Skkn sử dụng khai triển nhị thức niu tơn và tính chất tổ hợp vào bài toán tính tổng có chứa tổ hợp

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 3 13 14 14 14 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong q trình giảng dạy mơn tốn phổ thông phần “ Nhị thức NiuTơn”, ta bắt gặp tốn: Tính tổng nhờ khai triển nhị thức Niu-Tơn, kết hợp với việc lựa chọn giá trị phù hợp, lấy đạo hàm, lấy tích phân.Ý tưởng thể rõ nhiều sách tham khảo, đặc biệt in lên trang bìa hình ảnh sau: Đạo hàm x=1 “Phương pháp giải tích tổ hợp” Lê Hồng Đức NXB Hà Nội, 2005 Khi xem nội dung sách thấy rõ kết hợp khai triển nhị thức Niu-Tơn phép toán đạo hàm, tích phân để tạo nên tổng mới, ý tưởng xuất nhiều sách tham khảo khác Cịn sách giáo khoa chương “Tổ hợp - Xác xuất” lại xếp kỳ lớp 11 Khi em chưa học đạo hàm, tích phân Nhiều năm liền tơi nhiều giáo viên tạm gác lại nội dung này, chờ đến em học đạo hàm, tích phân bổ sung lại nên kiến thức bị gián đoạn Khi bổ sung lại em quên kiến thức cũ nhiều Vì với mong muốn, làm để học sinh lớp 11 với kiến thức sẵn có làm tốn tính tổng mà khơng cần kết hợp với đạo hàm, tích phân, tơi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng khai triển nhị thức NiuTơn tính chất tổ hợp vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp” 1.2 Mục đích nghiên cứu skkn - Góp phần giải lớp tốn tính tổng có sử dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn tính chất tổ hợp: vào tốn tính tổng - Bồi dưỡng cho học sinh lớp 11 nâng cao phương pháp, kĩ giải toán nhị thức Niu-Tơn Qua đó, học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ thân để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp đóng góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu -Đối tượng nghiên cứu tơi dạng tốn tính tổng có áp dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn tính chất tổ hợp -Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan, SGK, SGV, SBT, tài liệu Nhị thức Niu-Tơn - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm, đối chiếu, so sánh skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Để thực đề tài dưạ vào công thức, hệ quả, ý, nhận xét “ Nhị thức Niu-Tơn” cơng thức tính chất tổ hợp “Hoán vịChỉnh hợp-Tổ hợp” thuộc chương II- Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11,NXB giáo dục,2007 * Khai triển nhị thức Niu-Tơn: với cặp số thực a,b số n nguyên dương ta có: * Cơng thức tính chất tổ hợp dùng sáng kiến này: 2.2 Thực trạng đề tài * Trước đây, chưa đổi sách giáo khoa (trước năm 2006) gặp toán: Tính tổng: Chúng ta thường sử dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp đạo hàm để giải (trong tổng ); khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp tích phân để giải ( tổng ) * Cụ thể hơn, ta phân tích tổng : Ta thấy hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần ta nghĩ đến đạo hàm Xuất phát từ khai triển Lấy đạo hàm vế theo x: Thay vào vế, ta được: Vậy skkn * Tuy nhiên, cách giải không phù hợp với lớp 11 học.Tình cờ, tơi bắt gặp cách giải khác sau: Dễ dàng chứng minh được: Nên Vậy ra, có giải pháp thay cho cách truyền thống dùng đạo hàm, tích phân Để trả lời đầy đủ cho vấn đề này, bắt đầu suy nghĩ xem, tất ý tưởng dùng đạo hàm, tích phân để tính tổng liên quan đến khai triển nhị thức Niu-Tơn phải thay công thức tổ hợp Cuối cùng, tơi đưa dạng toán, phương pháp giải tốn tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-Tơn công thức tổ hợp chứng minh là: (1) (2) 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh phát cơng thức (1) liên hệ với tốn tử tổng cần tính a.Phát cơng thức: liên hệ Xét công thức: Suy ra, phát đề có tốn tử biến đổi thành: Chẳng hạn, tính tổng Trong tổng có nhiều tốn tử dạng: nên ta nghĩ đến công thức (1): áp dụng công thức cho toán tử ta được: skkn 2.3.2 Hướng dẫn học sinh phát công thức (2) liên hệ với tốn tử tổng cần tính Từ công thức (1) : Hay thấy: Suy ra: biến đổi hết thành Chẳng hạn, tính tổng: Trong tổng có nhiều tốn tử dạng: nên ta nghĩ đến cơng thức (2) Áp dụng cơng thức cho tốn tử ta được: Trên đây, bước đầu hướng dẫn học sinh chứng minh công thức(1),(2) áp dụng mức độ đơn giản hai cơng thức vào tốn tính tổng Tuy nhiên, với mong muốn thay toàn ý tưởng dùng đạo hàm, tích phân lần nhiều lần vào tốn tính tổng Tơi cố gắng chia dạng tốn thành nhiều loại có ví dụ phân tích để làm, có nhận xét tập tương tự để học sinh tự rèn luyện phương pháp 2.3.3 Phân loại dạng toán LOẠI 1: Trong tốn tính tổng chứa tổ hợp tốn tử có dạng skkn Phương pháp: sử dụng cơng thức: VD 1.1: Tính tổng sau: * Phân tích: Tổng hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần từ 1,2,3,4, ,n Tức là, toán tử tổng có dạng Vì vậy, áp dụng cơng thức: vớ với k=1,2, ,n * Bài giải: + Áp dụng công thức với k=1,2, n Ta có: + Cộng vế với vế tất đẳng thức ta được: * Cách giải áp dụng khai triển Niu-Tơn kết hợp đạo hàm: Ta có: Lấy đạo hàm theo hai vế đẳng thức ta được: Thay vào (*), ta được: Vậy * Nhận xét: Rõ ràng, với việc sử dụng công thức ta làm toán mà phải đợi học phép toán đạo hàm giải VD 1.2: Tìm số nguyên dương n cho: * Phân tích hướng giải: Xét tổng vế trái hệ thức (*), ta thấy toán tử có xuất hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần có dạng: nên áp dụng cơng thức: với k=1,2, ,2n+1 công thức: thay n Vế trái hệ thức (*) biến đổi thành: skkn Từ đó, ta tìm n=1009 * Nhận xét: Có thể tổng qt hóa cho học sinh tốn tính tổng dạng: Cho a>0, n số nguyên dương, tính tổng: LOẠI 2: Trong tốn tính tổng chứa tổ hợp tốn tử có dạng Phương pháp: sử dụng công thức: hai lần VD 2.1: Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: 2.1 *Phân tích: Tốn tử tổng qt có dạng áp dụng cơng thức hai lần ta được: * Bài giải: + Áp dụng : cho ta được : + Cộng vế với vế tất đẳng thức ta được: ( Bài toán chứng minh) * Cách giải kết hợp kiến thức Niu-Tơn đạo hàm hai lần : Xét khai triển : Lấy đạo hàm theo hai lần hai vế khai triển ta được: Thay vào hai vế ta điều phải chứng minh * Nhận xét 1: Một lần khẳng định lại rằng, toán mà ý tưởng phải kết hợp khai triển Niu-Tơn đạo hàm lần nhiều lần giải cách sử dụng công thức: nhiều lần * Nhận xét 2: Có thể tổng qt hóa dạng tốn mà tất tốn tử có dạng : cách sử dụng cơng thức m lần VD 2.2 : Tính tổng skkn LOẠI 3 : Trong tốn tính tổng có chứa tổ hợp, tốn tử có dạng : Phương pháp : Sử dụng công thức VD 3.1 : Rút gọn biểu thức : (Giải tích tổ hợp LÊ HỒNG ĐỨC) * Phân tích : Tổng hệ số đứng trước tổ hợp có dạng phân số mà mẫu số tăng dần Tức tốn tử tổng có dạng : Vì áp dụng cơng thức , thay ta được : áp dụng cho *Bài giải : + Áp dụng công thức : với ta được : Cộng vế với vế tất đẳng thức ta được : * Cách giải áp dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn kết hợp tích phân : Ta có : (*) Lấy tích phân theo cận từ đến (*), ta được : skkn * Nhận xét : Với việc sử dụng công thức : giải tốn tính tổng mà sử dụng tích phân phải chờ tới cuối năm lớp 12 giải VD 3.2 : (Đề thi ĐH khối B năm 2003) Cho số nguyên dương tính tổng : * Bài giải : Tách áp dụng cơng thức : Ta có : = LOẠI 4 : Trong tốn tính tổng có chứa tổ hợp, tốn tử có dạng : Phương pháp: sử dụng cơng thức : cơng thức : hai lần VD 4.1 : Chứng minh tổng: (với 10 skkn * Phân tích hướng giải: Mỗi tốn tử vế trái có dạng thức ta biến đổi để áp dụng hai lần công sau: Vậy: Áp dụng công thức (*) với ta tổng (Điều phải chứng minh) * Nhận xét: Qua VD4.1 tổng quát hóa dạng tốn tính tổng mà tất tốn tử có dạng: sử dụng cơng thức m lần VD4.2: Tính tổng: * Hướng dẫn giải: Áp dụng cơng thức: (3 lần) LOẠI 5: Các ví dụ tổng hợp có biến đổi đưa loại VD 5.1: Tính tổng: * Bài giải: Xét số hạng tổng quát: (ở Vậy: ) Áp dụng cho Ta được: 11 skkn VD5.2: Tính tổng: Bài giải: + Xét số hạng tổng quát tổng có dạng: = + Với n = 2020; VD 5.3: (Đại học mở 98) Chứng minh rằng: * Bài giải: số hạng tổng quát vế trái là: Áp dụng cơng thức: Cũng công thức: ta được: Vậy VT VP(điều phải chứng minh) VD 5.4 : Tính tổng : * Bài giải : + Số hạng tổng quát có dạng : ( ) + Biến đổi : 12 skkn + = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Bài 1 : Chứng minh rằng : Bài 2 : Với n số nguyên dương, chứng minh rằng : Bài 3 : Với n số nguyên dương, chứng minh rằng : Bài 4 : Với n Chứng minh rằng : Bài 5 : Tìm n biết : Bài 6 : Tính tổng : Bài 7 : Tìm số ngun dương n thỏa mãn : Bài 8 : Tính tổng : Bài 9 : Chứng minh rằng : Bài 10 : Rút gọn : Bài 11 : Với CMR : Bài 12 : Rút gọn : Bài 13 : Tính tổng : 13 skkn Bài 14 : Tính tổng : 2.4 Hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm Sau phân tích dạng tốn, cung cấp kỹ thuật rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết em học sinh khá, giỏi lớp 11 dạy tỏ mạnh dạn, tự tin linh hoạt gặp toán dạng xét Đa số em hiểu vận dụng phương pháp, hiểu xuất phát từ công thức quen thuộc, biến đổi thành công thức tổ hợp, biết nhận ra, áp dụng vào dạng tốn tính tổng có chứa tổ hợp mà trước chưa nghiên cứu đề tài em chưa làm thời điểm lớp 11 Đặc biệt, giúp em đỡ e ngại gặp tốn tính tổng hình thành thói quen tốt phân tích đề trước làm để định hướng cách giải, rèn luyện tính chủ động học tập Các em học sinh khá, giỏi biết tìm chọn, sáng tạo tập tương tự làm nhiều tập tương tự tài liệu tham khảo Trước đây, chưa nghiên cứu đề tài tới học đạo hàm tích phân ơn tập lại nhị thức Niu-Tơn giao cho học sinh làm loại toán kết hợp khai triển nhị thức Niu Tơn với đạo hàm tích phân.Tuy nhiên, phần đạo hàm chương sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11, cịn phần tích phân gần cuối sách giải tích lớp 12 nên dạy bổ sung lại, thân em học sinh bị nhiều thời gian ôn tập, nhắc lại phần khai triển nhị thức Niu -Tơn đại đa số em học sinh bị quên.Giờ đây, áp dụng đề tài cho học sinh lớp 11 dạy năm học 2018-2019 2019-2020 thấy đa số em học sinh hứng thú tiếp thu tốt phần tiết tự chọn buổi bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh giỏi.Đánh giá khả tiếp thu vận dụng kiến thức đề tài nhờ vào việc kiểm tra tiết hai lớp 11 dạy vào hai năm học 2018-2019 2019-2020 thấy kết sau : Lớp Năm học Điểm số từ trở Tính % lên 11A3 2018-2019 30/45 66,6% 11A5 2019-2020 35/45 77,7% 14 skkn Kết trên, theo đáng khích lệ trân trọng KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Khai triển nhị thức Niu-Tơn mảng tốn khơng thể thiếu chương trình tốn phổ thơng Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi người giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo, thường xun bổ sung kiến thức tích lũy kinh nghiệm vấn đề Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Đề tài “Sử dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn tính chất tổ hợp vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp” thực phần ứng dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn tính chất tổ hợp vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp, chưa thể đầy đủ tính đa dạng việc vận dụng khai triển nhị thức Niu-Tơn Nhưng tơi hy vọng đóng góp nhỏ đề tài thầy cô em học sinh tham khảo, phần giúp ích việc nghiên cứu, giảng dạy học tập chuyên đề khai triển nhị thức Niu-Tơn Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế, mong giúp đỡ, đóng góp ý kiến đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Qua đây, xin đề đạt nguyện vọng với cấp lãnh đạo việc triển khai áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hay, hội đồng cấp đánh giá, công nhận Các sáng kiến nên đóng tập gửi trường Trung học phổ thông tài liệu tham khảo bổ ích năm mà thầy cô giáo tỉnh ta tâm huyết với nghề, theo thời gian vừa dạy học vừa tự học đúc rút kinh nghiệm thân Nhân đó, thầy cô giao lưu 15 skkn thêm kinh nghiệm đồng nghiệp để phục vụ tốt cho nghiệp giáo dục Trân trọng cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 Sách tập Đại số Giải tích lớp 11 Mội số câu đề thi tuyển sinh Đại học trước năm 2016 Phương pháp giải tốn Giải tích tổ hợp (Lê Hồng Đức - chủ biên) Các tài liệu mạng internet XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 29 tháng 06 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Phương 16 skkn CÁC SÁNG KIẾN ĐÃ ĐẠT GIẢI Phân tích số nguyên nhân sai lầm học sinh học hai chương : Hàm số mũ, Hàm số logarit toán lớp 11 biện pháp khắc phục (Đạt giải C cấp tỉnh năm 2005-2006) Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến (Đạt giải C cấp tỉnh năm 2015-2016) 17 skkn 18 skkn ... NiuTơn tính chất tổ hợp vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu skkn - Góp phần giải lớp tốn tính tổng có sử dụng khai triển nhị thức Niu- Tơn tính chất tổ hợp: vào tốn tính tổng. .. vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp? ?? thực phần ứng dụng khai triển nhị thức Niu- Tơn tính chất tổ hợp vào tốn tính tổng có chứa tổ hợp, chưa thể đầy đủ tính đa dạng việc vận dụng khai triển nhị thức. .. quan đến khai triển nhị thức Niu- Tơn phải thay công thức tổ hợp Cuối cùng, tơi đưa dạng tốn, phương pháp giải tốn tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu- Tơn công thức tổ hợp chứng minh là: