• Phương pháp chung: Phương pháp hình học thường được sử dụng khi giả thiết bài toán và biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất có dạng là phương trình của một đường thẳ[r]
(1)www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số I- SỬ DỤNG TẬP GIÁ TRỊ: • Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện F ( x; y ) = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức P = G ( x; y ) • Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị P, đó m ∈ T và hệ phương trình sau có nghiệm: F ( x; y ) = (1) G x ; y m = ( ) • Sau đó tìm các giá trị m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai) suy tập giá trị T P, từ đó suy giá trị lớn và giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức P = G ( x; y ) • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x + xy + y2 ≤ Chứng minh rằng: −4 − ≤ x − xy − y ≤ − Giải: Đặt A = x + xy + y và B = x − xy − 3y Gọi T là tập giá trị B, đó m ∈ T và hệ sau có nghiệm: x + xy + y ≤ (1) 2 x − xy − y = m • Nếu y = thì A = x ≤ , lúc đó −4 − < ≤ m = x ≤ < − (đpcm) y y2 > nên: • Nếu y ≠ thì đặt x = ty , đó A = x + xy + y = x + + 2 m x − xy − 3y t − t − = = A x + xy + y t + t +1 2 t2 − t − ⇔ ( a − 1) t + ( a + 1) t + a + = (2) Đặt a = t + t +1 Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ = ( a + 1) − ( a − 1)( a + 3) ≥ ⇔ Do đó: −4 − −3 ≤a≤ 3 −4 − m − ≤ ≤ , mặt khác < A ≤ nên −4 − ≤ m ≤ − A _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (2) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Vậy tập giá trị P là T = −4 − ; − 3 nên suy đpcm Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x − x + = y + − y Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức K = x + y Giải: ĐKXĐ: x ≥ −1 và y ≥ −2 Gọi T là tập giá trị K Ta có m ∈ T và hệ phương trình sau có nghiệm: x − x + = y + − y (1) x + y = m Đặt u = x + và v = y + thì u ≥ 0, v ≥ và hệ (1) trở thành: m u+v = 3 ( u + v ) = m ⇔ ⇔ u, v là hai nghiệm phương trình: 2 m u v m + = + uv = − m − m m2 t − t + − m − = ⇔ 18t − mt + m − 9m − 27 = (2) 2 Do đó hệ (1) có nghiệm (x , y) cho x ≥ −1 và y ≥ −2 và phương trình (2) có hai nghiệm không âm và điều kiện là: ∆ = −9 m − 18m − 54 ≥ m + 21 ⇔ ≤ m ≤ + 15 S = ≥ m − 9m − 27 ≥0 P = 18 + 21 Do đó T = ;9 + 15 + 21 Vậy giá trị nhỏ K là và giá trị lớn K là + 15 ( ) _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (3) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số II- SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC: • Phương pháp chung: Mấu chốt phương pháp bất đẳng thức là phải dự đoán biểu thức đạt giá trị lớn , giá trị nhỏ giá trị nào biến số để từ đó có cách phân tích, đánh giá thích hợp • Một số bất đẳng thức cần nhớ: x+y ≥ xy (với x ≥ 0; y ≥ ) BĐT Cô-si: Đẳng thức xảy và x = y BĐT Bunhiacopxki: ( a1b1 + a2 b2 ) ( Đẳng thức xảy và BĐT trị tuyệt đối: )( ≤ a12 + a22 b12 + b22 ) a1 a2 = b1 b2 x − y ≤ x−y ≤ x + y n x n + yn x + y BĐT ≥ (với n nguyên dương và x ≥ 0; y ≥ ) • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) Cho hai số thực x, y dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y P = (1 + x ) + + x y Giải: x x x x • + x = + + + ≥ 4 3 3 y y y y y • 1+ = 1+ + + ≥ 4 x 3x 3x 3x 3x 3 • 1+ =1+ + + ≥ 4 ⇒ 1 + ≥ 16 y y y y y y y _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (4) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số 3 y x y ≥ 4.4.16 Suy P = (1 + x ) + + = 256 x y x y Vậy giá trị nhỏ P là 256 x = và y = Ví dụ 2: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2006) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ 3x + + y3 biểu thức A = + 4x y Giải: y y 3x x y y x 1 x+y + + + y = + + + + + ≥ + + 2.3 = A= x y 8 x y 8 4 x y x = x Dấu “=” xảy và x + y = ⇔ x = y = Vậy Amin = x = y = 2 1 y = y Ví dụ 3: (Đề thi đại học chính thức khối A năm 2006) Cho hai số thực x ≠ và y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + x y3 Giải: Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức) 1 1 Ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇔ + = + − x y x xy y 1 Đặt a = , b = , ta a + b = a2 + b2 − ab (1) x y ( ) A = a3 + b3 = ( a + b ) a2 + b2 − ab = ( a + b ) 2 (1) ⇔ a + b = ( a + b ) − 3ab _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (5) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số 2 (a + b) 2 a+b a+b nên a + b = ( a + b ) − 3ab ≥ ( a + b ) − = vì ab ≤ ⇒ (a + b) − 4(a + b) ≤ ⇒ ≤ a + b ≤ Do đó A = ( a + b ) ≤ 16 Vậy giá trị lớn A là 16 x = y = Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) ( ) 2 x + y) ( 1 ( x + y ) x − xy + y Ta có A = + = = x y x y3 x − xy + y ( ) x + xy + y = 2 − + x xy y x + xy + y t + 2t + Xét biểu thức B = Đặt x = ty thì B = x − xy + y t − t +1 • Nếu t = thì x = (trái giả thiết x ≠ ) nên t ≠ • Do ( x + y ) xy = x + y − xy ⇔ ( x + y ) xy = ( x + y ) − 3xy nên x + y = ⇒ −3xy = (trái giả thiết xy ≠ ) Vậy x + y ≠ nên t ≠ −1 Gọi T là tập giá trị B thì: t + 2t + có nghiệm t ≠ , t ≠ −1 m ∈ T ⇔ Phương trình m = t − t +1 ⇔ Phương trình ( m − 1) t − ( m + ) t + m − = (*) có nghiệm t ≠ , t ≠ −1 • Nếu m = thì phương trình (*) có nghiệm t = (loại) ∆ ≥ • Nếu m ≠ thì phương trình (*) có nghiệm t ≠ , t ≠ −1 ⇔ m − ≠ 3m ≠ ( m + )2 − ( m − 1)2 ≥ 0 < m ≤ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ m ≠ Vì A = B và tập giá trị B là T = ( 0;4 ] \ {1} nên tập giá trị A là T1 = ( 0;16 ] \ {1} Vậy giá trị lớn A là 16 _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (6) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số III- SỬ DỤNG HÌNH HỌC: • Phương pháp chung: Phương pháp hình học thường sử dụng giả thiết bài toán và biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có dạng là phương trình đường thẳng, đường tròn, đường elip là khoảng cách hai điểm v.v • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2004) x − my = − m Gọi (x, y) là nghiệm hệ phương trình (m là tham số) mx + y = 3m + Tìm giá trị lớn biểu thức Q = x + y2 − x m thay đổi Giải: • Đường thẳng ( d1 ) : x − my − + m = qua điểm cố định A(2 ; 4) • Đường thẳng ( d2 ) : mx + y − 3m − = qua điểm cố định B(3 ; 1) • Đường thẳng ( d1 ) và ( d2 ) vuông góc với Do đó, gọi M(x , y) với (x, y) là nghiệm hệ phương trình thì M chạy trên đường tròn 2 5 5 đường kính AB có phương trình (C1 ) : x − + y − = 2 2 2 Ta có Q = x + y − x = ( x − 1) + y − ⇔ ( x − 1) + y = Q + Gọi đường tròn ( C2 ) : ( x − 1) + y2 = Q + Lúc đó ( x − 1)2 + y2 chính là khoảng cách từ điểm N(1 ; 0) đến điểm M (hình vẽ) y Do đó NM lớn và hai đường tròn (C1 ) A và ( C2 ) tiếp xúc (hình vẽ) ⇔ NP + PM = NM M P 34 + 10 34 10 ⇔ + = Q + ⇔ Q = − 2 B N x Vậy Qm ax = 34 + 10 − = 10 + 85 _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (7) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 36 x + 16 y = Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức P = −2 x + y + Giải: Gọi T là tập giá trị P và m ∈ T và hệ phương trình sau có nghiệm: 36 x + 16 y = (1) −2 x + y + = m 2 Ta có 36 x + 16 y2 = ⇔ ( x ) + ( y ) = 32 Đặt X = x, Y = y thì hệ phương trình (1) trở thành: X + Y = X − 3Y + 12 m − 60 = (2) Hệ (1) có nghiệm ⇔ Hệ (2) có nghiệm ⇔ Đường tròn ( C ) : X + Y = và đường thẳng ( d ) : X − 3Y + 12m − 60 có điểm chung ⇔ 12 m − 60 ≤3⇔ 15 25 ≤m≤ 4 42 + 32 15 25 15 25 Vậy T = ; nên giá trị nhỏ P là và giá trị lớn P là 4 4 4 _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (8) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số IV- SỬ DỤNG VECTƠ: • Phương pháp chung: Phương pháp vectơ thường sử dụng biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ xuất các biểu thức có dạng • Một số bất đẳng thức cần nhớ: a1 + a2 + + an ≤ a1 + a2 + + an (Đẳng thức xảy a1 ; a2 ; ; an cùng hướng.) a1.a2 ≤ a1 a2 (Đẳng thức xảy a1 ; a2 cùng hướng.) A2 + B • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y−2 Giải: Xét các vectơ a = (1 − x; y ) và b = ( x + 1; y ) Ta có: 2 • a + b ≤ a + b ⇔ + y ≤ ( x − 1) + y + ( x + 1) + y2 Do đó A ≥ + y + y − = f ( y) • Với y ≥ thì A ≥ 1+22 = (1) • Với y < thì f ( y) = + y + − y • f '( y) = y ≥ − = ⇔ y = + y2 ⇔ ⇔y= + y2 y = + y 2y Bảng biến thiên: y f'(y) -∞ - + f(y) 2+ _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (9) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( y) ≥ + hay A ≥ + Từ (1) và (2), ta có giá trị nhỏ A là + x = 0; y = (2) Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học năm 2011 - báo Toán học và tuổi trẻ số 404/tháng 02/2011) Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1 + ≤ Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức: P = x + 3y + y6 + x Giải: Xét các vectơ a = x ; y và b = y3 ; x ( ) ( Ta có: a + b ≥ a + b ⇔ x + y + y6 + x ≥ hay P ≥ ( x + y3 ) ( + x + y2 ) ) (x + y3 ) +( 3x + 3y2 ) 1 1 4 ≥ = Mặt khác ( x + y ) + ≥ ⇒ x + y ≥ 1 x y + x y 3 x + y) ( x + y3 x + y 22 2 2 3 ≥ = ≥ và ⇒ x + y ≥ = và x + y ≥ 2 Suy P ≥ 22 + 3.22 = Vậy giá trị nhỏ P là x = y = _ nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (10) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số V- SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC: • Phương pháp chung: đặt các biến theo các hàm số lượng giác để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức chứa các hàm số lượng giác • Một số kiến thức cần nhớ: x + y = thì đặt x = sin t và y = cos t x + y = thì đặt x = sin t và y = cos2 t • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn và ( x + xy giá trị nhỏ biểu thức P = ) + xy + y2 Giải: Cách 1: (Sử dụng lượng giác) Vì x + y = nên đặt x = sin t và y = cos t Lúc đó: 2 ( sin t + sin t cos t P= ) + 2sin t cos t + cos t ⇔ ( P − ) sin 2t + ( P + 1) cos2t = − P (1) 2 (1) có nghiệm ⇔ ( P − ) + ( P + 1) ≥ (1 − P ) ⇔ −6 ≤ P ≤ Vậy giá trị lớn P là và giá trị nhỏ P là -6 Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) Gọi T là tập giá trị P, đó m ∈ T và hệ phương trình sau có nghiệm: x + y2 = (1) x + xy m = 1 + xy + y ( ) • Nếu y = thì x = nên m = 2t + 12t ⇔ ( m − ) t + ( m − ) t + 3m = (2) • Nếu y ≠ thì đặt x = ty , đó m = t + 2t + Hệ phương trình (1) có nghiệm và phương trình (2) có nghiệm _ 10 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (11) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số * Với m ≠ thì phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ ' = −2 m − 6m + 36 ≥ ⇔ −6 ≤ m ≤ * Với m = thì phương trình (2) có nghiệm t = Vậy tập giá trị P là đoạn [ −6 ; 3] nên Pmax = và Pmin = −6 Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ ( x − y )(1 − xy ) biểu thức P = (1 + x )2 (1 + y )2 Giải: Cách 1: (Sử dụng lượng giác) π Đặt x = tanu, y = tanv với u, v ∈ 0; 2 (tan u − tan v)(1 − tan u tan v) sin(u − v)cos(u + v) sin 2u − sin 2v P= = = 2 2 (1 + tan u) (1 + tan v) (sin u + cos u) (sin v + cos v) (1 + sin 2u)(1 + sin 2v) 1 1 = − + sin 2v + sin 2u π 1 1 u = và v = ⇔ x = và y = − = 1+ 1+1 π 1 1 Pmin = − = − u = và v = ⇔ x = và y = 1+1 1+ • Pmax = • Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức) Ta có x − y ≤ x + y = x + y và − xy ≤ + xy = + xy nên: P≤ ( x + y)(1 + xy) [( x + y) + (1 + xy)]2 ≤ 1 ⇔− ≤P≤ 4 x = 1, y = • Giá trị nhỏ P − x = 0, y = • Giá trị lớn P _ 11 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (12) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số VI- SỬ DỤNG ĐẠO HÀM: • Phương pháp chung: từ giả thiết bài toán, ta biến đổi biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ từ hai biến số x; y biến số nào đó (có thể là t = x + y t = xy t = x + y …) dùng đạo hàm để khảo sát hàm số này • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2009) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y ) + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ ( ) ( ) biểu thức A = x + y + x y2 − x + y + Giải: Ta có ( x + y ) ≥ xy nên từ giả thiết suy ( x + y ) + ( x + y ) ≥ ⇒ x + y ≥ 3 A = x + y + x y2 − x + y2 + = x + y2 + x + y4 − x + y2 + 2 2 3 ≥ x + y + x + y − x + y2 + Suy A ≥ x + y − x + y + ( ) ( ( ) ( ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) Đặt t = x + y , ta có x + y 2 x + y) ( ≥ ≥ Do đó A≥ t − 2t + với t ≥ 2 Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + với t ≥ Ta có f ' ( t ) = t − > với t ≥ , suy f ( t ) = 1 2 ;+∞ 2 1 f = 16 x = y = 16 Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2009) Vậy giá trị nhỏ A Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và ( )( ) giá trị nhỏ biểu thức S = x + y y2 + x + 25 xy _ 12 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (13) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) y = − x x, y ≥ • Vì đó S = 16 x − 32 x + 18 x − x + 12 nên suy 0 ≤ x ≤ x + y = • Xét hàm số f ( x ) = 16 x − 32 x + 18 x − x + 12 trên đoạn [0 ; 1] x = • f ' ( x ) = 16.4 x − 32.3x + 18.2 x − = ⇔ (đều thuộc đoạn [0 ; 1]) 2± x = 2− 2+ x 4 191 25 191 f (x) 12 12 16 16 Dựa vào bảng giá trị, ta kết luận: 2+ 2− 3 2− 2+ 3 191 • Smin = ( x; y ) = ; ; ( x; y ) = 16 4 4 25 1 1 • Smax = ( x; y ) = ; 12 2 2 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp với đạo hàm) ( ) Do x + y = nên S = 16 x y2 + 12 x + y3 + xy + 25xy = 16 x y + 12 ( x + y ) − xy ( x + y ) + 34 xy = 16 x y − xy + 12 x + y) ( Ta có ≤ xy ≤ = f ' ( t ) = 32t − = ⇔ t = Xét hàm số f ( t ) = 16t − 2t + 12 trên đoạn 191 và f = ; 16 16 16 25 Vậy m ax f ( t ) = f = và f ( t ) = 1 1 4 0; 0; 4 1 0; 25 f = ; f ( ) = 12 4 191 f = 16 16 4 _ 13 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (14) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số • • x + y = 2− 2+ 3 2+ 2− 3 191 ; ; Smin = ( x; y ) = ⇔ ( x; y ) = 4 4 16 = xy 16 x + y = 25 1 1 Smax = ⇔ ( x; y ) = ; 12 2 2 xy = Cách 3: (Sử dụng lượng giác) x + y = • Vì nên đặt x, y ≥ x = sin t π với t ∈ 0; 2 y = cos t • Lúc đó S = 16sin t cos4 t − 2sin t cos2 t + 12 = sin 2t − sin 2t + 12 2 191 191 = sin 2t − + ≥ 4 16 16 1 π • Dấu “=” xảy sin 2t = ⇔ sin 2t = (vì t ∈ 0; nên sin 2t > ) 2 5π π π ⇔t= t = (vì t ∈ 0; ) 12 12 2 π 5π − cos − cos − = 4+ = x = sin t = x = sin t = π 2 2 ; t = 5π ⇒ ⇒ • t= π 12 5π 12 + cos + cos y = cos2 t = y = cos2 t = = 4− = 4+ 2 2 x + y = 2− 2+ 3 2+ 2− 3 191 • Smin = ; ; ( x; y ) = ⇔ ( x; y ) = 16 xy = 16 1 25 1 S = sin 2t − sin 2t + 12 = sin 2t sin 2t − + 12 ≤ − + 12 = 2 12 2 π • Dấu “=” xảy sin 2t = ⇔ sin 2t = (vì t ∈ 0; nên sin 2t > ) 2 π π ⇔ t = (vì t ∈ 0; ) 2 • _ 14 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (15) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số π x = sin = x + y = 25 π 1 1 • t= ⇒ ⇒ Smax = ⇔ ( x; y ) = ; 12 2 2 xy = y = cos2 π = Ví dụ 3: (Đề thi cao đẳng năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ ( ) biểu thức M = x + y3 − xy Giải: Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức và đạo hàm) 2 Ta có x + y = ⇔ ( x + y ) ( 2 x + y) − ( − xy = ⇔ xy = , đó: ) ( M = x + y3 − xy = ( x + y ) x − xy + y = − ( x + y) − ) − xy = ( x + y )( − xy ) − 3xy ( x + y )2 + ( x + y ) + Mặt khác = x + y 2 x + y) ( ≥ ⇒ −2 ≤ x + y ≤ 2 Xét hàm số f ( t ) = −t − t + 6t + trên đoạn [ −2;2 ] t = 13 Ta có f ' ( t ) = −3t − 3t + = ⇔ và f (1) = ; f ( ) = 1; f ( −2 ) = −7 t = −2 13 1+ 1− 1− 1+ x = ; y= x = ; y= 2 2 • Giá trị nhỏ M là -7 x = y = −1 • Giá trị lớn M là Cách 2: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm) • Vì x + y = nên đặt x = sin t; y = cos t với t ∈ [0 ; 2π ) • ( ) M = x + y3 − xy = ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) − sin t cos t u2 − π • Đặt u = sin t + cos t = sin t + với điều kiện u ∈ − 2; thì sin t cos t = 4 nên M = −2 2u − 3u + 2u + _ 15 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (16) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số • Xét hàm số f ( u ) = −2 2u3 − 3u2 + 2u + trên đoạn − 2; u = − • f ' ( u ) = −6 2u − 6u + = ⇔ u= • 13 f − = −7; f = ; f 2 ( ) ( ) = nên ta có kết luận sau: 1− 1+ π ; t x y = − = = 13 12 2 * Giá trị lớn M là u = ⇔ ⇔ 1+ 1− t = 7π ;y = x = 12 2 3π ⇔ x = y = −1 * Giá trị nhỏ M là -7 u = − ⇔ t = − Ví dụ 4: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng ) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu x y thức T = + 1− x 1− y Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) • Vì x + y = nên suy y = − x , đó T = • Xét hàm số f ( x ) = • 2−x f '( x ) = (1 − x )3 x y x 1− x + = + 1− x 1− y 1− x x x 1− x + với < x < 1− x x − = − x3 − x x x +1 + (1 − x )3 − 3 x 1 1 • Ta có f ' = Ta chứng minh x = là nghiệm f ' ( x ) 2 1 1 1 • x > ⇒ < 1− x < ⇒ − > và − > nên f ' ( x ) > 3 2 1− x x x (1 − x ) _ 16 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (17) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số • 0< x< 1 1 1 − < nên f ' ( x ) < ⇒ 1− x > ⇒ − < và 2 1− x x x3 (1 − x ) • Vậy x = là nghiệm f ' ( x ) (đpcm) BBT: x 0 - f'(x) + f(x) Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) Vậy giá trị nhỏ T là x = y = • Đặt − x = u > và − y = v > Lúc đó x + y = trở thành u2 + v = và T= • 2 u + v = ⇔ (u + v) • = u2 + v2 ≥ • (u + v) 2 − u2 − v + = ( u + v ) − 1 u v uv u + v) −1 ( − 2uv = ⇔ uv = 2 ⇒u+v≤ ( u + v )2 = u2 + v2 + 2uv = + 2uv > ⇒ u + v > −t + 3t = f ( t ) với t ∈ 1; Đặt t = u + v thì T = t −1 −t − f ' (t ) = < 0, ∀t ∈ 1; ⇒ f ( t ) ≥ f = 2 t −1 ( ( ) ( Vậy giá trị nhỏ T là ( ) x = y = _ 17 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (18) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Cách 3: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm) x = sin t y = cos t cos2 t sin t cos3 t + sin t ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) + = = Khi đó T = sin t cos t sin t cos t sin t cos t π π Đặt a = sin t + cos t = sin t + , vì t ∈ 0; nên < a ≤ 4 2 − a3 + 3a a2 − = f (a) , đó T = Ta có sin t cos t = a −1 −a4 − f '(a) = < 0, ∀a ∈ 1; ⇒ f ( a ) ≥ f = 2 a −1 x + y = π nên tồn t ∈ 0; cho Vì 2 x > 0; y > ( ( ) Vậy giá trị nhỏ T là ( ) x = y = Ví dụ 5: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Quốc Học - Huế) Cho a, b là các số thực thay đổi ( a > ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = ( a − b ) + ( ln a − b ) Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 2 Xét hàm số f ( b ) = ( b − a ) + ( b − ln a ) với b ∈ Ta có f ' ( b ) = ( b − a ) + ( b − ln a ) = ⇔ b = a + ln a BBT: x f'(x) -∞ a + lna - f(x) f( a + lna ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có: +∞ + a + ln a ( a − ln a ) f ( b) ≥ f = Xét hàm số f ( a ) = a − ln a với a > f '(a) = − = ⇔ a = a _ 18 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (19) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số BBT: a - f'(a) f (a) +∞ + Do đó f ( a ) ≥ 1, ∀a > , nên ( a − ln a )2 ≥ 12 2 = 1 Vậy Tmin = a = 1; b = 2 Cách 2: (Sử dụng hình học) Xét điểm M ( b; b ) thuộc đường thẳng (d): y = x và điểm N ( a;ln a ) thuộc đồ thị (C) hàm 2 số y = ln x Lúc đó MN = ( a − b ) + ( ln a − b ) Dựa vào đồ thị, ta thấy MN nhỏ N là tiếp điểm y tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng (d) f( x) = x (hình vẽ) h(x) = x-1 Do đ ó ' f x = = ⇔ xN = , suy yN = ( ) N M g( x) = ln( x) xN x Và M là hình chiếu vuông góc N lên đường thẳng (d) N 1 1 nên M ; Lúc này MN = = Tmin 2 2 Cách 3: (Sử dụng vectơ kết hợp đạo hàm) Xét các vectơ u = ( a − b; b − ln a ) và v = (1;1) 2 Ta có: u.v ≤ u v ⇔ ( a − b ) + ( b − ln a ) ≤ ( a − b ) + ( b − ln a ) 12 + 12 Suy T = ( a − b ) + ( ln a − b ) 2 a − ln a ) ( ≥ Xét hàm số f ( x ) = x − ln x , f ' ( x ) = − = ⇔ x = x BBT: x f'(x) f (x) - +∞ + _ 19 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (20) www.VNMATH.com Giá trị lớn - giá trị nhỏ biểu thức hai biến số Do đó f ( x ) ≥ 1, ∀x > , nên T ≥ 1 12 = Vậy giá trị nhỏ T là a = 1; b = 2 2 Ví dụ 6: Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y3 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức A = x + y Giải: • x + y3 ≤ ⇔ y ≤ − x ⇔ y ≤ − x • Vì x, y dương nên x + y3 ≤ ⇒ < x < ( Do đó A = x + y2 ≤ x + − x ( Xét hàm số f ( x ) = x + − x f '( x ) = 2x − 2x 2x2 2−x = ( 3 ) ) 2 với < x < 2 − x3 − x 2−x ) = ⇔ x = 3 − x = x ⇔ x = (vì < x < ) BBT: x f'(x) + - f(x) Dựa vào bảng biến thiên, ta suy A ≤ f ( x ) ≤ Vậy giá trị lớn A là x = y = Ví dụ 7: Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức A = x + y + + x y Giải: _ 20 nghia_metal@yahoo.com Lop12.net (21)