Bài giang về hình học vecter trong không gian

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 1 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ 6 BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 8 BÀI 4: CHIẾU VECTƠ 10 BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 12 BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13 15 BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 16 BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 18 Chương 2: 23 ĐƯỜNG BẬC HAI 23 BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24 BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27 BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32 VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 32 BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI 39 BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI Nhắc lại lý thuyết: 48 BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 54 BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG BẬC HAI 58 BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI ( C ): ax2 + 2bx + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) 61 BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 66 Chương 3: 74 MẶT BẬC HAI 74 BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 75 BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 79 BÀI 20: MẶT KẺ 81 2 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 83 ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI 83 3 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận được chia làm ba chương lớn: +Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ. +Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng) +Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian) Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức. Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải. Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu. Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm. Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc. 4 A (Gốc )) B (ngọn) TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ I/ Định nghĩa: Một đoạn thẳng trên đó có quy định thứ tự 2 đầu (có hướng) được gọi là 1 Vectơ. Đường thẳng đi qua 2 đầu mút gọi là giá của vectơ Độ dài đoạn thẳng nối 2 đầu mút gọi là Môđun của vectơ ( như vậy môđun là 1 số không âm) Môđun của a r kí hiệu là a r + Vectơ đơn vị : Vectơ có môđun bằng 1 + Vectơ “không” ( 0 r ): là vectơ 2 đầu mút trùng nhau. Có môđun bằng 0 và chiều tùy chọn. + 2 Vectơ cộng tuyến (cùng phương): là 2 vectơ có 2 giá là 2 đường thẳng trùng nhau hoặc song song. 2 vectơ cùng phương nếu cùng chiều thì gọi là 2 vectơ cùng hướng, nếu ngược chiều thì gọi là 2 vectơ ngược hướng. + 2 Vectơ bằng nhau: nếu cùng hướng và môđun bằng nhau Trên hình: a r = b r , a r và b r ngược hướng với c r Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc. Nếu đem chúng lại chung gốc thì chúng “trùng nhau”. Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều và môđun của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc. Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không gian Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho vectơ tự do Trên hình: a r = b r , a r và b r ngược hướng với c r Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ AB uuur gọi là vectơ buộc 5 Buộc vectơ tự do ở điểm A a A B c r b r a r a b c A B C Trên hình: Cộng nhiều vectơ TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ I/ Phép cộng trừ Vectơ : 1/ Định nghĩa: Tổng của 2 vectơ a r và b r là vectơ c r được xác định như sau: Buộc vectơ a r ở điểm A, a r = AB uuur . Buộc vectơ b r ở điểm B, b r = BC uuur . Khi đó ta có c r = AC uuur . Hoặc có thể dùng quy tắc hình bình hành: buộc 2 vectơ a r và b r vào chung điểm O, a r = OA uuur , b r = OB uuur , khi đó c r được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O : c r = OC uuur (Quy tắc này phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí ) 2/ Tính Chất : + Giao Hoán : a r + b r = b r + a r + Kết hợp : ( a r + b r ) + c r = a r + ( b r + c r ) + Phần tử trung hòa của phép cộng ( 0 r ) : a r + 0 r = 0 r + a r = a r 6 O B a b c A C +++ + a b c d e +++ + a b c d e a r - b r = c r OA uuur - OB uuur = BA uuur a b+ r r ≤ a b+ r r a b− r r ≥ a r - b r 1 a a = r r (1) (-1) a a= − r r (2) ( ) ( )p qa pq a= r r (3) ( )p a b pa pb+ = + r r r r (4) ( )p q a pa qa+ = + r r r (5) TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 + Cộng với phần tử đối. Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng phương, ngược chiều, môđun bằng nhau. Ví dụ: AB uuur và BA uuur đối nhau. Ta ghi : AB uuur = - BA uuur . Ta có tính chất : a r + a− uur = 0 r 3/ Trừ Vectơ: Hiệu của 2 vectơ a r và b r là 1 vectơ c r = a r + (- b r ), ta ghi c r = a r - b r Chú ý : Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra 4/ Nhân một vecto với một số: + Định nghĩa: Tích của một vectơ a r với một số p là một vectơ kí hiệu pa uur , có môđun bằng p . a r ,cùng hướng với a nếu p >0, ngược hướng với a nếu p <0 + Tính chất: Mở rộng: Bằng phương pháp qui nạp người ta có thể chứng minh các tính chất 4 và 5 trong trường hợp có k hạng tử (k là một số hữu hạn tuỳ ý): (4) 1 2 1 2 ( ) k k p a a a pa pa pa+ + + = + + + r r r r r r (5) 1 2 1 2 ( ) k k p p p a p a p a p a+ + + = + + + r r r r 7 b a O A B c TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH I/Định nghĩa: Cho n vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r và n số 1 2 3 , , , , n k k k k . Ta gọi vectơ 1 1 2 2 3 3 n n k a k a k a k a+ + + r r r r là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r với các hệ số 1 2 3 , , , , n k k k k . 1/ Các vectơ độc lập tuyến tính: Hệ vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r gọi là độc lập tuyến tính khi: 1 1 2 2 3 3 0 n n k a k a k a k a+ + + = r r r r r 1 2 3 0 n k k k k⇒ = = = = = 2/ Các vectơ phụ thuộc tuyến tính: Hệ vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r gọi là không độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính khi: 0 i k∃ ≠ sao cho 1 1 2 2 3 3 0 n n k a k a k a k a+ + + = r r r r r II/ Định lý về điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính: Các vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r (n>1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Chứng minh: + Điều kiện cần: Giả sử các vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r phụ thuộc tuyến tính; ta có 1 1 2 2 3 3 0 n n k a k a k a k a+ + + = r r r r r trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn 0 i k ≠ . Ta suy ra: i a r = 3 1 2 1 2 3 n n i i i i k k k k a a a a k k k k − − − − r r r r Vậy 3 1 2 , , , , n i i i i k k k k k k k k − − − − là các hệ số của tổ hợp tuyến tính. +Điều kiện đủ: Giả sử n a r = 1 1 2 2 3 3 1 1 n n l a l a l a l a − − + + + r r r r ⇔ 1 1 2 2 3 3 1 1 n n n l a l a l a l a a − − + + + − r r r r r = 0 Vậy tồn tại hệ số thứ n là -1 ≠ 0. Vậy các vectơ 1 2 3 , , , n a a a a r r r r phụ thuộc tuyến tính. III/ Định lý về sự phân tích: + Trong mặt phẳng cho trước 2 vectơ bất kỳ 1 2 ,e e r r độc lập tuyến tính, mọi vectơ a r khác của mặt phẳng đề được phân tích duy nhất theo 1 2 ,e e r r : 8 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 !( , ) :x y∃ 1 2 a xe ye= + r r r + Trong không gian, tồn tại 3 vectơ 1 2 3 , ,e e e r r r độc lập tuyến tính, mọi vectơ a r khác trong không gian được phân tích duy nhất theo 1 2 3 , ,e e e r r r như sau: !( , , ):x y z∃ 1 2 3 a xe ye ze= + + r r r r IV/ Các ví dụ: Vd1: Hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ độc lập tuyến tính. Hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính. • Hãy chứng minh ví dụ trên ? ( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ 1 2 ,a a r r ) Ta cần chứng minh: Hai vectơ 1 2 ,a a r r phụ thuộc tuyến tính ⇔ Chúng cùng phương. Thật vậy. o Ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử 1 2 ,a a r r phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có 1 2 a ka= r r hoặc 2 1 a la= r r . Vậy 1 2 ,a a r r cùng phương. o Ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử 1 2 ,a a r r cùng phương ⇒ 1 2 0:k a ka∃ ≠ = r r 1 2 0a ka⇔ − = r r Vậy ta có 1 2 ,a a r r phụ thuộc tuyến tính. Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính. 3 vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính. 9 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 4: CHIẾU VECTƠ I/ Định nghĩa: Trục là một đường thẳng trên đó đã chọn một vectơ đơn vị. Hướng của vectơ là hướng của trục. Cho một trục ∆ với vectơ đơn vị e r , một mặt phẳng P không song song với ∆ và một vectơ v r = AB uuur tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng , A B P P song song với P cắt ∆ tại A’,B’. Các điểm A’,B’ gọi là các điểm chiếu của các điểm A,B trên ∆ theo phương P. Ta có ' 'A B uuuuur = p. e r Ta gọi p là chiếu của vectơ AB uuur trên ∆ theo phương P. Nếu ' 'A B uuuuur cùng phương với e r thì p >0 và nếu ' 'A B uuuuur không cùng phương với e r thì p<0. Người ta viết : p pr AB ∆ = uuur Ta còn gọi p là độ dài đại số của A’B’ và ký hiệu k= ' 'A B . II/ Các tính chất: 1/ Tính chất 1: Các vectơ bằng nhau thì có chiếu (trên cùng trục với cùng phương) bằng nhau. a b pr a pr b ∆ ∆ = ⇒ = r r r r 10 P [...]... để ba vectơ: a, b, c đồng phẳng là: a1a2 a3 b1b2b3 = 0 c1c2 c3 22 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 Chương 2: ĐƯỜNG BẬC HAI 23 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN I/Phương trình của mặt: 1/ Định nghĩa:  Mọi mặt trong không gian có thể coi như quỹ tích những điểm thỏa mãn một điều kiện nào... sin v  z = cos u   Mọi đường trong không gian đều có thể xem như giao tuyến của hai mặt Vì vậy trong không gian Oxyz , phương trình của đường có dạng:  F1 ( x, y, z ) = 0   F2 ( x, y, z ) = 0 25 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 4/ Ví dụ 3: trong không gian Oxyz , lập phương trình của đường tròn tâm O, bán kính R và nằm trong mặt phẳng Oxy Giải: Có... a2b2 hay cosα = a 2 + a 2 b 2 + b 2 1 2 1 2 r r Tương tự trong không gian Oxyz, a (a1 , a2 , a3 )và b(b1 , b2 , b3 ) ur u 2 2 a = a12 + a2 + a3 • • cosα = a1b1 + a2b2 + a3b3 2 2 a12 + a2 + a3 b12 + b22 + b32 V/ Toạ độ tích có hướng của hai vectơ r r Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 )và b(b1 , b2 , b3 ) 20 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 r u r ur u ur a = a1... điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian người ta thường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc 1 )Trong mặt phẳng: Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc gồm hai đường thẳng vuông góc x’Ox và y’Oy, trên đó u ur r u chọn hai vectơ đơn vị e1và e2 Hai đường thẳng ấy được gọi là hai trục tọa độ • • • • x’Ox :là trục hoành y’Oy: là trục tung u ur r u e1 , e2 : là các vectơ cơ sở Điểm O là gốc tọa độ 2 )Trong không gian: ... tọa độ II/ Tọa độ điểm  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng Oxy Ta có : uuuu v u v uv u OM = xe1 + ye2 thì x,y gọi là tọa độ của điểm M Kí hiệu: M(x, y)  Trong không gianOxyz, giả sử M là một điểm tùy ý trong không gian uuuu r u r ur ur u OM = xe1 + ye2 + ze3 Ta có: các số x, y, z gọi là tọa độ của điểm M Kí hiệu: M(x,y,z) III/Tọa độ của vectơ: v 1 /Trong mặt phẳng Oxy cho... = 0 26 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ I/ Phép biến đổi trong mặt phẳng: Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và O ' x ' y ' giả sử điểm M có tọa độ (x,y) ứng với hệ Oxy và có tọa độ (x’,y’) ứng với hệ O’x’y’ (h.31) ta cần tìm sự liên hệ giữa x, y và x’ ,y’ Tương tự trong không gian cho hệ trục... ảnh của hệ Oxy trong phép tịnh tiến theo OO’ Giả sử ứng với hệ O’x”y”, điểm M có tọa độ (x”,y”) theo 69 ta có:  x = a + x ''   '' y = b + y  Ta có thể xem hệ O’x’y’ là ảnh của hệ O’x”y” trong phép quay tâm O’, góc u theo (71) ta có: x = a + x’cosu – y’sinu y =b + x’sinu + y’cosu II/ Biến đôỉ tọa độ trong không gian: 1/ Phép tịnh tiến: Trong không gian cho hai trục... cosw3cosu3 = 0 3/Phép dời: Trong không gian cho hai trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’, biết điểm O’ có tọa độ (a, b, c) ứng với hệ Oxyz và các góc u i, vi, wi (i = 1, 2, 3) tạo bởi các vecto cơ dơ tạo bởi bảng (I) giả sử một điểm M tùy ý trong không gian có tọa độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) ứng với hệ Oxyz và O’x’y’z’ (h.39) Ứng dụng phương pháp tương tự như phép dời trong mặt phẳng, từ các... O’x’y’z’ trong dó O’x’y’z’ là ảnh của Oxyz trong phép tịnh tiến theo OO’ (h.37).giả sử ứng với hệ Oxyz thì OO’ = (a’,b’,c’) có tọa độ (x,y,z)( và (x’,y’,z’) ứng với hệ Oxyz và hệ O’x’y’z’ ta có: r uuuu uuuu uuuur r OM = OO ' + O ' M Ta suy ra:  x = a + x'  ' y = b + y z = c + z'  2/ Phép quay Trong không gian cho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’ trong. .. tích những điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó, thể hiện bằng một đẳng thức Ví dụ mặt cầu tâm I bán kính R là quỹ tích những điểm trong không gian cách I bằng một khoảng R Giả sử S là một mặt nào đó trong không gian Oxy Khi điểm M ( x, y , z ) chạy trên mặt thì các tọa độ x, y , z của nó thay đổi nhưng liên hệ với nhau bởi một hệ thức F ( x, y , z ) . HAI 23 BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 24 BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 27 BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 32 VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 32 BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP. QUAN 75 BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 79 BÀI 20: MẶT KẺ 81 2 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 83 ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI 83 3 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC. bằng không. 17 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ I/ Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc: Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian