ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUYỂN KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ QUYỂN KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ QUYỂN KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 11 1.3 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 16 1.4 Kĩ thuật hàm số 24 1.4.1 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc 24 1.4.2 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc hai 29 1.4.3 Kĩ thuật sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 34 1.5 Kĩ thuật véc tơ 38 1.6 Kĩ thuật lượng giác hóa 40 1.7 Kĩ thuật hình học 41 Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức 43 2.1 Các kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp 43 2.2 Các kĩ thuật tổng hợp chứng minh bất đẳng thức 60 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Lí chọn đề tài Bất phương trình hỗn hợp hiểu bất phương trình phức tạp, chứa nhiều loại hàm khác (đa thức, thức, mũ, logarit, ) Để giải bất phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường phải "bóc lớp" để đưa bất phương trình đơn giản Tuy nhiên, có nhiều bất phương trình hỗn hợp đòi hỏi sử dụng kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung khơng thể dùng kĩ thuật, mà phải sử dụng tổng hợp vài đồng thời nhiều kĩ thuật để giải bất phương trình loại Đã có số sách viết phương pháp giải bất phương trình bất đẳng thức thí dụ, tài liệu [2], [5] Tuy nhiên, theo quan sát chúng tơi, nên sâu phân tích cụ thể chi tiết phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm gần (trước năm 2017) câu khó thường tốn phương trình, bất phương trình tốn liên quan tới bất đẳng thức, bất phương trình hỗn hợp Để giải toán này, cần sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn kĩ thuật tổng hợp Bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức hay gặp kì thi (thi học sinh giỏi, Olympic 30–4, vơ địch Quốc gia, Quốc tế, ) Với lí trên, tác giả lựa chọn đề tài: "Kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp" làm đề tài luận văn cao học Lịch sử nghiên cứu Chủ đề bất phương trình bất đẳng thức có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Kiến thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp đến cuối cấp Trung học phổ thông, chí kì thi Olympic sinh viên Nó đóng vai trị chìa khóa để giải nhiều tốn thực tế Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn hệ thống hóa trình bày số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức thường gặp kì thi Olympic, thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Tất toán luận văn chọn lựa từ đề thi vào đại học thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế nước, từ báo chí, thí dụ, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Bên cạnh việc hệ thống hóa đề thi, luận văn cịn cố gắng phân tích, tổng hợp phương pháp thơng qua tốn cụ thể Mục tiêu luận văn: Luận văn có mục tiêu trình bày phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Các phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức áp dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, tốn cực trị Hy vọng luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm kĩ thuật phương pháp giải bất phương trình, bất đẳng thức áp dụng vào thực tế học tập giảng dạy Phương pháp nghiên cứu - Phân tích lí thuyết, phân dạng loại tập - Đưa tập minh họa phù hợp với nội dung - Tổng hợp tài liệu từ sách tham khảo, sách liên quan đến đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm Chương Chương 1: Phân loại số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp Trong chương này, chúng tơi trình bày kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp Trong kĩ thuật, trước hết trình bày ý tưởng, sau chúng tơi trình bày nhiều ví dụ có lời giải chi tiết, thể rõ kĩ thuật nêu Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Chương trình bày số tốn bất phương trình hỗn hợp mà phải dùng tổng hợp kĩ thuật nêu chương để giải Cuối số toán bất đẳng thức Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn để tơi hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Xin cảm ơn nhà trường, Trường THPT Quế Võ Số 1, huyện Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tôi, cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp suốt thời gian học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Quyển Chương Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp Để giải bất phương trình, để chứng minh bất đẳng thức toán cực trị loại khó ta sử dụng số kĩ thuật sau 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương Nói chung trình giải bất phương trình trình biến đổi tương đương từ bất phương trình phức tạp bất phương trình đơn giản nhờ số tính chất hàm vơ tỷ, mũ, logarit, ví dụ: ( g(x) < f (x) ≥ p Tính chất 1.1 f (x) ≥ g(x) ⇔ ( g(x) ≥ f (x) ≥ g (x) g(x) ≥ p Tính chất 1.2 f (x) ≤ g(x) ⇔ f (x) ≥ f (x) ≤ g (x) Tính chất 1.3 f (x)g(x) ≥ f (x)h(x) tương đương với ( f (x) > g(x) ≥ h(x) ( < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≤ h(x) Tính chất 1.4 f (x)g(x) ≤ f (x)h(x) tương đương với ( f (x) > g(x) ≤ h(x) ( < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≥ h(x) Kỹ thuật biến đổi tương đương kĩ thuật bản, nhiên bất phương trình hỗn hợp, kĩ thuật khơng phải lúc áp dụng cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm số kĩ thuật khác Các ví dụ (và chương 2) trình bày phân tích sâu nhận xét Bài 1.1 (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 - Kon Tum, năm học 2013 -2014) Giải bất phương trình sau tập số thực p −x2 + 8x − 12 > 10 − 2x (1.1) Bài giải Ta có ( ( 10 − 2x < x>5 − x2 + 8x − 12 ≥ 2≤x≤6 (1.1) ⇔ ( ⇔ ( 10 − 2x ≥ x≤5 − x2 + 8x − 12 ≥ (10 − 2x)2 5x2 − 48x + 112 < 5 −1 với điều kiện (1.7a) ta có √ √ √ √ √ 5x2 − 12 + x2 − 9x − 15 < − 12 + − 15 < √ Kết hợp với điều kiện (1.7a) ta có x ∈ (−1; 2) ∪ 2; √ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm T = (−1; 2) ∪ 2; Bài 1.8 (Đề thi đại học khối D, năm 2014) Giải bất phương trình √ √ √ (x + 1) x + + (x + 6) x + ≥ x − 7x + 12 (1.8) Bài giải Điều kiện để bất phương trình (1.8) có nghĩa x ≥ −2 (1.8a) Với điều kiện (1.8a) bất phương thình (1.8) tương đương với 13 √ √ x + − + (x + 6) x + − − x2 + 2x − ≥ x−2 x−2 ⇔ (x + 1) √ + (x + 6) √ − (x − 2) (x + 4) ≥ x−2+2 x+7+3 x+1 x+6 − x − ≥ (1.8b) ⇔ (x − 2) √ +√ x−2+2 x+7+3 ( x+2≥0 suy Do x ≥ −2 nên x+6>0 x+1 x+6 √ +√ −x−4 x−2+2 x+7+3 x+2 x+6 x+6 x+2 − +√ − −√ < =√ 2 x−2+2 x−2+2 x+7+3 Do (x + 1) (1.8b) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện (1.8a) ta có −2 ≤ x ≤ Vậy bất phương trình cho có nghiệm −2 ≤ x ≤ Bài 1.9 (Toán học tuổi trẻ, số 471, tháng năm 2016) Giải bất phương trình √ √ − x + 13 + 3x ≤ x2 − 6x + 17 (1.9) Bài giải Điều kiện để bất phương trình (1.9) có nghĩa −13 ≤ x ≤ (1.9a) Với trình (1.9) điều kiện (1.9a)thì bất phương tương đương với √ √ x x 11 5−x− + + 13 + 3x − + − x2 − 5x + ≤ 3 3 2 2 x x 11 5−x− − 13 + 3x − + 3 3 ⇔4 √ + √ − x2 − 5x + ≤ x x 11 5−x+ − 13 + 3x + + 3 3 x2 − 5x + x2 − 5x + + + x2 − 5x + ≥ √ √ ⇔4 3 − x + − x 3 13 + 3x + x + 11 ⇔ x − 5x + g(x) ≥ (1.9b) Với 14 + 3 5−x+7−x Ta thấy, với điều kiện (1.9a) + √ g(x) = + 3 5−x+7−x Khi " x≤1 (1.9b) ⇔ x2 − 5x + ≥ ⇔ x ≥ g(x) = + √ 13 + 3x + x + 11 √ > 13 + 3x + x + 11 √ −13 ≤x≤1 Kết hợp với điều kiện (1.9a) ta có ≤ x ≤ −13 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm T = ; ∪ [4; 5] Bài 1.10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12, Cà Mau, năm học 2017-2018) Giải bất phương trình 3−x+ √ − 8x ≥ 10x2 + √ 2x + (1.10) Bài giải Điều kiện để bất phương trình (1.10) có nghĩa − ≤x≤ (1.10a) Với điều kiện (1.10a) √ √ 2x + − − 8x ≤ (2x − 1) √ ⇔ (2x − 1) (5x + 3) + √ ≤0 2x + + − 8x √ ⇔ (2x − 1) 5x + + √ ≤ 2x + + − 8x (1.10) ⇔ 10x2 + x − + Ta thấy với điều kiện (1.10a) 5x + + √ √ > 2x + + − 8x Do bất phương trình (1.10b) ⇔ 2x − ≤ ⇔ x ≤ (1.10b) 15 1 Kết hợp với điều kiện (1.10a) suy − ≤ x ≤ 2 1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm − ≤ x ≤ 2 Bài 1.11 (Đề thi toán Quốc gia, bảng A năm 1977) Giải bất phương trình r x− − x r 1− x−1 > x x (1.11) Bài giải Điều kiện để bất phương trình (1.11) có nghĩa x ∈ [−1; 0) ∪ [1; +∞) • Trường hợp Nếu x = bất phương trình (1.11) vơ nghiệm • Trường hợp Nếu x > bất phương trình x−1 x−1 r r > ⇔r (1.11) ⇔ r x 1 x− + 1− x− + 1− x x x r r √ √ √ 1 ⇔ x − + − < x ⇔ x2 − + x − < x3 x x √ ⇔ x − x − x + − x3 − x2 − x + + > √ 2 ⇔ x3 − x2 − x + − > √ ⇔ x3 − x2 − x + − 6= x 6= √ 1− ⇔ x 6= 2√ 1+ x 6= x > √ Kết hợp với điều kiện x > suy + x 6= • Trường hợp Nếu −1 ≤ x < bất phương trình x−1 x−1 r r (1.11) ⇔ r > ⇔r x 1 x− + 1− x− + 1− x x x Suy bất phương trình vơ nghiệm Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm x x > x < t; f (x) < t; f (x) ≥ t; f (x) ≤ t với t vừa tìm để tìm nghiệm x Nhiều ta đặt hai ẩn phụ để đưa bất phương trình cho bất phương trình đẳng cấp hai biến Bài 1.12 (Đề thi học sinh giỏi lớp 10, trại hè Hùng Vương lần X, năm học 2104- 2015) Giải bất phương trình p p √ 7x2 − 7x − − x2 − x − < 2x + (1.12) Bài giải Điều kiện để bất phương trình (1.12) có nghĩa x ≥ (1.12a) Với điều kiện (1.12a) p p √ (1.12) ⇔ 7x − 7x − < x2 − x − + 2x + i2 hp √ 2 ⇔ 7x − 7x − < x − x − + 2x + p √ ⇔ 6x2 − 14x − < (2x + 1) (x − 3) x + p √ ⇔ 2x − 5x − − 2x2 − 5x − x + + x + < 17 s 2x − 5x − 2x2 − 5x − ⇔3 −4 +1 18 √ √ 19 + 19 −