Skkn ứng dụng hình học giải các bài toán về môđun số phức ở mức độ vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ MƠ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO” Người thực hiện: Lê Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn học THANH HỐ NĂM 2020 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .3 2.2.1 Đối với giáo viên 2.2.2 Đối với học sinh 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng kiến thức về e líp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô đun số phức 2.3.2 Sử dụng kiến thức về véc tơ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô đun số phức 2.3.3 Sử dụng kiến thức về đường tròn tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 3.1 Kết luận .17 3.2 Kiến nghị 17 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình SGK đề thi tốt nghiệp thi tuyển sinh đại học trước dạng tốn số phức đưa dạng bản, đa phần mức độ nhận biết, thông hiểu Các câu hỏi mang tính vận dụng gần khơng xuất Vì thế, Bộ giáo dục Đào tạo đưa đề minh họa mơn Tốn cho kì thi THPT Quốc gia 2017-2020, nhiều giáo viên đa số học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải số phức mức độ vận dụng Ngoài ra, tài liệu tham khảo cho dạng tốn chưa có xuất rời rạc đơn lẻ Do việc tổng hợp đưa phương pháp giải nhanh dạng toán cần thiết cho học sinh q trình ơn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với số kinh nghiệm trình giảng dạy tham khảo số tài liệu, tơi chọn đề tài “Ứng dụng hình học giải tốn mơ đun số phức mức độ vận dụng cao” nhằm giúp em hiểu vận dụng kiến thức hình học giải tốt toán vận dụng cao để đạt kết tốt kì thi 1.2 Mục đích nghiên cứu Thông qua việc vận dụng kiến thức đường trịn, elíp giải tốn mô đun số phức giúp học sinh hiểu, định hướng cách làm tập, giải số toán số phức mức độ vận dụng cao cách xác nhanh chóng Từ kích thích khả tư duy, ham hiểu biết học sinh môn học 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Kiến thức chương số phức chương trình tốn THPT - Hệ thống hướng dẫn phương pháp giải tốn tìm modun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phương pháp nghiên cứu tài liệu sản phẩm hoạt động sư phạm - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp thống kê, so sánh skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Những kiến thức : Định nghĩa elíp: Cho hai điểm cố định với độ dài Tập hợp các điểm M mặt phẳng thoả mãn: ( với a> c >0 ) gọi e líp Hình dạng Mới quan hệ: Định nghĩa mơ đun số phức và ý nghĩa hình học Cho số phức mô đun của ký hiệu là được tính bởi Mỗi số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) Mỗi số phức có thể coi là một vecto Tổng (hiệu) hai số phức biểu diễn điểm có tọa độ vectơ tởng (hiệu) tương ứng ; ; ; ; Cho M, N lần lượt biểu diễn hai số phức Khi đó: * là véc tơ biểu diễn và * là véc tơ biểu diễn và thì là các véc tơ biểu diễn skkn y P N M O Bất đẳng thức modun * , dấu “ = ” xảy * , dấu “ = ” xảy M biểu diễn và I biểu diễn thì kính R M biểu diễn , biểu diễn và thuộc đường trung trực x (k>0) hay ngược hướng (k>0) hay hướng thuộc đường tròn tâm O bán biểu diễn thì 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với giáo viên Trước số phức chương trình thi tớt nghiệp và tuyển sinh đại học dừng lại mức độ (nhận biết, thơng hiểu) Vì việc giảng dạy nghiên cứu giáo viên dừng lại mức độ cụ thể giúp em làm tốt phần kiến thức Hiện với đề án thi giáo dục Thông qua đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017,2018, 2019 , đề minh họa Bộ đưa đề thi thử sở, trường, câu hỏi phần số phức xuất nhiều Đặc biệt câu khó, khó lạ (mức độ vận dụng cao) mà trước chưa xuất xuất tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu vấn đề nguồn tham khảo giáo viên hạn chế Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu dạng tốn mới, chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy định hướng cho học sinh giải tốn số phức khó skkn 2.2.2 Đối với học sinh Với lớp toán vận dụng, vận dụng cao em thường thụ động việc tiếp cận phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa có ý thức tìm tịi, sáng tạo tìm niềm vui, hưng phấn giải toán Số lượng tài liệu tham khảo cho em cịn Việc thi trắc nghiệm