THÔNG TIN TÀI LIỆU
MT S BÀI TOÁN TỊM CC TR
Li m đu: Ni dung các bài toán tìm giá tr ln nht, nh nht thông thng đc
nêu di dng tng quát sau đây:
Tìm giá tr ln nht, nh nht ca biu thc A = f(x
i
) và các giá tr x
i
tng ng vi
i=
n;1
và các x
i
thuc nhng min xác đnh nào đó, hoc tha mãn mt h ràng buc
g
k
(x
i
) = a
k
(k=
k;1
)
Nguyên tc chung đ gii bài toán:
Vi các điu kin x
i
cho trc, dùng các phép bin đi toán hc đ đa v dng bt
đng thc M
1
2
MA
vi
i
x
, trong đó M
1
và M
2
là các hng s, sau đó tìm giá tr
tng ng ca các x
i
đ A = M
1
; A = M
2
. Khi đó M
1
là giá tr nh nht, M
2
là giá tr
ln nht ca A.
Sau đây chúng tôi xin gii thiu mt s bài toán tìm giá tr ln nht (Max) và nh
nht (Min) thng gp trong chng trình toán THCS. đây s phân chia các dng
toán ch là tm thi cha bao trùm ht các kiu bài toán tìm Min, Max phc tp khác.
Dng th nht
Nhng bài toán tìm Min, Max không có điu kin ràng buc cho các bin. Trong loi
này thông thng có các kiu bài toán sau đây:
*1 Biu thc cn tìm cc tr là mt biu thc nguyên
Cách gii thng dùng là vit biu thc di dng tng các bình phng vi mt
hng: f(x) =
Kxg
2
)(
VD1 Tìm giá tr nh nht ca f(x) = x
2
– x + 1
HD gii: f(x) = x
2
– x + 1 = (x –
4
3
4
3
)
2
1
2
(do (x –
0)
2
1
2
) Vy GTNN ca f(x) là
4
3
khi x =
2
1
VD2 Tìm GTLN ca f(x) = – x
2
+ 6x + 1
HD gii:
f(x) = – x
2
+ 6x + 1 = – (x – 3)
2
+ 10
10
(do – (x – 3)
2
0
)
Vy GTLN ca f(x) là 10 khi x = 3
VD3 Tìm GTNN ca f(x; y) = 2x
2
– 2xy + 5y
2
+ 2x + 2y
HD gii:
f(x; y)=
11)13(
2
1
)12(
2
1
22
yyx
Do (2x – y + 1)
2
0
; (3y + 1)
2
0
nên GTNN ca f(x; y) bng –1 khi
3
1
3
2
y
x
VD4 Tìm giá tr ln nht ca
f(x; y) = – x
2
– y
2
+ xy + 2x + 2y
HD gii:
– 2f(x; y) = 2x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4x – 4y
= (x – y)
2
+ (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
– 8
f(x; y)=
44)2()2()(
2
1
222
yxyx
Vy f(x; y) có giá tr ln nht bng 4 khi x = y = 2
Bài tp áp dng
1-1 Tìm GTNN ca f(x) = x
5
– x
2
– 3x + 5 vi x
0
1-2 Tìm GTNN ca
f(x; y; z) = x
4
+ y
4
+ z
4
– 1 – 2x
2
y
2
+ 2x
2
– 2xz
1-3 Tìm GTNN ca : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
1-4 Tìm GTNN ca : f(x) = x
100
– 10x
10
+ 10
1-5 Tìm GTNN ca : f(x; y) = x
2
– 4xy + 5y
2
+ 10x – 22y + 28
1-6 Tìm GTLN ca f(x) = 2 + x – x
2
*2. Biu thc cn tìm cc tr có cha du giá tr tuyt đi
VD Tìm GTNN ca f(x) =
x – 3 5x
HD gii:
Cách 1: Ta có /x – 3/ =
)3(3
)3(3
xx
xx
/x – 5/ =
)5(5
)5(5
xx
xx
Nu x < 3 thì f(x) = 8 – 2x > 2
Nu 3
5 x
thì f(x) = 2
Nu x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2
Giá tr nh nht ca f(x) = 2 khi
53 x
Cách 2:
f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/
253 xx
Vy GTNN ca f(x) là 2 <==> (x – 3)(5 – x)
530 x
Bài tp áp dng
2-1 Vi mi giá tr nguyên ca x, tìm GTNN ca
f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/
2-2 Tìm GTNN ca
f(x) = /x
2
– 1/ + /x
2
– 4/ + /x + 1/ + /x + 2/
2-3 Tìm GTNN ca : f(x) =
4444 xxxx
2-4 Tìm GTNN ca : f(x) =
22
)1994()1993( xx
2-5 Tìm GTLN, GTNN ca : f(x) =
11 xx
*3. Biu thc cn tìm GTLN, GTNN là mt biu thc hu t cha mt bin.
VD1: Tìm GTLN, GTNN ca : y =
1
1
2
2
xx
x
HD gii:
Cách 1:
y =
2
4
3
)
2
1
(
)1(
2
1
12
1
)12(2
2
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
GTLN ca y là 2 khi x = 1
y =
)1(3
)1(3
1
1
2
2
2
2
xx
x
xx
x
=
3
2
4
9
)
2
1
(3
)1(
3
2
)1(3
)12()1(2
2
2
2
22
x
x
xx
xxxx
Vy GTNN ca y là
3
2
khi x = – 1
Cách 2:
Do x
2
– x + 1 > 0 vi mi x nên ta có th vit:
y(x
2
– x + 1) = x
2
+ 1 <==>
(y – 1)x
2
– yx + y – 1 = 0 (*)
Nu y = 1 thì x = 0
Nu y
1
thì phng trình (*) phi có nghim
0483)1(4
222
yyyy
2
3
2
9
4
)
3
4
(
2
yy
Vy GTNN ca y là
3
2
khi x = – 1
GTLN ca y là 2 khi x = 1
VD2 Tìm GTLN, GTNN ca
y =
22
4
)1(
1
x
x
vi x
0
HD gii: y =
22
2
22
2
22
24
)1(
2
1
)1(
2
)1(
12
x
x
x
x
x
xx
1
GTLN ca y là 1 khi x = 0
tìm GTNN có hai cách sau:
Cách 1: Dùng điu kin có nghim ca phng trình bc hai:
Bin đi thành (y – 1)x
4
+ 2yx
2
+ y – 1 = 0
Khi y = 1 thì x = 0, nu y
1 thì phng trình phi có nghim
012' y
<==> y
2
1
, GTNN ca y là
2
1
khi x = 1
Cách 2: Bin đi y =
2
1
1
1
2
1
2
2
2
x
x
Bài tp áp dng
3-1 Tìm GTNN, GTLN ca : y =
32
2
2
2
xx
xx
3-2 Tìm GTNN, GTLN ca : y =
2
32
2
2
x
xx
3-3 Tìm giá tr ln nht ca : y =
2
)1993( x
x
3-4 Tìm GTLN, GTNN ca : y =
1
)1(2
2
2
x
xx
3-5 Tìm GTLN ca y =
4
2
1 x
x
3-6 Tìm GTNN ca y =
x
xx 8)(2(
Vi mi x > 0
3-7 Tìm GTLN ca y =
22
742
2
2
xx
xx
3-8 Tìm GTLN ca y =
xx 12
3-9 Tìm GTLN và GTNN ca : y = x +
2
2 x
3-10 Xác đnh a và b đ biu thc A =
1
2
2
x
baxx
có GTNN bng – 1
Dng th hai:
Nhng bài toán cc tr có điu kin ràng buc gia các bin. Xin gii thiu mt s b
đ có liên quan:
B1 Tng hai s dng là mt hng s thì tích ca chúng ln nht khi hai s đó bng
nhau.
B2 Tích hai s dng là mt hng s thì tng ca chúng nh nht khi hai s đó bng
nhau.
