) Các phương pháp cho nghiệm tin cậy (reliable) mà toán MINLP lồi Tuy nhiên, hầu hết toán kỹ thuật phi tuyến khơng lồi, việc tìm nghiệm thỏa mãn buộc toán MINLP tốn khó Rất nhiều phương pháp quan tâm đến việc chuyển tốn khơng lồi MINLP thành tốn lồi Trong báo tác giả quan tâm đến dạng tốn có thành phần mũ khơng lồi, có dạng sau: f  z  chuyển thành phần mũ không lồi thành thành phần lồi kết hợp với phương pháp xấp xỉ đoạn (piece-wise linearization) PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI Hàm mũ định nghĩa sau: J I j 1 i 1  m  z    c j  zi p ji Với hàm dương c j  , hàm mũ lồi khi: (i) pi  0, i  1, , I (ii) k : pi   pi  1, pi  0, i  1, , I , i # k i#k Với hàm âm (cj < 0) hàm mũ lồi khi: I  m  z   c zip ; c  0; pi  0, i  1, , I i i 1 n p i i 1 1 2.1 Phương pháp chuyển đổi cho hàm mũ âm Hàm mũ khơng lồi chuyển thành hàm mũ lối với phương pháp chuyển đổi sau: zi  Z iQ hay Z i  z1/i Q Chú ý rằng: Khi pi  Qi  ; pi  Qi  pi  Qi  Hơn để thành phần sau chuyển đổi lồi ta cần điều kiện: i s.t Az  a Bz  b gn  z   I qm  z    m  z   Trong f , g n , qm hàm phi tuyến lồi, có đạo hàm;  m  z  hàm mũ (signomial functions) phi tuyến không lồi (non-convex) Mục tiêu báo áp dụng phương pháp chuyển đổi nhằm 570  pQ i 1 i i i 1 Thành phần là: I  m  z   c Z ip Q i i i 1 Điều kiện để hàm lồi sau: 0  Qi  1,  Qi  0, pi  pi  I  pQ i 1 i i 1 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 2.2 Phương pháp chuyển đổi cho hàm mũ dương I  m  z   c Z ip Q i  y  Y10.25 y  Y2 2y pi   i  k pi   i # k wm  Và đó: M z   zm wm m 1 i#k Bài tốn cịn cần hai điều kiện để tuyến tính hóa thành phần sau: Y1  y Y2  y 3 Y  1w1  (7) 3 w2 y  1w1  w2 ; w1  w2  Bài tốn tối ưu khơng lồi trở thành toán lồi sau: Y  1w1  (7) w2 M  wm  m 1 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU y  x  36  y  0.25 x  1 2y  2y  11 y  x  20   x y  0.1x y 1.5 1.5  y 0.5  11 y  x  20   x 0.5 Y  0.1x1.5 Y 0.5 0.5 0 Y  1w1  (7) w2 Y  1w1  (7) 3 w2 y  1w1  w2 w1  w2  1  x  7,1  y   w1 ,  w2 Tác giả sử dụng phần mền GAMs để giải toán ta nghiệm x  6.6, y  Tiếp đến ta thêm số điểm tuyến tính hóa từ lên 3, điểm y  Bài toán tối ưu trở thành: y  x s.t y  x  36  y  0.25 x  1 2y 0.5 y  x s.t y  x  36  y  0.25 x  1 2y y  3x s.t Bước Chuyển đổi tốn MINLP khơng lồi tốn lồi; số điểm tuyến tính hóa NTTH  ; ObjMINLP   Bước 2: Tuyến tính hóa sử dụng số điểm NTTH Bước 3: Giải toán MINLP lồi hàm mục tiêu ObjMINLP k   k 1 Nếu ObjMINLP k   ObjMINLP đến bước 4, ngược lại dừng kết thúc Bước 4: Tăng số điểm tuyến tính hóa NTTH  NTTH  quay lại bước 0.5 có tổng tự thành phần 0.1x1.5Y20.5 thỏa mãn điều kiện k : pi   pi  1, pi  0, i  1, , I , i # k 2.4 Thuật giải toán không lồi MINLP 2x 0.5Y10.5 i 1 i với  y 0.5  11y  x  20   x 0.5Y10.5  0.1x1.5Y20.5  mũ  pi  , hàm lồi; tương Việc thực chuyển đổi Zi  z1/i Q tuyến tính hóa, để toán MINLP trở thành toán phi tuyến lồi Trong báo này, tác giả ứng dụng phương pháp tuyến tính hóa đoạn (piecewise linear functions) để xấp xỉ Zi Z sau: m 1 n 2.3 Tuyến tính hóa đoạn Z   Z m wm ; thành phần không lồi Theo định nghĩa trên, pi  M trở thành: i i 1 Qi  1,  Qi  0, Q  1,  i Thực chuyển đổi:  y 0.5  11 y  x  20   x 0.5 Y  0.1x1.5 Y 0.5 Y  1w1  (7) w2   3 w3 0 Y  1w1  (7) 3 w2   3 w3 3  x  7,1  y  Dựa vào định lý nêu trên, thấy rằng, tốn có thành phần phi tuyến không lồi sau: 2x 0.5 y 0.1x1.5 y1.5 571 y  1w1  w2  3w3 w1  w2  w3  1  x  7,1  y   w1 ,  w2 ,  w3 0.5 0 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 Sau giải toán này, thu nghiệm sau x  6.2, y  Tiếp tục, tốn thêm số điểm tuyến tính hóa: y  3x KẾT LUẬN s.t y  x  36  y  0.25 x  1 2y Giải toán, thu kết với giá trị hàm mục tiêu -12, giá trị tối ưu toàn cục x  6, y  ,  y 0.5  11 y  x  20   x 0.5 Y  0.1x1.5 Y 0.5 Y  1w1  (7) w2   3 w3    w4 4 Y  1w1  (7) 3 w2   3 w3    w4 3 y  1w1  w2  3w3  5w4 w1  w2  w3  w4  1  x  7,1  y   w1 ,  w2 ,  w3 ,  w4 3 0.5 0 Nhóm tác giả ứng dụng phương pháp chuyển đổi nhằm chuyển đổi tốn MINLP khơng lồi thành tốn MINLP lồi Phương pháp tuyến tính hóa liên tục sử dụng nhằm làm giảm khối lượng tính tốn cho tốn MINLP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Some transformation techniques applications in global optimization 572 with ... 3 w2 y  1w1  w2 ; w1  w2  Bài tốn tối ưu khơng lồi trở thành tốn lồi sau: Y  1w1  (7) w2 M  wm  m 1 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU y  x  36  y  0.25 x  1... tác giả ứng dụng phương pháp chuyển đổi nhằm chuyển đổi tốn MINLP khơng lồi thành tốn MINLP lồi Phương pháp tuyến tính hóa liên tục sử dụng nhằm làm giảm khối lượng tính tốn cho toán MINLP TÀI... 2y y  3x s.t Bước Chuyển đổi toán MINLP khơng lồi tốn lồi; số điểm tuyến tính hóa NTTH  ; ObjMINLP   Bước 2: Tuyến tính hóa sử dụng số điểm NTTH Bước 3: Giải toán MINLP lồi hàm mục tiêu ObjMINLP