Đang tải... (xem toàn văn)
1 PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều k[.]
PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (người học Tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện khả tư lôgic, phương pháp luận khoa học Trong dạy học Tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập Tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần bồi dưỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập Tốn có tốn bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh Bài toán bất đẳng thức tốn khó phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt với học sinh THCS Là giáo viên dạy THCS tơi thấy dạy tốn bất đẳng thức là: Bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi việc chứng minh tồn bất đẳng thức cịn ứng dụng giải dạng tốn khác, nhiên học sinh có hiểu biết bất đẳng thức ứng dụng hạn chế Trong kì thi học sinh giỏi học sinh thường điểm toán liên quan đến bất đẳng thức Vì vậy: Để giải góp phần vấn đề này, mặt khác nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư sáng tạo học sinh, chọn đề tài:" Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu bất đẳng thức CƠSI" nhằm trang bị cho em kiến thức kỹ thuật sử dụng ứng dụng bất đẳng thức C, đặc biệt với học sinh giỏi Từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải ,chủ động tư tìm hướng giải cho toán, hiệu cao Qua toán về bất đẳng thức mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn Bằng hình thức như: - Kiểm tra cách làm Xem xét lại lập luận, xem lại kỹ áp dụng Bất đẳng thức Cơsi - Nghiên cứu, tìm tịi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu toán dạng khác sử dụng Bất đẳng thức Cơsi hay khơng? Có thể khai thác giả thiết toán cho phù hợp? Các dạng Bất đẳng thức Côsi sử dụng tốn có mối liên hệ với nhau? Mỗi toán giải kiến thức tốn học sử dụng tốn liệu sử dụng để giải tốn khác hay không? Trong đề tài này, xin minh hoạ số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cosi, thấy ứng dụng bất đẳng thức Cơsi việc giải dạng tốn khác Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung bất đẳng thức nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học tốn; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn PHẦN II- NỘI DUNG A THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực trạng vấn đề - Khi giảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc làm tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình - Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích đề tài mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp tốn khác chút khơng giải - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải hạn chế, toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại học sinh chưa vận dụng toán bất đẳng thức vào để giải tốn khó cực trị, hàm số, Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức - Bồi dươngc lực toán cho học sinh, khắc phục phần hạn chế kì thi học sinh giỏi - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán bất đẳng thức trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi ứng dụng bất đẳng thức giải tập toán liên quan Thơng qua việc giải tốn bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt toán bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh trường Nghiên cứu qua mạng Internet - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp Kết cần đạt - Trong đề tài đưa số kiến thức bất đẳng thức Cơsi với trình độ nhận thức học sinh THCS - Trang bị cho học sinh số kỹ sử dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh bất đẳng thức - Rút số nhận xét ý sử dụng kỹ -Thấy vai trị to lớn bất đẳng thức Cơsi giải tập tốn khác Vận dụng giải tốn bất đẳng thức Cơsi vào giải tốn cực trị, giải số phương trình dạng dặc biệt B GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY) Nếu a1, a2, … , an số thực khơng âm a1 a2 n a n n a a a n Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt arithmetic mean GM viết tắt geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức COSI(CAUCHY) Thật cách gọi tên khơng xác Cauchy khơng phải nguời đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Cơsi Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Toán THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Côsi Các quy tắc cần nhớ sử dụng bất đẳng thức Côsi Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải tốn chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Đối với toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc dấu đẳng thức thường đạt vị trí biên Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=” xảy biến giá trụ cụ thể Một số dạng bất đẳng thức Côsi a Dạng cụ thể ( số, số ) x, y x x, y, z y x xy y y x xy x y 1 x y y z x xy x xyz x z y 3 xyz z xyz y 4xy x xy x y 1 x y z y z 27 xyz x y xyz z Đẳng thức xảy Đẳng thức xảy x=y x=y=z b Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm Cho x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có: x1 Dạng 1: x2 xn n x x x n x x x n n Dạng 2: x1 x2 x1 Dạng 3: x2 xn n xn n n x x x n n Dấu đẳng thức xảy khi: x x2 xn C Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Chúng ta biết bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân.Vì chứng minh bất đẳng thức thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Dưới số ví dụ thể đánh giá Ví Dụ 1.1: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b b c c a 2 8a b c Phân tích : Trong bất đẳng thức vế trái tích tổng số khơng âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho tổng nhân kết theo vế với vế Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 a b 2 ab b c 2 bc c a 2 ca 2 x y = 2|xy| ta có: Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: a b b c c a 2 2 |a b c | 2 8a b c Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Chú ý: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều ( kết bất đẳng thức chiều) vế không âm - Để ý ta dùng cách viết: x2 + y2 âm hay dương 2 x y = 2|xy| x, y - Nói chung ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 2.1: Cho số dương a, b thỏa mãn Chứng minh rằng: a a b b 2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản biến có ràng buộc, nên trước chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ràng buộc đơn giản biến phép phân tích ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 a 2 b ab x y = 2xy cho giả thiết, ta có ab Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi lần nữa, ta a b ab 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b =1 Ví Dụ 3.1: Cho số thực dương không âm a, b Chứng minh rằng: a b ab (a b) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 a b a b 2 x y = 2xy 4 a b ab 2 a ab (a b b) ab 2 a b a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho ví dụ sau Ví dụ 4.1: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh : a b c abc Lời giải x Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng y z cho ba số xyz khơng âm Ta có: a b c ab bc ca a b c abc abc 1 a b a b c c 3 abc 3 abc abc Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b= c Ví dụ 5.1: Cho số thực dương a , b ,c , d Chứng minh a b a b c a b c d 64 abcd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b a b c a b c d 64abcd Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cơsi dạng x y 4xy , ta có a b c a b c a b d 4d a b c 4c a b 4ab Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế,ta suy a b a b c a b c d 64abcd a b a b c Từ cách đơn giản hai vế (1) cho a b a b kết cần chứng minh Đẳng thức xảy d a b c a b a b c , ta thu c d 2c 4b 4a Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi bản, đòi hỏi học sinh khá, giỏi phải nắm chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên bất đẳng thức chứng minh cách đánh giá Vì ta tiếp tục hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Nếu đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu a + b dấu a.b ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng thay dấu a.b dấu a + b Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Dưới số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 1.2: Cho a, b, c số thực dương.Chứng minh rằng: ab cd a c b d Phân tích: - Nếu giữ nguyên vế trái biến tích thành tổng ta khơng thể triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh, sau biến tích thành tổng ta phân thức có mẫu số - Dấu “ ” gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta phải đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ab a c cd b d Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng a c x y xy b d ta có: ab a c cd b d a c b d a a b c b c a c b d a c b d Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy c a c c b c a d c b d a = b c = d Ví dụ 2.2: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: c a c, b c ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức giống với ví dụ 1.2 Vì cách tự nhiên ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cho đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng Lời giải Ta có cần chứng minh tương đương với: c a c b c c ab ab Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x xy y cho số dương ta được: c a c b c ab c ab c b a c a c a b c b a b a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = 2c Ví dụ 3.2: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: abc a b c Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau: 3 1 abc a b 1 1 c abc 3 a b c a b c c Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: 1 abc 3 a 1 b 1 c 1 a b a a b c 1 a b c 1 a b c 3 b a c b c Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 4.2: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: abc a b b c c a a b c 729 Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng dấu đẳng thức bất đẳng thức xảy a b c Nhưng thực tế ta cần quan tâm sau sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy điều kiện xảy dấu đẳng thức a = b = c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x xyz y z ta có: 3 abc a b b c c a a b c a b b c c a 3 3 729 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều nhau, tùy theo điều kiện toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp Trong trình dạy học tốn, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm hai kỹ thuật Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo Chúng