ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình vẽ Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM PHÂN THỨC AFIN 1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.3 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER 11 1.4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN 14 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BÀI TOÁN (LP) 18 2.1.1 Biến đổi (LFP) toán tuyến tính (LP) 18 2.1.2 Thuật tốn 20 2.1.3 Ví dụ minh họa 20 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP) 25 2.2.1 Cơ sở phương pháp 26 2.2.2 Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu mẫu số 27 2.2.3 Ví dụ minh họa 28 2.2.4 Bài toán cực tiểu 29 TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN 32 iv 3.1 THUẬT TOÁN DINKELBACH 32 3.1.1 Ký hiệu kết chuẩn bị 32 3.1.2 Sự hội tụ tồn cục thuật tốn 34 3.2 THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN 36 3.3 ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 39 Kết luận Tài liệu tham khảo 44 45 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R Rn Tập số thực Không gian véctơ n chiều Rn+ Tập véctơ không âm Rn T kxk Ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận Chuẩn Euclid véctơ x ∈ Rn |x| {xk }, {xk } Giá trị tuyệt đối x ∈ R Dãy điểm Rn hx, yi [x, y] Tích vơ hướng hai vectơ x y Đoạn thẳng nối x y Rn x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y, (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y, (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) x∈X x∈ /X x phần tử tập X x không phần tử tập X int X Phần tập X C ∅ Bao đóng tập C Tập hợp rỗng A+B A∪B Tổng véctơ hai tập A B Hợp hai tập A B A∩B A×B Giao hai tập A B Tích Đề hai tập A B A⊂B A tập B A⊆B (mọi phần tử A phần tử B A tập (có thể bằng) B S ⊆ Rn Tập lồi đa diện Rn DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Chương 1: - Hình 1.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.1 - Hình 1.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 1.2 Chương 2: - Hình 2.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.1 - Hình 2.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.2 - Hình 2.3 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.6 Chương 3: - Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật tốn Dinkelbach MỞ ĐẦU Quy hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt LFP), rộng quy hoạch phân thức phi tuyến, mở rộng trực tiếp quy hoạch tuyến tính (Linear Programming, viết tắt LP), với đối tượng nghiên cứu tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), tập ràng buộc xác định đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Các tốn quy hoạch phân tuyến tính thường dùng để mơ tả tốn học cho nhiều toán thực tế với hàm mục tiêu phân thức, chẳng hạn: lợi nhuận/chi phí, sản phẩm/số lao động, v.v ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, tài chính, kỹ thuật, v.v Quy hoạch phân tuyến tính có nhiều điểm tương đồng với quy hoạch tuyến tính, lý thuyết lẫn phương pháp giải Trong số trường hợp riêng, tốn quy hoạch phân tuyến tính trở thành tốn quy hoạch tuyến tính giải theo thuật tốn đơn hình quen thuộc quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác giả tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính giải hay nhiều tốn quy hoạch tuyến tính Luận văn với đề tài "Thuật toán giải số toán tối ưu phân thức tuyến tính phi tuyến" nhằm tìm hiểu trình bày số thuật tốn gần đây, nêu tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) giải quy hoạch phân thức phi tuyến (theo tiếp cận tham số) 5 Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại hàm phân thức afin tính chất, tốn quy hoạch phân tuyến tính, mối liên hệ quy hoạch phân tuyến tính với quy hoạch tuyến tính cuối chương giới thiệu phương pháp tiêu biểu dựa thuật tốn đơn hình để giải quy hoạch phân tuyến tính Chương "Thuật tốn cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính" trình bày thuật toán cải tiến M B Hasan S Acharjee nêu [5] giải toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) cách đưa tốn quy hoạch tuyến tính (LP) thuật tốn P Pandian M Jayalakshmi nêu [7] đưa (LFP) giải hai toán (LP) Chương "Tiếp cận tham số giải quy hoạch phân thức phi tuyến" trình bày kết nghiên cứu A Jeflea nêu [6] tiếp cận tham số giải toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần toán tham số hội tụ thuật toán Áp dụng cách tiếp cận tham số giải toán phân thức tuyến tính (LFP) Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên GS, PGS, TS Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu 6 Thái Nguyên, ngày 21 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Lê Đình Thản ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ ĐÌNH THẢN THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHÂN THỨC TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN... tuyến tính Trong trường hợp tổng quát, nhiều tác giả tìm cách đưa việc giải quy hoạch phân tuyến tính giải hay nhiều tốn quy hoạch tuyến tính Luận văn với đề tài "Thuật tốn giải số toán tối ưu phân. .. thức tuyến tính phi tuyến" nhằm tìm hiểu trình bày số thuật toán gần đây, nêu tài liệu tham khảo [5] - [7], giải quy hoạch phân tuyến tính (nhờ đưa quy hoạch tuyến tính) giải quy hoạch phân thức