1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Chủ biên ThS Nguyễn Thị Mai Anh Th S Ngô Thị Hài GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU) (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 2 BÀI 1 GIỚI TH[.]
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH - Chủ biên: ThS Nguyễn Thị Mai Anh Th.S Ngô Thị Hài GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU) (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC Đây học phần chuyên sâu học thay làm đồ án môn học Học phần bao gồm nội dung bản: + Bình sai điều kiện lưới đo cạnh lưới đo góc cạnh + Bình sai gián tiếp + Bình sai lưới tự Khi xây dựng lưới trắc địa, trị đo cần thiết người ta đo thừa số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết đo nâng cao độ xác yếu tố mạng lưới sau bình sai Lưới tam giác mạng lưới có kết cấu hình học chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa Giữa trị đo cần thiết trị đo thừa, số liệu gốc tồn quan hệ toán học ràng buộc lẫn Biểu diễn quan hệ ràng buộc dạng cơng thức tốn học ta phương trình điều kiện Trong kết đo tồn sai số đo chúng khơng thỏa mãn điều kiện hình học mạng lưới xuất sai số khép Viêc bình sai mạng lưới nhằm mục đích loại trừ sai số khép, tìm trị số đáng tin cậy trị đo yếu tố cần xác định mạng lưới tam giác Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh lưới đo góc cạnh 2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên hệ 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai L1’, L2’, …, Ln’, số tương ứng P1, P2, …, Pn Giữa đại lượng đo ta lập r phương trình tốn học gọi phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu chúng là: Fj (L1’,L2’, …, Ln’) = (j=1, 2,…, n) (2.1) Trong phương trình (2.1) Li’ chưa biết Bài tốn bình sai cần tìm n số hiệu chỉnh vi giá trị đo Li cho: L’i = Li + vi (2.2) Thay (2.2) vào (2.1) t có phương trình: Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi phương trình dạng tuyến tính bỏ qua số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh sau: a1v1 + a2 v2 + + an + wa = b v + b v + + b v + w = 11 2 n n b r1v1 + r2 v2 + + rn + wr = (2.3) Trong hệ số đạo hàm riêng phần hàm Fj theo đại lượng đo Li = F1 ; Li bi = F F2 , …, ri = r Li Li Các số hạng tự wj sai số khép phương trình điều kiện, giá trị xác định cách thay trị đo vào phương trình (2.1) w j = Fj (L1, L2 , , L n ) Hệ phương trình (2.3) có r phương trình, n ẩn số, n > r nên khơng giải trực tiếp mà phải ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ [pw] = để giải theo phương pháp cực trị có điều kiện Lagrange Để giải hệ (2.3) ta phải lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ dạng: [qaa]K a + [qab]K b + + [qar]K r + w a = [qab]K a + [qbb]K b + + [qbr]K r + w b = [qar]K a + [qab]K r + + [qrr]K r + w r = Trong : q i = ; pi trọng số trị đo thứ i Pi (3.3) Hệ (3.3) hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta số liên hệ Ka, Kb, …, Kr Các số hiệu chỉnh trị đo tính theo cơng thức: Vi = q i (a i K a + bi K b + + ri K r ) Để đánh giá độ xác kết sau bình sai, ta tính sai số trung phương trọng số đơn vị theo công thức: = [qvv] r Để đánh giá độ xác yếu tố đặc trưng mạng lưới ta viết chúng dạng hàm số trị đo sau bình sai, thường gọi hàm số: F = f(L1 ', L ', , L n ') Biến đổi dạng tuyến tính ta có: F = f + f1v1 + f v2 + + f n Trong trình lập giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ ta kết hợp tính nghịch đảo trọng số hàm F: [qaf]2 [qbf.1]2 [qrf.