1 Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 3 Chương 1 Biến đổi Fourier rời rạc 6 1 1 Căn bậc N của đơn vị và các tính chất 7 1 1 1 Định nghĩa 7 1 1 2 Các tính chất của WN 7 1 2 Hàm rời rạc tuần hoàn trong không gian[.]
1 Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Biến đổi Fourier rời rạc 1.1 Căn bậc N đơn vị tính chất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất WN 1.2 Hàm rời rạc tuần hồn khơng gian Unita CN 1.2.1 Hàm rời rạc tuần hoàn 1.2.2 Không gian Unita CN 1.3 Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn 1.3.1 Dẫn luận 1.3.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc 1.4 Công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược dãy tuần hồn 1.5 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn 1.5.1 Tính tuyến tính 1.5.2 Tích chập 1.5.3 Đẳng thức Parseval 1.5.4 Tính tuần hoàn 1.5.5 Dịch chuyển biến điệu 1.6 Các ví dụ 1.7 Biến đổi Fourier rời rạc dãy không tuần hồn có chiều dài hữu hạn 1.8 Biến đổi cosine sine rời rạc 1.8.1 Định nghĩa biến đổi rời rạc tổng quát 1.8.2 Các phép biến đổi DCT - DCT - Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 8 11 11 12 13 14 14 14 16 16 17 18 21 22 22 23 Chương Biến đổi Fourier nhanh 2.1 Thuật toán biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo thời gian N = 2k 2.1.1 Mơ tả thuật tốn FFT 2.1.2 Sơ đồ thuật toán FFT theo thời gian N = 23 2.2 Hiệu tính tốn thuật tốn FFT 2.3 Thuật toán Fourier nhanh rút gọn theo tần số 2.3.1 Nội dung thuật toán rút gọn theo tần số 2.3.2 Sơ đồ thuật toán FFT theo tần số với N = 23 2.4 Biến đổi Fourier nhanh trường hợp N = RC 2.4.1 Trường hợp N = = 3.2 2.4.2 Dạng nhân tử FFT tổng quát 25 Chương Một số ứng dụng 3.1 Giải phương trình vi phân thường 3.2 Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình Helmholz 3.2.1 Đặt toán 3.2.2 Rời rạc hóa tốn 3.2.3 Fourier rời rạc cà Fourier nhanh 3.3 Tín hiệu tiếng hót 3.3.1 Định nghĩa 3.3.2 Các tính chất 3.4 Một số hệ thống tuyến tính lý thuyết tín hiệu Kết luận Tài liệu tham khảo 39 39 41 41 41 42 43 43 44 47 61 62 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên số http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 26 28 28 31 31 33 33 34 36 Mở đầu Lợi ích xử lý số tín hiệu ngày khẳng định rõ ràng Nó ứng dụng nhiều dạng khác với hiệu đặc biệt ngành khoa học môn học Với mức độ phát triển ngày cao bản, phương pháp khả ứng dụng lơi nhiều kỹ sư, nhà vật lý nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) chiếm vị trí hàng đầu nhờ tồn thuật toán hiệu biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier nhanh (FFT) công cụ hữu hiệu để tính biến đổi Fourier rời rạc Fourier rời rạc ngược Thuật toán F F T ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, từ phép toán số học số phức đến lý thuyết tín hiệu, lý thuyết nhóm lý thuyết số.v.v Từ Cooley Tukey phát thuật tốn tính nhanh biến đổi Fourier rời rạc vào năm 1965 (người ta quen gọi biến đổi Fourier nhanh - FFT), thuật toán ngày khẳng định vai trị mình, đặc biệt xử lý tín hiệu số Để tính DFT chiều dài N cần số phép nhân N N (N − 1) phép tốn cộng Thời gian tính tốn đáng kể N đủ lớn Một thuật toán nhanh nhiều phát triển Cooley Tukey khoảng năm 1965 gọi thuật tốn FFT Địi hỏi bắt buộc thuật toán chiều dài N phải lũy thừa 2, tức N có dạng N = 2s Thuật toán dựa vào việc khai triển biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài N = 2s thành tầng lớp nhỏ Cách mà nguyên tắc thực đưa đến nhiều thuật toán khác nhau, tất có mục đích cải thiện khả tăng tốc độ tính tốn Đó thuật tốn FFT phân tích theo thời gian, thuật tốn FFT phân tích theo tần số.v.v Đối với thuật toán FFT chiều dài N N cần log2 N phép tốn nhân N log2 N phép cộng Ngồi ra, cịn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn trình bày thuật tốn biến đổi Fourier nhanh cho trường hợp N = RC, R C lũy thừa Đối với thuật toán biến đổi Fourier nhanh cho trường hợp N = RC cần N (R + C) phép nhân Luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier rời rạc thuật tốn Fourier nhanh Ngồi ra, giới thiệu số ứng dụng biến đổi vào toán phương trình vi phân thường, tốn biên Dirichlet phương trình Poisson hình chữ nhật, xử lý tín hiệu tiếng hót Rada Ngồi ra, luận văn trình bày số tốn hàm hệ tín hiệu đầu hệ thống tuyến tính lý thuyết tín hiệu số Hiện tài liệu tiếng Anh DFT FFT phong phú Tuy nhiên, tài liệu tiếng Việt lĩnh vực cịn hạn chế chủ yếu trình bày sách kỹ thuật dành cho kỹ sư Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương Biến đổi Fourier rời rạc Trong chương trình bày lý thuyết biến đổi Fourier rời rạc cho dãy số tuần hoàn Chương Biến đổi Fourier nhanh Trong chương trình bày hai thuật tốn biến đổi Fourier nhanh, thuật tốn biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo thời gian thuật toán biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo tần số Ngồi ra, trình bày thuật tốn biến đổi Fourier nhanh cho trường hợp N = RC, R C lũy thừa Chương Một số ứng dụng Trong chương trình bày số ứng dụng biến đổi Fourier rời rạc vào tốn phương trình vi phân thường, tốn biên Dirichlet phương trình Poisson hình chữ nhật Xử lý tín hiệu tiếng hót Rada số tốn hàm hệ tín hiệu đầu hệ thống tuyến tính lý thuyết tín hiệu số Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Tốn Học Hà Nội Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Tôi xin cảm ơn tới Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K2 Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luân văn Tôi xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Lạng Sơn, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Vũ Lễ - Bắc Sơn, Trường THPT Việt Bắc TP Lạng Sơn tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tâp Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2010 Tác giả Trần Quốc Hội Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Biến đổi Fourier rời rạc Trong chương trình bày lý thuyết biến đổi Fourier rời rạc cho dãy số tuần hoàn Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [3] [8] Mở đầu Biến đổi tích phân Fourier hàm f (t) ∈ L1 (R) thường định nghĩa công thức Z ∞ fˆ(ω) = f (t)e−iωt dt, ω ∈ R, −∞ biến đổi Fourier ngược cho công thức Z ∞ f (t) = fˆ(ω)eiωt dω 2π −∞ Một phương pháp tính gần tích phân tiến hành sau Trước hết ta giả thiết với số a, b có trị tuyệt đối đủ lớn: a < 0, b > tích phân Z b f (t)e−iωt dt, a xấp xỉ tốt tích phân Fourier Từ đến định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc Trong chương trình bày số tính chất biến đổi Fourier rời rạc Từ sau ta luôn hiểu N số nguyên dương, z số phức liên hợp số phức z, Z tập số nguyên Ký hiệu RN CN tương ứng không gian vectơ thực phức Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 1.1.1 Căn bậc N đơn vị tính chất Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm phương trình z N − = gọi bậc N đơn vị Trong lý thuyết số phức ta biết đơn vị có N bậc N khác chúng xác định công thức εk = WNk , (k = 0, 1, , N − 1), 2πi 2π 2π + i sin , WN = e N = cos N N (1.1) (1.2) i đơn vị ảo: i2 = −1 Dễ thấy ε1 = WN Công thức (1.2), chúng biết công thức Euler Sau gọi WN hạch Euler 1.1.2 Các tính chất WN Mệnh đề 1.1.1 Hạch Euler WN có tính chất sau 1) WNkN = 1, (1.3) 2) WN WN = 1, (1.4) 3) WNk = WN k(N −n) 4) WN −k = WNN +k = WN N −k , = WNkn , k(n+N ) 5) WNkn = WN (1.5) (1.6) (k+N )n = WN , 6) + WN + WN2 + WNN −1 = 0, ( N −1 X 1, n = pN, 7) WNmn = N m=0 0, n 6= pN (1.7) (1.8) (1.9) Chứng minh Các tính chất từ 1) đến 5) hiển nhiên Tính chất 6) trường hợp đặc biệt tính chất 7), ta cần chứng minh tính chất 7) Thật vậy, ta có WNN = e2πi = Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N −1 N −1 N −1 X mpN X N mp X W = (W ) = = N m=0 N N m=0 N N m=0 N −1 X mn WNN n − W = n = 0, N m=0 N N WN − (n 6= pN ) Vậy công thức (1.9) chứng minh 1.2 1.2.1 Hàm rời rạc tuần hoàn khơng gian Unita CN Hàm rời rạc tuần hồn Cho N số nguyên dương cố định Khi số nguyên m ∈ Z biểu diễn dạng m = n + kN, n = 0, 1, , N − 1, k ∈ Z Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm rời rạc f (m) với m ∈ Z Hàm f (m) gọi hàm tuần hoàn chu kỳ N, với m = n + kN f (n + kN ) = f (n), n = 0, 1, 2, , N − 1, k ∈ Z Tập xác định hàm rời rạc biến số nguyên tuần hoàn chu kỳ N ký hiệu ZN nhóm cyclic số nguyên theo modulo số nguyên dương N ZN = Z/(N ) (Z modulo N ); (N ) = {kN : k ∈ Z} Tập hợp hàm rời rạc biến số nguyên tuần hoàn chu kỳ N ký hiệu L(ZN ) Dễ thấy hàm ω(m) := WNm = em2πi/N , m∈Z hàm tuần chu kỳ N Thật vậy, với m = n + kN ta có ω(n + kN ) = e(n+kN )2πi/N = en2πi/N ek2πi = en2πi/N = ω(n) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 Không gian Unita CN Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f, g hàm tuần hoàn rời rạc không gian CN Trong CN , ta định nghĩa tích vơ hướng tích ngồi < f, g >= N −1 X f (k)g(k) (1.10) k=0 Chuẩn phần tử f xác định theo công thức p ||f || = < f, f > (1.11) Xét hàm ωj (m) = WN−jm = e−jm2πi/N , m, j = 0, 1, 2, , N − vectơ uj = √ (ωj (0), ωj (1), , ωj (N − 1)) N 1 −2πij.1/N −2πij.2/N −2πij.(N −1)/N = √ ,√ e ,√ e , , √ e N N N N Bổ đề 1.2.1 Các hàm uj , j = 0, 1, , N − sở trực chuẩn không gian Unita CN Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính trực chuẩn hệ {uj } Ta có −1 −2πjn/N 2πjn/N −1 N N X X e e 21 2 √ √ ||uj || =< uj , uj > = = = N N N n=0 n=0 < uj , uk >= N −1 X uj (n).uk (n) = n=0 N −1 X (k−j)n WN (1.12) n=0 Theo công thức (1.9), từ (1.12) suy < uj , uk >= 0, j 6= k Ta chứng minh họ {uj , j = 0, 1, , N − 1} độc lập tuyến tính CN Thật vậy, xét đẳng thức co uo + c1 u1 + + cN −1 uN −1 = 0, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên cj ∈ C, j = 0, 1, , N − http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Đã biết uj = √ ωj (0), ωj (1), , ωj (N − 1) N −j(N −1) ), = √ (WN0 , WN−j , , WN N nên ta có hệ c0 + c1 + c2 + + cN −1 = 0, −(N −1) c0 + c1 WN−1 + c2 WN−2 + cN −1 WN = 0, −(N −1) c0 + c1 WN −2(N −1) + c2 WN −(N −1)(N −1) + cN −1 WN = Hệ có dạng Ac = 0, đó: c = (c0 , c1 , , cN −1 )T 1 A= 1 WN WN 2(N −1) WN WN WN (N −1) WN .1 N −1 WN 2(N −1) WN (N −1)(N −1) .WN Ma trận A ma trận đối xứng nên c = (c0 , c1 , , cN −1 )T = 0, họ {uj , j = 0, 1, , N − 1} độc lập tuyến tính Định lý 1.2.1 Mọi vectơ f ∈ CN , tuần hoàn chu kỳ N phân tích thành tổng N −1 X f= < f , uj > uj (1.13) j=0 Chứng minh Vì họ vectơ {uj } sở trực chuẩn không gian Unita CN , nên vectơ f ∈ CN phân tích theo sở, ta có f= N −1 X Cj uj (1.14) j=0 Lấy tích ngồi hai vế (1.14), ta có (1.13) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thuật tốn biến đổi Fourier nhanh, thuật tốn biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo thời gian thuật toán biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo tần số Ngồi ra, trình bày thuật toán biến đổi Fourier nhanh. .. hiệu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) chiếm vị trí hàng đầu nhờ tồn thuật toán hiệu biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier nhanh (FFT) cơng cụ hữu hiệu để tính biến đổi Fourier rời rạc Fourier. .. mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương Biến đổi Fourier rời rạc Trong chương trình bày lý thuyết biến đổi Fourier rời rạc cho dãy số tuần hoàn Chương Biến đổi Fourier nhanh Trong chương