Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện Mai V[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Người thực hiện: Mai Văn Tuấn Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn Học MỤCHĨA LỤC THANH NĂM 2021 MỞ ĐẦU skkn 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các định nghĩa tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số 2.1.2 Giới thiệu tốn, tình có vấn đề, tạo hấp dẫn khả kích thích hoạt động học tập tích cực học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Nội dung 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số, để giải phương trình vơ tỷ 2.3.2 Sử dụng GTLN, GTNN hàm số vào toán có tham số + Loại 1: Khảo sát trực tiếp + Loại 2: Khảo sát hàm số, sau đặt ẩn phụ 2.3.3 Vận dụng kiến thức học, tư định hướng lời giải toán 2.3.4 Vận dụng hàm đặc trưng, giải hệ phương trình phương pháp KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận 18 Đề xuất, kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] [ 2] -Phương trình-Bất phương trình-Hệ hương trình đại số vơ tỷ- Lê Văn Đồn -Đề thi thử ĐH khối A- THPT Tuy Phước – Bình Định – Năm 2014 skkn [ 3] [4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ 10 ] [ 11] -Đề thi Olympic 30/04 năm 200 -Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình 2009-2010 - Đề thi học sinh giỏi trường chuyên Đồng Bằng Bắc Bộ 2010 - Đề thi thử ĐH năm 2014- Chuyên Quốc Học Huế -Tuyển tập đề ôn thi tốt nghiệp THPT- Quốc Gia 2021 - Đề thi Đại Học-Cao Đẳng khối B-2014 - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Bình Phước - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Thanh Hóa - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Hải Dương skkn skkn MỞ ĐẦU Đất nước thời kỳ đổi hội nhập quốc tế, nhân tố định công đổi người, nguồn lực chất lượng cao Việc bắt nguồn từ giáo dục, cụ thể giáo dục THPT Mục tiêu đào tạo người động, sáng tạo biết cách giải vấn đề sống công việc Từ góp phần vào phát triển chung đất nước Thực nghị số 29-NQ/TW năm 2013 đổi toàn diện giáo dục, hướng trọng tâm đến hình thành lực, phẩm chất người học Với mong muốn không truyền tải kiến thức đến học sinh mà sau học em ngồi việc nắm vững kiến thức đó, cịn biết vận dụng để giải tốn khác, qua dẫn đến hình thành lực giải vấn đề thực tiễn sống 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng chương trình tốn học THPT, chủ đề xuất đề thi cao đẳng, đại học, THPT quốc gia đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bên cạnh phương pháp giải đại số, để giải số phương trình vơ tỷ cơng cụ đại số không hiệu lời giải dài, phương trình phương pháp giải tích mà cụ thể sử dụng tính đơn điệu hàm số tỏ thực hiệu quả, cách giải khoa học Để vận dung phương pháp giải tích phương trình vơ tỷ học sinh phải nắm cơng thức tính đạo hàm, tính đơn điệu hàm số tốn tìm GTLN,GTNN hàm số đơn vị kiến thức tập trung cuối lớp 11 đầu lớp 12, phương