Skkn ứng dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để khảo sát nghiệm phương trình, bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Lê Hữu Nam Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2020 skkn DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT THUẬT NGỮ VIẾT TẮT PT BPT GTLN GTNN GV HS THPT Phương trình Bất phương trình Giá trị lớn Giá trị nhỏ Giáo viên Học sinh Trung học phổ thông skkn MỤC LỤC Mở đầu………………………………………………………………… … 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………….… ….1 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm…………………………………….….3 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….4 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….4 1.5 Những điểm SKKN……………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………….…………….6 2.1 Cơ sở lí luận sang kiến kinh nghiệm……………………………………6 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số…………………………………………………6 2.1.2 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số……… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN……………………………8 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề…………………………… 2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số……………… 2.3.2 Bài tập rèn luyện .12 2.3.3 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 13 2.3.4 Bài tập rèn luyện…………………………………………………………15 2.4 Hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm……………………….……17 Kết luận kiến nghị……………………………………………………… 18 3.1 Kết luận…………………………………………………………………….18 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… ………18 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hàm số khái niệm tốn học, đóng vai trị trung tâm chương trình Tốn phổ thơng Hàm số tảng nhiều lĩnh vực khác Tốn học nói riêng khoa học nói chung Nắm vấn đề hàm số biết vận dụng chúng giúp giải tốn có nhiều rang buộc phức tạp mà cịn góp phần quan trọng đẻ rèn luyện phẩm chất tư hệ thống, sang tạo cho người học Qua hình thành cho người học lực xử lý linh hoạt, hiệu tình thực tế đời sống Trong kì thi quan trọng Toán từ cấp THPT trở lên nước giới ln có lượng đáng kể tốn hàm số Nói riêng Việt Nam, kì thi tuyển sinh vào Đại học, chọn học sinh giỏi câp phần lớn tốn mang tính phân loại cao giải phương pháp hàm số Ngoài toán giải phương pháp hàm số, cịn nhiều tốn có cách giải khác cách sử dụng hàm số nhìn chung “nhẹ nhàng” Đối với học sinh THPT khái niệm phương trình, bất phương trình lên lớp 10 định nghĩa, thực tế phương trình, bất phương trình học giải từ sớm tốn tìm số chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước Do học giải phương trình, bất phương trình học sinh quen thuộc, vấn đề giải cho hợp lơgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy bậc hai, chứa ẩn dấu Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Đặc biệt lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Với tính ưu việt việc ứng dụng đạo hàm vào giải toán, khơng đơn giải tốn liên quan đến toán khảo sát hàm số biện luận số nghiệm skkn phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà cịn giải nhiều dạng tốn khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên q trình giảng dạy mơn tốn THPT đa số học sinh yếu việc vận dụng phương pháp hàm số để giải lóp tốn khác Trong kỳ thi, câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trị lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn, em ln đặt câu hỏi:“Tại nghĩ làm vậy?’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thơng qua tốn điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - mơn học coi ông vua môn tự nhiên Để toán học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT ta phải cần giải vấn đề sau: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: skkn đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai khơng thể vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính đơn điệu GTLN – GTNN hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Ứng dụng tính đơn điệu GTLN, GTNN hàm số để khảo sát nghiệm phương trình, bất phương trình” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định tốn cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho tốn theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ skkn Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thông đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có lời nhận xét trước sau giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Phương pháp sử dụng nhiều là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn ôn thi, tơi lồng ghép tập phương trình, bất phương trình mà giải phải cần đến hàm số Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho skkn lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng 1.5 Những điểm SKKN + Cung cấp cho học sinh phương pháp giải toán hay, vừa sức mà học sinh gặp SGK để kích thích tìm tịi, tư học sinh + Đây phương pháp vừa sức với học sinh, học sinh lĩnh hội khơng khó khăn,cho nên số tốn trở nên đơn giản áp dụng phương pháp + Đối với học sinh tham gia kỳ thi chọn HSG thi Đại học, Cao đẳng phương pháp cần phải biết skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sang kiến kinh nghiệm 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số:1 Định lí 1: Nếu hàm số ln đồng biến ( nghịch biến) liên tục D số nghiệm phương trình ( k số cho trước) D không nhiều nghiệm và x=y với x, y thuộc D Từ định lí ta áp dụng vào giải phương trình sau: Bài tốn: Giải phương trình ta thực đưa phương trình dạng ( u=u(x), v=v(x)) ta chứng minh hàm đon điệu + Nếu ta nhẩm nghiệm kết luận nghiệm + Nếu giải phương trình ta tìm nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số đồng biến nghịch biến hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm phương trình khơng nhiều Từ định lí ta áp dụng vào giải phương trình sau: Bài tốn: Giải phương trình ta thực đưa phương trình dạng hai hàm đơn điệu ngược chiều Khi ta tìm nghiệm kết luận nghiệm phương trình 2.1.2 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số:2 Cho hàm số xác định D Số M gọi GTLN hàm số cho D Kí hiệu Được tham khảo từ TLTK số [5], [6] Được tham khảo từ TLTK số [5], [6] skkn Số m gọi GTNN hàm số cho D Kí hiệu Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số:3 * Từ việc lập BBT hàm số tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn (nhỏ nhất) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số xác định liên tục đoạn ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm đoạn mà khơng xác định - Tính giá trị - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số đoạn Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số biện luận số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng Ta giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : với hàm số - Phương có GTLN - GTNN tập xác định trình có nghiệm D Khi đó: - Bất phương trình thỏa mãn Được tham khảo từ TLTK số [5], [6] 10 skkn - Bất phương trình thỏa mãn có nghiệm - Bất phương trình - Bất phương trình GTNN tập có nghiệm Trong trường hợp hàm số khơng có GTLN ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng bổ sung thêm dấu cho điều kiện 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Đây phương pháp hay nhiên gặp SGK thời lượng chương trình nên học sinh hay lúng túng sử dụng phương pháp Tuy nhiên phương pháp thường sử dụng kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn HSG, câu hỏi vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia việc giảng dạy phương pháp cần thiết 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số4 Từ định lí ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Được tham khảo từ TLTK số [4] 11 skkn Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng chứng minh f đơn điệu để kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình:5 Nhận xét: Với phương trình giải theo cách bình thường bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, áp dụng tính đơn điệu hàm số vào giải toán thu kết dễ dàng Vậy ta gải toán sau: Giải TXĐ: Đặt Do hàm số đồng biến D, nên phương trình có nghiệm nghiệm Hơn nữa, nên nghiệm phương trình cho Ví dụ 2:6 Chứng minh phương trình:2 có nghiệm Nhận xét: Được tham khảo từ TLTK số [1] Được tham khảo từ TLTK số [5] 12 skkn Để chứng minh phương trình có nghiệm D ta tiến hành theo cách sau: + Chứng minh phương trình điều ta cần chứng minh ln có nghiệm Để chứng minh liên tục D tồn hai số a, b cho + Tiếp theo ta chứng minh hàm đồng biến nghịch biến D Từ ta suy cách giải sau Xét hàm số Ta có hàm liên tục R nên phương trình ln có nghiệm Giả sử nghiệm phương trình Khi Từ suy Do ta cần khảo sát với Ta có: Nên hàm đồng biến Vậy: Phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3:7 Giải phương trình: Nhận xét: Rõ ràng phương vừa bậc cao, vừa chứa thức nên gây nhiều khó khắn việc giải phương pháp thơng thường, ta dùng đến tính đơn điệu hàm số để giải tập Để sử dụng phương pháp hàm số ta đưa phương trình dạng hàm số đơn điệu Từ suy Ta chứng minh Giải Được tham khảo từ TLTK số [3] 13 skkn Điều kiện: Ta biến đổi phương trình dạng: Xét hàm số: Do Nên: hàm đông biến Mà: Vây: Nghiệm phương trình Ví dụ 4:8 Giải phương trình : Giải: Viết lại phương trình dạng: Xét hàm số đồng biến R Mà: Vậy: Phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 5:9 Giải bất phương trình: Được tham khảo từ TLTK số [2] Được tham khảo từ TLTK số [2] 14 skkn Nhận xét: Bất phương trình chứa biểu thức Logarit biểu thức phức tạp Không thể sử dụng phương pháp thông thường ta phải suy nghĩ đến phương pháp hàm số để giải bất phương trình Giải: ĐK: Viết lại bất phương trình dạng: Xét hàm số: Nên hàm đồng biến với t>0 Vậy: nghiệm bất phương trình: Qua ví dụ giải phương trình bất phương trình trên, ví dụ có hai cách giải ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu hàm số hay tự nhiên nhiều so với cách giải đầu Đây dạng tốn khó học sinh lần đầu tiếp xúc , em khó khăn việc sử dụng phương pháp khác để giải Vì việc bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, vận dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số việc làm cần thiết Từ hình thành học sinh Tư linh hoạt giải toán, để học sinh khơng bối rối trước tốn lạ 2.3.2 Bài tập rèn luyện 15 skkn Giải phương trình, bất phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 2.3.3 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 1:10 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Nhận xét: Đây tốn khó mà học sinh khó tìm hướng giải Chúng ta biến đổi bất phương trình sau sử dụng tính chất hàm số Giải Nhân hai vế với ta có: Đặt: Do tích hai hàm đồng biến dương nên hàm đồng biến Bất phương trình có nghiệm Vậy: 10 Min Được tham khảo từ TLTK số [4] 16 skkn Ví dụ 2:11 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực Nhận xét: Đây phương trình chứa hỗn tạp nên trước sử dụng hàm số ta biến đổi để cô lập tham số m Cách giải sau: Giải: Điều kiện: Phương trình trở thành : Đặt: Khi phương trình trở thành: Phương trình cho có nghiệm x pt (*) có nghiệm Xét hàm: Nên hàm nghịch biến Do phương trình có nghiệm Vậy: Ví dụ 3:12 Tìm m để bất phương trình có nghiệm 11 12 Được tham khảo từ TLTK số [5] Được tham khảo từ TLTK số [5] 17 skkn Giải Ta có: Đặt - + Từ bảng biên thiên suy Bất phương trình trở thành: Xét hàm số đồng biến Yêu cầu toán thỏa mãn Min Vậy: 2.3.4 Bài tập rèn luyện 1.Tìm m để phương trình: có nghiệm Tìm m để : có nghiệm 18 skkn Tìm m để bất phương trình: với Tìm m để phương trình: có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Tìm m để phương trình: có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: Tìm m để bất phương trình có nghiệm: Tìm m để với thoả mãn: 10 Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với 11 Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 19 skkn 13 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với 14 Tìm m để bất phương trình có nghiệm : : 15 Tìm m để phương trình có nghiệm với 16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2.4 Hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm + Trong trình thực đề tài, người viết tiến hành giảng dạy trường THCS THPT Nghi sơn, thị xã Nghi Sơn, tỉnh Thanh Hóa Một trường thành lập địa bàn nhiều biến động, gặp nghiều khó khăn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Kết có hai em đạt giải Khuyến khích giải Ba kì thi chọn HSG mơn toán cấp tỉnh bậc THPT năm học 2018-2019 + Qua giảng dạy học sinh không nắm bắt nội dung kiến thức chương trình mà cịn có thêm phương pháp hay việc khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình Tự phát giải vấn đề nội dung kiến thức, biết cách tập hợp, xâu chuỗi kiến thức có liên quan để vận dụng giải vấn đề + Qua trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp trường trường THPT khác với cách làm đồng nghiệp có nhận xét chung khả thi, khả ứng dụng cao, hiệu giáo dục tốt 20 skkn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn ôn thi, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm tham số tốn phương trình, bất phương trình giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm phương trình với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn tìm tham số, làm có lập luận chặt chẽ tình giải phương trình, bất phương trình Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính đơn điệu GTLN – GTNN hàm số Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn, mong đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thơng Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp 3.2 Kiến nghị - Nhà trường, tổ chuyên môn cần tăng cường buổi sinh hoạt chuyên đề đánh giá hiệu phương pháp việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi giảng dạy học tập phương pháp 21 skkn - Tạo điều kiện thuận lợi  để giáo viên giao lưu với đơn vị địa bàn thông qua hội thảo chuyên đề Trên số kinh nghiệm sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN hàm số vào khảo sát nghiệm phương trình, bất phương trình Với lực có hạn, kinh nghiệm tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp, chia sẻ, góp ý chân thành bạn, đồng nghiệp cấp quản lý giáo dục để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện 22 skkn Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng 06 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Hữu Nam Tài liệu tham khảo [1] Các phương pháp giải Phương trình, Bất phương trình, Hệ vô tỉ Năm 2005 Nxb Hà Nội tác giả Lê Hồng Đức [2] Phương pháp giải Tốn Mũ- Lơgarit Năm 2012 Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội tác giả Lê Hồng Đức- Lê Hữu Trí 23 skkn [3] Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình, hệ bất phương trình Năm 2014 Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội tác giả Hà Văn Chương [4] Phương pháp hàm số giải toán Năm 2014 Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội tác giả Lê Xuân Sơn, Lê Khánh Hưng [5] Sách giáo khoa mơn Tốn 10, 11, 12 [6] Sách tập mơn Tốn 10, 11, 12 24 skkn ... khơng đơn giải toán liên quan đến toán khảo sát hàm số biện luận số nghiệm skkn phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà cịn giải nhiều dạng toán khảo sát nghiệm phương trình bất. .. trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải tốn phương trình, . .. chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương