ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————— PHẠM THỊ GIANG VỀ THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN ĐƯỢC LỒI Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————— PHẠM THỊ GIANG VỀ THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN ĐƯỢC LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2017 Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Đồng thức bất đẳng thức 1.1.3 Tốn tử tuyến tính phiếm hàm 1.1.4 Tôpô mạnh tôpô yếu 1.2 Ánh xạ không giãn toán tử chiếu 11 1.3 Ánh xạ co dãy đơn điệu Fejér 14 Chương Thuật toán giải toán chấp nhận lồi 19 2.1 Mơ tả sơ đồ thuật tốn 19 2.2 Tính chất thuật toán 21 2.3 Kết hội tụ 23 2.4 Thuật toán chiếu 29 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Danh mục ký hiệu R Tập số thực R+ Tập số thực không âm R ∪ {±∞} Tập số thực mở rộng C Tập số phức N Tập hợp số tự nhiên H Không gian Hilbert `2 Không gian dãy số vô hạn kxk Chuẩn véctơ x ∈ H |x| Giá trị tuyệt đối x ∈ R (x(n) ) hay {xk } Dãy điểm H xk * x0 xk hội tụ yếu tới x0 xk → x0 xk hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) tới x0 hx, yi tích vơ hướng hai véctơ x, y ∈ H [x, y] Đoạn thẳng nối x y x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) conv{x1 , , xk } Bao lồi điểm x1 , , xk x∈X x phần tử tập X x∈ /X x không phần tử tập X ∅ Tập hợp rỗng dC (x) Khoảng cách từ điểm x tới tập C A+B Tổng véctơ hai tập A B A−B Hiệu véctơ hai tập A B A∪B Hợp hai tập A B A∩B Giao hai tập A B B Tích Đề hai tập A B A ⊂ B A tập B A ⊆ B A tập (có thể bằng) B intY S Phần S Y (S, Y tập tùy ý H) int S Phần S (=intH S) S Bao đóng tập S conv S Bao lồi tập S convS Bao lồi đóng tập S affS Bao afin đóng tập S span S Khơng gian tuyến tính nhỏ H chứa S icr S Lõi bên S (= intaf f S S) r+ Phần dương số r ∈ R = max{r, 0} lim Giới hạn (của dãy số thực) lim Giới hạn (của dãy số thực) ∀x Với x ∃x Tồn x Id Toán tử đồng H PC Toán tử chiếu lên tập C Fix T Tập điểm bất động toán tử T MỞ ĐẦU Trong toán học vật lý học đại (ví dụ, chụp X quang điện tốn hóa), ta thường gặp tốn sau với tên gọi toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem), phát biểu tốn học xác tốn sau: Cho H khơng gian Hilbert C1 , C2 , , CN tập lồi đóng H với giao C = C1 ∩ C2 ∩ ∩ CN 6= ∅ Hãy tìm điểm x ∈ C? Có hai loại tốn thường gặp: Các tập Ci đơn giản, theo nghĩa tính hình chiếu (ánh xạ điểm gần nhất) Ci Chẳng hạn, Ci siêu phẳng hay nửa khơng gian Khơng thể tính trực tiếp hình chiếu Ci , nhiên mơ tả hình chiếu tập xấp xỉ rộng Ci Thường, Ci tập mức hàm lồi Tiếp cận hay sử dụng để giải toán chấp nhận lồi thuật toán chiếu Ý tưởng thuật toán là: chiếu tập Ci (hoặc tập xấp xỉ nó) để tạo dãy điểm mà chúng hội tụ tới nghiệm tốn chấp nhận lồi Đó cách tiếp cận phân tích, nghiên cứu trình bày tài liệu tham khảo [3] Đề tài luận văn “Về thuật toán chiếu giải toán chấp nhận lồi” nhằm mục đích tìm hiểu giới thiệu nội dung báo [3], trình bày nghiên cứu cải tiến, hợp điểm lại kết nghiên cứu trước thuật tốn chiếu Luận văn đề cập tới toán chấp nhận lồi khơng gian Hilbert thuật tốn chiếu giải toán Luận văn gồm hai chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” Chương nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn, tốn tử chiếu số kiến thức liên quan Tài liệu sử dụng [1] - [4] Trong chương có số tiểu mục sau: 1.1 Không gian Hilbert thực: nhắc lại khái niệm kiện (luật hình bình hành, tốn tử tuyến tính, hội tụ mạnh, hội tụ yếu, ) 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử chiếu: Các khái niệm tính chất (ánh xạ khơng giãn bền vững, ánh xạ trung bình, ngun lý bán đóng, ) 5 1.3 Ánh xạ co dãy đơn điệu Fejér: Tính chất tốn tử dùng sơ đồ lặp dãy lặp nhận Chương “Thuật toán giải toán chấp nhận lồi” Chương đề cập tới thuật toán (bao gồm thuật toán chiếu) giải toán chấp nhận lồi Tài liệu sử dụng [3], [5], [6] Chương có số tiểu mục sau: 2.1 Mơ tả sơ đồ thuật tốn: quy tiệm cận, nới lỏng, kỳ dị, trọng số, 2.2 Tính chất thuật tốn: Các tính chất, ví dụ nhận xét 2.2 Các kết hội tụ: Định lý lưỡng phân I hội tụ theo tôpô yếu 2.3 Thuật toán chiếu: Nguyên mẫu thuật toán chiếu hội tụ, hội tụ tuyến tính, định lý lưỡng phân II hội tụ theo tôpô yếu, Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Ngun Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Thị Giang Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert: Các đồng thức, bất đẳng thức hữu ích, ánh xạ khơng giãn, ngun lý bán đóng, tốn tử chiếu, ánh xạ co (co mạnh) số kiến thức liên quan Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4] 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa 1.1 Không gian tiền Hilbert (pre-Hilbert space) không gian véctơ X R (hoặc C) với tích vơ hướng (inner product) xác định h·, ·i : X × X → R (hoặc C) thỏa mãn với x, y, z ∈ X λ ∈ R (hoặc C): (i) hx, xi ≥ 0, (ii) hx, xi = ⇒ x = 0, (iii) hy, xi = hx, yi, (iv) hλx, yi = λhx, yi, (v) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi Mỗi tích vơ hướng X tạo chuẩn tương ứng kxk = p hx, xi với x ∈ X Nếu X khơng gian đủ theo chuẩn vừa xây dựng (nói cách khác, X không gian đủ theo metric sinh từ chuẩn này, hay X không gian Banach với chuẩn đó) X gọi khơng gian Hilbert 7 Ví dụ 1.1 (i) Rn với tích vô hướng hx, yi = R Pn i=1 xi yi khơng gian Hilbert (ii) Cn với tích vơ hướng hu, vi = ni=1 = ui v i khơng gian Hilbert C, u = (u1 , u2 , , un ), v = (v1 , v2 , , ) P (iii) `2 với tích vơ hướng ha, bi = ∞ X aj bj j=1 ∞ không gian Hilbert C (ở a = {aj }∞ j=1 , b = {bj }j=1 ) Sự kiện chuỗi ha, bi hội tụ hệ ca bt ng thc Hăolder vi p = q = Ở dễ kiểm tra lại tính chất mà tích vơ hướng cần phải thỏa mãn Chuẩn sinh từ tích vơ hướng chuẩn k · k2 có `2 (iv) L2 [0, 1], L2 [a, b] L2 [R] tất khơng gian Hilbert tích vơ hướng Z fg ha, bi = (tích phân lấy miền thích hợp) Cho H không gian Hilbert thực (hx, yi, λ ∈ R) với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn k · k Ký hiệu d khoảng cách, nghĩa (∀x ∈ H) (∀y ∈ H) kxk = p hx, xi d(x, y) = kx − yk Tập C ⊂ H gọi trực giao x, y ∈ C, x 6= y ⇒ hx, yi = C gọi trực chuẩn tập trực giao có thêm kxk = với x ∈ C Để ý định nghĩa áp dụng cho tập C có hữu hạn hay vơ số phần tử Cũng cần ý C tập trực giao {x/kxk : x ∈ C\{0}} tập trực chuẩn Tập trực chuẩn C ⊂ H gọi sở trực chuẩn H spanC = H (tức khơng gian tuyến tính đóng nhỏ H chứa C trùng với H) Không gian H tách H có sở trực chuẩn đếm Ký hiệu toán tử đồng H Id Hình cầu đơn vị đóng H ký hiệu B(0, 1) = {x ∈ H | kxk ≤ 1} Dãy {xk } H gọi hội tụ yếu tới x0 , ký hiệu xk * x0 , ha, xk i → ha, x0 i với a ∈ H Dãy {xk } H gọi hội tụ mạnh tới x0 , ký hiệu xk → x0 , kxk − x0 k → (cịn gọi hội tụ theo tích vơ hướng hội tụ theo chuẩn) 8 1.1.2 Đồng thức bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Giả sử x, y ∈ H Khi |hx, yi| ≤ kxkkyk Hơn nữa, |hx, yi| = kxkkyk ⇔ (∃α ∈ R+ ) x = αy hay y = αx Bổ đề 1.1 Giả sử x, y z ∈ H Khi đó, điều sau đúng: (i) kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 (ii) Luật hình bình hành: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (iii) Đồng thức phân cực: kx + yk2 − kx − yk2 = 4hx, yi (iv) Đồng thức Apollonius: kx − yk2 = 2kz − xk2 + 2kz − yk2 − 4kz − (x + y)/2k2 Chứng minh (i) Kiểm tra dễ dàng (ii) (iii): Từ (i) suy kx − yk2 = kxk2 − 2hx, yi + kyk2 Lần lượt cộng trừ (i) với đồng thức này, ta nhận (ii) (iii) (iv) Áp dụng (i) (z − x)/2 (z − y)/2 Bổ đề 1.2 Giả sử x y ∈ H Khi đó, điều sau đúng: (i) hx, yi ≤ ⇔ (∀α ∈ R+ ) kxk ≤ kx − αyk ⇔ (∀α ∈ [0, 1]) kxk ≤ kx − αyk (ii) x ⊥ y ⇔ (∀α ∈ R) kxk ≤ kx − αyk ⇔ (∀α ∈ [−1, 1]) kxk ≤ kx − αyk Chứng minh (i) Để ý (∀α ∈ R) kx − αyk2 − kxk2 = α(αkyk2 − 2hx, yi) Từ trực tiếp suy có chiều thuận (⇒) Ngược lại, ∀α ∈ [0, 1], kxk ≤ kx−αk, từ đẳng thức suy hx, yi ≤ αkyk2 /2 Khi α ↓ 0, ta nhận hx, yi ≤ (ii) hệ (i), x ⊥ y ⇔ [hx, yi ≤ hx, −yi ≤ 0] Hệ 1.1 Giả sử x ∈ H, y ∈ H α ∈ R Khi đó, kαx + (1 − α)yk2 + α(1 − α)kx − yk2 = αkxk2 + (1 − α)kyk2 Mệnh đề 1.1 (Tính lồi chặt) Nếu x, y ∈ H kx + yk = kxk + kyk kéo theo kyk · x = kxk · y Chứng minh Suy từ luật bình hành 9 1.1.3 Tốn tử tuyến tính phiếm hàm Cho X Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn thực Ta nhắc lại, toán tử T : X → Y tuyến tính T [αx + βy] = αT x + βT y, ∀x, y ∈ X, ∀α, β ∈ R Tốn tử tuyến tính T liên tục điểm thuộc X T liên tục Lipschitz Đặt L (X, Y ) = {T : X → Y | T tuyến tính liên tục} L (X) = L (X, X) Với chuẩn toán tử xác định (∀T ∈ L (X, Y )) kT k = sup kT (B(0, 1))k = sup kT (x)k x∈X,kxk≤1 L (X, Y ) khơng gian tuyến tính định chuẩn khơng gian Banach Y không gian Banach Định lý Banach - Steinhaus (Tính bị chặn đều) Giả sử X không gian Banach thực, Y không gian tuyến tính định chuẩn thực (Ti )i∈I họ toán tử bị chặn theo điểm, nghĩa (∀x ∈ X) sup kTi xk < +∞ Khi đó, supi∈I kTi k < +∞ Định lý biểu diễn Riesz - Fréchet sau cho thấy đồng phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert thực H với véctơ H Định lý Riesz - Fréchet Giả sử f ∈ L (H, R) Khi đó, tồn véctơ u ∈ H cho (x ∈ H) f (x) = hx, ui Hơn nữa, kf k = kuk Cho K không gian Hilbert thực T : H → K liên hợp (adjoint) T toán tử T ∗ ∈ L (K, H) thỏa mãn (∀x ∈ H) (∀y ∈ K) hT x, yi = hx, T ∗ yi 1.1.4 Tôpô mạnh tôpô yếu Tôpô metric (H, d), tức tôpô nhận họ tất hình cầu mở làm sở lân cận, gọi tôpô mạnh (strong topology) hay tôpô theo chuẩn (norm topology) H Như vậy, lưới (xa )a∈A H hội tụ mạnh (converges strongly) tới điểm x kxa − xk → 0, ký hiệu xa → x Khi sử dụng mà khơng nói thêm, khái niệm tơpơ H (đóng, mở, lân cận, liên tục, compac, hội tụ, ) hiểu theo nghĩa tôpô mạnh Một khái niệm tôpô quan trọng khác (tôpô yếu) đề cập tới ... ? ?Thuật toán giải toán chấp nhận lồi? ?? Chương đề cập tới thuật toán (bao gồm thuật toán chiếu) giải tốn chấp nhận lồi Tài liệu sử dụng [3], [5], [6] Chương có số tiểu mục sau: 2.1 Mơ tả sơ đồ thuật. .. cận hay sử dụng để giải toán chấp nhận lồi thuật toán chiếu Ý tưởng thuật toán là: chiếu tập Ci (hoặc tập xấp xỉ nó) để tạo dãy điểm mà chúng hội tụ tới nghiệm toán chấp nhận lồi Đó cách tiếp cận... tài luận văn ? ?Về thuật toán chiếu giải toán chấp nhận lồi? ?? nhằm mục đích tìm hiểu giới thiệu nội dung báo [3], trình bày nghiên cứu cải tiến, hợp điểm lại kết nghiên cứu trước thuật tốn chiếu Luận