Kntt c4 b8 p2 tong va hieu cua hai vecto

8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ ❶ Giáo viên Soạn: Trần Hương Trà ❷ Giáo viên phản biện: Hoàng Quân FB: Trần Hương Trà FB: Hoàng Quân   a b   gọi hiệu hai vec tơ a b kí hiệu a  b Phép lấy hiệu hai Vectơ vec tơ gọi phép trừ vec tơ              a  b  a   b  c  b   b c  c Chú ý Nếu b  c a        Với ba điểm O, M , N tùy ý, ta có MN MO  ON  OM  ON ON  OM    O , M , N Quy tắc hiệu: Với ba điểm ta có MN ON  OM     Ví dụ     ABCD O OB  OA OC  OD Cho Hình bình hành điểm Chứng minh Lời giải       OB  OA  AB, OC  OD DC Áp dụng quy tắc hiệu, ta có       AB  DC OB  OA OC  OD Mặt khác nên Ví dụ    a) Chứng minh I trung điểm AB IA  IB 0     b) Chưng minh G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC 0 Lời giải   a) (H4.15) Khi I trung điểm AB , hai vec tơ IA IB có độ dài ngược hướng      Do đó, IA IB đối nhau, suy IA  IB 0 b) (H4.16) Trọng tâm G tam giác ABC thuộc trung tuyến AI GA 2GI Lấy điểm D đối xứng với G qua I Khi tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Ta có GA 2GI GD   GA GD Hai có độ dài ngược hướng nên chúng hai vec tơ đối nhau,   vec tơ GA  GD 0    Trong hình bình hành GBDC , ta có GB  GC GD     Vậy GA  GB  GC 0 Luyện tập ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB , CD O trung Cho tứ giác      điểm MN Chứng minh OA  OB  OC  OD 0 Giải Lời giải             OA  OB  OC  OD  OM  MA  OM  MB  ON  NC  ON  ND Ta có          OM  ON  MA  MB  OM  ON  NC  ND  0        Chú ý Phép cộng vec tơ tương ứng với quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc    A Nếu hai lực tác động vào chất điểm  biểu diễn vec tơ u1 , u2 hợp lực tác dộng vào A biễu diễn vec tơ u1  u2 Nếu thuyền di chuyển sông với vận tốc riêng( vận tốc sovới dòng nước) biễu diễn vec tơ vr vận tốc dòng nước( so với bờ) biễu diễn vec tơ  vận tốc thực tế thuyền (so với   v bờ) biểu diễn vec tơ r  Ví dụ Hãy giải tốn tình mở đầu Lời giải Ta biểu thị hai bờ sông hai đường thẳng song song d1 , d (H4.17)   v v Giả sử tàu xuất phát từ bánh lái , giữ để tàu tạo với bờ góc  Gọi r n lần vectơ vận tốc riêng tàu vận tốc dòng nước Gọi M , N điểm cho  lượt  vr  AM MN A  d1       v Khi tàu chuyển chuyển động với vec tơ vận tốc thực tế vr   AM  MN  AN d Gọi B, C tương ứng giao điểm AN , AM với Tàu chuyền động thẳng từ A đến B với AB AC   d vận tốc thực tế AN , thời gian cần thiết kế để tàu sang bờ AN AM Mặt khác  AM  vr AC  AC  d  AM  d không đổi nên AM nhỏ  AC nhỏ Vậy để tàu sang bờ bên nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu ln vng góc với bờ Vận dụng Tính lực kéo cần thiết để kéo pháo có trọng lượng 22148N ( ứng với khối lượng xấp xỉ 260kg ) lên dốc nghiêng 300 so với phương nằm ngang (H.4.18) Nếu lực kéo người 100N , cần tối thiểu người để kéo pháo? Chú ý   P 22148 N , có phương  vng góc với phương nằm ngang hướng xuống dưới), phản lực w ( có độ lớn    w  P cos300 , có phương vng góc với mặt dốc hướng lên trên) lực kéo F ( theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc) Ta coi pháo chịu tác động ba lực: Trọng lực P ( có độ lớn Lời giải   P 22148 N Ta có: Trọng lực P có độ lớn , có phương vng góc với phương nằm ngang hướng xuống    w  P cos300 22184 N Phản lực w có độ lớn , có phương vng góc với mặt dốc hướng lên trên)    F P  w ta có Gọi    F1 OC  BC  BO  P  w 1174 N  Để kéo pháo lên dốc  F  F1  , F1 1174  11, 74 nghĩa số người kéo pháo phải lớn 100 100 Vậy cần tối thiểu 12 người để kéo pháo BÀI TẬP 4.6 Cho bốn điểm A , B , C , D Hãy chứng minh          AB  BC  CD  DA 0 b) AC  AD BC  BD a) Lời giải  a) Ta có b) Ta có           AB  BC  CD  DA  AB  BC  CD  DA  AC  CA 0     AC    BC   AD DC  BD DC nên       AC  AD BC  BD     4.7 Cho hình bình hành ABCD Hãy tìm điểm M để BM  AB  AD Tìm mối quan hệ hai vec tơ   CD CM Lời giải      Ta có thep quy tắc hình bình hành BM  AB  AD  BM  AC nên M đỉnh thứ tư hình bình hành BACM ( hình vẽ)     AB  AC , AB  AC 4.8 Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vec tơ Lời giải   a) Tính độ dài vectơ AB  AC       AB  AC  CB CB a Ta có AB  AC CB nên   b) Tính độ dài vectơ AB  AC B D H A C H trung điểm BC  AH  BC Suy AH  BC a  2 Gọi Dựng D điểm cho tứ giác ABDC hình thoi Ta    a AB  AC  AD  AD 2 AH 2 a lại có    F  N , F2 2 N 4.9 Hình 4.19 biểu diễn hai lực F1 , F2 tác động lên vật, cho Tính độ lớn hợp lực F1  F2 Lời giải     AB F1 , AC F2 Gọi       F  F2  AB  AC  AD F Ta có Xét tam giác ABD AD  BA2  BD  BA.BD.cos600    2.3.2   F  7N Vậy 4.10 Hai tàu xuất phát lúc từ bờ bên để sang bờ bên dịng sơng với vận tốc riêng khơng đổi có độ lớn Hai tàu giữ lái cho chúng tạo với bờ góc nhọn tàu hướng xuống hạ lưu, tàu hướng lên thượng nguồn ( hình vẽ) Vận tốc dịng nước đáng kể, yếu tố bên ngồi khác khơng ảnh hưởng đến vận tốc tàu Hỏi tàu sang bờ bên trước? Lời giải Gọi    v tàu thứ tàu hướng xuống hạ lưu có vận tốc thực tế vr     v tàu thứ hai tàu hướng lên thượng nguồn có vận tốc thực tế vr    v Ta thấy  v2 nên tàu thứ sang bờ bên trước BÀI TẬP THÊM Bài Cho hình bình hành ABCD với M N trung điểm BC AD Tìm tổng hai vectơ:     NC MC CD AM a) b) Lời giải          a) Vì MC  AN nên ta có NC  MC  NC  AN  AN  NC  AC          b) Vì CD BA nên ta có AM  CD  AM  BA BA  AM BM     C A B D Bài Cho bốn điểm , , Hãy chứng minh đẳng thức: AB  CD  AD  CB Lời giải Cách 1: Sử dụng qui tắc tổng                AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB   AD  CB  Bài      Cách 2: Sử dụng hiệu hai vectơ           AB  CD  AD  CB  AB  AD CB  CD  DB DB       A , B , C , D , E , F Cho điểm tùy ý Chứng AC  BD  EF  AF  BC  ED    VT  AC  BD  EF        AF  FC  BC  CD  ED  DF Lời giải              AF  BC  ED    FC  CD  DF       AF  BD  EF       AF  BD  EF VP Suy điều phải chứng minh     ABC MA  MB  MC  M Bài Cho tam giác Xác định điểm thỏa điều kiện Lời giải A C M B     Ta có MA  MB  MC 0     MA  CB 0    MA BC Suy M đỉnh thứ tư hình bình hành ACBM Bài ABC Tìm tập hợp tất điểm Cho   tam  giác MB  MC  BM  BA M thỏa mãn đẳng thức Lời giải Ta có Bài       MB  MC  BM  BA  CB  AM Do A, B, C cố định nên tập hơp M đường trịn tâm A bán kính BC     ABC Cho Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MB  MC  AB Lời giải   Gọi I trung điểm BC Ta có 2MI  AB Suy MI đường trung bình tam giác ABC Vậy M trung điểm AC Bài Cho hình vng ABCD có cạnh a với tâm O Tính:   OA  CB a) Độ dài vectơ   AB  DC b) Tính Lời giải      a) Ta có OA  CB CO  CB BO 1 a BO  BD  a  a  2 Mặt khác   a OA  CB  Nên b) Gọi A điểm đối xứng với A qua B         AB  DC  AA 2a AB  DC  AB  BA  AA nên Ta có Bài Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC , với cạnh huyền BC 12 Tính độ dài vectơ   GB  GC Lời giải B 12 cm M G C A Gọi M trung điểm BC AM  BC 6 AG  AM 4 Ta có ;        Mặc khác GA  GB  GC 0  GB  GC  AG    GB  GC  AG  AG 4 Suy     AB  AD , OB  DC  Bài Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD 60 Gọi O tâm hình thoi Tính Lời giải  Bài 10   AB  AD  AC  AC 2a cos 300 a 3, Ta có      AC a OB  DC  DO  DC  CO CO   2     F F F O Có hai lực , tác động vào vật đứng điểm , biết hai lực , F2 có 50  N  cường độ chúng hợp với góc 60 Hỏi vật phải chịu lực tổng hợp có cường độ bao nhiêu? Lời giải  A F1 O  C F2     F  OA Giả sử , F2 OB B    F  Theo quy tắc hình bình hành, suy F2 OC , hình vẽ  Ta có AOB 60 , OA OB 50 , nên tam giác OAB đều, suy OC 50    F  F2  OC 50  N  Vậy       Bài 11 Cho ba lực F1 MA , F2 MB , F3 MC tác động vào vật điểm M vật đứng  yên Cho biết cường độ F1 , F2 25N góc AMB 60 Khi cường độ lực  F3 bao nhiêu? A  F1  F3 M C 60  F2 B Lời giải  Vật đứng yên nên ba lực cho cân Ta   F3  F1  F2  A  F1  F3 M C   N F2 B       F  F  MA  MB  MN AMBN Dựng hình bình hành Ta có  Bài 12  3MA F3   MN MN  25 Suy      F  MA F  MB , tác động vào vật điểm M cường độ hai lực F1 , Cho hai lực F2 300  N  400  N  AMB 90 Tìm cường độ lực tổng hợp tác động vào vật Lời giải       F  F1  F  MA  MB 2 MI  AB Cường độ lực tổng hợp ( I trung điểm AB )  F 500  N  2 Ta có AB  MA  MB 500 suy CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 10 Câu Cho hình bình hành ABCD I giao điểm AC BD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?        A AB DC B IA  IB  IC  ID 0       AB  AC  AD C D BA  BC BD Lời giải Chọn C    Phương án C sai theo quy tắc hình bình hành AB  AD  AC Câu Cho điểm M , N , P, Q Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?           A MN  NP  PQ  QM NP B MN  NP  PQ  QM 0           MN  NP  PQ  QM  PQ C D MN  NP  PQ  QM MP Lời giải Chọn B            Ta có MN  NP  PQ  QM MP  PQ  QM MQ  QM MM 0 Câu Cho bốn điểm A, B, C, D Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuu r uuu r uuur uur uuu r uuu r uuu r uuur AB + CD = AD + CB AB + BC + CD = DA A B uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uur C AB + BC = CD + DA D AB + AD = CD +CB Lời giải Chọn A uuu r uuu r uuur uuu r uur uuu r uuur uur Ta có AB +CD = AD + DB +CB + BD = AD +CB       u Câu Cho DC  AB  BD với điểm A , B , C , D Chọn khẳng định đúng?     u  u  DC A B       C u  AC D u BC Lời giải Chọn C              Ta có u DC  AB  BD DC  AD  AD  DC  AC Câu Cho tam giác ABC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?       A AB  AC BC B AB  CA CB       C CA  BA CB D AA  BB  AB Lời giải Chọn B Xét đáp án: uuu r uuur uuur uuu r  Đáp án A Ta có AB + AC = AD ¹ BC (với D điểm thỏa mãn ABDC hình bình hành) Suy A sai 11       Đáp án B Ta có AB  CA CA  AB CB Suy B uur uur uuur uuu r uuur uur CA + BA =- AC + AB =- AD ¹ CB  Đáp án C Ta có (với D điểm thỏa mãn ABDC hình bình hành) Suy C sai uuu r uur r r r uuu r  Đáp án D Ta có AA + BB = 0+ = ¹ AB Suy D sai   ABCD a Câu Cho hình vng có cạnh Tính độ dài vectơ AB  AD theo a ( )   a AB  AD  A   AB  AD 2a C B D   AB  AD a   AB  AD a Lời giải Chọn D a A B C D     AB  AD  AC  AC a Ta có AB  AD  AC Suy   ABC Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC , BC Khi Câu Cho  tam  giác MP  NP véctơ vectơ sau?     A AM B PB C AP D MN Lời giải Chọn C A N M B P C      Ta có MP  NP  AN  NP  AP      Câu Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O thỏa mãn OA  OB  OC 0 Tính góc AOB  A AOB 120  B AOB 60  C AOB 90 Lời giải Chọn A 12  D AOB 150     Do OA  OB  OC 0 nên O trọng tâm tam giác ABC Mà O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC tam giác  Suy AOB 120  Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a Khi a A a B  AB  AC a C D a Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABEC tâm F    a2 AB  AC  AE  AE 2 AF 2 AB  BF 2 a  a Ta có Câu 10 Cho hình thang ABCD  AB  CD 30 cm Tính A 25 cm  AB / /CD   AC  BD có hai đường chéo vng góc với Biết B 20 cm C 15 cm D 30 cm Lời giải Chọn D B A D C E F Dựng hình bình hành ABEC hình bình hành BEFD Vì AC  BD nên BD  BE Do hình bình hành BEFD hình chữ nhật Khi 13      AC  BD  BE  BD  BF BF DE 30 cm 14 ...Khi tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Ta có GA 2GI GD   GA GD Hai có độ dài ngược hướng nên chúng hai vec tơ đối nhau,   vec tơ GA... (so với   v bờ) biểu diễn vec tơ r  Ví dụ Hãy giải tốn tình mở đầu Lời giải Ta biểu thị hai bờ sông hai đường thẳng song song d1 , d (H4.17)   v v Giả sử tàu xuất phát từ bánh lái , giữ để... BD  BA.BD.cos600    2.3.2   F  7N Vậy 4.10 Hai tàu xuất phát lúc từ bờ bên để sang bờ bên dịng sơng với vận tốc riêng khơng đổi có độ lớn Hai tàu ln giữ lái cho chúng tạo với bờ góc nhọn