14 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN Đ ❶ Giáo viên Soạn: Cao Tuấn Nghĩa FB: Cao Nghĩa Giáo viên Soạn: Nguyễn Thu Hằng FB: ❷ Giáo viên phản biện :………………….… …… FB:………………………………… THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Khoảng biến thiên Tính số đặc trưng đo độ phân tán Khoảng tứ phân vị Biết ý nghĩa số đặc trưng đo độ phân tán Phương sai Phát giá trị bất thường sử dụng cơng cụ tốn học Độ lệch chuẩn Dưới điểm trung bình mơn học kỳ I hai bạn An Bình: Tốn Vật lí Hóa học Ngữ văn Lịch sử Địa lí Tin học Tiếng Anh An 9,2 8,7 9,5 6,8 8,0 8,0 7,3 6,5 Bình 8,2 8,1 8,0 7,8 8,3 7,9 7,6 8,1 Điểm trung bình mơn học kì An Bình 8,0 rõ ràng Bình “học đều” An Có thể dùng số đặc trưng để đo mức độ “học đều”? Bài giới thiệu vài số đặc trưng KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ HĐ1 Một cổ động viên câu lạc Everton, Anh thống kê điểm số mà hai hai câu lạc : Leicester City Everton đạt năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 – 2019 sau: Leicester City: 41 81 44 47 52 Everton: 47 47 61 49 54 Cổ động viên cho rằng, Everton thi đấu ổn định Leicester City Em có đồng ý với nhận định khơng? Vì sao? Giải Ta có câu lạc Leicester City có điểm cao 81 điểm thấp 41 nên khoảng cách điểm cao thấp 40 Câu lạc Everton có điểm cao 61 điểm thấp 47 nên khoảng cách điểm cao thấp 14 Ta thấy 14 40 nên câu lạc Everton thi đấu ổn định Chương Đại số ⓾ Trong mùa giải, điểm thấp nhất, cao Leicester City 41; 81 Everton 47; 61 Về trực quan, thành tích Everton ổn định Leicester City Người ta có nhiều cách để đo ổn định Cách đơn giải dung hiệu số (Điểm cao – Điểm thấp nhất) Giá trị gọi khoảng biến thiên Khoảng biến thiên, kí hiệu R, hiệu số giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu Ý nghĩa Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng biến thiên lớn mẫu số liệu phân tán Ví dụ Điểm kiểm tra học kì mơn Tốn bạn Tổ 1, Tổ lớp 10A cho sau: Tổ 1: 8 8 Tổ 2: 10 9 8 a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ có khơng? b) Tính khoảng biến thiên hai mẫu số liệu Căn số này, bạn tổ học đồng hơn? Giải a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 7;9 Do đó, khoảng biến thiên là: R1 9 2 Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 6;10 Do đó, khoảng biến thiên là: R2 10 4 Do R2 R1 nên ta nói bạn Tổ học bạn Tổ Luyện tập Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) bạn tổ: 163 159 172 167 165 168 170 161 Tính khoảng biến thiên mẫu số liệu Giải Chiều cao thấp nhất, cao tương ứng 159; 172 Do đó, khoảng biến thiên là: R 172 159 13 Nhận xét Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính tốn song khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn giá trị nhỏ mà bỏ qua thông tin từ tất giá trị khác Do đó, khoảng biến thiên dễ bị ảnh hưởng giá trị bất thường HĐ2 Trong tuần, nhiệt độ cao ngày (đơn vị C ) hai thành phố Hà Nội Điện : Biên cho sau: Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35 Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28 a) Tính khoảng biến thiên mẫu số liệu so sánh b) Em có nhận xét ảnh hưởng giá trị 16 đến khoảng biến thiên mẫu số liệu nhiệt độ cao ngày Điện Biên? Chương Đại số ⓾ c) Tính tứ phân vị hiệu Q3 Q1 cho mẫu số liệu Có thể dùng hiệu để đo độ phân tán mẫu số liệu không? Giải a) Ở Hà Nội, nhiệt độ thấp nhất, cao ngày tương ứng là: 23; 35 Do đó, khoảng biến thiên R 35 23 12 Ở Điện Biên, nhiệt độ thấp nhất, cao ngày tương ứng 16; 28 Do đó, khoảng biến thiên R 28 16 12 b) Số 16 làm cho khoảng biến thiên nhiệt độ Điện Biên lớn c) Ở Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35 Mẫu số liệu gồm giá trị nên số trung vị Q 28 Nửa số liệu bên trái gồm 23; 25; 28 gồm giá trị nên Q1 25 Nửa số liệu bên phải gồm 32; 33; 35 gồm giá trị nên Q3 33 Khi đó, Q3 Q1 33 25 8 Ở Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28 Mẫu số liệu gồm giá trị nên số trung vị Q 26 Nửa số liệu bên trái gồm 16; 24; 26 gồm giá trị nên Q1 24 Nửa số liệu bên phải gồm 26; 27; 28 gồm giá trị nên Q3 27 Khi đó, Q3 Q1 27 24 3 Ta dùng hiệu để đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị, kí hiệu Q , hiệu số tứ phân vị thứ ba tứ phân vị thứ nhất, túc là: Q Q3 Q1 Ý nghĩa Khoảng tứ phân vị số đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị lớn mẫu số liệu phân tán Chú ý Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên biên độ khoảng tứ phân vị độ trải Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống rạp chiếu phim ngày: 22 20 15 18 19 13 Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu Giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: Chương Đại số ⓾ 11 7 11 13 15 18 19 20 22 Mẫu số liệu gồm giá trị nên trung vị số vị trí Q2 15 Nửa số liệu bên trái 7, 8, 11, 13 gồm giá trị, hai phần tử 8, 11 Do đó, Q1 (8 11) : 9,5 Nửa số liệu bên phải 18, 19, 20, 22 gồm giá trị, hai phần tử 19, 20 Do đó, Q3 (19 20) : 19,5 Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: Q 19,5 9,5 10 Luyện tập Mẫu số liệu sau cho biết số hát album sưu tập An: 12 10 12 10 11 10 14 11 12 12 14 Hãy tìm khoảng tứ phân bị cho mẫu số liệu Giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 9 10 10 10 10 10 Q2 10 Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên trung vị Nửa số liệu bên trái 7; 9; ; 10 gồm giá trị, hai phần tử 9; Do đó, Q1 (9 9) : 9 Nửa số liệu bên phải 11; 12; 12; 14 gồm giá trị, hai phần tử 12; 12 Do đó, Q3 (12 12) : 12 Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: Q 12 3 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn nhỏ mẫu số liệu (bỏ qua thông tin tất giá trị khác), khoảng tứ phân vị sử dụng thơng tin 50% số liệu Có vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin tất giá trị mẫu số liệu Hai số phương sai độ lệch chuẩn Cụ thể với mẫu số liệu x1 , x , , x n , gọi số trung bình x với giá trị x i , độ lệch so với giá trị trung bình x i x Phương sai giá trị s2 x x x x n xn x Căn bậc hai phương sai, s s , gọi độ lệch chuẩn Chú ý Người ta sử dụng đại lượng để đo độ phân tán mẫu số liệu: Chương Đại số ⓾ s x x x x x n x n1 Ý nghĩa Nếu số liệu phân tán phương sai độ lệch chuẩn lớn Mẫu số liệu sau cho biết sĩ số lớp khối 10 trường Trung Ví dụ học: 43 45 46 41 40 Tìm phương sai độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Giải Số trung bình mẫu số liệu x 43 45 46 41 40 43 Ta có bảng sau: Giá trị 43 45 46 41 10 Độ lệch 43 – 43 = 45 – 43 = 46 – 43 = 41 – 43 = - 40 – 43 = - Tổng Bình phương độ lệch 9 26 Mẫu số liệu gồm giá trị nên n 5 Do phương sai s2 26 5, Độ lệch chuẩn là: s 5, 2,28 Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ đến 0,001 giây để đo lần thời gian rơi tự vật điểm đến điểm Kết đo sau: Luyện tập 0,398 0,399 0, 408 0, 410 0, 406 0, 405 0, 402 (Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2018) Hãy tính phương sai độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Qua đại lượng này, em có nhận xét độ xác phép đo trên? Giải Số trung bình mẫu số liệu x 0,398 0,399 0, 408 0, 410 0, 406 0,405 0,402 0, 404 Ta có bẳng sau: Giá trị 0,398 Độ lệch 0,006 Bình phương độ lệch 3,6.10 0,399 0,005 2,5.10 0,408 0,004 1,6.10 0,410 0,006 3,6.10 5 Chương Đại số ⓾ 0,002 0,001 0,002 0,406 0,405 0,402 4.10 10 4.10 1,22.10 Tổng 1,22.10 s2 1,74.10 n 7 Mẫu số liệu gồm giá trị nên Do phương sai 5 3 Độ lệch chuẩn là: s 1,74.10 4,17.10 PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHƠNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP Trong mẫu số liệu thống kê, có gặp giá trị lớn nhỏ so với đa số giá trị khác Những giá trị gọi giá trị bất thường Chúng xuất mẫu số liệu nhầm lẫn hay sai sót Ta dùng biểu đồ hộp để phát giá trị bất thường Các giá trị lớn Ví dụ Q3 1,5. Q bé Q1 1,5. Q xem giá trị bất thường Hàm lượng Natri (đơn vị mg) 100 g số loại ngũ cốc cho sau: 140 340 180 70 190 140 160 200 290 180 50 210 220 150 180 100 200 130 210 Tìm giá trị bất thường mẫu số liệu cách sử dụng biểu đồ hộp Giải Từ mẫu số liệu ta tính Q1 135 Q3 205 Do đó, khoảng tứ phân vị là: Q 205 135 70 Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu là: Chương Đại số ⓾ Q 1,5. Q 30 Q 1,5. Q 310 Ta có nên mẫu số liệu có hai giá trị xem bất thường 340 mg (lớn 310 mg) mg (bé 30 mg) Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ 56 từ phân vị thứ ba 84 Hãy kiểm tra xem hai giá trị 10 100 giá trị xem giá trị bất thường Luyện tập Giải Theo đề ta có Q1 56 Q3 84 , đó, khoảng tứ phân vị là: Q 84 56 28 Q 1,5. Q 14 Q 1,5.Q 126 Ta có nên hai giá trị 10 100 hai giá trị bất thường BÀI TẬP 5.11 Mỗi khẳng định sau hay sai? (1) Nếu giá trị mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình độ lệch chuẩn lớn (2) Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn bé nhất, bỏ qua thông tin giá trị lại (3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thơng tin giá trị lớn nhất, giá trị bé (4) Khoảng tứ phân vị khoảng biến thiên nửa mẫu số liệu xếp (5) Các số đo độ phân tán không âm Giải Các khẳng định đúng: (2), (5) Các khẳng định sai: (1), (3), (4) 5.12 Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B sau: Khơng tính tốn, cho biết: a) Hai mẫu số liệu có khoảng biến thiên số trung bình khơng? b) Mẫu số liệu có phương sai lớn hơn? Giải Chương Đại số ⓾ a) Khoảng biến thiên hai mẫu số liệu Số trung bình hai mẫu số liệu b) Mẫu số liệu A có phương sai lớn mẫu số liệu B 5.13 Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương khơng hồn toàn giống Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) thay đổi nếu: a) Nhân giá trị mẫu số liệu với b) Cộng giá trị mẫu số liệu với Giải a) Nhân giá trị mẫu số liệu với thì: Khoảng biến thiên tăng gấp lần Khoảng tứ phân vị tăng gấp lần Độ lệch chuẩn tăng gấp lần b) Cộng giá trị mẫu số liệu với thì: Khoảng biến thiên giữ nguyên Khoảng tứ phân vị giữ nguyên Độ lệch chuẩn giữ nguyên 5.14 Từ mẫu số liệu thuế thuốc 51 thành phố quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ 2,5; Q1 36; Q2 60; Q3 100 ; giá trị lớn 205 a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lớn 36 bao nhiêu? b) Chỉ hai giá trị cho có 50% giá trị mẫu số liệu nằm hai giá trị c) Tìm khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Giải a) Từ mẫu số liệu thuế thuốc 51 thành phố quốc gia, người ta tính Q1 36 nên có 12 thành phố có thuế thuốc lớn 36 12 Vì vậy, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lớn 36 là: 51 b) Hai giá trị có 50% giá trị mẫu số liệu nằm 36 100 c) Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Q Q3 Q1 100 36 64 5.15 Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 3,155 3,920 3, 412 4, 236 2,593 3, 270 3,813 4,042 3,387 Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: Chương Đại số ⓾ 2,593 2,977 3,155 3,270 3,387 3,412 3,813 3,920 4,042 4, 236 Khoảng biến thiên R 4, 236 2,593 1,643 Ta có: Q2 3,3995 ; Q1 3,155 ; Q3 3,920 Khoảng tứ phân vị Q Q3 Q1 0,765 Độ lệch chuẩn s 0,52 5.16 Tỉ lệ thất nghiệp số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) cho sau: 7,8 5,0 3, 4, 7,7 6,7 8,7 7,0 8,6 4,5 8, 6,0 7, 5, 3,6 Hãy tìm giá trị bất thường (nếu có) mẫu số liệu Giải Từ mẫu số liệu ta tính Q1 4,5 Q3 7,8 Do đó, khoảng tứ phân vị là: Q 7,8 4,5 3,3 Ta có Q1 1,5Q 0,45 Q3 1,5 Q 12,75 nên mẫu số liệu khơng có giá trị bất thường Chương Đại số ⓾ ... thấp nhất, cao tương ứng 7;9 Do đó, khoảng biến thiên là: R1 9 2 Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 6;10 Do đó, khoảng biến thiên là: R2 10 4 Do R2 R1 nên ta nói bạn... cao thấp nhất, cao tương ứng 159; 172 Do đó, khoảng biến thiên là: R 172 159 13 Nhận xét Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính tốn song khoảng biến thiên sử dụng thông tin... nhiệt độ thấp nhất, cao ngày tương ứng là: 23; 35 Do đó, khoảng biến thiên R 35 23 12 Ở Điện Biên, nhiệt độ thấp nhất, cao ngày tương ứng 16; 28 Do đó, khoảng biến thiên R 28 16 12 b) Số