địi hỏi học sinh khơng hiểu chất tốn mà cịn phải tìm cách giải nhanh để đạt kết tối đa Trước tình hình tơi muốn đưa ý tưởng giải tốn mơ đun số phức việc chủn sang bài toán hình học quen thuộc, giúp em phát triển tư kích thích ham học tập em 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng kiến thức về e líp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô đun số phức Bài toán số phức: Cho số phức z thoả mãn với Tìm GTLN, GTNN của Sự tương ứng ở gồm: * M là điểm biểu diễn z , tương ứng là điểm biểu diễn Khi *A là điểm biểu diễn Ta có Chuyển hóa thành tốn hình học Bài toán hình học: Cho M chuyển động Elip (E) và một điểm A cố định Tìm GTLN, GTNN của AM Ta xét toán trường hợp đặc biệt Bài toán 1: Phương trình (E) dạng chính tắc Cho số phức z thoả mãn (Elip đứng).Tìm GTLN, GTNN của Giải - Tính (Elíp ngang) hoặc skkn - Lập phương trình dạng chính tắc (E) với - Rút y theo dạng: với Hoặc đối với - Thay vào P ta được tương tự đối với với - Dùng chức TABLE của máy tính Casio phương án trắc nghiệm tìm GTLN, GTNN của hàm P2 từ đó có P Ví dụ Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN của Giải: - Có a = 3, c = -Phương trình chính tắc Elip - Vậy - Bấm TABLE các hàm vơi được GTLN, GTNN của hàm P2 Bài toán Elip không dạng chính tắc A là trung điểm của tức A là tâm của Elip Cho số phức z thoả mãn với Tìm GTLN, GTNN của Với đặc điểm nhận dạng Phương pháp: - Tính - Tính - Vì A là tâm của Elip và M di chuyển Elip nên: + AM lớn nhất bằng a hay max P = a + AM nhỏ nhất bằng b hay P= b Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Giải: - Ta có Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của skkn - Ta thấy - Tính - Vậy max P’= 4; P’= và Do đó Vậy , đó max P= 8; P= Bài toán 3: Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của A nằm các trục của Elip Bài toán 3.1: A nằm trục Elip lớn và ngoài - Dấu hiệu nhận biết: - Thì max P= ; P= Bài toán 3.2: A nằm trục lớn và ở phía Elip - Dấu hiệu nhận biết: - Thì max P= Còn GTNN không xác định nhanh được Bài toán 3.3: A nằm trục nhỏ (bất kể hay ngoài) Elip - Dấu hiệu nhận biết: - Thì P= Còn GTLN không xác định nhanh được Ví dụ 3: Cho số phức z thoả mãn của Giải: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất I là trung điểm của thì Có Mặt khác Vậy max P= AI+ a = Vậy A thuộc Vậy A nằm ngoài Elip ; P= AI- a = Tổng kết bài toán Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc Tìm Min, Max của +) Nếu thấy : Tính với và và thì max P= a; P= b skkn +) Nếu thấy thì max P= +) Nếu thấy ; P= thì max P= +) Nếu thấy thì P= 2.3.2 Sử dụng kiến thức về véc tơ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơ đun sớ phức Bài toán: Cho Tính Phương pháp Gọi là các véc tơ biểu diễn , Khai triển: Bây khử xong Nhân (1) với ab nhân (2) với cd trừ đi, được: Đặc biệt a = b =1 c = - d =1, ta có cơng thức hình bình hành (Tởng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh ) Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn tính Giải: Coi số phức , vecto ta có Nhân (1) với cộng với (2) được: Ví dụ 2: Cho hai số phức Tìm GTLN , thỏa mãn skkn Giải: Các số phức Ta có , có vec tơ đại diện là Cộng (1) với (2) được: Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có: Vậy Ví dụ 3: : Cho hai số phức GTLN Giải; Hướng dẫn Coi số phức , , thỏa mãn vector Tìm ta có nhân (1) với nhân (2) với cộng lại ta có: Áp dụng bất đẳng thức BNC, ta có Đáp số: Ví dụ 4: Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn Tính mơđun số phức *) Gọi Gọi hai nghiệm phương trình vector đại diện Từ (1) Ví dụ 5: Cho số phức thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức skkn Giải: Gọi là các véc tơ đại diện Khi đó gọi là véc tơ đại diện và cùng phương với gọi là véc tơ đại diện và cùng phương với Mà Vậy Ví dụ 6: Cho ba số phức thoả mãn Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn số phức Vậy hay tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 2.3.3 Sử dụng kiến thức về đường tròn tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN Bài toán hình học: Gọi M điểm biểu diễn z, có Với I biểu diễn R Vậy M chuyển động đường trịn tâm I bán kính R Gọi A điểm biểu diễn thì, tốn trở thành: “ ChoM di chuyển đường tròn tâm I A điểm cố định Tìm GTLN, GTNN AM ” Nhìn vào hình vẽ ta thấy skkn A M I M R Chú ý: Khơng phải phương trình đường trịn dạng mà đơi dạng với Do để kiểm tra điều kiện giả thiết phương trình đường trịn hay phương trình đường thẳng trường hợp cách tốt gọi z = x +yi thay vào giả thiết để biết (x; y) thỏa mãn phương trình Ví dụ 1: Cho sớ phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN Giải: Viết T dạng thay vào phương trình ta = AI Vậy Ví dụ 2: Cho sớ phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN Giải: Viết T dạng thay vào ta Vậy Ví dụ 3: Cho sớ phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN Giải: Gọi z = x +yi , ( ) M(x;y) biểu diễn z skkn Vậy M đường trịn tâm I Có bán kính R với A(-1;-2) Vậy Bài toán 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm GTLN biết Bài toán hình học: Cho điểm M chuyển động đường trịn tâm I bán kính R Cho A, B điểm cố định Tìm giá trị lớn P = aMA+bMB (khi I trung điểm AB hay I nằm đường trung trực của AB) Ta có với J là trung điểm AB Do đó (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất MJ lớn nhất hay A J M I B Ví dụ 1:(Đề minh hoạ BGD- 2018): Xét các số phức thoả mãn Tính P = a+ b đạt giá trị lớn nhất Giải Gọi M(a;b), A(-1;3), B(1;-1) tâm I(4;3) Gọi J là trung điểm AB J(0;1) IJ là trung trực của AB Bài toán trở thành: Tìm (1) Sao cho (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất Ta có Do đó (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất MJ lớn nhất hay Phương trình (IJ): x -2y +2 = (2) Từ (1) và (2) 10 skkn M(4;6) hoặc M(2;2) (kiểm tra loại bỏ) Vậy P = a+ b=10 Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của Giải Ta có tâm I(1;0) của đường trịn , bán kính Điểm A B ứng với số phức I trung điểm AB max T = MA + MB = Ví dụ 3: ( Sở GD ĐT Bắc Ninh) Cho số phức thỏa mãn diều kiện Giá trị lớn biểu thức Giải: Ta có: Chú ý : Trong trường hợp I không phải trung điểm AB hay I không nằm đường trung trực của AB ta dùng tính chất mơ đun số phức để giải toán Ta có: Với véc tơ biểu diễn véc tơ biểu diễn với lưu ý Nhân (2) với k cộng với (1) ta được: (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức BNC cho ta có Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 4: Cho sớ phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của 11 skkn Giải: Ta có tâm I đường trịn giả thiết ứng với số phức Dễ thấy trung điểm AB Ta có Với véc tơ biểu diễn cộng (1) với (2) ta được: bán kính Điểm A B Vậy chí I véc tơ biểu diễn (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức BNC Ví dụ 5: Cho sớ phức z thoả mãn Giải:Ta có Tìm giá trị lớn nhất của Với véc tơ biểu diễn véc tơ biểu diễn Nhân (1) với cộng với (2) ta được: (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức BNC Bài toán 3:Cho hai số phức thỏa mãn với cho trước Tìm GTNN Bài toán hình học: Gọi M, N điểm biểu diễn Giả thiết tương đương với M thuộc đường trịn tâm I bán kính R ( gọi đường tròn (C)) Giả thiết tương đương N thuộc đường thẳng (d) Bài tốn trở thành tìm M thuộc (C) N thuộc (d) cho T=MN ngắn Từ hình vẽ ta thấy GTNN MN Vậy 12 skkn I M N d Ví dụ 1: Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Gọi M, N điểm biểu diễn Giả thiết thuộc đường trịn tâm I(-4;3) bán kính R=2 Giả thiết đương N thuộc đường thẳng (d): 3x-5y+4=0 tương đương với M tương Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trình nghiên cứu giảng dạy mang lại kết tích cực Đối với thân tơi sau nghiên cứu kĩ kiến thức liên quan phần số phức, đặc biệt toán số phức mức độ vận dụng cao, giúp tơi có kiến thức kinh nghiệm việc giảng dạy cho em Từ định hướng cho em cách phát tư việc giải toán mức độ vận dụng cao Với đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ tài liệu để tham khảo hướng dẫn cho học sinh làm toán Đối với học sinh sau áp dụng cách tiếp cận việc giải toán giúp học sinh phát triển tư Học sinh có khả định hướng cách làm với dạng tập khó khác Học sinh tự tin trình làm bài, tạo hứng thú cho em trình học tập Việc làm tập số phức nói chung số phức mức độ vận dụng cao em trở nên nhanh chóng xác Cụ thể tơi cho em số kiểm tra phần số phức trình trước sau áp dụng phương pháp giải tập số phức, kết sau: 13 skkn Bài kiểm tra số 1: ( Trước áp dụng sáng kiến) Đề bài: Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm Câu 2: Cho số phức số phức thỏa mãn điều kiện Tập hợp điểm biểu diễn A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm Câu 3: Cho số phức thỏa mãn A Tìm giá trị lớn B Câu 4: Cho số phức A C thỏa mãn D Giá trị nhỏ B C là: D Kết quả: Lớp 12B7 Chỉ Chỉ Chỉ Đúng câu câu câu câu Tổng Số lượng 25 – 52% 48 15 – 31% – 17% – 0% Bài kiểm tra số 2: ( Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Câu 1: Tập hợp điểm biểu diên số phức thõa mãn điều kiện A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm Câu 2: Cho số phức thỏa mãn là: Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Tâm đường trịn có bán kính là: A B C Câu 3: Cho số phức thỏa mãn D Giá trị lớn là: 14 skkn A B C Câu 4: Cho số phức D thỏa mãn Giá trị lớn A B C D Kết quả: Lớp 12B7 Chỉ Chỉ Chỉ Đúng câu câu câu câu Tổng Số lượng – 10% 48 15 – 31% 15 – 31% 13 – 28% So sánh kết thu từ hai bảng ta thấy sau áp dụng phương pháp giải nhanh học sinh làm tốt khả tư phát triển Điển hình có câu khó dạng gặp ( Câu đề 2) em làm tốt KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua việc vận dụng đề tài nghiên cứu vào trình giảng dạy học tập học sinh thu đươc kết tích cực bảng số liệu phân tích Đề tài giúp cho giáo viên nhiều việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh giảng dạy thông qua đề tài giúp em phát triển tư duy, biết định hướng để giải toán Khơi dậy em niềm thích thú, ham học hỏi đặc biệt giúp em đạt hiệu cao làm tập thi THPT quốc gia Việc áp dụng đề tài không dừng lại số toán số phức mức độ vận dụng cao, mà cịn mở rộng nhiều dạng toán khác Bản thân đề tài động lực cho giáo viên học sinh tìm tịi phát triển để có phương pháp cách truyền thụ kiến thức cảm hứng cho học sinh tốt 3.2 Kiến nghị Đối với sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa: Thơng qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn đề tài có chất lượng cần phổ biến rộng rãi cho trường tỉnh để trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu Nên đưa SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” sở để giáo viên tồn tỉnh tham khảo cách rộng rãi 15 skkn Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn cần phổ biến rộng rãi phạm vi tổ Cần có lưu thư viện để giáo viên học sinh tham khảo Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết mặt đạt được, hạn chế hướng phát triển đề tài cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến 16 skkn Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm hỗ trợ việc áp dụng rộng rãi sáng kiến lớp học Phản hồi mặt tích cực mặt hạn chế sáng kiến Đề tài nghiên cứu thời gian hạn chế, mong Hội đồng khoa học Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hồn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tôi, không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Lê Thị Thủy 17 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục 2009 Sách tập 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục 2009 Đề minh họa lần 1, lần 2, lần giáo dục đào tạo năm học 2016-2017 Website: http://www.dethithu.net Website: http://www luyenthithukhoa.vn skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Lê Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Kỹ thuật chọn điểm rơi Sở giáo dục đào bất đẳng thức tạo hóa B 2013-2014 Nghiên cứu số sai lầm Sở giáo dục đào giải toán vectơ tọa độ tạo hóa B 2016-2017 Ứng dụng hàm số vào giải Sở giáo dục đào hệ phương trình” tạo hóa C 2018-2019 skkn ... số kinh nghiệm trình giảng dạy tham khảo số tài liệu, chọn đề tài ? ?Ứng dụng hình học giải tốn mơ đun số phức mức độ vận dụng cao? ?? nhằm giúp em hiểu vận dụng kiến thức hình học giải tốt toán vận. .. chung số phức mức độ vận dụng cao em trở nên nhanh chóng xác Cụ thể tơi cho em số kiểm tra phần số phức trình trước sau áp dụng phương pháp giải tập số phức, kết sau: 13 skkn Bài kiểm tra số 1:... áp dụng đề tài không dừng lại số toán số phức mức độ vận dụng cao, mà cịn mở rộng nhiều dạng toán khác Bản thân đề tài động lực cho giáo viên học sinh tìm tịi phát triển để có phương pháp cách