BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ

Chương 2: ĐƯỜNG BẬC HAI

BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và ' ' 'O x y . giả sử điểm M có

tọa độ (x,y) ứng với hệ Oxyvà có tọa độ (x’,y’) ứng với hệ O’x’y’ (h.31). ta cần tìm sự liên hệ

giữa x, y và x’ ,y’.

Tương tự trong không gian cho hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’ và một điểm M. giả sử điểm M có tọa độ (x,y,z) tương ứng với hệ Oxyz và có tọa độ (x’,y’,z’) tương ứng với hệ O’x’y’z’

1/Phép tịnh tiến trên mặt phẳng:

Cho hai hệ trục vuông góc Oxy và hệ Oxy là ảnh của phép tịnh tiến xác định bởi (h.33). giả sử với Oxy thì OO’ = {a, b}. xét tùy ý trong mặt phẳng điểm M có tọa độ (x,y) với (x’,y’) ứng với hệ Oxy và O’x’y’và OM = OO’ + O’M

⇒ O’M = OM – OO’. Ta suy ra: ' ' x a x y b y  = +   = +  hay : ' ' x x a y y b  = −   = −  2/ Phép quay:

Trong mặt phẳng ho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và O’x’y’, trong đó hệ Ox’y’ là ảnh của hệ Oxy trong phép quay tâm O, góc u . giả sử một điểm M tùy ý trong mặt phẳng có tọa độ (x,y) và (x’,y’) ứng với hệ Oxy và Ox’y’.

Trước hết ta tìm tọa độ ác véctỏ cơ sở e1 và e2 hệ Ox’y’ với hệ Oxy.

Ta có thể biểu diễn x’, y’ theo x, y bằng cách đổi chỗ x, y cho x’, y’ và thay u bởi –u trog công thức trên.ta được:

' ' cos sin sin cos x x u y u y x u y u  = +   = − +  3/ Phép dời:

Trong mặt phẳng ho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxy và O’x’y’, biết điểm O’ có tọa độ (a,b) ứng với hệ Oxy và góc (e1,e1’) = u (h.35).

Giả sử một điểm M tùy ý trong mặt phẳng có tọa độ (x,y) và (x’,y’) ứng với hệ Oxy và Ox’y’. ta cần tìm sự liên hệ giữa x,y và x’, y’.

Trước hết dựng tọa độ Đêcac vuông góc O’x”y”, ảnh của hệ Oxy trong phép tịnh tiến theo OO’. Giả sử ứng với hệ O’x”y”, điểm M có tọa độ (x”,y”). theo 69 ta có:

'' '' x a x y b y  = +   = + 

Ta có thể xem hệ O’x’y’ là ảnh của hệ O’x”y” trong phép quay tâm O’, góc u. theo (71) ta có: x = a + x’cosu – y’sinu

y =b + x’sinu + y’cosu

II/ Biến đôỉ tọa độ trong không gian:

1/ Phép tịnh tiến:

Trong không gian cho hai trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’ trong dó O’x’y’z’ là ảnh của Oxyz trong phép tịnh tiến theo OO’ (h.37).giả sử ứng với hệ Oxyz thì OO’ = (a’,b’,c’) có tọa độ (x,y,z)( và (x’,y’,z’) ứng với hệ Oxyz và hệ O’x’y’z’. ta có:

' '

OMuuuur=OO O Muuuur uuuur+ . Ta suy ra: ' ' ' x a x y b y z c z  = +  = +   = +  2/ Phép quay.

Trong không gian cho hai trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’ trong dó O’x’y’z’. biết các góc tạo bưởi vetor cơ sở của hệ Oxyz với các vector cơ sở của hệ Ox’y’z’ theo bảng sau đây:

e1’ e2’ e3’

e1 u1 u2 u3

e2 v1 v2 v3

Như vậy:

e1 = cosu1e1 + cosv1e2 _+ cosw1e3

e2= cosu2e1 + cosv2e2 _+ cosw2e3

e3 = cosu3e1 + cosv3e2 _+ cosw3e3

Xét một điểm M tùy ý trong không gian có tọa độ (x,y,z) và (x’,y’,a’) ứng với hệ Oxyz và hệ O’x’y’z’

OM = x’e1 + y’e2 + z’e3 = i1(x’cosu1 + y’cosu2 + z’cosu3) + i2(x’cosv1 + y’cosv2 + z’cosv3) + i3(x’cosw1 + y’cosw2 + z’cosw3)

Ta suy ra:

x = x’cosu1 + y’cosu2 + z’cosu3

y = x’cosv1 + y’cosv2 + z’cosv3

z = x’cosw1 + y’cosw2 + z’cosw3

Ta có thể viết bảng trên thành

Từ đó ta có thể biểu diễn x’, y’, z’ theo x,y,z và thay thế các góc trong bảng (1) bởi các góc chung vị trí trong bảng

x’ = xcosu1 + ycosv1 + zcosw1

y’ = xcosu2 + ycosv2 + zcosw2

z’ = xcosu3 + ycosv3 + zcosw3

Chú ý: 1) vì e1 = {cosu1, cosv1, cosw1}. Theo 46 ta có cos 2 u1+ cos 2 u2+ cos 2u3 = 1

tương tự ta có

2) vì eiej = 0 (I, j = 1, 2, 2) nên từ 44 ta suy ra e1’ e2’ e3’

e1 - u1 - v1 - w1

e2 - u2 - v2 - w2

cosu1cosu2 + cosv1cosv2 + cosw1cosw2 = 0 cosu2cosu3 + cosv2cosv3 + cosw2cosw3 = 0 cosu3cosu1 + cosv3cosv1 + cosw3cosw1 = 0

Như vậy giữa chín cosin của chns góc của bảng (1) tồn tại sáu hệ thức nên chỉ có ba cosin độc lập với nhau.

Với chin góc của bảng (1’) ta có sáu hệ thức tương tự sau đây: cos 2 u1+ cos 2 u2+ cos 2u3 = 1

cos 2 v1+ cos 2 v2+ cos 2v3 = 1 cos 2 w1+ cos 2 w2+ cos 2w3 = 1

cosu1cosv1 + cosu2cosv2 + cosu3cosv3 = 0 cosv1cosw1 + cosv2cosw2 + cosv3cosw3 = 0 cosw1cosu1 + cosw2cosu2 + cosw3cosu3 = 0

3/Phép dời:

Trong không gian cho hai trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz và O’x’y’z’, biết điểm O’ có tọa độ (a, b, c) ứng với hệ Oxyz và các góc ui, vi, wi (i = 1, 2, 3) tạo bởi các vecto cơ dơ tạo bởi bảng (I). giả sử một điểm M tùy ý trong không gian có tọa độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) ứng với hệ Oxyz và O’x’y’z’ (h.39).

Ứng dụng phương pháp tương tự như phép dời trong mặt phẳng, từ các công thức 75 và 77 ta suy ra:

x = a + x’cosu1 – y’sinu2 + z’cosu3

y = b + x’sinv1 + y’cosv2 + z’cosv3

z = c + x’sinw1 + y’cosw2 + z’cosw3

Ta có thể biểu diễn x’, y’, z’ theo x, y, z bằng cách sử dụng công thức (76), (78). Ta được

x’ = (x – a)cosu1 + (y – b)cosv1 + (z – c)cosw1

y’ = (x – a)cosu2 + (y – b)cosv2 + (z – c)cosw2

z’ = (x – a)cosu3 + (y – b)cosv3 + (z – c)cosw3

Ví dụ: Trong không gian vecto Oxyz cho ba điểm A(3, 2, 4), B(6, 8, -2), C(10, -2, -1), người ta dời hệ trục Oxyz đến vị trí Ax’y’z’ sao cho điểm B nằm trên trục hoành Ax’ và có hoành độ x’ > 0, điểm C nằm trê mặt phẳng Ax’y’ và có tung độ y’ > 0. hãy lập công thức biến đổi tọa độ từ hệ Oxyz sang hệ Ax’y’z’.

Giải:

Ta có AB = (3, 6, -6). Vector AB và vector ci cộng tuyến nên ta có : ei = (1/3, 2/3, -2/3). Vì điểm C có tung độ y’ > 0 nên hai vector AB AC va e’ e’ cùng hướng do đó

e3’ = (AB AC)/(│AB AC │) Vì AB = (3, 6, -6) và AC = (7. -4, -5) nên AB AC = (-54, -27,-54) và e3’ = (-2/3, -1/3, -2/3) Vector e2’ = e3 e1 = (2/3, -2/3, -1/3) ứng dụng công thức (91) ta có công thức là: x = 3 - 1/3x’ + 2/3y – 2/3z’ y= 2 + 2/3x’ – 2/3y – 1/3z’ z = 4 – 2/3x’ – 1/3y – 2/3z

BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI