SỰ CHUYỂN ĐỔI DIDACTIC TRONG DẠY HỌC TOÁN Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 TÌM HIỂU KHẢ NĂNG CỦA HỌC SINH LỚP 12 VỀ VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ THÔNG QUA MỘT THỰ[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 _ TÌM HIỂU KHẢ NĂNG CỦA HỌC SINH LỚP 12 VỀ VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MŨ THƠNG QUA MỘT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM NGUYỄN HỮU LỢI* TÓM TẮT Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số phổ biến chương trình tốn phổ thơng Để giải tốn có cơng cụ giải khác nhau: dùng định nghĩa, dựa vào yếu tố đặc trưng hàm số cho, dựa vào đồ thị hàm số hay tính đạo hàm cấp hàm số Trong báo này, chúng tơi thiết kế tình dạy học nhằm tìm hiểu khả học sinh lớp 12 việc vận dụng cơng cụ giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Đồng thời thơng qua phát sai lầm học sinh mắc phải giải tốn Từ khóa: tính đơn điệu, đạo hàm, hàm số mũ ABSTRACT A research on twelfth graders’ ability in solving the problem of examining the monotonicity of an exponential function through an educational experiment The problem of examining the monotonicity of an exponential function is quite common in high school math curriculum To solve this problem, there are various tools such as: definition, characteristics of the given function, fucntion graphs, or the first derivative of the function In this article we designed a teaching scenario to examine the ability of twelfth graders in applying mathematical tools to solve the problem of examining the monotonicity of an exponential function At the same time we also wish to detect mistakes students often make when solving this type of problem Keywords: monoticity, derivative, exponential function Đặt vấn đề Chúng tơi bắt đầu nghiên cứu từ việc phân tích sách giáo khoa (SGK) Toán 12 (nâng cao) Một điều thú vị chúng tơi có liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Các hàm số xét tính đồng biến, nghịch biến có dạng y=ax đưa dạng y=ax Lời giải mong đợi SGK cho thấy học sinh cần dựa vào số hàm số cho để đưa kết luận Liệu SGK giới hạn việc khảo sát * ThS, Sở Giáo dục Đào tạo TPHCM 122 hàm số mũ dạng y=ax đưa dạng y=ax có giúp học sinh khai thác hết công cụ để giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ hay không? Những sai lầm học sinh mắc phải giải toán dạng Chúng tơi thiết kế tình dạy học nhằm tìm hiểu khả học sinh việc vận dụng cơng cụ giải tốn xét tính đơn điệu hàm số mũ Đồng thời thơng qua phát sai lầm học sinh mắc phải giải tốn Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Hữu Lợi _ Thực nghiệm học sinh Thực nghiệm tiến hành học sinh lớp 12 ban khoa học tự nhiên với chương trình tốn nâng cao Thời điểm thực sau học sinh học xong hàm số mũ Thời gian thực nghiệm dành cho toán 15 phút Học sinh làm việc cá nhân Học sinh phát giấy làm có in đề tốn Giấy nháp Hàm số ⎛1⎞ a) y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Được Không phát cho học sinh thu lại sau làm Điều cho phép thu thập thêm dấu vết thể mối quan hệ cá nhân học sinh Bài tốn thực nghiệm: Có thể biết tính đồng biến nghịch biến hàm số cho bảng sau hay không? (Đánh dấu X vào ô mà em lựa chọn giải thích cho lời giải tương ứng) - Nếu khơng, giải thích sao? - Nếu có, trình bày lời giải em x b) y = π 3x c) y = 3x d) y = 21− x 2.1 Phân tích số yếu tố trước thực nghiệm 2.1.1 Các biến Việc chọn toán thực nghiệm đặt sở lựa chọn giá trị biến didactic sau • V1: “Hàm số hàm số mũ biến đổi hàm số mũ biến x hay không?” Hai giá trị biến: - Hàm số hàm số mũ biến đổi hàm số mũ biến x - Hàm số không hàm số mũ biến đổi hàm số mũ biến x • V2: “Biểu thức mũ tuyến tính hay khơng tuyến tính theo x?” - Biểu thức mũ tuyến tính theo x - Biểu thức mũ khơng tuyến tính theo x Ta biết rằng, hàm số mũ y = ax có miền xác định R Vì vậy, hàm số dạng y = a u ( x ) hàm số mũ biến t = u(x) miền giá trị u(x) R Trường hợp đặc biệt : u(x) biểu diễn tuyến tính theo x au(x) hàm số mũ Ngược lại, hàm số cho ‘‘một phần’’ hàm số mũ (đồ thị tập thực hàm số mũ), khơng hàm số mũ • V3: “Đồ thị hàm số qua (0 ,1) (1, a) hay không?” - Đồ thị hàm số qua (0 ,1) (1, a) - Đồ thị hàm số không qua (0 ,1) (1, a) Trong a số hàm số cho 2.1.2 Đặc trưng toán lựa chọn 123 Số 37 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Bài cho với nhiều hàm số khác nhau, có hàm số quen thuộc (được cho SGK SBT) không quen thuộc Điều cho phép chúng tơi tìm hiểu ứng xử học sinh trước hàm số không quen thuộc kiểu nhiệm vụ xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Đặc biệt, giá trị biến V1 chọn câu c) hàm số không hàm số mũ, cho phép làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh việc xét tính đơn điệu hàm số Chúng tơi dự đốn lời giải học sinh sử dụng kĩ thuật xét số để suy tính đơn điệu hàm số cho 2.1.3 Các chiến lược Với hàm số lựa chọn, toán bao gồm dạng hàm số khác liên quan đến hàm số mũ Tính chất hàm nhiều có liên quan đến tính chất hàm số mũ Và chúng hàm số mũ phần hàm số mũ Các chiến lược sau dựa sở tính chất hàm số mũ • STcs: “Chiến lược số”: hàm số y = au(x), áp dụng kĩ thuật so sánh số với - Nếu a > hàm số đồng biến - Nếu a < hàm số nghịch biến • STđl: “Chiến lược định lí”: - Nếu (∀ x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ) f đồng biến - Nếu (∀ x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ) f nghịch biến • SThh: “Chiến lược hàm hợp”: 124 - Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm thành phần - Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm hợp cho • STđh: “Chiến lược đạo hàm”: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số dựa vào dấu đạo hàm 2.1.4 Những quan sát x ⎛1⎞ a) y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Sự lựa chọn hàm số • Hàm số tương ứng với giá trị thứ tất biến V1, V2, V3 Đây dạng hàm số hoàn toàn quen thuộc học sinh mà SGK đề cập Chúng chọn với mục đích làm sở để so sánh ứng xử học sinh dạng hàm số khác Từ thấy ràng buộc thể chế lên học sinh việc xét tính đơn điệu hàm số mũ • Các chiến lược có thể: STcs: “Chiến lược số”: nói, dạng hàm số hàm hàm mũ, sát với định nghĩa trình bày SGK, mà chiến lược số chắn học sinh lựa chọn STđl: “Chiến lược định lí”; STđh: “Chiến lược đạo hàm” Hai chiến lược STđl STđh giải tốn, nhiên chúng khơng có hội để xảy với hàm số chiến lược số thống lĩnh Cái quan sát từ học sinh: Nguyễn Hữu Lợi Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: ⎛1⎞ Vì < nên y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ x nghịch Có hai trường hợp tương ứng với chiến lược này: TH1: ( ) Ta có y = π x = π biến b) y = π • π > nên hàm số đồng biến 3x Sự lựa chọn hàm số Giá trị biến chọn: Bài xây dựng dựa biến V2 với giá trị: Biểu thức mũ tuyến tính theo x • Các chiến lược có thể: - STcs: “Chiến lược số”: chiến lược ưu tiên hàm số dạng mũ Vì vậy, có nhiều hội để xảy chiến lược cho dù hàm số cho có thỏa mãn điều kiện hàm số mũ hay khơng - STđl: “Chiến lược định lí”: xảy chiến lược dạng hàm số chưa thật với dạng định nghĩa, chúng tơi chọn giá trị thứ biến V2 - SThh: “Chiến lược hàm hợp”: hội xảy chiến lược “chiến lược định lí” Hàm y = π3x hợp hai hàm thành phần u(x) = 3x y = πu Hàm u(x) dễ dàng biết tính đơn điệu Do tính đơn điệu hàm πu dễ dàng xác định - STđh: “Chiến lược đạo hàm” Cái quan sát từ học sinh: - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: x TH2: đồng tính đơn điệu hàm y = π3x với hàm y = π t Do đó, tính đơn điệu hàm cho xác định sau: Vì π > nên nên hàm số cho đồng biến - Lời giải tương ứng với chiến lược định lí STđl: ∀ x1, x2: x1 > x2 ta có: 3x1 > 3x2 ⇒ π x1 > π x2 ⇒ hàm số đồng biến - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm hợp SThh: u(x) = 3x đồng biến tên R πx đồng biến R nên πu(x) đồng biến R - Lời giải tương ứng với chiến lược đạo hàm STđh: y’ = 3π3xlnπ > với x thuộc R nên hàm số y = π3x đồng biến R c) y = 3x • Sự lựa chọn hàm số Giá trị biến chọn: Hàm số y = 3x thỏa giá trị biến sau: - Giá trị thứ hai biến V1: Hàm số biến đổi hàm số mũ biến x ( y = a x ) - Giá trị thứ hai biến V2: Biểu thức mũ không tuyến tính theo x 125 Số 37 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ - Giá trị thứ biến V3: Đồ thị hàm số qua (0,1) (1,a) Hàm số thỏa hai điểm đặc biệt hàm số mũ (0,1) (1, a ) (trường hợp a 3) Tuy nhiên, hàm “một phần” hàm số mũ tập giá trị [1,+∞) Hàm y = 3x khơng có tính chất ln tăng ln giảm tính đơn điệu hàm số mũ Do đó, khơng thể khảo sát tính chất kĩ thuật so sánh số với Các chiến lược có thể: Nếu học sinh cho biết tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = 3x chiến lược sau xảy ra: - STcs: “Chiến lược số”: y = 3x khơng phải hàm số mũ hàm có hai điểm đặc biệt (0,1) (1,a) có dạng au(x) nên có nhiều hội xuất chiến lược - SThh: “Chiến lược hàm hợp”: chiến lược xảy trường hợp học sinh nhận dạng hàm Tuy nhiên theo chúng tôi, thể chế không tạo hội cho chiến lược xảy - STđh: “Chiến lược đạo hàm”: có SGK có giới thiệu phương pháp xét tính biến thiên hàm số đạo hàm, nhiên phương pháp đạo hàm không trọng tâm, chúng tơi nghĩ có hội xảy chiến lược Cái quan sát từ học sinh: 126 - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: Vì > nên y = 3x đồng biến R - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm hợp SThh: Hàm số x2 đồng biến [0, +∞) nghịch biến (-∞, 0] Do hàm số y = 3x đồng biến [0, +∞) nghịch biến (-∞, 0] - Lời giải tương ứng với chiến lược đạo hàm STđh: y ' = x3 x Khi x ≥ y’ ≥ nên hàm số đồng biến Khi x ≤ y’ ≤ nên hàm số nghịch biến d) y = 21-x Sự lựa chọn hàm số • Giá trị biến chọn: - Giá trị thứ biến V1: Hàm số hàm số mũ biến đổi hàm số mũ biến x (y = ax) - Giá trị thứ biến V2: Biểu thức mũ tuyến tính theo x Hàm cho với mục đích tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh hàm số mũ Một cách rõ ràng muốn kiểm chứng có phải học sinh thật gắn liền hay đồng hàm số mũ với biểu diễn bao gồm số a biểu thức mũ Hàm số y = 21-x hàm số mũ, nhiên hàm mũ với số 12 Và Nguyễn Hữu Lợi Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ tính đơn điệu xét theo x ⎛1⎞ biểu thức hàm y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ • Các chiến lược có thể: STcs: “Chiến lược số”; STđl: “Chiến lược định lí”; SThh: “Chiến lược hàm hợp”; STđh: “Chiến lược đạo hàm” Cái quan sát từ học sinh: - Lời giải tương ứng với chiến lược số STcs: Có hai trường hợp xảy với chiến lược này: TH1: y = 21-x biến đổi thành x TH2: y = 21-x , lời giải sau: Vì > nên hàm cho đồng biến - Lời giải tương ứng với chiến lược định lí STđl: Với x1 > x2 ta có: -x1 < -x2 ⇒ - x1 < - x2 ⇒ 21− x1 < 21− x2 Vậy hàm số cho nghịch biến - Lời giải tương ứng với chiến lược hàm hợp SThh: Hàm u(x)=1-x nghịch biến R nên hàm 21-x nghịch biến R - Lời giải tương ứng với chiến lược đạo hàm STđh: y’ = -21-xln2 < ∀ x ∈ R nên y = 21-x nghịch biến 2.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm ⎛1⎞ dạng y = ⎜ ⎟ , lời giải sau: ⎝2⎠ < nên hàm cho nghịch Vì biến Bảng thống kê lời giải học sinh Câu Cơ số Chiến lược Không biết Bỏ trống Tổng số Định lí Hàm hợp Đạo hàm a 61 12 b 38 (π) , 22(π3) 14 c 31 14 21 74 d 33 (1/2), 14 (2) 1 13 6 74 Trong bảng, đặc biệt ý đến số có đóng khung Những số phản ánh quan hệ cá nhân học sinh hàm số mũ Đúng dự đoán, đa số học sinh sử dụng chiến lược số để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Đặc biệt lưu ý hàm số câu c) Đây hàm số mũ định nghĩa 74 74 SGK, nhiên có 31/74 (41,8%) học sinh áp dụng kĩ thuật xét tính đơn điệu hàm số mũ để giải Lời giải điển hình trường hợp là: “a=3>1⇒ hàm số đồng biến” Ngoài có 21/74 (28,3%) học sinh cho