3 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®−îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh cña PGS TS §Æng §×nh Ch©u T«i muèn bµy tá sù c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn ban chñ nhiÖm Khoa vµ c¸c ThÇy gi¸o, C« gi¸o trong[.]
3 Lời cảm ơn Luận văn đ-ợc thực hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu.Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm Khoa Thầy giáo, Cô giáo Khoa Toán-Cơ-Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội đà động viên, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm h-ớng dẫn suốt trình học vừa qua Trong trình làm luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Lời mở đầu Các ph-ơng pháp nghiên cứu tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân đ-ợc xây dựng hoàn thiện nhà toán học Nga A.Lyapunov từ đầu kỷ XIX Trong luận văn tiến sĩ đ-ợc công bố năm 1882, Lyapunov đà trình bày ph-ơng pháp khác để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính phi tuyến Các ph-ơng pháp đà đ-ợc ứng dụng rộng rÃi khoa học kỹ thuật đặc biệt ph-ơng pháp hàm Lyapunov ph-ơng pháp xấp xỉ thứ Nhờ trình tuyến tính hóa ( ph-ơng pháp biến phân ), nhiều tr-ờng hợp đ-a việc xét tính ổn định hệ phi tuyến việc nghiên cứu tính ổn định hệ tựa tuyến tính Trong luận văn trình bày tính chất ổn định hệ tuyến tính, tựa tuyến tính hệ tuyến tính hóa đ-ợc nhờ ph-ơng pháp biến phân Ngoài tiêu chuẩn ổn định theo Lyapunov, luận văn đà đề cập đến khái niệm ổn định ngặt định lý t-ơng ứng ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ hƯ tun tÝnh kh«ng «t«n«m cã nhiễu ổn định tiệm cận nội dung ch-ơng Trong ch-ơng tiếp tục trình bày kết ph-ơng pháp hàm Lyapunov ph-ơng pháp xấp xỉ thứ Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm có xung Ph-ơng trình vi phân hµm cã xung cã nhiỊu øng dơng thùc tÕ H-ớng nghiên cứu bắt đầu đ-ợc quan tâm từ năm 2002 đ-ợc nhiều nhà khoa học giới quan tâm Xin phép đ-ợc liệt kê số tác giả tiêu biểu nh- M.Benchora[12][13], J.Henderson[12], G.T Stamov vµ I.M Stamov[11], X Liu[10], V Lakshmikantham[3], Phần cuối luận văn đà trình bày ứng dụng ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình mô tả trình hoạt động mạng nơron thần kinh có nhiễu Ngoài việc xây dựng ví dụ minh họa đà trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân có xung ch-ơng Danh mục ký hiệu N Tập hợp số nguyên không âm R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực d-ơng Rn Không gian n chiều Rn+ Không gian mà phần tử có n thành phần toạ độ thực d-ơng sup E(sup x) Cận E xE inf E( inf x) Cận d-ới E lim sup Giới hạn xE n lim inf Giới hạn d-ới K Tập hàm f : R+ R+ liên tục, tăng ngặt f (0) = Tập hàm f : R+ R+ liên tục f (s) s Tập hàm f : R+ R+ liên tục f (s) > s Tập hàm f : R+ R+ liên tục, f (0) = vµ f (s) > víi s > n Ch-ơng Ph-ơng trình vi phân tuyến tính ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ ph-ơng trình vi phân Trong ch-ơng trình bày kiến thức sở hệ ph-ơng trình vi phân Nội dung ch-ơng bao gồm định nghĩa, khái niệm định lý hệ ph-ơng trình vi ph©n tun tÝnh , giíi thiƯu lý thut vỊ ổn định tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính toán tuyến tính hóa ổn định 1.1 Sự tồn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân 1.1.1 Định lý tồn nghiệm Hệ ph-ơng trình vi phân tổng quát có dạng: x(t) = f (x(t)) t ∈ I = (b, ∞), x(t ) = x , t > b 0 (1.1.1) ®ã f : I ì D Rn , D tập mở Rn Hệ đ-ợc gọi ôtônôm biểu thức vế phải hệ không phụ thuộc vào t hay là: x(t) ˙ x(t ) = f (t, x(t)) t ∈ I = (b, ∞), = x0 , t0 > b Định nghĩa 1.1.1 Hàm x(t) = x(t, t0, x0) đ-ợc gọi nghiệm (1.1.1.) x(t) khả vi liên tục thoả mÃn: (i) (t, x(t)) I ì D, (ii) x(t) tháa m·n (1.1.1.) NghiƯm cđa (1.1.1.) ph¶i thỏa mÃn ph-ơng trình tích phân: x(t) = x0 + Zt (1.1.2) f (s, x(s))ds t0 Các định lý sau cho ta điều kiện đủ để tồn kéo dài nghiệm vô hạn §Þnh lý 1.1.1 (§Þnh lý Picard - Lindeloff) XÐt hƯ ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) giả sử D = {x ∈ Rn : ||x − x0|| < a, a > 0}, f : I × D → Rn liên tục theo t thỏa mÃn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x tức : K > : ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ K||x y||, t0 Khi với (t0, x0) I ì D ta tìm đ-ợc số d > cho hệ ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) có nghiệm khoảng [t0 d, t0 + d] (Chứng minh xem [1]) Định lý 1.1.1 tiếp tục thác triển nghiệm khoảng Định lý sau đảm bảo tính kéo dài nghiệm khoảng thời gian vô hạn Định lý 1.1.2 NÕu miÒn ||x − x0|| ≤ a < , t t0 thỏa mÃn điều kiện sau: (i) f : I ì D Rn liên tục thỏa mÃn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biÕn x tøc lµ: ∃K > : ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ K||x − y||, t≥0 (ii) ||f (t, x0)|| ≤ N < ∞ ®ã quỹ đạo không v-ợt miền ®ã ||x − x0|| ≤ a1 < a sÏ kÐo dài đ-ợc khoảng thời gian vô hạn (Chứng minh xem [1]) Định lý 1.1.3 Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 vµ tháa m·n ||f (t, x(t))|| L(||x||) Rr dr L(t) hàm liên tục có tính chất L(r) r r0 Khi nghiệm ph-ơng trình (1.1.1.) kéo dài đ-ợc khoảng thời gian vô hạn (Chứng minh xem [1]) 1.1.2 Công thức biểu diễn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính dạng: x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ x(t ) = x , t ≥ 0, 0 A = (aij )nìn ma trận hàm g : [0, +) Rn hàm khả tÝch Ký hiƯu T (t) = eAt lµ ma trËn mũ nghiệm hệ xác định [0, +) đ-ợc xác định công thức: (Xem [1]) A(t−t0 ) x(t) = e x0 + Zt eA(ts) g(s)ds t0 Đối với hệ vi phân tuyến tính không ôtônôm dạng: x(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ x(t ) = x , t ≥ 0, 0 A(t) = (aij (t))nìn hàm liên tục R+ g : [0, +) Rn hàm liên tục Nếu A(t) hàm liên tục ||A(t)|| m(t), m(t) hàm khả tích hệ vi phân tun tÝnh trªn sÏ cã nghiƯm nhÊt trªn [0, +) Nghiệm đ-ợc biểu diễn d-ới dạng: x(t) = φ(t, t0)x0 + Zt φ(t, s)g(s)ds t0 ®ã φ(t, s) ma trận nghiệm hệ: x(t) ˙ = A(t)x(t) Ma trËn φ(t, s) tháa m·n ph-ơng trình ma trận d (t, s) = A(t)φ(t, s), dt t ≥ s ≥ 0, φ(t, t ) = I Chó ý r»ng ma trËn φ(t, s) tìm đ-ợc ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp họ ma trận (t, s) thỏa mÃn tính chất sau đây: (t, t) = E, φ(t, τ ) = φ(t, s).φ(s, τ ), t≥s≥τ φ(t, s) = [(t, s)]1 1.2 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm ổn định Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định theo Lyapunov t + nếu: ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ = δ(t0, ε) > 0, cho : kx0k < δ ⇒ kx(t)k < , t > t0 Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định t + số định nghĩa (1.2.2) không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn ®Þnh tiƯm cËn theo Lyapunov t → +∞ nÕu: Nghiệm tầm th-ờng x = ổn định ∃∆ = ∆(t0) > 0, ∀kx0k < ∆ ⇒ lim kx(t)k = t+ Định nghĩa 1.2.5 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t → +∞ nÕu: NghiƯm tÇm th-êng x = ổn định > 0( không phơ thc vµo t0 ), ∀kx0k < ∆ ⇒ lim kx(t)k = t+ 10 1.2.2 Sự ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: dx = A(t)x dt (1.2.3) Định lý 1.2.4 Giả sử = (t) ma trận nghiệm (1.2.3) Khi đó: (1) x(t) ổn định (2) x(t) ổn định tiệm cận (3) x(t) ổn định (4) x(t) ổn định tiệm cận K > 0, α > cho kφ(t)φ−1(s)k < Ke−α(t−s), ∀t, s : t0 ≤ s ≤ t < ∞ ∃K > : kφ(t)k < K, ∀t ∈ [t0, +∞) lim kφ(t)k = t→+∞ −1 kφ(t)φ (s)k ≤ M, ∀t0 ≤ s ≤ t < +∞ Chøng minh (1) Gi¶ sư φ(t0) = I (⇒) ∀t ≥ t0 Gi¶ sư tån t¹i K > : kφ(t)k ≤ K, Víi mäi ε > cho tr-íc chän δ = 2K với kx0k < ta cã: ε kx(t)k = kφ(t)x0k ≤ kφ(t)kkx0k ≤ Kkx0 k ≤ Kδ = ⇒ (⇐) x(t) ≡ ổn định Giả sử x(t) ổn định Chän ε = K1 > víi kx0 k < δ ∗ Khi ®ã kx(t)k ≤ K1 , ∀t ≥ t0 ⇒ kφ(t)x0k ≤ K1 NÕu kx0k ≤ δ ∗ < ⇒ sup kφ(t)x0k ≤ K1 kx0 k t0 víi ε > 0, ε < K, ∃T > t1 cho: t→+∞ kx(t)k < ε, ∀t > T Ta cã: kφ(t)φ−1(s)k ≤ ε δ = θ, t ≥ T Khi ®ã: kφ(t)φ−1 (t1)k = kφ(t)φ−1 (t1 + T )φ(t1 + T )φ−1(t1)k = kφ(t)φ−1 (t1 + 2T )φ(t1 + 2T )φ−1 (t + T )φ(t1 + T )φ−1(t1 )k = = kφ(t)φ−1 (t1 + nT )φ(t1 + nT ) φ(t1 + T )φ−1(t1 )k ≤ kφ(t)φ−1 (t1 + nT )k kφ(t1 + T )φ−1(t1 )k ≤ Kθn = K.en lnθ T T = K.e−α.n.T víi α=− lnθ T v× θ= ε t0 ta cã ||v(t1)|| = γ vµ ||v(t)|| ≤ γ víi mäi t ∈ [t0, t1 ] Sư dụng (1.4.13) ta nhận đ-ợc ||v(t)|| ||x0|| + K Zt g(s, ||x(s, t0, v(s))||ds t0 ≤ ||x0|| + K Zt g(s, K||v(s)||)ds t0 Suy K||v(t)|| ≤ K||x0|| + K Zt t0 g(s, K||v(s)||)ds 21 ®ã ta nhận đ-ợc K||v(t)|| r(t, t0, K||x0||), t [t0, t1], r(t, t0 , K||x0||) nghiệm cực đại (1.4.18), chọn ||x0|| < K dễ thấy từ điều kiện (iii) = ||v(t1)|| r(t1 , t0, K||x0||) < γ, suy v« lý VËy ||v(t)|| < γ víi mäi t ≥ t0, nÕu ||x0|| < δ K Tõ quan hƯ (1.4.14) vµ (1.4.15) cộng với điều kiện (i) (ii) ||y(t, t0, x0 )|| ≤ K||x0|| + K Zt g(s, K||y(s, t0, x0||)ds, t ≥ t0 t0 Sư dơng bỉ ®Ò suy ||y(t, t0, x0)|| ≤ r(t, t0, K||x0||), t t0 Do tính ổn định (1.4.12) đ-ợc suy từ (iii) 1.5 Tính ổn định ngặt hệ ph-ơng trình vi phân Xét hệ ph-ơng trình vi phân: x0 = F (t, x), x(t0) = x0 (1.5.20) y = f (t, y), y(t0) = x0 (1.5.21) F, f C[R+ × Rn , Rn ] Gi¶ sư r»ng y(t, t0, x0 ) nghiệm (1.5.21) đạo hàm riªng ∂y (t, t0, x0) ∂x0 ∂y (t, t0, x0), t0 tồn liên tục R+ ì Rn Đặt m(s) = y(t, s, x(s)), t0 s t, x(s) = x(s, t0, x0) nghiệm (1.5.20) với s t0, Ta cã: m0(s) = ∂y ∂y (t, s, x(s)) + (t, s, x(s)).F (s, x(s)) = G(t, s, x(s)), ∂t0 x0 lấy tích phân ta nhận đ-ợc: m(t) m(t0) = Zt t0 G(t, s, x(s))ds (1.5.22) 22 Hay lµ: x(t) = y(t) + Zt G(t, s, x(s))ds, (1.5.23) t ≥ t0 t0 Chó ý r»ng m(t) = y(t, t, x(t)) = x(t) m(t0) = y(t) Giả sử V C 1[R+ ìRn , R] m(s) = V (s, y(t, s, x(s))), ®ã V ∈ C 1[R+ ìRn , R] biến đổi t-ơng tự nh- ta nhận đ-ợc V (t, x(t)) = V (t0, y(t)) + Zt dV (s, y(t, s, x(s)))ds, ds (1.5.24) t0 ®ã: dV ∂V ∂V (s, y(t, s, x(s))) = (s, y(t, s, x(s))) + (s, y(t, s, x(s))).G(t, s, x(s)) ds ∂t ∂x NÕu f (t, y) lµ hàm liên tục tồn đạo hàm riêng theo biến y, nghiệm y(t, t0, x0) (1.5.21) khả vi víi mäi (t0 , x0) vµ tháa m·n: ∂y (t, t0, x0) = −φ(t, t0, x0)f (t0 , x0), ∂t0 ∂y (t, t , x ) = φ(t, t , x ), t ≥ t ∂x0 0 (1.5.25) ®ã φ(t, t0, x0) ma trận nghiệm ph-ơng trình biÕn ph©n: z = fy (t, y(t, t0, x0 )z, (1.5.26) z(0) = I, I ma trận đơn vị Từ (1.5.22) (1.5.25) ta thấy G(t, s, x(s)) = φ(t, s, x) F (s, x) − f (s, x) Gi¶ sư r»ng F (t, x) = f (t, x) + R(t, x), ®ã R(t, x) đ-ợc coi nhiễu, theo (1.5.23) đ-ợc biến đổi thành: x(t) = y(t) + Zt (t, s, x(s))R(s, x(s))ds, t ≥ t0 , (1.5.27) t0 VÝ dô nÕu V (t, x) = |x|2, tõ (1.5.24) ta sÏ nhận đ-ợc 2 |x(t)| = |y(t)| + Zt t0 y(t, s, x(s))φ(t, s, x(s))R(s, x(s))ds, t ≥ t0 (1.5.28) ... ph-ơng trình vi phân tuyến tính , giới thiệu lý thuyết ổn định tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính toán tuyến tính hóa ổn định 1.1 Sự tồn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân 1.1.1 Định lý... ch-ơng Trong ch-ơng tiếp tục trình bày kết ph-ơng pháp hàm Lyapunov ph-ơng pháp xấp xỉ thứ Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm có xung Ph-ơng trình vi phân hàm có xung có nhiều ứng dụng thực... Ph-ơng trình vi phân tuyến tính ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ ph-ơng trình vi phân Trong ch-ơng trình bày kiến thức sở hệ ph-ơng trình vi phân Nội dung ch-ơng bao gồm định nghĩa, khái niệm định