ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2019 LÍI CAM OAN Tỉi xin am oan Ơy l trẳnh nghiản ựu ừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn ừa GS TSKH PhÔm Ký Anh v PGS TS Nguyạn Minh TuĐn CĂ kát quÊ ừa luên Ăn l mợi v hữa tứng ữủ bố bĐt ký trẳnh no khĂ Nghiản ựu sinh PhÔm Th ThÊo i LI CM èN Vợi tĐt Ê lỏng biát ỡn sƠu sư ừa mẳnh, tổi xin ữủ gỷi lới Êm ỡn án hai ngữới thy Ăng kẵnh, GS TSKH PhÔm Ký Anh v PGS TS Nguyạn Minh TuĐn Tổi may mưn ữủ lm nghiản ựu sinh dữợi sỹ hữợng dăn ừa GS TSKH PhÔm Ký Anh, ngữới thy-nh khoa hồ lợn m tổi luổn kẵnh trồng Trong suốt quĂ trẳnh nghiản ựu v hon thiằn luên Ăn, tổi luổn nhên ữủ sỹ hộ trủ kp thới, sỹ h bÊo v hữợng dăn tên tẳnh, hi tiát ừa Thy Tổi may mưn ữủ lm hồ trỏ ừa thy tổi, PGS TS Nguyạn Minh TuĐn, tứ nhúng ng y u ti¶n tỉi án l sinh vi¶n Ôi hồ , tổi lm khõa luên tốt nghiằp, rỗi sau õ l luên vôn ThÔ s v suốt nhỳng nôm thĂng tổi l nghiản ựu sinh dữợi mĂi nh khoa ToĂn Cỡ Tin hồ , trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản H Nởi Chng ữớng mữới nôm Đy, tổi trững thnh hồ têp, viằ v nghiản ựu khoa hồ nhớ sỹ dẳu dưt, sỹ h dÔy, sỹ ởng viản khẵ h lằ ừa Thy Tổi xin gỷi lới Êm ỡn hƠn thnh án Ă thy æ, ¡ anh hà th nh vi¶n õa Seminar "Gi£i sè phữỡng trẳnh vi phƠn" thuở bở mổn ToĂn hồ Tẵnh toĂn v ToĂn ựng dửng, trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi; Seminar "GiÊi tẵ h Ôi số v Ă phữỡng phĂp toĂn sỡ Đp", trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia ii H Nởi Tổi hồ họi ữủ rĐt nhiÃu suèt qu¡ tr¼nh tham gia hai Seminar, ° bi»t nhớ nhỳng ỵ kián õng gõp v trao ời khoa hồ nhỳng ln tổi trẳnh by bĂo Ăo tÔi hai Seminar, tổi mợi õ th hon thnh bÊn luên ¡n n y Tỉi ng xin gûi líi £m ìn h¥n thnh tợi Ă anh h em nghiản ựu sinh huyản ng nh To¡n ùng dưng, Khâa 2013-2016 v· nhúng trđ, hia s´ v gióp ï hå tªp, ỉng vi» ng nh÷ sèng Tỉi xin £m ìn Ban giĂm hiằu trữớng Ôi hồ Kián trú H Nởi  ho tổi ỡ hởi ữủ hồ têp v nghiản ựu, Êm ỡn Ă anh h em ỗng nghiằp tĂ tÔi Bở mổn ToĂn, trữớng Ôi hồ Kián trú H Nởi  luổn tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi ho tỉi st thíi gian tỉi l m nghi¶n ùu sinh Ci ịng, tỉi mn b y tä láng bi¸t ìn vổ hÔn án gia ẳnh ừa mẳnh, nhỳng ngữới luổn yảu thữỡng v ừng hở tổi vổ iÃu kiằn biằt, tổi muốn Êm ỡn hỗng tổi, ngữới luổn Êm thỉng, san s´ nhúng khâ kh«n ịng tỉi, trđ tỉi st nhúng n«m th¡ng qua º tỉi â thº ho n th nh luªn ¡n n y iii Mư lư Líi am oan i Lới Êm ỡn ii BÊng kỵ hiằu M u Kián thự huân b 1.1 Cỡ s lỵ thuyát hm Dira delta 1.1.1 ành ngh¾a h m Dira delta 1.1.2 CĂ tẵnh hĐt ừa hm Dira delta 1.2 Bián ời Fourier phƠn thù 1.2.1 ành nghắa bián ời Fourier phƠn thự 1.2.2 Ph²p t½nh to¡n tû têng qu¡t 1.2.3 Bián ời Fourier phƠn thự mt ph¯ng thíi gian-tn sè 1.3 CĂ nh lỵ tẵ h v hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự 1.4 Ùng döng 11 11 11 13 15 15 21 23 27 32 1.4.1 Lồ nhiạu miÃn Fourier phƠn thự 32 1.4.2 Lå tèi ÷u mi·n Fourier ph¥n thù 35 1.4.3 LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu 36 Chêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thù 2.1 Chªp khỉng â h m trång 2.1.1 nh lỵ hêp 2.1.2 C¡ tẵnh hĐt ỡ bÊn 2.1.3 BĐt ng thự Young v Ôi số Wiener 2.2 Chªp â h m trång dÔng hirp 2.3 Chªp â hm trồng liản quan án hm Gauss v hm Hermite 2.3.1 C¡ ành lỵ hêp 2.3.2 CĂ tẵnh hĐt ỡ bÊn 2.3.3 Chùng minh 2.3.4 B§t ¯ng thù hêp dÔng Young ng dửng 3.1 CĂ lợp phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp 3.1.1 CĂ phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp 3.1.2 Phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn Hermite 3.2 LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n mi·n Fourier ph¥n thù 3.2.1 nh lỵ lĐy mău 3.2.2 Mæ phäng 3.3 Lå nh¥n mi·n Fourier ph¥n thù 3.3.1 Lå nh¥n mi·n Fourier ph¥n thù 42 42 42 43 44 46 53 53 55 56 60 67 67 68 75 80 80 84 86 86 3.3.2 Mæ phäng 88 Kát luên ừa luên Ăn 92 Danh mử Ă trẳnh liản quan án luên Ăn 94 Ti liằu tham khÊo 95 BÊng kỵ hiằu N Z R FT F RF T LCD WD δ(x) Hn (x) φn (x) ψ(x) ζ(x) η(x) Φn(x) Lp(R) Tªp Ă số tỹ nhiản Têp Ă số nguyản Têp Ă số thỹ Bián ời Fourier Bián ời Fourier phƠn thự Bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh PhƠn phối Wigner Hm Dira delta (h m xung ìn và) a thù Hermite bª n: Hn(x) = (−1)n ex dxd e−x vỵi n ∈ N H m Hermite bª n: φn(x) = e− Hn(x) H m ei(x−ax ) H m ei(−x−ax ) H m e− x −iax H m e−i2ax φn(x) R Khæng gian ¡ h m sè f : R → C : |f (x)|p dx < +∞, 2 n x2 2 2 2 R k.kp n tẵ h phƠn lĐy theo ở o Lebesgue (1 ≤ p < +∞) R Chu©n khæng gian Lp(R): kf kp = R |f (x)|pdx 1/p M u Tờng quan và vĐn à nghiản ựu v lỵ hồn à ti Nhỳng kián thự ban u liản quan án bián ời Fourier phƠn thự  ữủ N Wiener giợi thiằu ln u tiản vo nôm 1929 CĂ nhõm tĂ giÊ tiản phong nghiản ùu v· bi¸n êi n y ph£i kº ¸n l H Weyl n«m 1930, E U Condon n«m 1937, H Kober n«m 1939, A P Guinand n«m 1956, A L Patterson n«m 1959, V Bargmann n«m 1961, De Bruijn n«m 1973 v R S Khare n«m 1974, ịng nhi·u t¡ gi£ khĂ Tuy nhiản, phÊi tợi nôm 1980, vợi mử ẵ h giÊi quyát Ă bi toĂn phữỡng trẳnh vi phƠn v phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ỡ hồ lữủng tỷ, V Namias bưt u nghiản ựu lÔi mởt Ă h hằ thống và bián ời Fourier phƠn thự [26 C ng thíi gian â, hai nh to¡n hå A C M Bride v F H Kerr [24℄ ti¸p tư ph¡t triºn v ho n thi»n ¡ k¸t qu£ n y õa V Namias C¡ t¡ gi£ V Namias, A C M Bride v F H Kerr khổng h ữa nh nghắa huân ho bián ời Fourier phƠn thự nhữ l sỹ tờng quĂt hõa ừa bián ời Fourier thổng thữớng m ỏn phĂt trin Ă php tẵnh toĂn tỷ ho bián ời ny ỗng thới ựng dửng nõ giÊi quyát Ă vĐn à ỡ hồ lữủng tỷ Suốt nhỳng nôm 1990, mởt lữủng lợn Ă nghiản ựu liản quan án toĂn tỷ Fourier phƠn thự ữủ ữa giÊi quyát Ă vĐn à xỷ lỵ tẵn hiằu v quang hå [1, 2, 25, 29, 32℄ Tø â ¸n nay, nõ  tr thnh mởt mởt rĐt hiằu quÊ xỷ lỵ Ă tẵn hiằu õ tn số phử thuở thới gian v xỷ lỵ Ă tẵn hiằu quang hồ NhiÃu nghiản ựu trản bián ời Fourier phƠn thự  ữủ thỹ hiằn nhơm giÊi quyát Ă bi toĂn ựng dửng quang hồ , xỷ lỵ tẵn hiằu, hằ ởng lỹ hồ , quĂ trẳnh ngăn nhiản Nhỳng nôm gn Ơy, bián ời ny ỏn ữủ Ăp dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹ khĂ nhữ radar, watermarking, nhên dÔng mău, mêt mÂ, bián ời wavelet v mÔng nỡ ron [5, 11, 14, 35, 44 Viằ nghiản ựu Ă bián ời phƠn thự m nhiÃu trin vồng phƠn tẵ h v xỷ lỵ tẵn hiằu [33 Cũng vợi sỹ ới ừa bián ời Fourier phƠn thự v Ă khĂi niằm liản quan, Ă tẵnh hĐt v ựng dửng ừa bián ời Fourier thổng thữớng giớ Ơy õ th xem l trữớng hủp biằt ừa Fourier phƠn thự Trong nhỳng phÔm vi m Ă kh¡i ni»m mi·n thíi gian, mi·n tn sè ÷đ sû dửng, õ s tỗn tÔi khÊ nông ho sỹ m rởng v tờng quĂt hõa bơng bián ời Fourier phƠn thự Ngoi ra, vẳ bián ời Fourier phƠn thự l mởt trữớng hủp biằt ừa bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh (LCT), Ă kát quÊ Â õ ho bián ời ny õ th huyn và miÃn Fourier phƠn thự theo mởt nghắa no õ Nhữ l m rởng ừa bián ời Fourier, Ă lỵ thuyát õ liản quan ng ữủ phĂt trin ho bián ời Fourier phƠn thự bao gỗm lỵ thuyát hêp Chúng tổi õ th liằt k¶ ¡ b i b¡o theo thù tü thíi gian: L B Almeida [3℄, A I Zayed [46℄, B Deng v ëng sü [13℄, D Wei v ëng sü [42℄, v gn Ơy nhĐt A K Singh v R Saxena [37, õ Ă thự hêp ho bián ời Fourier phƠn thự ữủ nh nghắa yáu khổng gian L1(R) v Ôi số Wiener CĂ nh lỵ hêp ny ữủ xem l m rởng ừa nh lỵ hêp ho bián ời Fourier, õ húng Ãu thẵ h hủp ựng dửng Ê Ă bi toĂn lỵ thuyát ng nhữ thỹ hnh Dỹa trản nhỳng kát quÊ Â õ và hêp ừa bián ời Fourier, Ă tĂ giÊ têp trung xƠy dỹng Ă hêp ho bián ời Fourier ph¥n thù v ùng dưng hóng v o ¡ b i toĂn xỷ lỵ tẵn hiằu nhữ thiát ká bở lồ , lĐy mău v khổi phử tẵn hiằu Tuy nhiản, so vợi lỵ thuyát hêp  ữủ xƠy dỹng ho bián ời Fourier, Ă kát quÊ Â õ ho bián ời Fourier phƠn thự hữa thỹ sỹ sƠu sư v a dÔng, v Ôi số Weiner ừa nõ ng hữa ữủ à êp Trong xỷ lỵ tẵn hiằu, gn Ơy, lỵ thuyát và lĐy mău ho lợp tẵn hiằu õ dÊi tn b hn miÃn Fourier phƠn thự nhên ữủ sỹ quan tƠm ừa nhiÃu tĂ giÊ, ữủ m rởng v phĂt trin theo Ă hữợng tiáp ên khĂ [13, 16, 36, 38, 39, 43, 45, 47 nh lỵ lĐy mău ho lợp Ă tẵn hiằu ny ữủ Xia [45 hựng minh ln u tiản bơng Ă h phƠn tẵ h tẵn hiằu õ dÊi tn b hn theo nghắa Fourier phƠn thự thnh tẵ h ừa mởt hm hirp vợi mởt tẵn hiằu õ dÊi tn b hn theo nghắa thổng thữớng, tứ õ Ăp dửng nh lỵ lĐy mău Shannon-Nyquist Tiáp õ, nôm 1999, Zayed v Gar ia [47  ữa kát quÊ mợi ho nh lỵ lĐy mău miÃn Fourier phƠn thự vợi php hựng minh sỷ dửng bián ời Hilbert Kát quÊ ny sau õ  ữủ nhâm t¡ gi£ [16℄ mð rëng ho bi¸n êi hẵnh tư tuyán tẵnh (LCT) Nôm 2005, Sharma [36 trẳnh by Ă nghiản ựu và Ênh qua bián ời Fourier phƠn thự ừa tẵn hiằu tun hon õ dÊi tn b hn theo nghắa Fourier phƠn thự Tứ õ, tĂ giÊ hựng minh hai nh lỵ lĐy mău v khổi phử ho lợp tẵn hiằu ny Trong [39, Tao v ởng sỹ têp trung thÊo luên và viằ lĐy mău v t lằ lĐy mău ho tẵn hiằu õ dÊi tn b hn miÃn Fourier phƠn thự Kát quÊ tữỡng tỹ ng ữủ phĂt trin ho bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh [13 Ngoi ra, [38 Stern ng m rởng nh lỵ lĐy mău ừa Xia ho miÃn hẵnh tư tuyán tẵnh Trong [43, Ă tĂ giÊ sỷ dửng dÔng tờng quĂt ừa ng thự Parseval ho huội Fourier phƠn thự ữa mởt Ă h hựng minh khĂ ho nh lỵ lĐy mău dÔng Shannon ừa tẵn hiằu õ dÊi tn b hn theo nghắa Fourier phƠn thự CĂ tĂ giÊ ỗng thới h rơng thự lĐy mău ny l mởt trữớng hủp bi»t õa ¯ng thù Parseval ho huéi Fourier ph¥n thù Viằ m rởng v phĂt trin lỵ thuyát hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự õ th em án nhiÃu lủi ẵ h nghiản ựu lĐy mău v khỉi phư t½n hi»u â d£i tn bà h°n miÃn Fourier phƠn thự, ng nhữ thiát ká bở lồ nhi¹u mi·n n y Do â, hóng tỉi lüa hån à ti nghiản ựu: "Chêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự v ựng dửng" Mử ẵ h v phÔm vi nghiản ựu ã ã ã Mử ẵ h: XƠy dỹng v nghiản ựu Ă hêp ho bián ời Fourier phƠn thự; thiát lêp bĐt ng thự Young ối vợi ¡ hªp n y mët sè khỉng gian h m th; ựng dửng Ă hêp xƠy dỹng ữủ vo thiát ká bở lồ miÃn Fourier phƠn thự v bi toĂn khổi phử tẵn hiằu ho lợp Ă tẵn hiằu â d£i tn bà h°n mi·n Fourier ph¥n thù ối tữủng: Chêp khổng õ hm trồng, hêp õ hm trồng dÔng hirp v hêp õ hm trồng liản quan ¸n h m Gauss v h m Hermite ho bi¸n êi Fourier phƠn thự; bi toĂn khổi phử tẵn hiằu tứ mău ·u ho ¡ t½n hi»u â d£i tn bà h°n miÃn Fourier phƠn thự; bi toĂn thiát ká bở lồ nhƠn miÃn ny PhÔm vi nghiản ựu: Bián ời Fourier phƠn thự, hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự, tẵn hiằu õ dÊi tn b hn miÃn Fourier phƠn thự, lồ nhiạu miÃn Fourier phƠn thự Phữỡng phĂp nghiản ựu ã ã ã Luên Ăn sỷ dửng Ă phữỡng phĂp ừa bián ời tẵ h phƠn, giÊi tẵ h hm, lỵ thuyát toĂn tỷ v lỵ thuyát hêp Luên Ăn sỷ dửng Ă phữỡng phĂp xỷ lỵ tẵn hiằu gỗm: PhƠn tẵ h tẵn hi»u mi·n thíi gian tn sè düa v o ph¥n phối nông lữủng Wiener, lĐy mău Ãu v quy trẳnh khổi phử lÔi tẵn hiằu tứ mău Ãu CĂ thỷ nghiằm số ữủ lêp trẳnh trản phn mÃm Matlab CĐu trú ừa luƠn Ăn Nởi dung ừa luên Ăn, ngoi phn m u v phn kát luên, gỗm õ ba hữỡng: Chữỡng trẳnh by Ă kián thự nÃn tÊng ừa bián ời Fourier phƠn thự bao gỗm nh nghắa, Ă tẵnh hĐt v php tẵnh toĂn tỷ tờng qu¡t, biºu di¹n m°t ph¯ng thíi gian-tn sè v mối quan hằ vợi phƠn phối Wiener, Ă vẵ dử minh hồa Trong hữỡng ny, luên Ăn ng trẳnh by mët sè ùng dưng õa bi¸n êi n y xû lỵ tẵn hiằu bao gỗm: Lồ miÃn Fourier phƠn thự, lĐy mău v khổi phử tẵn hiằu õ dÊi tn b hn miÃn Fourier phƠn thự Chữỡng xƠy dỹng Ă hêp mợi ho bián ời Fourier phƠn thự bao gỗm: Chêp khổng õ trồng, Ă hêp vợi hm trồng dÔng hirp, Ă hêp vợi hm trồng dÔng Gauss ho Hermite nhƠn t lằ vợi hirp, hêp tờng quĂt ừa bián ời Fourier phƠn thự v bián ời ngữủ vợi hm trồng Hermite Trong hữỡng ny, luên Ăn ng trẳnh by Ă tẵnh hĐt ỡ bÊn ho Ă hêp ny, so sĂnh vợi Ă hêp  õ ỗng thới sỷ dửng Ă hêp mợi à xuĐt hựng minh bĐt ng thự hêp dÔng Young v xƠy dỹng Đu trú Ôi số giao hoĂn ho khổng gian Bana h L1(R) Chữỡng ựng dửng Ă hêp mợi viằ hựng minh tẵnh giÊi ữủ v ữa thự nghiằm hin ho Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp v phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn Hermite, ung Đp vẵ dử minh hồa Trong hữỡng ny, sỷ dửng Ă nh lỵ hêp Chữỡng 2, thự lĐy mău v khổi phử ho tẵn hiằu õ dÊi tn b hn theo nghắa Fourier phƠn thự ữủ hựng minh v minh hồa qua vẵ dử; bở lồ nhƠn miÃn Fourier phƠn thự ữủ xƠy dỹng thổng qua hêp mi·n thíi gian ịng v½ dư minh håa v so sĂnh thới gian tẵnh toĂn vợi bở lồ thổng thữớng 10 Chữỡng Kián thự huân b Trong hữỡng ny, húng tổi trẳnh by mởt số kián thự huân b bao gỗm: nh nghắa, Ă tẵnh hĐt v Ă php tẵnh toĂn tỷ ừa bián ời Fourier phƠn thự, Ă kát quÊ Â biát và hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự, mởt số ựng dửng ừa bián ời ny xỷ lỵ tẵn hiằu 1.1 Cỡ s lỵ thuyát hm Dira delta Nởi dung ừa mử n y ÷đ tham kh£o t i li»u [12℄ 1.1.1 ành ngh¾a h m Dira delta ành ngh¾a 1.1.1 Khỉng gian S hwartz S(R) ữủ nh nghắa l khổng gian Ă hm f : R C khÊ vi vổ hÔn ln v xαDβ f (x) → x → ∞ vỵi måi °p h¿ sè α, β ∈ N °t kf kα,β = sup xα Dβ f R 11 DÂy hm {fk }k=1 hởi tử án hm f S(R) n¸u k → ∞ kfk − f kα,β (1.1) 1.1.1 Vợi p(x) l a thự bĐt ký, hm p(x)e−x thuë khæng gian ¡ h m gi£m nhanh S(R) Khæng gian ¡ h m gi£m nhanh S hwartz trị mªt khỉng gian Hilbert L2(R) Vẵ dử nh nghắa 1.1.2 Phiám hm tuyán tẵnh liản tử T : S(R) C ữủ nh nghắa l hm suy rởng trản R Khổng gian v tỡ Ă hm suy rởng ữủ kẵ hiằu bi S (R) Náu hT, i kỵ hiằu giĂ tr ừa T tĂ ởng lản thẳ dÂy {Tk }k=1 hëi tư ¸n T S (R) n¸u ′ ′ vỵi måi ϕ ∈ S(R) hTk , ϕi → hT, i Vẵ dử 1.1.2 Phiám hm tuyán tẵnh liản tử Dira delta δ ÷đ ho bði δ : ϕ ∈ S(R) 7→ δ(ϕ) := ϕ(0) ∈ C l mët h m suy rởng Theo nh lỵ biu th Riesz (tham khÊo [12, trang 45), vợi mồi phiám hm tuyán tẵnh liản tử T trản khổng gian Hilbert L2(R), tỗn tÔi nh§t mët h m sè f thuë L2(R) º hT, ϕi = Z ∞ −∞ f (x)ϕ(x)dx vỵi måi ϕ ∈ L2(R) p dửng nh lỵ biu th Riesz ối vợi phiám hm tuyán tẵnh liản tử , tỗn tÔi nh§t mët h m sè δ∗ ∈ L2(R) ho hδ, ϕi = Z ∞ −∞ δ ∗ (x)ϕ(x)dx 12 Do â, tø trð i, hóng tỉi · ªp án hm Dira delta thẳ nõ ữủ hiu l hm L2(R) tữỡng ựng vợi phiám hm tuyán tẵnh Trong lắnh vỹ xỷ lỵ tẵn hiằu, hm Dira delta th÷íng ÷đ gåi l h m xung ìn 1.1.2 CĂ tẵnh hĐt ừa hm Dira delta ã Tẵ h ph¥n õa h m Dira delta Z ∞ Z−∞ ∞ −∞ δ(x)dx = 1, δ(x − x0)f (x)dx = f (x0) ã Tẵnh hĐt ối xựng (x) = (x) ã Tẵnh hĐt t lằ (ax) = õ a 6= ã (x) , |a| Tẵnh hĐt hm hủp (f (x)) = X δ (x − xn) , ′ n |f (xn )| â xn l nghi»m õa ph÷ìng trẳnh f (x) = vợi giÊ thiát rơng f (xn) 6= Chúng ta thu ữủ tẵnh hĐt dữợi Ơy nhữ mởt hằ quÊ Z g(x)(f (x))dx = −∞ • R∞ −∞ δ(x − y)δ(y − a)dy = δ(y − a) 13 X g(xn ) ′ n |f (xn )| ã Hm Dira delta l Ôo hm ừa hm bữợ nhÊy Heaviside dH dx (x), õ H(x) = ã Ôo hm ừa hm Dira delta Z ∞ = x 1+ |x| ′ ′ δ (x − x0) f (x)dx = −f (a), Z−∞ ∞ ′ xδ (x)dx = −1, −∞ ′ xδ (x) = −δ(x), Z ∞ δ (n) (x − x0)f (x)dx = (−1)n f (n) (x0) −∞ V½ dử 1.1.3 Tẵnh tẵ h phƠn Z Lới giÊi ữủ Do â Z ∞ −∞ δ(x3 − x)e−x dx Sû döng tẵnh hĐt hm hủp ừa hm Dira delta, húng ta thu δ(x3 − x) = δ(x) + δ(x + 1) δ(x − 1) + ∞ δ(x3 − x)e−xdx −∞ Z ∞ Z Z ∞ ∞ −x −x = δ(x)e dx + δ(x + 1)e dx + δ(x − 1)e−xdx −∞ −∞ −∞ e =1+ + 2e V½ dư 1.1.4 T½nh tẵ h phƠn Z 4 e(x2) 1 dx − x+ 14 Sû dửng php ời bián v thự Ôo hm hm Dira delta, hóng ta thu ÷đ Líi gi£i Z ′ 1 dx − x+ e−(x−2) δ −4 Z 9/6 ′ = e−(3t+ ) δ (t) 3dt −5/6 × e−1/4 = 9e−1/4 =2×3×3× 0+ V½ dư 1.1.5 Tẵnh tẵ h phƠn Z Lới giÊi ex δ (3) (x − 1)dx °t f (x) = e−x , ta â ′ f (x) = −2xe−x ′′ 2 f (x) = 4x2e−x − 2e−x 2 f (3) (x) = 8xe−x − 8x3e−x + 4xe−x Do â, Z ∞ e−x δ (3) (x − 1)dx = (−1)3 f (3) (1) = e 1.2 Bián ời Fourier phƠn thự 1.2.1 nh nghắa bián ời Fourier phƠn thự Trữợ i án nh nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự, bián ời ữủ biát án nhữ l mởt m rởng ừa bián ời Fourier, húng tổi s bưt u bơng viằ lÔi thự ừa bián ời Fourier v bián êi ng÷đ 15 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN... PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2019 LÍI CAM OAN Tỉi... 1.2 Bi¸n ời Fourier phƠn thự 1.2.1 nh nghắa bián ời Fourier phƠn thự Trữợ i án nh nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự, bián ời ữủ biát án nhữ l mët mð rëng õa bi¸n êi Fourier, hóng