Casio bài 32 cực trị của số phức

Trang 1/9 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1 Bất đẳng thức thường gặp  Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho các số thực , , ,a b x y ta luôn có     2 2 2 2[.]

https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Bất đẳng thức thường gặp  Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho số thực a, b, x, y ta ln có a b  ax  by    a  b2  x  y  Dấu = xảy   x y       Bất đẳng thức Vectơ : Cho vecto u  x; y  v  x '; y ' ta ln có u  v  u  v  x  x '   y  y ' x y  0 x' y' Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc Dấu = xảy   Z Y bán kính R Với điểm M thuộc đường trịn  C  X thuộc đường tròn C ' I tâm gốc tọa độ bán kính OM  a  b U H trịn C ' tiếp xúc với +)Để z lớn OM lớn đạt C đường C đường tròn  C  OM  OI  R O +)Để z nhỏ OM nhỏ đạtH đường tròn  C ' tiếp xúc ngồi với H đường trịn  C  OM  OI  RC I H T W W W Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C   Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng  d  Với điểm M thuộc  d  thuộc đường trịn  C ' +)Để z nhỏ OM nhỏ OM vng góc với  d  OM  d  O;  d   Trang 1/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  x  y  x '2  y '2   Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z Elip có đỉnh thuộc trục lớn A  a;0  đỉnh thuộc trục nhỏ B  0; b  Với điểm M thuộc  d  thuộc đường trịn  E  Z Y X +)Để z lớn OM lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn max z  OM  OA I U +)Để z nhỏ OM nhỏ M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ max z  OM  OB H C I W  W W C O H CH H T Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z Hyperbol x2 y  H  :   có hai đỉnh thuộc trục thực A '  a;0  , A  a;0  số phức z có a b mơđun nhỏ điểm biểu diễn số phức z trùng với đỉnh (mơđun lớn khơng tồn tại) II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần năm 2017] Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z  1  i B z  2  2i C z   2i D z   2i GIẢI Trang 2/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui  Cách Casio  Trong số phức đáp án, ta tiến hành xắp xếp số phức theo thứ tự môđun tăng dần : 1  i  2  2i   2i   2i  Tiếp theo tiến hành thử nghiệm số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức thỏa mãn hệ thức điều kiện z   4i  z  2i Với z  1  i Xét hiệu :  1  i    4i   1  i   2i qc(p1+b)p2p4b$pqcp1+b  Ra giá trị khác z  1  i không thỏa mãn hệ thức  Đáp án A sai Tương tự với z   2i qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2b= I U Z Y X CH Vậy số phức z   2i thỏa mãn hệ thức  Đáp số C đáp số xác  Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   4i  z  2i C O H H C   a     b    a   bH  I2  T  a  4a   b  8b  16  a  b  4b  W  4a  4b  16  ab4  W Trong đáp W án có đáp án C thỏa mãn a  b    Đáp án xác C  a   b  4 i  a  b   i 2 2 2 2  Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   4i  z  2i  a   b  4 i  a  b   i 2   a  2  b  4  a2  b  2  a  4a   b  8b  16  a  b  4b   4a  4b  16  ab  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : 2 16   a  b   12  12  a  b2   z  a  b   z 2 a b   Dấu = xảy   1  a  b   z   2i a  b  Trang 3/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui p2b= https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Với số phức z thỏa mãn 1  i  z   7i  Tìm giá trị lớn z A max z  B max z  C max z  D max z  GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn 1  i  z   7i    a  bi 1  i    7i   a  b 1 a  b  7i  2  2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25  2   a  3   b    Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  3;  bán kính R  Ta Z Y Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M X thuộc đường trịn tâm O  0;0  bán kính a  b Ta gọi đường tròn IC ' , Mơđun z U H bán kính đường trịn  C ' C Để bán kính  C ' lớn O, I , M thẳngC hàng (như hình)  C ' tiếp xúc với  C  HO H Khi OM  OI  R    C I  Đáp số xác D H Cách tự luận T Gọi số phức z có dạng W z  a  bi z thỏa mãn 1  i  z   7i    a  bi 1  i  W  7i   a  b  1 W a  b  7i  gọi đường tròn  C      2   a  b  1   a  b     2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25  2   a  3   b     Ta có z  a  b  6a  8b  24   a  3   b    26 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :  a  3   b     a  3   b    6 2  82   a  3   b     10   Vậy z  36  z   đáp án D xác  Bình luận Trang 4/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui   a  b  1   a  b    https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui   a   bi  a   bi  10   a  4  b2    a  4  b  10   a  4  b  10  a  4  b2  a  8a  16  b  100  a  8a  16  b  20  20 5  a  4 a  4 2  a  4 I U  b  100  16a  b  25  4a C O H  25  a  8a  16  b   625  200a  16a Z Y X  b2 CH  9a  25b  225 a b2   1 25 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn A  5;0  , H C I