Công thức môn toán 12 chương i hàm số và các bài toán liên quan file word

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lý 1: Cho hàm số có đạo hàm a) Nếu hàm số đồng biến b) Nếu hàm số nghịch biến  [ đồng biến  [ nghịch biến [ với Định lý 2: Cho hàm số với ] ] ] với [ với ] [ với ] [ có đạo hàm khơng đổi ] a) Nếu với hàm số đồng biến b) Nếu với hàm số nghịch biến c) Nếu với hàm số khơng đổi  [ với ] [ đồng biến  [ với ] [ nghịch biến Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số a) Nếu với có đạo hàm ] ] số điểm hữu hạn thuộc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word hàm số b) Nếu đồng biến với hàm số nghịch biến Định lý 4: Cho hàm số bậc ba số điểm hữu hạn thuộc , ta có a) Hàm số đồng biến b) Hàm số nghịch biến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai ta có:   VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà điểm tới hạn) không tồn (gọi – Lập bảng xét dấu (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số , m tham số, có tập xác định  Hàm số f đồng biến  Hàm số f nghịch biến Từ suy điều kiện Chú ý: 1) xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu thì:  3) Định lí dấu tam thức bậc hai  : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Neáu  Neáu  Nếu thì khác dấu với dấu với dấu với có hai nghiệm (trừ ) khoảng hai nghiệm , khoảng hai nghiệm dấu với 4) So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 0:    5) Để hàm số biến) có độ dài khoảng đồng biến (nghịch ta thực bước sau:  Tính  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:  Biến đổi  Sử dụng định lí Viet đưa thành thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện để chọn nghiệm VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng số (hoặc ) Xét hàm tập xác định đề định http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word  Xeùt dấu Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến  Dựa vào định nghóa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu quay lại tiếp tục xét dấu ta đặt … xét dấu 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: Xét tính đơn điệu hàm số khoảng VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau:  Chọn nghiệm  Xét hàm số phương trình y = g(x) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi giao điểm có hoành độ Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm kết luận http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi f có đạo hàm Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số khoảng liên tục khoảng a) Nếu hàm số b) Nếu hàm số chứa điểm có đạo hàm Khi với đạt cực tiểu điểm với với đạt cực đại điểm với Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng cấp hai khác không điểm chứa điểm , f có đạo hàm Khi a) Nếu hàm số đạt cực đại điểm b) Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm Định lý 4: a) Hàm số có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word VAÁN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí  Tìm  Tìm điểm mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu Nếu đổi dấu x qua hàm số đạt cực trị Qui tắc 2: Dùng định lí  Tính  Giải phương trình tìm nghiệm  Tính Nếu hàm số đạt cực đại Nếu hàm số đạt cực tiểu tại VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số đạt cực trị điểm đạo hàm Để hàm số qua đạt cực trị điểm đổi dấu x Chú ý:  Hàm số bậc ba có cực trị Phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị hai cách: + + , phần dư phép chia y cho y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt khác Phương trình Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị hai cách:  Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba  Chia cho ta được:  Khi đó, giả sử  Các điểm điểm cực trị thì: nằm đường thẳng 2) Hàm số phân thức  Giả sử điểm cực trị  Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính  Xét dấu lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  Tính  Giải phương trình tìm nghiệm (nếu có)  Tính  So sánh giá trị vừa tính kết luận VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào định nghóa GTLN, GTNN hàm số  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm điểm thuộc cho ứng với giá trị ấy, bất ñaúng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word thức vừa tìm trở thành đẳng thức Một số kiến thức thường dùng: a) b) Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số a, b khơng âm ta ln có: Dấu "=" xảy Với ba số a, b, c không âm ta có: Dấu "=" xảy c) Một số bất đẳng thức thường dùng 1) 2) 3) VAÁN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét toán tìm GTLN, GTNN hàm số trước Gọi giá trị tuỳ ý miền cho , hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: (3) 10 http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Vì y0 giá trị nên từ (3) ta suy được: VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử hàm số liên tục miền có Khi đó: 1) Hệ phương trình có nghiệm 2) Hệ bất phương trình có nghiệm 3) Hệ bất phương trình có nghiệm 4) Bất phương trình với x 5) Bất phương trình với x 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ĐƯỜNG TIỆM CẬN Định nghóa:  Đường thẳng hàm số mãn: gọi đường tiệm cận đứng đồ thị điều kiện sau thoả ;  Đường thẳng hàm số mãn: ; ; gọi đường tiệm cận ngang đồ thị điều kiện sau thoả ;  Đường thẳng đồ thị hàm số thoả mãn: gọi đường tiệm cận xiên điều kiện sau ; Chú ý: a) Nếu  Nếu  Nếu bậc  Nếu bậc hàm số phân thức hữu tỷ có nghiệm bậc bậc đồ thị có tiệm cận đứng đồ thị có tiệm cận ngang đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định hệ số phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: 12 http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm điểm đạo hàm y không xác định + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số: + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán tổng quát Trong Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số: khơng có điểm chung cắt tiếp xúc Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: * Tùy theo số nghiệm phương trình hai đồ thị mà ta kết luận số điểm chung Lưu ý: Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị Ghi nhớ: Số nghiệm pt số giao điểm hai đồ thị và Chú ý : * vô nghiệm khơng có điểm điểm chung http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 14 * có nghiệm có điểm chung Chú ý : * Nghiệm phương trình Khi tung độ điểm chung là hồnh độ điểm chung TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị điểm Phương pháp: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 15 Phương trình tiếp tuyến với có dạng: hay Trong đó: hồnh độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức: Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Gọi Bước 2: Tìm tiếp điểm tiếp tuyến với cách giải phương trình : Bước 3: Thay yếu tố tìm vào phương trình: , từ suy ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc dạng gián tiếp : tiếp 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tuyến song songtiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng có phương trình dạng: hệ số góc là: Định lý 2: Trong cho hai đường thẳng Khi đó: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến qua điểm Phương pháp : Ta tiến hành theo bước sau 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến Bước 2: Định để với qua điểm điểm Ta có: qua điểm Bước 3: Giải phương trình tìm Thay tìm vào ta phương trình tiếp tuyến cần tìm 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp Xét phương trình Nghiệm phương trình y hồnh độ giao điểm x0 (C1 ) (C ) x Bài toán: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng: Phương pháp: (C ) : y  f ( x) y m2 O m1 x y m Bước 1: Xem (*) phương  trình hồnh (0; m)độ giao điểm c hai đ th ị: 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bước 2: Vẽ lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm Từ suy số nghiệm phương trình Minh họa: Dạng: giải tương tự 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Nếu hai hàm số hàm kết luận http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – t? ?i liệu file word CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (? ?i? ??u kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị ? ?i? ??m... Khi f có đạo hàm Định lý 2: (? ?i? ??u kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số khoảng liên tục khoảng a) Nếu hàm số b) Nếu hàm số chứa ? ?i? ??m có đạo hàm Khi v? ?i đạt cực tiểu ? ?i? ??m... v? ?i v? ?i đạt cực đ? ?i ? ?i? ??m v? ?i Định lý 3: (? ?i? ??u kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng cấp hai khác khơng ? ?i? ??m chứa ? ?i? ??m , f có đạo hàm Khi a) Nếu hàm số