B3 Vi mi x > 0 ta có:
2
1
x
x
du bng xy ra khi x = 1
BT Cauchy
n
n
i
i
n
i
ii
xnxx
1
1
;0
Du bng xy ra khi x
1
= x
2
…= x
n
BT Bunhiacopxki: (x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2
)
2
)( byax
Du bng xy ra khi ax = by
Vi nhiu s hng:
2
11
2
1
2
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
baba
Du bng xy ra khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
2
2
1
1
* 4. Nhng bài toán áp dng B 1, 2
VD1 Cho a + b = 1, tìm GTNN ca A = a
2
+ b
2
; B = a
4
+ b
4
;
C = a
8
+ b
8
HD gii: A = a
2
+ b
2
= (a + b)
2
– 2ab = 1 – 2ab
Theo B 1 thì ab ln nht bng
4
1
khi a = b =
2
1
Vy A nh nht bng
2
1
khi a = b =
2
1
Do a
2
+ b
2
2
1
==> a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
4
1
và
a
4
– 2a
2
b
2
+ b
4
0
nên 2(a
4
+ b
4
)
4
1
GTNN ca B =
8
1
khi a = b =
2
1
Tng t ta cng tìm đc GTNN ca C là
64
1
khi a = b =
2
1
Bài tp áp dng
4-1 Cho a + b = 1, tìm GTNN ca a
3
+ b
3
+ ab
4-2 Tìm GTLN ca f(x; y) = (a – x)(b – y)(cx – dy)
Vi a, b, c, d là các s dng, a > x, b > y,
cx + dy > 0
4-3 Tìm GTLN ca A = xy vi 3x + 5y = 12
4-4 Vi a > 0, b > 0, ab = 1, tìm GTNN ca : (a + 1 )(b + 1)
4-5 Tìm GTLN ca : f(x) = (2x
2
+ 1)(5 – x
2
) vi x
2
5
4-6 Tìm GTNN ca y =
1
2
2
x
x
vi x > 1
*5. Nhng bài toán áp dng các BT
VD1 Tìm GTNN ca : f(x; y) =
10)(8)(3
2
2
2
2
x
y
y
x
x
y
y
x
HD gii: đt t =
0442
22
ttt
x
y
y
x
Khi đó: f(x; y) = f(t) = t
2
– 4 + 2(t – 2)
2
0
f(t) = 0 khi t = 2
1 yx
Vy GTNN ca f(x; y) = 0 khi x = y =
1
VD2 Tìm GTNN ca f(x; y) = x
2
+ y
2
vi ax + by = k (a, b, k là hng s)
HD gii: (ax + by)
2
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Hay x
2
+ y
2
22
2
ba
k
du bng xy ra khi
y
b
x
a
t đó suy ra GTNN ca f(x; y)
VD3 Tìm GTLN, GTNN ca x bit rng
13
7
2222
cbax
cbax
HD gii: Ta chng minh đc:
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
(a + b + c)
2
Hay: 3(13 – x
2
)
(7 – x)
2
4x
2
– 14x + 10
0
2x
2
–7x + 5
0
2(x – 1)(x –
0)
2
5
1
x
2
5
-GTNN ca x là
2
5
khi a = b = c =
2
3
- GTLN ca x là 1 khi a = b =c = 2
VD4 Cho h
)3(12
)2(16
)1(9
22
22
yzxt
ty
zx
Vi mi x, y, z, t là s thc dng
Tìm GTLN ca x + y
HD gii: Nhân (1) vi (2) v theo v: x
2
y
2
+ x
2
t
2
+ z
2
y
2
+ z
2
t
2
= 144 (4)
Bình phng hai v ca (3) : x
2
t
2
+ 2xyzt + y
2
z
2
144
(5)
T (4) và (5): x
2
y
2
+ z
2
t
2
– 2xyzt = 0
Suy ra xy = zt (6)
Cng (1) và (2) ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= 25 (7)
T (6) và (7) ta có:
x
2
+ y
2
+ 2xy + z
2
+ t
2
– 2zt = 25
Hay: (x + y)
2
+ (z – t)
2
= 25
x + y ln nht thì z – t = 0
Vây x + y = 5, z = t = 2,4
Tính đc (x, y, z, t) = (1,8; 3,2; 2,4; 2,4)
Bài tp áp dng
5-1 Vi x, y
0
, tìm GTNN ca : f(x;y) =
)()()(
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
5-2 Tìm GTLN ca M = xy + yz + xz
khi x + y + z = 1 và z, y, z là các s không âm.