khơng thể biết tính đơn điệu hàm số mũ x2 Các giải thích tương ứng là: “Vì chưa biết giá trị 127 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 _ x nên không xác định đồng biến, nghịch biến”; “khơng thể biết tính đồng biến, nghịch biến khơng có dạng y=ax”; “vì khơng biết giá trị x thuộc khoảng nên khơng xét tính đồng biến, nghịch biến” Một số lời giải thích khác có dùng đạo hàm để khảo sát đến kết luận là: “Vì y’ cịn chứa tham số x nên dấu y’ chưa xác định Vì khơng thể xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến” Rõ ràng học sinh không kiểm tra hàm cho có hàm số mũ hay khơng, nhiên họ áp dụng tính chất hàm số mũ (đạo hàm không chứa tham số) để giải Một trường hợp tương tự thấy câu b) sau: Theo SGK y=π3x hàm số mũ số π3, nhiên có đến 38/74 (51,3%) học sinh giải hàm với số π Đối với hàm số câu d) y=21-x có đến 14/74 (18,9%) học sinh giải hàm với số Điều cho thấy học sinh không kiểm tra thỏa đáng hàm số Kết luận Thực nghiệm đưa đến số kết sau: Từ kết có được, chúng tơi nhận thấy đa số học sinh lớp thực nghiệm tập trung cách giải 128 vào việc xét số: a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến Các em khơng có nhiệm vụ kiểm tra hàm số cho có hàm số mũ hay khơng? Do đó, em khơng thể giải câu c d Ngoài ta cịn thấy, khơng nhiều học sinh sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số Nếu có, em khơng thành cơng để đưa đến kết sau Điều giải thích SGK đưa dạng tốn cần xét đến số kết luận tính đơn điệu hàm số mũ Thực nghiệm mở hướng xây dựng tập cho học sinh mà giáo viên cần phải cân nhắc Không phải lúc đề xuất cho học sinh tập quen thuộc Do đó, giáo viên tạo tình học tập nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức có liên quan Chẳng hạn, hàm số mũ, giáo viên cần xây dựng hệ thống tập cho buộc em phải vận dụng phương pháp giải khác để giải hết hệ thống tập Từ góp phần khắc phục lỗi mắc phải học sinh thực nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO Cục Nhà giáo Cán quản lí Giáo dục (2008), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 THPT, Nxb Giáo dục Ngô Viết Diễn (2001), Phương pháp chọn lọc giải Toán hàm số mũ logarit, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Sách giáo viên Đại số giải tích 11, Nxb Giáo dục Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2000), Toán cao cấp, Nxb Giáo dục Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Hữu Lợi _ Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp giảng dạy Toán, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo dục Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách Giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM (Ngày Tòa soạn nhận bài: 20-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2012) SỰ CẦN THIẾT CỦA MƠ HÌNH HĨA (Tiếp theo trang 121) TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Tân An, Trần Dũng (2009), “Sử dụng mơ hình hóa tốn học việc dạy học tốn”, Tạp chí Giáo dục, (219) Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman (2011), Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling, Springer Gabriele Kaiser, Bharath Sriraman (2006), A Global Survey of International Perspectives on Modelling in Mathematics Eduacation, ZDM Vol 38(3) Hans-Stefan Siller, Modelling in Classroom ‘Classical Models’ (in Mathematics Education) and recent developments www.algebra.tuwien.ac.at/kronfellner/ ESU-6/ /1-13-Siller.pdf OECD (2003), The Pisa 2003 - Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France Rita Borromeo Ferri (2006) Theoretical and Empirical Differentiations of Phases in the Modelling Process ZDM Vol.38(2) Werner Blum, Peter L Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss (2007), Modelling and Applications in Mathematics Education Springer (Ngày Tòa soạn nhận bài: 01-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2012) 129