Đang tải... (xem toàn văn)
1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản thì việc hỗ trợ học sinh tiếp cận các dạng bài tập ở mức độ khó cũng là một nhiệm vụ hết sức[.]
1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong giảng dạy mơn Tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc hỗ trợ học sinh tiếp cận dạng tập mức độ khó nhiệm vụ quan trọng giáo viên Việc làm giúp học sinh có tư tốt phát triển khả Như biết toán “ bất đẳng thức ” hay “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ” dạng tập khó nhất, mà học sinh nghĩ đến gần “ đầu hàng ”, học sinh giỏi Bởi học sinh thật phương hướng gặp tập dạng Thiết nghĩ em có hướng giải mẫu mực cho dạng tốn cụ thể em tự tin gặp Để giải tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” có nhiều phương pháp: sử dụng phương pháp bất dẳng thức, phương pháp véc tơ, phương pháp hàm số, phương pháp hình học, phương pháp lượng giác, phương pháp tập giá trị, sử dụng nhiều phương pháp toán… Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có từ biến trở lên Với mong muốn có thêm cho học sinh kiến thức để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, đề tài xin trao đổi số tốn “Sử dụng phương pháp tập giá trị tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến”, hai biến bị ràng buộc điều kiện cho trước Đối tượng học sinh tiếp cận đề tài ít, học sinh có lực học cứng học sinh giỏi Đây đề tài với nội dung khó, hy vọng sau tiếp nhận đề tài học sinh có cách nhìn khác loại tập Các em có kỹ xử lý tốn, có hướng cụ thể, có phương pháp để xử lý Ta biết tốn giúp em học sinh lớp 12 chinh phục điểm 9, điểm 10 đề thi THPTQG Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm vừa qua, câu bất đẳng thức hay giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức câu hóc búa Tuy nhiên học sinh nắm phương pháp giải bổ ích giúp em phát triển tư toán học, sáng tạo định hướng cho học sinh biết cách khái qt hóa dạng tốn khác skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh có thêm kỹ niềm tin để giải toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Hy vọng em tiếp cận tốt đến dạng toán kỳ thi HSG tỉnh THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A4 lớp 12A2 ơn thi HSG tỉnh Thanh Hóa ơn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu đề thi HSG, THPT Quốc gia 1.5 Những điểm sáng kiến Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, xin đưa số giải pháp sau: - Đưa hệ thống kiến thức liên quan - Các phương pháp bổ trợ để giải toán phát sinh sử dụng “phương pháp tập giá trị” - Lựa chọn số tập minh họa Trong tốn có gợi ý để em có hướng suy nghĩ, có lời giải chi tiết để học sinh tham khảo - Hệ thống tốn minh họa xếp theo trình tự hợp lý kiến thức, tư giúp học sinh nắm bắt dễ dàng hứng thú - Có tập áp dụng để học sinh luyện tập thêm Trong phần tập áp dụng có đáp án trắc nghiệm để học sinh kiểm tra lại kết - Thực nghiệm sư phạm skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Nội dung chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến chương trình tốn THPT Bài tốn tìm “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến” chương trình lớp 10, giải hai cơng cụ điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai phương pháp hình học (cụ thể phương trình đường thẳng phương trình đường trịn) Trong chương trình lớp 11 sử dụng kiến thức phần lượng giác để lượng giác hóa số tốn đăc biệt Đối với lớp 12 cơng cụ mở rộng tính đơn điệu hàm số Ta dùng để tìm mối quan hệ hai ẩn, tồn nghiệm Sự kết hợp kiến thức khối lớp giúp em có kỹ tốt để giải toán dạng Việc nhận dạng toán để xác định phương pháp giải việc làm đứng trước tốn khó Tuy nhiên ta cần xử lý tốt tốn phát sinh Đó linh hoạt người làm tốn, để có điều ta cần có đầy đủ kiến thức liên quan dạng tốn mà ta giải 2.1.2 Một số phần kiến thức liên quan - Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai hệ thức Viet - Nắm phương trình đường trịn, phương trình đường thẳng Vẽ đồng thời loại đường hệ trục để quan sát rõ miền nghiệm hệ chứa đường - Những tốn đại số đặc biệt lượng giác hóa nó, việc giải dễ dàng nhờ biến đổi lượng giác Chẳng hạn có dấu hiệu , ta liên tưởng đến hệ thức - Tính đơn điệu hàm số: f(x) đơn điệu miền D skkn Kết luận giúp ta tìm mối quan hệ x y Nói chung ứng dụng hàm rộng, nội dung đề tài áp dụng góc nhỏ tính chất 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Khi học sinh gặp tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến số, em gặp phải số khó khăn sau: - Khơng có hướng đi, cảm giác tốn khó khơng dám đụng đến khơng khó đến mức Ví dụ câu 45 đề thi THPT Quốc gia mơn tốn năm 2020, hay câu 47 đề thi khảo sát tốn tỉnh Thanh Hóa năm 2021 - Khó xử lý tốn phát sinh sử dụng phương pháp cụ thể - Không nắm vững dấu hiệu toán tổng quát để sử dụng phương pháp phù hợp 2.3 Giải pháp cụ thể Bài toán tổng quát: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: , ) (hoặc Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức Phương pháp giải chung: Gọi T tập giá trị P Khi m giá trị T hệ sau có nghiệm: ( hoặc ) Sau tìm giá trị tham số m để hệ có nghiệm Cụ thể: Phương pháp 1: Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai skkn Qua biến đổi ta đưa tốn tìm điều kiện tham số để hệ có nghiệm quy tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm Phương trình: có nghiệm Phương pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số Xét hàm số đơn điệu tập K Khi ta có: +) +) : - Nếu (T tập giá trị f(x) tập K) phương trình có nghiệm - Nếu phương trình vơ nghiệm Phương pháp 3: Sử dụng hình học Vẽ đường có phương trình bất phương trình liên quan đến hệ Thơng thường vẽ đường thẳng đường trịn Khi quan sát tương giao đường hình vẽ, kết hợp yêu cầu đề ta tìm điều kiện cụ thể Từ suy tập giá trị T P, suy GTLN, GTNN (nếu có) P MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn 1: Cho hai số thực GTLN, GTNN biểu thức x,y thỏa mãn điều kiện: là: A B C D Gợi ý: skkn Nhận thấy vai trị x, y có vai trị nên ta biến đổi để xuất dạng tổng tích Sau sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Giải Gọi T miền giá trị F Ta có nghiệm: hệ phương trình sau có (I) Đặt: ta có Khi hệ (I) trở thành: Ta có: Hệ phương trình (I) có nghiệm Vì hàm số đồng biến có nghiệm nên phương trình có nghiệm Do Vậy Chọn A Bài toán 2: Cho số thực x,y thỏa mãn: GTNN biểu thức A bằng: B C D skkn Gợi ý: Ta có: (phương trình đường tròn), nên nghĩ đến việc biến đổi biểu thức cho dạng phương trình đường để ta sử dụng tương giao Giải Gọi T tập giá trị P, ta có Dễ Với thấy: hệ sau có nghiệm: hệ vơ nghiệm , xét mặt tọa độ Oxy ta có tập nghiệm (1) miền mặt phẳng (H) nằm hai đường thẳng song song skkn có chứa biên đường thẳng nghiệm (2) đường trịn có tâm Bài (thỏa mãn Do Vậy tốn 3: Cho , tập hợp , bán kính Như hệ (I) có nghiệm khi: có điểm chung, xảy ) Chọn A số thực GTLN, GTNN biểu thức: x,y thỏa mãn: là: A B C D Gợi ý: Quan sát ta thấy bất phương trình mũ bậc hai, số nên đưa dạng bất phương trình ẩn Từ biểu thức K, áp dụng cơng thức nhân đơi để đưa phương trình ẩn Giải Gọi T tập giá trị K, ta có hệ sau có nghiệm: Ta có: skkn Đặt ta có hệ: Hệ (I) có nghiệm Dễ thấy hệ (II) có nghiệm hệ (II) vơ nghiệm skkn Với Xét mặt phẳng Ouv tập nghiệm (1), (2) hình thang ABCD (gồm điểm nằm hình thang điểm nằm cạnh hình thang) Tập hợp nghiệm (3) đường trịn tâm O(0;0), bán kính Như hệ (II) có nghiệm đường trịn hình thang có điểm chung, xảy Do (thỏa mãn) Vậy Chọn D Bài toán 4: Cho số thực thay đổi thỏa mãn: GTLN biểu thức: bằng: A B C D Gợi ý: Nhận thấy vai trị x, y đưa dạng đối xứng tổng tích x, y Giải Gọi T tập giá trị L Ta có hệ sau có nghiệm 10 skkn Đặt: , ta có hệ phương trình: Hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm (S;P) thỏa mãn Do với với Từ đó: +) Nếu hệ (I) vơ nghiệm +) Nếu được: từ phương trình ( nên : Vì thay vào (1) ta ), điều kiện , nên Do Vậy Chọn B Bài toán 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: GTLN, GTNN biểu thức: là: 11 skkn A B C D Gợi ý: Từ , nhận thấy biến đổi để xuất đối xứng Giải Điều kiện: Gọi T tập giá trị K Ta có Đặt hai hệ sau có nghiệm: Hệ (I) trở thành nghiệm phương trình: Hệ (I) có nghiệm x, y thỏa mãn (1) (2) có hai nghiệm khơng âm Điều kiện là: Do Vậy 12 skkn Chọn C Bài tốn 5: Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn Biểu thức có tập giá trị là: A B C D Gợi ý: Từ biểu thức: dạng hệ đẳng cấp bậc hai hai ẩn x, y ta nghĩ đến việc đưa toán Giải Đặt Gọi T tập giá trị B, khi hệ sau có nghiệm: +) Nếu , đó: +) Nếu đặt , (đpcm) nên: Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Do Măt khác Vậy tập giá trị B nên Chọn A 13 skkn Bài toán 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: Khẳng định sau đúng: Đặt A GTLN P B Không tồn GTLN P C GTNN P -3 D Không tồn GTNN P Gợi ý: Từ , ta liên tưởng đến hệ thức lượng giác bản: Vì ta đặt ẩn phụ, đưa toán dạng lượng giác Giải Gọi T tập giá trị P, Đặt Hệ hệ sau có nghiệm: (I) Vậy có nghiệm Hệ (I) phương trở thành: trình (*) có ( ) Tính nghiệm: Chọn C Bài toán 7: Xét số thực x, y thỏa mãn: Khi biểu thức A đạt GTNN là: B C D Gợi ý: Ta có: , đưa phương trình đại số x,y Kết hợp với biểu thức K đưa đối xứng tổng, tích biểu thức 14 skkn Giải: Điều kiện: : Ta có: Đặt Gọi T tập giá trị P, Do hệ sau có nghiệm: Do Chọn A Bài tốn 8: Cho số thực x, y thỏa mãn: GTNN, GTLN biểu thức A.- là: B C D Gợi ý: Từ ẩn x,y , ta nghĩ đến hệ đẳng cấp bậc hai hai Giải Gọi T tập giá trị G Ta có Nếu hệ (I) trở thành: Nếu ta đặt hệ sau có nghiệm: ta có hệ: 15 skkn Hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm phương trình: (*) có nghiệm +) Vớ +) Kết i Với hợp phương trình (*) có nghiệm điều kiện phương ta trình (*) có được: nghiệm Vậy Chọn B Bài tốn 9: (Đề thi khảo sát tỉnh Thanh Hóa năm 2021) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn GTLN biểu thức A thuộc khoảng sau đây? B C D Gợi ý: Ta biến đổi phương pháp hàm phương trình đại số Sử dụng quan hệ tìm vào Áp dụng phương pháp tập giá trị để tìm GTLN P 16 skkn Giải Điều kiện: Xét hàm Suy hàm đồng biến khoảng Bài tốn trở cho thỏa mãn Từ ta có Tìm GTLN biểu thức Gọi T tập giá trị P, Xét hệ sau có nghiệm: , ta có Bảng biến thiên 17 skkn Do phương trình có nghiệm Hay Chọn C Bình luận: Ưu điểm phương pháp quy tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn tìm tham số để hệ có nghiệm, không cần rõ giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các bạn mở rộng phương pháp cho biểu thức nhiều hai biến số Cuối vận dụng phương pháp giải số tập sau: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: (Đề thi THPTQG năm 2020) 18 skkn Xét số thực không âm biểu thức thỏa mãn Giá trị nhỏ bằng: A B C D Bài tập 2: Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn nhất, giá trị nhỏ biểu thức là: A B C D Bài tập 3: cho hai số thực thỏa mãn biểu thức Giá trị lớn Giá trị nhỏ bằng: A B C D Bài tập 4: Cho x, y số thực thỏa mãn: Tìm GTNN biểu thức: A B C Bài tập 5: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn biểu thức -3 D : Giá trị lớn là: A B C D Bài tập 6: Cho x, y số thực thỏa mãn: M,m GTLN, GTNN biểu thức Gọi Tính 19 skkn A B C D -3 Đáp án tập vận dụng D A B D A D 20 skkn ... dung chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến chương trình tốn THPT Bài tốn tìm ? ?Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức hai biến? ?? chương trình lớp 10, giải hai công cụ điều... trị biến số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các bạn mở rộng phương pháp cho biểu thức nhiều hai biến số Cuối vận dụng phương pháp giải số tập sau: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: (Đề thi... trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức Phương pháp giải chung: Gọi T tập giá trị P Khi m giá trị T hệ sau có nghiệm: ( hoặc ) Sau tìm giá trị tham số m để hệ có nghiệm Cụ thể: Phương pháp