5-3 Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm GTNN ca
zyx
111
5-4 Cho x + y + z = 1, tìm GTNN ca x
2
+ y
2
+ z
2
5-5 Vi p > 1, tìm GTNN ca A =
4
2
1
2
2
2
x
x
p
vi x
0
5-6 Vi:
6
9
4
22
22
yzxt
tz
yx
(x; y; z; t > 0)
Tìm giá tr ln nht ca x + y
5-7 Cho các s t nhiên x; y; z; t. Tìm GTNN ca
M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
vi
10143
21
222
222
zyx
tyx
5-8 Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tìm GTNN, GTLN ca a + b + c
5-9 Vi a + b + c
3. Tìm GTNN ca : M = a
2
+ b
2
+ c
2
5-10 Vi a, b, c
0
và ab + bc + ac = 1. Tìm GTNN ca a + b + c
5-11 Cho
ntzyx 1
Tìm GTNN ca : A =
t
z
y
x
*6. Nhng bài toán dùng n ph đ đa v phng trình bc hai hoc dùng bt
đng thc
VD1 Tìm GTLN, GTNN ca:
f(x; y) = 2x – 3y vi 3x
2
– xy + 2y
2
= 5 (*)
Gii: t t = 2x – 3y ==> y =
3
2 tx
thay vào (*)
29x
2
– 5tx + 2t
2
– 45 = 0, bài toán có cc tr khi phng trình có nghim:
05220207
2
t
hay
23
580
23
580
t
T đó suy ra GTLN, GTNN ca f(x; y)
VD2 Tìm GTLN ca A = ab khi a + 2b = 1
HD gii: A = ab = b(1 – 2b) ==> – 2b
2
+ b – A = 0
8
1
081 AA
, suy ra GTLN ca A bng
8
1
khi a =
4
1
;
2
1
b
Bài tp áp dng
6-1 Tìm GTNN, GTLN ca A = 2x
2
– xy – y
2
vi x
2
+ 2xy + 3y
2
= 4
6-2 Cho x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0
Tìm GTLN, GTNN ca S = x + y + 1
6-3 Cho (x
2
– y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
=0
Tìm GTNN, GTLN ca S = x
2
+ y
2
6-4 Cho h:
8
5
zxyzxy
zyx
Tìm GTLN, GTNN ca x
6-5 Tìm GTNN ca S = x + y vi x, y > 0
Và
a
yx
111
22
(trong đó a là hng s dng)
6-6 Cho x
2
+ 3y
2
+ z
2
= 2. Tìm GTLN ca : A = 2x + y – z
6-7 Tìm GTNN ca : f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)
*7. Nhng bài toán cc tr liên quan đn nghim ca phng trình bc hai
VD1 Cho phng trình bc hai:
x
2
– mx –
0
1
2
m
, có hai nghim x
1
, x
2
Tìm GTNN ca x
1
4
+ x
2
4
HD gii: Tính đc
x
1
4
+ x
2
4
=
4
2
4
4
m
m
x
1
4
+ x
2
4
422
GTNN bng
224
khi m =
8
2
Bài tp áp dng
7-1 Cho phng trình bc hai: x
2
– ax + a – 1 = 0 có hai nghim x
1
, x
2
.
Tìm GTLN, GTNN ca: M =
)1(2
32
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx
7-2 Cho phng trình bc hai có hai nghim x
1
, x
2
: x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
Tìm GTNN ca x
1
2
+ x
2
2
7-3 Cho phng trình bc hai : (m
2
+ m + 1)x
2
– (m
2
+ 8m + 3)x – 1 = 0
Tìm GTLN, GTNN ca x
1
+ x
2
7-4 Cho phng trình bc hai : x
2
+ 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0
Tìm GTNN ca x
1
2
+ x
2
2
*8. Mt s bài toán cc tr hình hc đc gii bng phng pháp đi s
VD1 Cho hình vuông ABCD cnh bng a. Xác đnh v trí ca đim M trên đng chéo
BD đ din tích tam giác CEF đt GTNN và tính GTNN đó theo a. E và F là hình chiu
ca M trên AB và AD.