trình vơ tỷ lại tốn lớp 10, cách giải gặp bất cập chưa nhiều giáo viên, học sinh quan tâm mức, phương trình vơ tỷ lại tốn khó xuất nhiều kỳ thi Vậy nhiệm vụ giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh nắm, hiểu rõ chất phương pháp, biết cách nhận dạng, vận dụng linh hoạt vào toán cụ thể, biết cách khai thác kiến thức để giải tốn, từ thấy hiêu phương pháp Vì tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ" 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Rèn luyện kỹ vận dụng số tính chất hàm số vào tốn giải phương trình vơ tỷ + Rèn luyện tư logic + Rèn luyện tính sáng tạo + Rèn luyện kỹ phân tích, phát vấn đề 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Một số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số skkn + Một số dạng phương trình vơ tỷ giải cách sử dụng số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp + Nghiên cứu lý luận chung: + Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học + Áp dụng thực nghiệm đối chiếu + Tổng hợp so sánh đúc rút kinh nghiệm Cách thực Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến Tham khảo số đầu sách đề thi đại học qua năm Liên hệ với thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Vận dụng kiến thức học sau để giải vấn đề khó trước + SKKN hệ thống tóm tắt nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh nắm phương pháp mới, cách giải gặp phương trình vơ tỷ + SKKN cịn đưa nhiều tập mẫu, tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ phát triển tư trước phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh tích lũy thành kinh nghiệm cho thân để sáng tạo giải tốn phương trình vơ tỷ đa dạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1 Các định nghĩa tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số *Định nghĩa 1: + Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔∀ x , x ∈(a ; b ), x 0 ∀ x≥ ⇒ √ x−1−3>0⇔ x >5 skkn +Xét g( x)= √ x+2+ √ x+6 >0 Trên(5 ;+∞ ) có g, ( x )= 1 + >0 ∀ x>5 √ x +2 √ x +6 Vậy g(x) đồng biến (5;+∞) (1) +Xét h( x)=√2 x−1−3 (5;+∞) , có h, ( x )= >0 ∀ x >5 √ x−1 Vậy h(x) đồng biến (5;+∞) (2) Từ (1),(2) ⇒ f ( x )=g (x ) h( x ) đồng biến (5;+∞) Mặt khác: f(7)=4 nên x =7 nghiệm *Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng kiến thức " Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm đồng biến (nghịch biến) D" (2 x +1)(2+ √ x +4 x +4 )+3 x (2+ √ x +3 )=0 c Phân tích tìm lời giải +ĐKXĐ: D = R +Đối với phương trình hầu hết cách giải khơng cho kết Vì biến đổi để sử dụng kết sau: "Nếu hàm số y= f(x) đơn điệu D tồn U(x) V(x) hàm số nhận giá trị thuộc D, ta ln có f(U(x))=f(V(x)) U(x)=V(x)" từ đưa khái niệm:" Hàm đặc trưng" Quan trọng cách giải toán xây dựng hàm đặc trưng hàm đặc trưng phải đơn điệu chiều D.Biến đổi đưa (2x+1)(2+ √(2 x+1)2 +3)=−3x(2+ √ (−3 x)2 +3) phương trình dạng: f (2 x +1)=f (−3 x ) Lời giải: Pt f (t )=t (2+ √t +3 ) Hàm đặc trưng là: ĐKXĐ: D = R ⇔(2 x+1)(2+ √ (2 x+1 )2 +3)=−3 x(2+ √(−3 x)2 +3 ) ⇔ f (2 x +1)=f (−3 x ) Xét hàm: f (t )=t (2+ √t +3 ) , xác định liên tục R , f (t )=(2+ √ t +3)+ t2 √ t2 +3 >0 ∀ t ∈ R skkn −1−√ 21 Pt⇔ f (2 x )=f ( √ 5−2 x )⇔ √ 5−2 x=2 x ⇔¿ [¿ −1+ √ 21 [ x= [ x= Kết hợp với đk ⇒ x= −1+ √ 21 nghiệm b x −6 x +12 x−7=√−x +9 x −19 x +11 Phân tích tìm lời giải +Sử dụng đồng thức ta chuyển phương trình dạng 3 3 Ta có: m( px +u ) +( px +u )=m(−x +9 x −19 x +11)+ √−x + x −19 x+11 Ta thu hệ phương trình: 2 {mp +m=1¿{3mup −9m=−6¿{3u mp+p+19m=12¿ ¿ +Thế vào ta phương trình: 1 ( x−1 )3 +( x−1 )= ( √−x +9 x −19 x+11 )3 + √−x +9 x 2−19 x +11 2 ⇔ f ( x−1)=f ( √ −x +9 x −19 x+11 ) + Hàm đặc trưng: f (t )= t +t Lời giải: 1 Pt ⇔ ( x−1)3 +( x−1 )= ( √−x + x −19 x+11 )3 + √−x + x2 −19 x+ 11 2 3 ⇔ f ( x−1)=f ( √−x +9 x −19 x+11) skkn f (t )= t +t Xét trên R f ,(t )= t +1>0 ∀ t ∈ R⇒ ⇒ 3 Hàm số đồng biến 3 ⇒ f ( x−1)=f ( √−x +9 x −19 x+11).⇔ x −1=√−x +9 x −19 x +11 R [ x=1 ⇔x −6 x +11 x−6=0⇔¿ [ x=2 [¿ [ x=3 Bài Tập Rèn Luyện: Giải phương trình sau: a ( x−1)(2 √ x −1+ √ x +6 )=x +6 [ ] 3 3 b x −x + √ x −3 x +1=3 x +1+ √ x + 3 c x −15 x +78 x−141=5 √ x−9 [ 5] [ 3] 2.3.2 Sử dụng GTLN, GTNN hàm số vào tốn có chứa tham số Bài tốn: Tìm m để phương trình f(x;m) =0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) Trên tập D Phương pháp: + Tách m khỏi biến x đưa phương trình dạng f(x) = A(m) + Khảo sát biến thiên hàm số y= f(x) D + Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị m, để đường thẳng y=A(m) cắt đồ thị hàm số y=f(x) + suy giá trị m để phương trình f(x)=A(m) vơ nghiệm, có nghiệm có k nghiệm D *Chú ý:+ Nếu hàm số y=f(x) đạt GTLN, GTNN Trên D, phương trình có nghiệm f ( x )≤ A(m)≤max f (x ) x ∈D x∈ D + Nếu toán yêu cầu: Tìm m để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt đồ thị k điểm phân biệt Loại 1: Khảo sát trực tiếp Bài Tập 3: a Tìm m để phương trình: b Tìm m để phương trình: phân biệt? [ ] m √2 x +9=x+m Có nghiệm √ 3x+1− √2−x=m(4 x−1) [ 6] có nghiệm thực skkn Hướng dẫn giải: Câu a, b,c Phân tích tìm lời giải - Cô lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm Lời giải: a TXĐ: D=R ⇔m( √ x + 9−1 )=x ⇔ m= Pt f (x )= Xét hàm: x =f ( x ),(do : √2 x2 +9−1>0 ∀ x ∈ R) √ x +9−1 x √2 x 2+9−1 , xác định liên tục R , f ( x )= 2(36−x ) f ,( x)=0⇔¿ [ x=−6 [ ¿ [ x=6 √2 x +9(9+ √2 x +9 )( √ x +9−1 ) , cho 2 2 3 1 f (−6 )=− ; f (6 )= ; lim f ( x )=− ; lim f (x )= 4 x →−∞ √ x →+∞ √2 Ta có: Bảng biến thiên x - -6 ∞ ∞ f’(x) - + + - √2 f(x) − √2 − 10 skkn 3 − ≤m≤ 4 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: * Nhận xét: + Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu diển bảng biến thiên, phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt hai đồ thị y=f(x) đường thẳng y=A(m) cắt k điểm phân biệt Từ đó, ta tìm giới hạn A(m) thích hợp suy m + Ngồi ta cịn trả lời câu hỏi sau: - Tìm m để phương trình vơ nghiệm - Tìm m để phương trình có hai nghiệm b √ 3x+1− √2−x=m(4 x−1) Phân tích tìm lời giải - Cô lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm - Nhận thấy (3x+1)-(2-x)=4x-1, có chung hạng tử với vế phải Vì ta sử dụng phép nhân liên hợp để lập m, đưa phương trình dạng tích lúc phương trình ln có nghiệm x= Lời giải: − ≤x≤2 ĐK: Pt x−1 =m( x−1 ) √3 x +1+ √2−x ⇔(4 x−1 )( √3 x +1+ √ 2−x −m )=0 [ x= ⇔¿ [⇔ [ =m √ x+1+√ 2−x ¿ [ x= [( √ x+1+ √ 2−x)= (∗) m [ ¿¿ 11 skkn Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (*) có nghiệm ¿ Xét hàm: f (x )=√ x +1+ √ 2−x f ,( x )= 1 D=[− ;2 ]¿{ ¿ }ư Trên 3 2−x−√ x+1 − = √ √ x+1 √2−x √(3 x+1 )(2−x ) f ,( x )=0 ⇔3 √ 2−x−√ x+1=0⇔ x= Cho 17 12 Bảng biến thiên − x 17 12 f’(x) + + - √ 21 f(x) √7 √7 √21 Dựa vào bảng biến thiên suy √ 21 √ 21 √7 √21 ]∪ √ 21 = ∪ ≤m< √ ⇒ m∈( ; m 3 7 14 { } Nhận xét: Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu thị f(x) bảng biến thiên, để phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt k điểm phân biệt Loại 2: Khảo sát hàm số, sau đặt ẩn phụ Bài Tập 4: Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình : m( √1+sin x + √ 1−sin x +3)+2 cos x−5=0 , π π ∈− ; 2 [ ] có nghiệm thực phân biệt khỗng (a;b] Tính p=5 a+7 b 12 skkn A 18+5 √ B 18−5 √ C 6−5 √2 D 12+5 √2 [ 7] Phân tích tìm lời giải Bài tốn thực tốn tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt đoạn, phát biểu dạng tốn trắc nghiệm Vì giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ, cô lập m sử dụng đạo hàm để biện luận Lời giải: Đặt: t=√ 1+sin x + √ 1−sin x ,(t>0)⇒t ' = √ 1−sin x −√1+sin x ' ⇒ t =0 ⇔sin x=0 ⇔ x=0 Bảng biến thiên − x π f’(t) π + - f(t) √2 √2 ⇒t =2+2 cos x , t ∈ [ √2 ;2 ] −t +7 m= t+3 Phương trình cho trở thành: Xét g(t )= −t +7 −t −6 t−7 ' ⇒ g ( t )= , ∀ t ∈ R ⇒ y=g (t ) đồng biến R g( x)=g (1+ √ x+m−1)⇔ x=1+ √ x+m−1 ⇔ √ x+m−1=x−1 ⇔¿ { x≥1¿¿¿ ' p( x )=x −6 x+2' ∀ x≥1⇒ p ( x )=2 x +6=0 ⇔ x=3 Xét hàm: x +∞ ' p (x ) p( x) - + -3 +∞ Dựa vào bảng biến thiên trên, để phương trình có nghiệm m∈(−7;−3] Vậy có giá trị ngun m= {−6;−5;−4;−3 } *CHú ý: Khi giải tập trên, giáo viện cần có hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh phát giải bước toán Từ tạo ch học sinh phải tư duy, tìm tịi dẫn đến tạo nhu cầu học tập tích cực học sinh Bài tập 6: Tìm m để phương trình : m( x x 2) x x x (1) có nghiệm [ ] Phân tích tìm lời giải Khi nhìn vào tốn học sinh hoang mang tốn chứa cịn có chứa tham số nên việc giải khó khăn, song giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t= x x biết quy tốn tương đương toán lại trở nên quen thuộc Lời Giải : 2 Điều kiện : -1 x Đặt t= x x Khi t Ta có: t =2-2 x Vậy t t x4 t 2 Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t +t (2) 15 skkn t t m t t Vì Nên ta có t+2 >0 PTTT: Bài tốn quy tìm điều kiện tham số m để phương trình : t t m t2 có nghiệm t Xét hàm số y f (t ) t t t2 t t 4t f (t ) (t 2)2