ta biết tích hai số nghịch đảo Từ điều dẫn học sinh tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương nghịch đảo nhằm mục đích triệt tiêu biến Tuy nhiên trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ tách hạng tử thành nhiều hạng tử cho ghép cặp nghịch đảo Dưới dây số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách ghép cặp nghịch đảo Ví dụ 1.3: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a b b a Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh dạng bất đẳng thức Côsi, cách chứng minh đơn giản sử dụng kỹ ghép nghịch đảo Lời giải Áp dụng bất dẳng thức Côsi cho hai số ta có: a b b a a b b a Bài toán chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b 10 Ví dụ 2.3: Cho số thực a Chứng minh rằng: a a 2 Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh ta chưa thấy cặp nghịch đảo ta cần biến đổi vế trái để tạo cặp nghịch đảo Để ý a a a 2 1 a a 1 a Lời giải Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số ta có: a a a 2 1 a a 2 1 2 a a 1 a 2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a 1 a a 1 a Ví dụ 3.3: Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a Chứng minh rằng: a b b a b Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức ta cần ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương, để ý muốn triệt tiêu hết biến ta cần ghép nghịch đảo cho c số dương sau b, a b , b a b Lời giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu a phân tích sau : a b a b a b b b a 3 b a b b b a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = Ví dụ 4.3: Cho số thực dương a, b,c Chứng minh rằng: c a a b b b c c a Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương Lời giải 11 Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức sau: c a a b b a b b b a c b b c a a b c c c c b a a c b b b b c a a a c c a c 9 a c a b b c c a Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Tương tự Ví dụ 4.3 ta tiếp tục áp dụng kỹ thuật ghép nghịch đảo cho ví dụ sau Ví dụ 5.3: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: c a a b b b c c a b a c Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau: c c a b a b b b b b c c a a c c c c a a a b a b c b b a a b c a c a a c b c b b a b c b c c a a a b c b c a Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch kỹ thuật khơng có lạ lại đem đến số hiệu định chứng minh bất đẳng thức Vi học sinh cần phải nắm kỹ thuật kỹ gải tập cề bất đẳng thức Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi kỹ thuật tối quan trọng Ý tưởng kỹ thuật việc xác định dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý.Trong trình chứng minh 12 bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Côsi mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Vì hướng dẫn học sinh tìm tịi chứng minh toán bất đẳng thức , người giáo viên cần cho học sinh thấy đánh giá ( chuỗi đánh giá ) khơng bảo tồn dấu tốn chứng minh bị phủ nhận hồn tồn Hãy xét số ví dụ ta hiểu vấn đề dang đề cập Ví dụ 1.4: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện Chứng minh rằng: a b b c c a b c a Lời giải Khi giải toán học sinh thường gặp sai lầm sau: a a b a b b b b c b c c c c a c a a 2 a a b b c c b c a Cách chứng minh hoàn toàn sai Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy = Điều trái với giả thiết a+b=b+c=c+a=1 a+b+c Phân tích: Do vai trị a, b, c biểu thức điểm rơi bất đẳng thức a b c từ ta có a + b = b + c = c + a = để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them số giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy x y 3 , Vậy lời cho hai số khơng âm ta có: 13 a b b c 3 3 a b b c c a c a a b b c c 3 2 b b c c a 2 a a a b c 3 2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 2.4: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện rằng: a b 4ab a Chứng minh b ab Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy a b Từ dự đốn ta áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x xy y cho hai số khơng âm ta có: a b 2ab 4ab 1 4ab 4ab (a b) 2 4ab 1 2ab Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a a Ví dụ 3.4: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện b b 1 x y z 14 Chứng minh : 2x y z 2y x z x 2z y Lời giải Từ hai lời giải với dự đoán dấu đẳng thức xảy nên ta tách 2x x x x y 1 a b áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng z , a b cho hai số dương Ta có: 2x y (x z y) (x z) x y x z 1 16 x y z tương tự ta có: 2x y z 2y x z x 2z y 1 1 16 x y z x y z x y z 1 x y z 16 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy 1 x y z Ví Dụ 4.4 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x Chứng minh rằng: y Vì áp dụng Cosi cho z y Phân tích: Ta dự đoán dấu “=” xảy x 2 z x x y z y y x yz x 1 y 2 y Lời giải x Áp dụng bất đẳng thức COSI dạng y xy ta có: x 1 y y x 2 y y x; z z y 1 2 x z z (x y z y; z) 4 x (x x y z z) 15 x y y z z (x z) y (x x z) y 3 4 (x z) y 3 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy x y z Nhận xét: Việc chọn điểm rơi cho toán giải cách đắn mặt toán học Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi kết hợp với kỹ đánh giá sử dụng bất đăng thức Cơsi hì giải nhiều tốn nhanh gọn hơn, đẹp Kỹ thuật ghép đối xứng Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật “ Ghép đối xứng ” để toán trở nên đơn giản Ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp phải hai dạng toán sau: - Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z A + B + C Ý tưởng: Nếu ta chứng minh X + Y Y+Z 2A Sau đó, tương tự hóa để 2C (Nhờ tính chất đối xứng toán) 2B Z + X Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh - Dạng 2.Chứng minh XYZ ABC với X, Y, Z Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY A2 Sau tương tự hóa để YZ B2 ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức vế theo vế lấy bậc hai , ta có XYZ 2 A B C = ABC ABC Ví dụ 1.5: Chứng minh với a, b, c dương ta có: abc Phân tích: Nếu b c b a c a c nhiên Ta xét trường hợp a b c a b a b a b c c a c a b c b Để ý bất đẳng thức có dạng XYZ a thuật ghép đối xứng, ta cần chứng minh: b a bất đẳng thức hiển b c ABC, sử dụng kỹ b c b c a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x y xy , suy 16 a a b c b c b c b c a a b b b c a c a c a c a b b c c c a b a b a b a b c c a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta điều cần chứng minh Bài toán giải xong Dấu xảy a = b = c Ví dụ 2.5 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca c a b a Phân tích: Bài tốn có dạng X + Y + Z X ab bc ,Y c ca ,Z a ,A a,B b,C c b c A + B + C với Để ý hai biểu thức ab c b bc a đối xứng với b (tức vai trị a c nhau) Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta thử chứng minh ab bc c a 2b Lời giải Bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Côsi ab bc c a ca ab b c Tương tự ta có: ab bc c a 2b ca ab 2a; b c bc ab a c bc ab a 2c c Cộng vế với vế bất đẳng thức ta bc ca ab a b c Dấu đẳng thức xảy 1 a b c a = b = c Từ đó, tốn giải hồn tồn Ví Dụ 3.5 Cho số thực a a , b, c, d b 1 c thỏa mãn điều kiện : d Chứng minh abcd 81 Lời giải 17 Từ giả thiết suy ra: 1 1 a 1 b 1 c b = d c b d c d bcd 3 b c d Chứng minh tương tự ta có: 1 1 vế a b a d 1 a c c vế a 1 d abc d với c c dca 3 b Nhân cda b bốn bất đẳng c d abcd 81 thức a b ta abcd c 81 d Bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = d = Với kỹ thuật ghép đối xứng, ta tiếp tục chứng minh bất đẳng thức đây, không cách trực tiếp mà phải thông qua bổ đề trung gian Để chứng minh bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải có sáng tạo vận dụng linh hoạt kiến thức cần thiết Ví dụ 4.5 Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn a b c b c a c a b a b 3 c Chứng minh tam giác tam giác Lời giải Bổ đề: Với x, y > 0, ta có x y x y Chứng minh: Do x y x y x xy y nên bất đẳng thức tương đương với: x xy y x y 18 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng x y , ta xy x xy y 2 x x y 3xy x y y x y 4 Bổ đề chứng minh Để ý a, b, c tam giác hiển nhiên ta có: a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > Áp dụng bổ đề, ta có: 3 a b a c b c b c b c a a 2b 3 b c b a c a c a c a b b 2c 3 c a c b a b a b a b c c 2a Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế rút gọn hai vế bất đẳng 3 3 3 b c a c a b a b c thức thu cho 2, ta có: a b c Theo giả thiết dấu xảy a b c Điều chứng tỏ tam giác cho tam giác Ví dụ 5.5 Cho x, y, z > 1 x y z x y Chứng minh : z Lời giải Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + với a > 0, b > 0, c > Ta có: c 1 a b a a b 2 a 2 b c 2 b 2 b c 2 , a ab ca b Tương tự a bc b c Nhân ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta 19 a abc b c a b abc c Bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = x = y = z = Nhận xét: Kỹ thuật ghép đối xứng giúp ta chứng minh nhiều bất đẳng thức đối xứng, với bất đẳng thức khơng có tính đối xưng kỹ thuật gần vơ tác dụng Vì địi hỏi học sinh cần phải chăm rèn luyện để có thêm kinh nghiệm đánh giá bất đẳng thức Kỹ thuật đổi biến số Trong bất đẳng thức, có quy luật chung, “Trong dạng cụ thể, bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Kỹ thuật đổi biến cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng Ví dụ 1.6: Cho x, y hai số thực khác Chứng minh rằng: 4x y x y x 2 y y x Phân tích : Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau vế trái tạo nghịch đảo hạng tử thứ Vì ta thử phân tích tổng hai hạng tử để xem kết có dự đốn hay khơng x y y x x y 2x y 2 x y 2 2x y 2 x y x y 2 2 Với kết vậy, giáo viên định hướng học sinh sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức đơn giản Lời giải Để ý bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 4x y x y 2 x 2 y x y 2 Đặt x t y x y 2 4x y x y 2 t Ta toán dạng biếu thức đơn giản là: t t t 5t t t t Theo bất đẳng thức Côsi, ta dễ thấy t t Suy t – > 0, t – 20 ... dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý.Trong trình chứng minh 12 bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Côsi mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Vì hướng dẫn học sinh tìm. .. tốn bất đẳng thức q trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi ứng dụng bất đẳng thức giải tập tốn liên quan Thơng qua việc giải toán bất đẳng thức. .. khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học