HD gii: E
A B
F M
D E’ C
K ME’ vuông góc vi CD, khi đó MFDE’ là cng là hình vuông. t ME’ = x ==>
ME = a – x = AF,
A
*
= S(CEF) = S(MEF) + S(MEC) + S(FMC)
= S(AFB) + S(FMC)
=
)(
2
1
2
1
)(
2
1
22
xaxaxxaa
A* đt GTNN khi x(a – x) đt GTLN,
do x + (a – x) = a nên tích x(a – x) ln nht khi
x = a – x =
2
a
==> x = a/2 ==> ME’ = a/2
==> MD =
2
2a
Vy M chính là giao đim ca hai đng chéo AC và BD và khi đó S(CEF) = 3a
2
/8
VD2 Cho đim M nm trong tam giác ABC ( AB = c, BC = a, CA = b). Gi khong
cách t M đn các cnh AB, BC , CA là z, x, y. Hãy xác đnh v trí ca M đ biu thc:
P =
z
c
y
b
x
a
đt GTNN
HD gii:
A
M
B C
Ta có 2S = ax + by + cz
(S là din tích tam giác ABC)
(ax + by + cz)(
SP
z
c
y
b
x
a
2)
2SP = a
2
+ b
2
+ c
2
+ ab(
)()()
x
z
z
x
ca
y
z
z
y
bc
x
y
y
x
Do
2
x
y
y
x
, nên 2SP
(a + b + c)
2
Vy P đt GTNN bng (a + b + c)
2
/2S khi x = y = z tc là khi đim M là tâm đng
tròn ni tip tam giác ABC (giao đim ba đng phân giác)
VD3 Chng minh rng trong các tam giác vuông có chu vi không đi thì tam giác có
cnh huyn nh nht là tam giác vuông cân.
HD gii: Chuyn bài toán hình hc sang đi s:
0,,,
222
kcba
cba
kcba
Tìm GTNN ca c
a
2
+ b
2
= c
2
= (k – a – b)
2
<==> k
2
– 2ka – 2kb + 2ab = 0
<==> ab + k
2
– ka – kb = k
2
/2
<==> (k – a)(k – b) = k
2
/2 (hng s), vy
k – a + k – b nh nht khi k – a = k – b hay a = b
khi đó a + b ln nht nên c nh nht. Tam giác vuông cân.
Bài tp áp dng
8-1 Cho hình vuông ABCD cnh a, xét các hình thang có bn đnh trên bn cnh ca
hình vuông và hai đáy song song vi mt đng chéo ca hình vuông. Tìm hình thang
có din tích ln nht và tính din tích y.
8-2 Cho đon thng AB = m và đng thng d song song vi AB. M là mt đim không
thuc AB và M nm trong na mt phng b AB không cha đng thng d. Gi C và
D là giao đim ca MA, MB vi d, tìm nhng v trí ca M đ tam giác MCD có din
tích nh nht.
8-3 Cho hình vuông ABCD cnh a, O là giao đim hai đng chéo, quay hình vuông
ABCD đn MNPQ tâm quay là O, góc quay là
. Xác đnh góc quay
đ chu vi phn
chung ca hai hình vuông ABCD và MNPQ là nh nht.
8-4 Hãy tìm trong tam giác ABC mt đim M sao cho tích các khong cách
t đó đn các cnh ca tam giác có giá tr ln nht.
8-5 Cho hình vuông ABCD, mt hình vuông MNPQ có bn đnh
nm trên bn cnh ca hình vuông ABCD, xác đnh v trí ca
MNPQ đ din tích MNPQ nh nht.
. thi u mt s bài toán tìm giá tr ln nht (Max) và nh nht (Min) thng gp trong chng trình toán THCS. đây s phân chia các dng toán ch là tm thi cha bao trùm ht các kiu bài toán. buc g k (x i ) = a k (k= k;1 ) Nguyên tc chung đ gii bài toán: Vi các điu kin x i cho trc, dùng các phép bin đi toán hc đ đa v dng bt đng thc M 1 2 MA vi i x ,. MT S BÀI TOÁN TỊM CC TR Li m đu: Ni dung các bài toán tìm giá tr ln nht, nh nht thông thng đc nêu di dng tng
Ngày đăng: 01/04/2014, 08:20
Xem thêm: ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 29 ppt