LỜI CÁM ƠN Cảm ơn quí thầy cô bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị những kiến thức cho tôi trong chương trình Sau đại học Cám ơn các Thầy cô,[.]
LỜI CÁM ƠN Cảm ơn q thầy mơn Tốn Giải tích, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh trang bị kiến thức cho tơi chương trình Sau đại học Cám ơn Thầy cô, anh chị công tác phòng sau Đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học kỳ hạn Đặc biệt, chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng tận tâm hướng dẫn bảo hoàn thành luận văn ii MỤC LỤC Trang LỜI CÁM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ii LỜI NÓI ĐẦU iv Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.2 Giải tích thực – phức 1.2.1 Tích phân Stieltjes .4 1.2.2 Phổ toán tử tự liên hợp .6 1.2.3 Biến đổi Laplace ngược 1.3 Toán tử Sturm – Liouville .14 1.3.1 Tốn tử Sturm – Liouville qui .14 1.3.2 Toán tử Sturm – Liouville suy biến 18 1.3.3 Đẳng thức Parseval nửa đường thẳng 20 1.3.4 Phổ toán Sturm – Liouville với q ∈ L2 (0, ∞) 26 1.3.5 Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan 31 Chương KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .36 2.1 Biểu diễn nghiệm đầu mút u f (0, t ) 36 2.2 Sự tồn tính nghiệm .39 2.3 Thuật toán .47 2.4 Xác định độ dài b phép đo 49 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n không gian Euclide n chiều Lp ( µ ) khơng gian hàm p – khả tích với độ đo Lebesgue µ L2 ( , d ρ ) khơng gian hàm bình phương khả tích với độ đo Lebesgue – Stieltjes χ[ , a ] hàm đặc trưng đoạn [0, a ] C ([0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm liên tục, bị chặn u :[0, ∞) → L2 (0, b) với chuẩn u sup b 2 = sup u (., t ) u (., t ) = ∫ u ( x, t ) dx t ≥0 0 C1 ((0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm khả vi liên tục, bị chặn u : (0, ∞) → L2 (0, b) với u 1,sup sup u (., t ) + sup chuẩn = t >0 t >0 du (., t ) dt b 2 du (., t ) du ( x, t ) = ∫ dx Chú ý u (., t ) ∈ C ((0, ∞), ) dt dt W m , p ( a, b) khơng gian Sobolev hàm khả tích có đạo hàm riêng đến bậc p m thuộc L (a, b) , với chuẩn u H = H (t ) = W m , p ( a ,b ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 0, t < 1, t > hàm bước đơn vị Heaviside, H (t ) = p iv LỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, giải tốn ngược cho phương trình nhiệt u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), < x < b ≤ ∞, t > 0, b > 1, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0, x (1) + = ( , ) ( , ) 0, u b t Hu b t x u ( x,0) = f ( x) Trong u ( x, t ) nhiệt độ điểm x vào thời điểm t có nhiệt độ đầu f ( x) , chọn cho f ( x) = 0, ∀x > Yêu cầu đặt khôi phục hệ số nguồn nhiệt q ( x) , hệ số truyền nhiệt đối lưu h, H hai đầu mút độ dài b từ phép đo nhiệt độ đầu mút x = , u (0, t ) với ≤ t ≤ T Bài tốn (1) có nhiều ý nghĩa Vật lí, ta xét ba báo [4], [5], [13] GS Vũ Kim Tuấn vấn đề Bài toán truyền nhiệt (0, π ) [4] x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ π , t ≥ 0, ut (= 0, u x (0, t ) − hu (0, t ) = 0, u x (π , t ) + Hu (π , t ) = u ( x,0) = f ( x) (2) f với tiên nghiệm q ∈ L1 (0, π ) Bằng hữu hạn phép đo fi ( x) → u i (0, t ), t ∈ (0, T ) , i = 1, , N , ta thu liệu phổ Tiếp tục thực N phép đo với hệ số truyền nhiệt đối lưu thay đổi, h2 ≠ h1 x = , ta thu liệu phổ thứ hai Khi hàm q khơi phục từ hai phổ Trong [5] toán truyền nhiệt mở rộng u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ b ≤ ∞, t > 0, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0, x , t ) 0, b < ∞ u x (b, t ) + Hu (b= u ( x,0) = f ( x), (3) với tiên nghiệm q ∈ L1loc (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy rời rạc Sử dụng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan – Gasymov tác giả khôi phục hàm q từ hai phổ với bốn phép đo v Bài báo [13] tiếp tục giải toán (3) với tiên nghiệm q ∈ L (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do khơng thể xác định hai tập giá trị riêng xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên, x = , vô cực để xác định giá trị riêng định độ dài hữu hạn hay vơ hạn Hơn có độ dài hữu hạn ta tính độ dài với phép đo Khi tìm giá trị riêng ta khôi phục hàm phổ Từ lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan ta khôi phục hàm q giá trị h, H Luận văn nhằm chứng minh chi tiết kết báo [13], trình bày thành hai chương Chương Trình bày số kiến thức bản, khái niệm tích phân Stieltjes, biến đổi Laplace ngược, toán tử Sturm – Liouville lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Chương Biểu diễn nghiệm đầu mút x = qua khai triển Sturm – Liouville Chứng minh tồn nghiệm toán ngược lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Đặc biệt yêu cầu xác định độ dài thanh, cách chọn nhiệt độ đầu thích hợp ta cần thực phép đo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1 Không gian Hilbert Giả sử H không gian vector, tích vơ hướng (u , v) dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương từ H × H vào Định nghĩa 1.1.1 Không gian Hilbert không gian vectơ H trang bị tích vơ hướng (u , v) khơng gian đầy đủ chuẩn u = (u , u ) Sau ta ký hiệu H không gian Hilbert Định lý 1.1.2 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet) Giả sử H’ không gian liên hợp H Cho ϕ ∈ H ' tồn f ∈ H cho < ϕ, v > = ( f , v), ∀v ∈ H Hơn f = ϕ H' Qui ước Ta đồng H ' với H 1.1.2 Không gian Lp Giả sử (Ω, M , µ ) không gian độ đo ≤ p < ∞ Gọi Lp ( µ ) tập hợp hàm số phức đo X cho ∫u p dµ < ∞ Ω hàm u gọi p – khả tích độ đo µ Ω Khơng gian Lp ( µ ) khơng gian định chuẩn với chuẩn u p p p = ∫ u dµ X Định lý 1.1.3 Khơng gian Lp ( µ ) với ≤ p < ∞ không gian Banach Định lý 1.1.4 Giả sử Ω tập mở n , Lp (Ω) không gian hàm p – khả tích Lebesgue Khi có chuẩn Lebesgue p thiết lập từ tích vơ hướng (u , v) Lp = ∫ u ( x)v( x)dx Ω chuẩn L Giả sử (Ω, M , µ ) khơng gian độ đo, L∞ ( µ ) tập hợp hàm chủ yếu giới nội X Với phần tử u thuộc L∞ ( µ ) , đặt u ∞ = esssup u ( x) x∈X Định lý 1.1.5 Khơng gian L ( µ ) với chuẩn ∞ không gian Banach ∞ 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.1.3.1 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) Cho I = (a, b) khoảng bị chặn hay không bị chặn p ∈ với ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1.6 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) định nghĩa W1, p ( I ) =u ∈ Lp ( I ) : ∃g ∈ Lp ( I ) cho ∫ uϕ ' =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ Cc1 ( I ) I I Ta đặt H ( I ) = W 1,2 ( I ) Với u ∈ W 1, p ( I ) đặt u ' = g gọi đạo hàm suy rộng u Định nghĩa 1.1.7 Không gian W 1, p ( I ) không gian định chuẩn với chuẩn u = W1, p ( I ) u p + u' p Không gian H trang bị tích vơ hướng (u= , v) H (u , v) L2 + (u ', v ') L2 chuẩn tương ứng u= H1 (u tương đương với chuẩn W 1, p ( I ) Xem [6] trang 169 p + u' p ) Định lý 1.1.8 Không gian H không gian Hilbert tách Định lý 1.1.9 Cho u ∈ W 1, p ( I ) tồn u ∈ C ( I ) cho u = u h.k.n I u ( x) − u= ( y) y ∫ u '(t )dt , ∀x, y ∈ I x Chú ý 1.1.10 Nếu u ∈ W 1, p ( I ) u ' ∈ C ( I ) u ∈ C1 ( I ) Định lý 1.1.11 Tồn số C (chỉ phụ thuộc vào I ≤ ∞ ) cho u ∞ ≤C u W1, p ( I ) , ∀u ∈ W1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ Nói cách khác W1, p ( I ) ⊂ L∞ ( I ) với phép nhúng liên tục Hơn I bị chặn phép nhúng W1, p ( I ) ⊂ C ( I ) compact Hệ 1.1.12 Giả sử I không bị chặn u ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p < ∞ , lim u ( x) = u∈I , x →∞ Hệ 1.1.13 Giả sử u , v ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ , uv ∈ W 1, p ( I ) (uv= ) ' u 'v + v 'u Hơn ta có cơng thức tích phân phần b b a a ∫ u '( x)v( x)dx = u (b)v(b) − u (a)v(a) − ∫ u ( x)v '( x)dx , ∀a, b ∈ I m, p 1.1.3.2 Không gian Sobolev W ( I ) Định nghĩa 1.1.14 Cho trước số nguyên m ≥ số thực ≤ p ≤ ∞ Ta nói u ∈ W m, p ( I ) tồn m hàm g1 , , g n ∈ Lp ( I ) cho ∫ uD ϕ = j ∞ (−1) j ∫ g jϕ , ∀ϕ ∈ Cc ( I ), ∀j =1, 2, , m Khi u ∈ W m , p ( I ) ta xác lập đạo hàm liên tiếp u sau u ' = g1 , (u ') ' = g , … cấp m, ký hiệu Du , D 2u , …, D mu Không gian W m , p ( I ) trang bị chuẩn u = W m, p ( I ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 p Đặt H m ( I ) = W m ,2 ( I ) , không gian H m trang bị tích vơ hướng m (u= , v) H m (u , v) L2 + ∑ ( Dα u , Dα v) L2 α =1 Chú ý 1.1.15 ∞ 1, p i) Cc ( I ) trù mật W0 ( I ) 1, p 1, p ii) Nếu u ∈ W ( I ) ∩ Cc ( I ) u ∈ W0 ( I ) iii) Ký hiệu W 1, p ' ( I ) không gian đối ngẫu W01, p ( I ) , ≤ p < ∞ H −1 ( I ) đối ngẫu H 01 ( I ) iv) Ta đồng L2 với đối ngẫu khơng đồng H 01 ( I ) với −1 H −1 ( I ) H ⊂ L ⊂ H với phép nhúng liên tục chứa trù mật 1.2 GIẢI TÍCH THỰC – PHỨC 1.2.1 Tích phân Stieltjes Giả sử α( x) h( x) hàm thực xác định [a, b] , phân hoạch ∆ khoảng (a, b) điểm chia x0 , x1 , , xn a = x0 < x1 < < xn = b với chuẩn = , i 0,1, , n − 1} δ max{x i +1 − xi= Định nghĩa 1.2.1 Giới hạn n −1 lim ∑ h(ξi ) [α ( xi +1 ) − α ( xi ) ] δ →0 i =0 với xi ≤ ξi ≤= xi +1 , i 0,1, , n − tồn độc lập với cách phân hoạch cách chọn số ξi gọi tích phân Stieltjes h( x) α( x) cận từ a đến b ký hiệu b ∫ h ( x ) dα ( x ) (1.1) a Định nghĩa dễ dàng mở rộng với α ( x) h( x) hàm phức Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tích phân Stieltjes) i) Nếu h( x) liên tục α ( x) có biến phân bị chặn (a, b) tích phân Stieltjes h( x) α ( x) từ a tới b tồn ii) Nếu h( x) có biến phân bị chặn α ( x) liên tục (a, b) tích phân Stieltjes h( x) α ( x) từ a tới b tồn b b a a ∫ h( x)dα ( x) = h(b)α (b) − h(a)α (a) − ∫ α ( x)dh( x) Trong định lý hàm có biến phân bị chặn hàm u thỏa tính chất: tồn k −1 số C cho ∑ u (t i =0 i +1 ) − u (ti ) ≤ C với phân hoạch t0 < t1 < < tk I Hàm có biến phân bị chặn hàm có biến phân bị chặn bị chặn Định lý 1.2.3 Nếu h( x) liên tục f ( x) khả tích a ≤ x ≤ b x α ( x) = ∫ f ( x)dt , (a ≤ c ≤ b, a ≤ x ≤ b) c x = ∫ h ( x ) dα ( x ) c x x c c h( x) f ( x)dx ∫ h( x)α '( x)dx ∫= Định lý 1.2.4 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất) Nếu h hàm thực liên tục f hàm khả tích khơng âm a ≤ x ≤ b tồn ξ ∈ (a, b) cho b b a a ∫ h( x) f ( x)dx = h(ξ )∫ f ( x)dx (1.2) Định nghĩa 1.2.5 Giả sử h(x) liên tục a ≤ x < ∞ α ( x) có biến phân bị chặn a ≤ x ≤ R , R > Các giới hạn ∞ R a ∫ h( x)dα ( x) = lim ∫ f ( x)dα ( x) ; R →∞ a ∫ h( x)dα ( x) = lim R →∞ −∞ a a ∫ f ( x ) dα ( x ) , −R ∞ = ∫ h( x)dα ( x) lim M →∞ −∞ a N ∫ h( x)dα ( x) + lim ∫ h( x)dα ( x) N →∞ −M a tồn tại, tích phân gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ Đặc biệt α ( x) hàm bước, tích phân suy rộng trở thành chuỗi lũy thừa ∞ ∞ a k =0 ∫ h( x)dα ( x) = ∑α k h( xk ) (1.3) Định lý 1.2.6 (Helly – Bray) Giả sử {α n ( x)}0∞ dãy hàm có biến phân bị chặn đều, hội tụ điểm a ≤ x ≤ b , lim α n ( x) = α ( x) , hàm f liên tục a ≤ x ≤ b n →∞ ... KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .36 2.1 Biểu diễn nghiệm đầu mút u f (0, t ) 36 2.2 Sự tồn tính nghiệm .39 2.3 Thuật toán .47 2.4 Xác định độ... − y ''''+ qy có phần liên tục, đặc biệt khơng cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do xác định hai tập giá trị riêng khơng thể xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên,... x,0) = f ( x) Trong u ( x, t ) nhiệt độ điểm x vào thời điểm t có nhiệt độ đầu f ( x) , chọn cho f ( x) = 0, ∀x > Yêu cầu đặt khôi phục hệ số nguồn nhiệt q ( x) , hệ số truyền nhiệt đối lưu