(r -1)]2 = [qff.r] = [qff] - PF [qaa] [qbb.1] [qrr(r -1)] Sai số trung phương hàm giá trị đo sau bình sai tính theo công thức: MF= PF Nếu dùng ngôn ngữ thuật toán ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh B, vectơ số hiệu chỉnh V vectơ số hạng tự phương trình điều kiện W, vectơ số liên hệ K ta có: ; ; ; Từ cơng thức ta viết phương trình số hiệu chỉnh dạng ma trận sau: BV+W = Phương trình chuẩn số liên hệ: B P-1 BT K + W = Đặt N= B P-1 BT, ta có: NK + W = Vậy K = -N-1 W Lúc V= P-1 BT.K 2.1.2 Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh Số lượng phương trình điều kiện Một yêu cầu chặt chẽ phương pháp bình sai điều kiện phải xác định số lượng phương trình điều kiện lưới tam giác phải lựa chọn để thành lập phương trình điều kiện hồn tồn độc lập Nếu khơng thực yêu cầu việc bình sai khơng đạt hiệu quả, sau bình sai nhận tập hợp nghiệm kết đáng tin cậy Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện lưới tính số lượng trị đo thừa mạng lưới Để tính trị đo thừa, ta tính tổng trị đo tổng số trị đo cần thiết Tổng trị đo thừa tổng số phương trình điều kiện lưới tính cơng thức: r=n-t Trong đó: n số trị đo, t trị đo cần thiết r số trị đo thừa Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự hay phụ thuộc mà ta tính số lượng phương trình điều kiện - Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ thiếu để xác định vị trí kích thước mạng lưới hệ tọa độ định - Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều số lượng gốc tối thiểu để xác định vị trí kích thước mạng lưới hệ tọa độ định A h1 P1 h2 h4 B h5 D P2 h6 P3 h3 Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm lưới p = 5, số điểm biết k = 2, trị đo cần thiết t = - = Do đó, số lượng phương trình có lưới là: r = - = phương trình Với lưới mặt ta có tổng số trị đo n = 20, tổng số điểm lưới p = 7, số điểm biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = Do đó, số lượng phương trình có lưới là: r = 20 - = 14 phương trình (gồm phương trình điều kiện hình, phương trình điều kiện vịng, phương trình điều kiện cực, phương trình điều kiện góc cố định, phương trình điều kiện cạnh cố định) Lưới mặt tự do: + Lưới mặt đo góc, đo góc - cạnh Các lưới tự mà gặp có nhiều dạng đồ hình khác Ở lưới mặt tự ta thường gặp phương trình điều kiện sau: a Phương trình điều kiện hình: + Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh Phương trình điều kiện hình lập cho hình đa giác đo góc khép kín, hình tam giác, tứ giác lưới tam giác đo góc, hình đa giác khép kín lưới đường chuyền Nội dung phương trình điều kiện hình : Tổng giá trị bình sai góc hình đa giác khép kín phải trị B lý thuyết biết Chẳng hạn tổng ba góc C bình sai hình tam giác phẳng phải 180 ’ ’ ’ Nếu kí hiệu β1 , β2 ,…, βn giá trị sau bình sai n góc hình đa giác khép kín, β1, 12 11 13 β2,…, βn góc đo, vi số hiệu chỉnh cho A 15 14 10 góc đo, h sai số khép hình phương trình điều D kiện hình viết: β1’ + β2’ +…+ βn’ - (n-2).1800 = Ta có quan hệ: βi’ = βi + vi E Từ phương trình ta dễ dàng viết phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng: Hình 2-5:Xác định điều kiện V1 + V2+…+ Vn + h = hình đa giác trung tâm h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800 Công thức tính số lượng phương trình điều kiện sau: rhình = (n1-n’) - q+1 Trong đó: n1- Tổng số trị đo góc tam giác n’- Tổng số cạnh lưới q- Là số điểm trung tâm ta đo tổng hướng Ví dụ 1: Cho lưới mặt đa giác trung tâm hình vẽ Biết A, B hai điểm gốc, tiến hành đo 15 góc Ta tính viết phương trình điều kiện sau: n1=15 n’=10 q=1 Vậy rhình=(15-10) – 1+1 =5 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+2’+3’-1800 =0 4’+5’+6’-1800 =0 7’+8’+9’-1800 =0 10’+11’+12’-1800 =0 13’+14’+15’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+1= ; 1=1+2+3-1800 V4+V5+V6+2= ; 2=4+5+6-1800 V7+V8+V9+3= ; 3=7+8+9-1800 V10+V11+V12+4= ; 4=10+11+12-1800 V13+V14+V15+5= ; 5=13+14+15-1800 Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa hình vẽ, có góc đo Ta tính số lượng phương trình điều kiện hình là: n1=8 n’=6 q=0 rhình = (n1-n’) - q+1 Vậy rhình = - - +1 =3 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+ 2’+3’+4’-1800 =0 3’+4’+5’+6’-1800 =0 5’+ 6’+7’+8’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ V4 +1= ; 1=1+2+3+4-1800 V3+ V4+V5+V6 +2= ; 2=3+4+5+6-1800 V5+ V6 +V7+V8 +3= ; 3=5+6+7+8-1800 b Phương trình điều kiện vịng: Ý nghĩa phương trình điều kiện vịng tổng trị bình sai góc trung tâm hình đa giác trung tâm phải B 3600 rvòng= q với q số điểm trung tâm, C Dễ dàng nhận thấy phương trình điều kiện vịng xuất đa giác trung tâm có đo tất góc điểm trung tâm 12 11 O 13 Ví dụ: Cho lưới đa giác trung tâm đo góc ta A 15 14 có rvịng= 10 Ta lập phương trình điều kiện vịng D dạng: 11’+ 12’+13’+14’+15’-1800 = Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: E V11+ V12 +V13+V14 + V15+ v = 0; Hình 2-5:Xác định điều kiện v=11+12+13+14+15-1800 c Phương trình điều kiện cực: hình đa giác trung tâm Nội dung phương trình điều kiện cực: Xuất phát từ cạnh lưới tam giác, dùng góc bình sai để tính chuyền sang cạnh khác, quay trở lại cạnh ban đầu trị số tính phải trị số biết Phương trình điều kiện cực phương trình ràng buộc góc với nhau, cạnh tính chuyền chiều dài luôn chung đỉnh gọi cực Số lượng phương trình điều kiện cực tính sau: rcực= n’-2p+3 Trong đó: n’-S ố cạnh lưới p - Số điểm lưới Ví dụ: Với hình vẽ ta có: n’=10, p=6 Vậy rcực= 10 - 2x6 + = phương trình Nếu xuất phát từ cạnh OA, dùng trị bình sai góc tính chuyền chiều dài theo vịng khép kín theo chiều thuận kim đồng hồ trở cạnh OA ta phương trình điều kiện cực sau: Điều kiện đặt cạnh OA tính phải cạnh OA ban đầu, nghĩa Ta thấy, phương trình phương trình điều kiện hình, vịng phương trình dạng tuyến tính cịn phương trình điều kiện cực phương trình phi tuyến tính, ta phải chuyển chúng phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sau: Gọi góc 1’, 2’, …., 10’ góc sau bình sai, góc 1, 2, …,10 góc đo, v1, v2, …, v10 số hiệu chỉnh tương ứng, ta viết: Đưa phương trình điều kiện dạng tuyến tính ta phải tính đạo hàm riêng phần theo góc tử mẫu số theo cơng thức: Đạo hàm góc tử số: với i = 1, 3, 5, 7, Đạo hàm góc mẫu số: với i = 2, 4, 6, 8, 10 Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính là: Trong ρ’’= 206265 Nhìn vào phương trình ta thấy hệ số số hiệu chỉnh sai số khép giá trị nhỏ, để tiện cho tính tốn sử dụng phương trình điều kiện dạng: Trong tính: Cách khai triển phương trình điều kiện cực trình bày khơng phải sử dụng logarit phù hợp với kỹ thuật tính tốn máy tính Trước tính tốn bình sai người ta thường phải dùng bảng tra logarit, trường hợp người ta thành lập phương trình số hiệu chỉnh sau: Từ phương trình điều kiện ta tiến hành logarit (cơ số 10) hai vế khai triển tuyến tính ta phương trình điều kiện dạng: Trong giá trị biến thiên logarit sin góc βi góc thay đổi 1’’, thường tính đơn vị số lẻ thứ logarit (để hệ số sai số khép ωc không nhỏ) Trong µ modul chuyển đổi số logarit: µ = lge ≈ 0.4343 Sai số khép ωc lúc tính theo logarit sin góc lấy đơn vị theo số lẻ Với i(tử) = 1, 3, 5, 7, 9; i(mẫu) =2, 4, 6, 8, 10 Đối với lưới tứ giác trắc địa hình vẽ có phương trình điều kiện cực Ta chọn bốn điỉnh tứ giác làm cực chọn giao hai đường chéo làm cực Cụ thể chọn giao hai đường chéo làm cực ta có: Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính là: Nếu ta chọn điểm A làm cực ta được: Hay Với Chú ý phương trình điều kiện cực có số góc vừa xuất tử số vừa xuất mẫu số, sau triển khai thành dạng tuyến tính ta cần tập hợp hệ số chúng lại lấy số hiệu chỉnh góc I II làm thừa số chung Trong hình rẻ quạt (Hình 2-7) có phương trình điều kiện cực, trường hợp cực điểm C đỉnh chung đỉnh tam giác A B 10 11 Phương trình điều kiện cực là: C Hình 2-7: Lưới rẻ quạt Phương trình số hiệu chỉnh là: Chú ý: Trong chuỗi tam giác khép vịng tồn phương trình điều kiện có ý nghĩa hình học giống phương trình điều kiện cực, tức xuất phát từ cạnh dùng trị bình sai góc tính chuyền chiều dài theo vịng khép kín trở cạnh xuất phát, phải nhận chiều dài đùng chiều dài ban đầu Nhưng không tồn cực cụ thể hình đa giác trung tâm tứ giác trắc địa, hình quạt trường hợp xem phương trình điều kiện cực đặc biệt Lưới mặt đo cạnh Ta biết hình tam giác đo ba cạnh khơng có trị đo thừa Các góc mạng lưới tam giác đo cạnh tính từ giá trị chiều dài cạnh đo Các góc tính dùng để tính sai số khép phương trình điều kiện hình tứ giác trắc địa đa giác trung tâm đo cạnh, tính phương vị cạnh,…Để tính góc theo cạnh, ta dựa vào cơng thức lượng giác phẳng hình tam giác Có nhiều cơng thức để tính góc: Tính góc theo định lý cosin: Giả sử có hình tam giác ABC đo cạnh a, b, c hình 3.11 Ta cần tính giá trị góc A, B, C Các cơng thức tính góc theo định lý cosin sau: B a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (3.21) 2 a c = a + b - 2ac.cosA c Tính góc theo diện tích tam giác Giá trị sin góc tính qua diện tích tam C A giác sau: b 1 S = bc sin A = ab sin C = ac sin B 2 S = p( p − a)( p − b)( p − c) Hình 3.11 (3.22) P= a+b+c Tính góc theo cơng thức tang tg A ( p − b)( p − c) = p( p − a) tg B ( p − a)( p − c) = p ( p − b) tg C ( p − a)( p − b) = p( p − c) (3.23) + Quan hệ vi phân góc cạnh Khi bình sai lưới tam giác đo cạnh theo phương pháp điều kiện, người ta lập phương trình điều kiện dạng góc Như vậy, cần phải biểu diễn số hiệu chỉnh góc qua số hiệu chỉnh cạnh đo trực tiếp Để có quan hệ ta phải xuất phát từ công thức: a2 = b2 +c2 - 2bccosA Vi phân vế: 2ada = 2bdb + 2cdc - 2ccosAdb + 2bcsinAdA-2bcosAdc ada = (b - ccosA)db + (c - bcosA)dc + bcsinAdA ada − (b − c cos A )db − (c − b cos A )dc ' ' bc sin A dA' ' = (3.24) Lại có: bcsinA =a.ha a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = a cos B + b cos A (3.25) Thay vào ta có: d A ''= ada − a cos Cdb − a cos Bdc ' ' ah A d A ''= ' ' (da − cos Cdb − cos Bdc) hA d B ''= ' ' (db − cos Cda − cos Adc ) hB dC ''= ' ' (dc − cos Cda − cos Bdb) hC Chuyển sang quan hệ số hiệu chỉnh ta có: vA '' = ' ' (v a − cos Cv b − cos Bv c ); hA 10 (3.26) vB ''= ' ' (v b − cos Cv a − cos Av c ) ; hB vc '' = ' ' (v c − cos Bva − cos Av b ) hc (3.27) Như công