W H T đỉnh thuộc đáy nhỏ B  0;3  W Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M thuộc đường tròn tâm W O  0;0  bán kính a  b2 Ta gọi đường trịn  C ' , Mơđun z bán kính đường trịn  C '  Để bán kính  C ' lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn M  A  5;0   OM   max z   Để bán kính  C ' lớn M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ M  B  0;3  OM   z   Đáp số xác D  Cách tự luận  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   z   10  a   bi  a   bi  10 Trang 5/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm vững bất đẳng thức Bunhiacopxki biến dạng  Trong tình tốn này, so sánh cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ đơn giản dễ hiểu tiết kiệm thời gian VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 , giá trị lớn giá trị nhỏ z : A.10 B C 3D GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   z   10 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui   a  4  b2   a  4   a  4  b2    a     b   b  10 2  10 Theo bất đẳng thức vecto ta có :  a  4  10  2  b2    a     b  2   a      a     b   b    10  4a  4b  10  z  z    a  4 Ta có   b2   a  4  b  10 100    a  4  b2   a  4 2  b2   1    a  4  b   a  4  b  2 2 2  100   2a  2b  32   a  2b  32  50  a2  b2  Vậy z   z  I U   z   đáp án D xác Z Y X H C A z   3i B z  1  3i C z  CD z   i GIẢIO H  Cách mẹo H  Gọi số phức z có dạng z  x  yiC z thỏa mãn z   z   I  x   yi  x   yi  H T   x    y   xW  2  y  W   x  2  y    x  2  y W VD4-Trong số phức z thỏa mãn z   z   , tìm số phức z có mơđun nhỏ 2 2 2 2   x  2  y    x  2 2  y2   x  2  y2 1   y  1  x   x    2  2   4x  4x  x  4x   y  1  x   x2   x  2 y2 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hypebol  H  : x  y2  có đỉnh thuộc thực A '  1;0  , B 1;0   Số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M  x; y  có môđun OM  a  b Để OM đạt giá trị nhỏ M trùng với hai đỉnh  H  M  A  M 1;0   z  Trang 6/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui  Đáp án xác C nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 D 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Môđun z nhỏ đạt : 1  2 1 2 A B C  D  2 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn 2z   2i   x   yi  2i  A B C I U H C I   2x  2   y  2  C O H Z Y X CH   x  1   y  1  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn  C  có tâm I 1; 1 bán kính 2 W W H T R  Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thuộc đường trịn tâm O bán kính W R '  z  x  y Vì để R  z nhỏ đường trịn  C ' phải tiếp xúc ngồi với đường  C ' Khi điểm M tiếp điểm đường tròn  C   C ' 1  2 s(1p0)d+(p1p0)d$pa1R2= z  OM  OI  R   Đáp số xác A Trang 7/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Môđun z nhỏ đạt : 1  2 1 2 A B C  D  2 Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn z  3i  i z   10  x   y  3 i  y   xi  10 x   y  3    y  3  y  3  x  10  x  10  x   y  3 2   y  3  x  100  20 x   y  3  x   y  3 2  20 x   y  3  100  12 y  25 x  16 y  400 Z Y X x2 y   1 16 25 y I x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip  E U  :   có đỉnh thuộc 16 25 H C trục nhỏ A  4;0  , A '  4;0  C  Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x O yi thuộc đường trịn tâm O bán kính H R '  z  x  y Vì elip  E  đườngHtrịn  C  có tâm O nên để OM nhỏ IC M đỉnh thuộc trục nhỏ H  M  A '  z  4 , M  A  zT Tổng hợp z z   4   16 W  Đáp số xác D W  Mở rộng W 2 1 2  Nếu đề hỏi tích z1 z2 với z1 , z2 có giá trị lớn hai điểm M biểu diễn hai số phức hai đỉnh thuộc trục lớn B  0; 5  , B '  0;5  M  B '  z1  5i , M  A  z2  5i Tổng hợp z1 z2  5i  5i   25i  25 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 1 A B C D 5 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn iz   z   i   y   xi  x    y  1 i 2    y    x   x     y  1 Trang 8/9 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui  y  y   x2  x2  4x   y  y   x  y 1   20 x   y  3  100  12 y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  d  : x  y    Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thi z  OM  OH với H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng  d  OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng d  1.0  2.0  12  22  Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Tính OH  d  O;  d     Đáp số xác D x  y   xyi x3  xy  x  x yi  y 3i  yi  xy x  yi    x  yi x  yi x2  y Vậy z  I U H C I W W W C O H Z Y X CH H T Trang 9/9 ... Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2... Cách Casio  Trong số phức đáp án, ta tiến hành xắp xếp số phức theo thứ tự môđun tăng dần : 1  i  2  2i   2i   2i  Tiếp theo tiến hành thử nghiệm số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số. .. nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 D 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Mơđun z nhỏ