thức cho phép biểu diễn số hiệu chỉnh góc qua số hiệu chỉnh chiều dài hình tam giác đo cạnh + Phương trình điều kiện lưới tam giác đo cạnh a Phương trình điều kiện hình đa giác trung tâm Giả sử ta có hình đa giác trung tâm đo cạnh tạo tam giác hình 3.12, đo 10 cạnh, cạnh bên từ S1 đến S5 cạnh hướng tâm r1 đến r5 Trong hình đa giác trung tâm đo cạnh có trị đo thừa nên lập phương trình điều kiện Phương trình điều kiện viết nhiều dạng khác đơn giản dạng góc Viết dạng góc điều kiện cần lập điều kiện trung tâm A C1 B A B5 r1 C5 A5 E B1 r5 A2 r2 C C5 C2 C4 C3 B4 C2 r3 B2 A3 r4 C4 A4 B3 C C3 D Hình 3.12 Cũng viết phương trình điều kiện dạng chiều dài, dạng diện tích song dạng phức tạp Viết phương trình điều kiện dạng góc: C1’ + C2’ + C3’ + C4’ + C5’ - 360 = Từ phương trình điều kiện dạng góc ta chuyển phương trình số hiệu chỉnh góc sau: vc1 + vc2 + vc3 + vc4 + vc5 + w = (3.28) w = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 − 360 ; Ci tính từ cạnh đo Vì lưới đo khơng có góc mà có cạnh , phải thay số hiệu chỉnh góc đo qua số hiệu chỉnh cạnh đo sử dụng công thức tính chuyển ta có phương trình số hiệu chỉnh cạnh đo sau: v c1 = '' (v S1 − cos A1Vr1 − cos B1Vr ) h1 11 vc2 = '' (v S2 − cos A Vr − cos B Vr ) h2 (3.29) ……………………………………… '' v c = (v S5 − cos A Vr − cos B5 Vr1 ) h5 Sau thay vào qua biến đổi ta phương trình điều kiện hình hình đa giác trung tâm đo cạnh sau: b Phương trình điều kiện hình tứ giác trắc địa: S2 B C S6 S5 S1 S3 A 31 C S4 Hình 3.13 Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh hình vẽ 3.13 Trong tứ giác có đo cạnh từ S1 đến S6 Trong tứ giác trắc địa đo cạnh có trị đo thừa, có phương trình điều kiện Phương trình lập dạng chiều dài hay diện tích song đơn giản dạng góc Nếu chọn góc đỉnh A để lập phương trình điều kiện phương trình có dạng sau: A1' + A '2 − A3' = Từ phương trình điều kiện ta viết phương trình số hiệu chỉnh sau: VA1 + VA2 + VA3 + w = (3.30) Chuyển từ phương trình số hiệu chỉnh góc sang số hiệu chỉnh cạnh ta VA1 = ' ' (VS2 − cos B3 VS1 − cos C1VS6 ) h A1 VA = ' ' (VS3 − cos C VS6 − cos D VS4 ) h A2 12 (3.31) VA = ' ' (VS5 − cos B1VS1 − cos D VS4 ) h A3 Trong hA1 , hA2 , hA3 hạ từ đỉnh A xuống cạnh S2, S3, S6 Nhóm lại biến đổi ta có dạng: a1VS1 + a2VS2 + a3VS3 + a4VS4 + a5VS5 + a6VS6 + w = (3.32) Khi sử dụng mối quan hệ để thay số hiệu chỉnh góc qua số hiệu chỉnh cạnh cần lưu ý cạnh tam giác cạnh gốc (coi khơng có sai số) số hiệu chỉnh cho cạnh khơng có mặt phương trình điều kiện Lưới mặt phụ thuộc: Trong lưới phụ thuộc, ngồi phương trình điều kiện lưới tự gặp dạng phương trình điều kiện phụ thuộc sau a Phương trình điều kiện góc phương vị (góc định hướng): Trong hệ tọa độ vng góc phẳng, góc phương vị góc định hướng, có quan hệ với tọa độ điểm đầu mút sau: Trong mạng lưới tam giác hay đa giác có thừa phương vị khởi tính (phương vị gốc) xuất phương trình điều kiện phương vị Phương vị gốc quan niệm phương vị Laplace lưới tam giác hạng I, II Nhà nước phương vị cố định tính từ toạ độ điểm cấp cao Ý nghĩa phương trình điều kiện góc phương vị: Xuất phát từ phương vị biết đ cạnh đầu dùng góc bình sai tính chuyền phương vị cạnh cuối phải nhận giá trị phương vị giá trị biết c cạnh Ta thấy phương trình điều kiện phương vị khơng ràng buộc góc với mà liên quan đến số liệu gốc phương vị biết trước Ví dụ: Có lưới tam giác hình Biết phương vị đ phương vị c, đo tất góc Ai, Bi, Ci, C B B2 C1 A A A1 B1 C3 C2 A A4 B4 C4 B3 A5 C5 B5 D Ta có phương trình điều kiện góc phương vị sau: αAB - C’1 + C’2 - C’3 + C’4 - C’5 ± 1800 = αCD Thay trị đo vào phương trình ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: - VC1 + VC2 - VC3 +VC4 - VC5 +ωα = ωα = - C1 + C2 - C3 + C4 - C5 + αAB - αCD ± 1800 Trong phương trình điều kiện phương vị, dấu số hiệu chỉnh xác định theo nguyên tắc tính chuyền phương vị, góc nằm bên trái đường tính chuyền mang dấu dương, bên phải mang dấu âm 13 Trong lưới đường chuyền đa giác, có thừa phương vị gốc xuất phương trình điều kiện phương vị Dạng phương trình chúng viết tương tự chuỗi tam giác đo góc Ví dụ có đường chuyền phù hợp hình , hai đầu tuyến có hai phương vị biết là: αAB αCD A 2 D 1 n 3 B C Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh tuyến đường chuyền sau: Vβ1 + Vβ2 + Vβ3 +….+ Vβn + ωα = Trong Vβi số hiệu chỉnh cho góc ngoặt trái đường chuyền, sai số khép phương vị ωα tính: Số lượng phương trình điều kiện góc phương vị tính sau: rα=Nα-1 Trong đó: Nα tổng số phương vị biết gồm phương vị gốc (tính từ toạ độ điểm gốc) phương vị đo (phương vị Laplace) Vậy phương trình điều kiện phương vị xuất mạng lưới phụ thuộc có từ phương vị khởi tính trở lên Chú ý: Đối với trường hợp hai phương vị A biết liền kề tạo thành góc cố định (đã biết) phương trình điều kiện phương vị trường hợp gọi phương trình điều kiện góc cố định Ví dụ: Cho đồ hình lưới đo góc hình, số P lượng phương trình điều kiện là: rα=Nα-1 = - = phương trình B Phương trình điều kiện góc cố định là: 1’+2’+3’=0 Q Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ α =0 α = 1+2+3 C Đối với mạng lưới đo tồn cạnh phương trình điều kiện góc phương vị viết sau: Giả sử ta có chuỗi tam giác đo cạnh hình vẽ 3.14 B S3 C1 C2 A S1 S7 C3 S4 S2 C II S8 S6 C4 S5 III I Hình 3.14 14 C5 S9 D Từ hình vẽ ta lập phương trình điều kiện góc phương vị sau: o − C1 + C2 − C3 + Cn + 180 − c = Từ phương trình điều kiện ta viết phương trình số hiệu chỉnh cạnh: −VC1 + VC2 − VC3 + VCn + w = (3.33) Dựa vào mối quan hệ góc cạnh để thay số hiệu chỉnh góc qua số hiệu chỉnh cạnh ta phương trình điều kiện góc phương vị lưới đo cạnh b Phương trình điều kiện chiều dài Phương trình điều kiện chiều dài xuất mạng lưới tam giác đo góc có thừa chiều dài khởi tính (có từ chiều dài khởi tính trở lên) Chiều dài khởi tính chiều dài đo trực tiếp với độ xác cao để bỏ qua sai số chúng bình sai lưới (đo thước dây inva máy đo dài điện tử) Chiều dài khởi tính chiều dài tính từ toạ độ điểm cấp cao Ý nghĩa hình học phương trình điều kiện chiều dài là: Xuất phát từ chiều dài cạnh cố định dùng góc sau bình sai tính chuyền chiều dài cạnh cố định khác phải nhận giá trị giá trị biết cạnh Xét chuỗi tam giác hình vẽ , cạnh đầu AB cạnh cuối chuỗi CD cạnh biết chiều dài Nếu ký hiệu góc sau bình sai tam giác chuỗi Ai’ , Bi’, Ci’, ta viết phương trình điều kiện chiều dài cạnh sau: Trong phương trình chiều dài cạnh AB CD chiều dài coi khơng có sai số Sau thay trị bình sai góc trị đo cộng số hiệu chỉnh khai triển Taylor ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sau: Trong sai số khép phương trình tính: Nếu từ phương trình điều kiện ta logarit số 10 hai vế khai triển tuyến tính ta nhận phương trình điều kiện dạng: Trong sai số khép hình tính: Khi tính tốn hệ số , sai số khép phải lấy số lẻ thứ logarit làm đơn vị Số lượng phương trình điều kiện chiều dài dược tính theo cơng thức: rs = Ns-1 Trong đó: 15 Ns – tổng số cạnh biết chiều dài gồm chiều dài cố định chiều dài đo Đối với trường hợp mạng lưới tam giác hình A phương trình điều kiện chiều dài gọi phương trình điều kiện cạnh cố định Lúc phương trình điều kiện có dạng: Sin ' Sin '.Sin 8' AB − BC = Sin 5' Sin ' Sin ' B Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: P Chú ý: Q + Trong mạng lưới tam giác đo góc có N cạnh cố định nối với tạo thành nhóm điểm gốc hình có (N-1) phương trình góc cố định C (N-1) phương trình điều kiện cạnh cố định Với hình có cạnh cố định nối với tạo thành nhóm điểm gốc số lượng phương trình điều kiện góc cố định cạnh cố định mạng lưới là: rα= Nα-1 = - = phương trình rs = Ns-1 = - = phương trình Vậy lưới có phương trình điều kiện góc cố định phương trình điều kiện cạnh cố định Nếu mạng lưới có N cạnh cố định khép kín có (N-1) phương trình góc cố định (N-3) phương trình điều kiện cạnh cố định Ví dụ cho mạng lưới hình có cạnh cố định khép kín, số lượng phương trình điều kiện góc cố định cạnh cố định là: rα= Nα-1 = - = phương trình rs = Ns-3 = - = phương trình Vậy lưới có phương trình điều kiện góc cố định phương trình điều kiện cạnh cố định B A 21 20 18 19 17 14 16 12 15 E C 10 11 13 D c Phương trình điều kiện toạ độ Cơng thức tính số lượng phương trình điều kiện tọa độ sau: rxy = 2(Nxy-1) Trong đó: Nxy - số nhóm điểm gốc lưới + Đối với mạng lưới tam giác đo góc: Khi phát triển mạng lưới tam giác cấp thấp dựa vào điểm tam giác cấp cao có thừa số lượng điểm cấp cao xuất phương trình điều kiện toạ độ 16 Nếu điểm cấp cao lưới liền kề có thừa điểm cấp cao song khơng có phương trình điều kiện toạ độ Trong trường hợp ta gọi chúng nhóm điểm gốc Như phương trình điều kiện toạ độ xuất mạng lưới có từ điểm gốc trở lên nhóm phải có từ điểm gốc trở lên có xác định chiều dài phương vị khởi tính cạnh lưới Ý nghĩa hình học phương trình điều kiện toạ độ: Xuất phát từ toạ độ biết điểm khởi tính, dùng góc, cạnh bình sai tính chuyền toạ độ điểm biết khác (thuộc nhóm khác) phải nhận giá trị toạ độ toạ độ biết điểm Xét chuỗi tam giác hình, biết tọa độ điểm A, B, C tạo thành nhóm điểm khởi tính B B2 A2 A A1 B1 A3 A4 B4 B3 A5 B5 C Vì toạ độ điểm A, B, C biết; xuất phát từ toạ độ X, Y điểm B tính chuyền toạ độ C phải nhận giá trị toạ độ biết điểm C, lập phương trình điều kiện hồnh độ tung độ sau: Phương trình điều kiện: X B + X i − X C = i =1 YB + Yi − YC = i =1 Số gia toạ độ X, Y tính chuyền theo đường nét đứt nối điểm B C, cạnh đường gọi cạnh tính chuyền toạ độ, giá trị chiều dài phương vị cạnh tính: SinA 1' SinA '2 SinA i' S i = AB SinB 1' SinB '2 SinB i' i = AB − C1' + C'2 Ci' 1800 Trong Ai’, Bi’, Ci’ giá trị sau bình sai góc tam giác, góc Ai’, Bi’ gọi góc tính chuyền chiều dài, Ci’gọi góc tính chuyền phương vị Các góc Ai, Bi, Ci góc đo, số hiệu chỉnh tương ứng VAi, VBi, VCi Từ phương trình điều kiện ta viết: Gọi Si αi giá trị gần chiều dài phương vị cạnh thứ i, ta viết: 17 Số hiệu chỉnh Vαi VSi nhỏ, triển khai thành dạng mới: Các số hiệu chỉnh Vαi VSi số hiệu chỉnh trị đo trực tiếp phải biến đổi để tìm quan hệ chúng với số hiệu chỉnh góc đo lưới tam giác Từ phương trình ta tiến hành triển khai tuyến tính Vαi VSi ta được: Trong góc đo ta có: , sai số khép tọa độ, theo gia số tọa độ tính từ giá trị Từ phương trình ta biểu diễn Vαi VSi qua số hiệu chỉnh góc VAi, VBi, VCi sau: Trong góc Ci nằm bên trái đường tính chuyền hệ số mang dấu dương, góc Ci nằm bên phải đường tính chuyền hệ số mang dấu âm (tn theo cơng thức tính chuyền phương vị) Sau thay Vαi VSi vào phương trình qua biến đổi ta nhận hai phương trình điệu kiện số hiệu chỉnh tọa độ dạng: Trong đó: X iC = X C − X i YiC = YC − Yi Để viết phương trình điều kiện toạ độ ta cần phải thực bước sau: 18 Vạch đường tính chuyền toạ độ nối điểm biết toạ độ Đường tính chuyền cần vạch cho tam giác góc Ci làm nhiệm vụ tính chuyền phương vị, khơng tham gia tính chuyền dài, cịn góc Ai, Bi tham gia tính chuyền chiều dài mà khơng tham gia tính chuyền phương vị Tính toạ độ gần điểm đường tính chuyền để phục vụ cho tính hệ số, việc tính kết hợp tính sai số khép x, y Viết phương trình điều kiện toạ độ dạng tuyến tính, viết cần phân biệt góc tính chuyền chiều dài Ai, Bi góc tính chuyền phương vị Cần lưu ý xét dấu hệ số góc tính chuyền phương vị Ci xét dấu hệ số góc tính chuyền chiều dài Ai, Bi Ví dụ có mạng lưới hình vẽ, A, B, C, D điểm biết tọa độ Ta tính số lượng phương trình điều kiện tọa độ mạng lưới là: rxy = 2(Nxy-1) với Nxy = Vậy rxy = 2(2 - 1)= phương trình Phương trình điều kiện toạ độ là: Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh x là: X BD + ( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) − '' X IIID '' YBD ( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) − '' V14 + YIIID '' X IID '' ( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) + '' ( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) + YIIID '' V14 + V13 + YIID X IIID '' ( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) − X IID '' V13 + (V10 + V20 ) + y = '' + Đối với mạng lưới đo cạnh lưới đo góc - cạnh: Lưới góc cạnh bao gồm lưới tam giác đo góc - cạnh lưới đường chuyền đa giác Tuy kết cấu lưới tam giác đo góc - cạnh lưới đường chuyền đa giác có khác + '' ( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) + X BD '' (V10 + V20 ) + x = Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh x là: YBD YIID 19 song phương trình điều kiện tọa độ chúng lại tương tự Chúng ta xét đường chuyền phù hợp có dạng hình vẽ: A β2 βn +1 C S1 β1 S2 B β3 βn Sn D Trong đường chuyền có điểm khởi tính biết tọa độ A, B, C D Đường chuyền có n cạnh đo S1, S2,… Sn n+1 góc đo β1, β2, βn+1 Nếu kí hiệu giá trị bình sai cạnh S’1, S’2,… S’n góc β’1, β’2, β’n+1 ta lập hai phương trình điều kiện tọa độ là: góc đo góc ngoặt trái nên giá trị phương vị tính: (2.1) Từ phương trình điều kiện ta khai triển tuyến tính dạng trung gian ta được: (2.2) Trong , sai số khép tọa độ tính theo cơng thức: Từ quan hệ (2.1) ta rút ra: Thay biểu thức vào (2.2) qua biến đổi nhận phương trình điều kiện dạng: (2.4) 20 ... là: r = 20 - = 14 phương trình (gồm phương trình điều kiện hình, phương trình điều kiện vịng, phương trình điều kiện cực, phương trình điều kiện góc cố định, phương trình điều kiện cạnh cố định)... nghĩa Ta thấy, phương trình phương trình điều kiện hình, vịng phương trình dạng tuyến tính cịn phương trình điều kiện cực phương trình phi tuyến tính, ta phải chuyển chúng phương trình số hiệu chỉnh... ta phương trình điều kiện hình hình đa giác trung tâm đo cạnh sau: b Phương trình điều kiện hình tứ giác trắc địa: S2 B C S6 S5 S1 S3 A 31 C S4 Hình 3.13 Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh