Skkn rèn luyện cho học sinh thpt kỹ năng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp 4.2 Cách thực PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận 2.Thực trạng vấn đề Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Trường hợp 1: Hai đường thẳng chéo vng góc với Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo không vng góc với 1 2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm `15 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 Kết luận Kiến nghị 16 17 skkn PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong chương trình mơn Hình học lớp 11 – Ban bản, hệ thống kiến thức ôn thi THPT quốc gia, mảng kiến thức khoảng cách, đặc biệt tính khoảng cách hai đường thẳng chéo chiếm vị trí quan trọng, ln xuất đề thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT để xác định khoảng cách địi hỏi học sinh cần có kỹ phương pháp giải toán định Tuy nhiên, qua nhiều năm thực tế giảng dạy, đứng trước tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, học sinh lớp 11, chí học sinh lớp 12 thường hay lúng túng không giải toán Do vậy, để nâng cao kỹ giải toán dạng toán cho học sinh lớp 11 lớp 12 ôn thi, để em tiếp cận tốt với đề thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT mạnh dạn xây dựng cho học sinh phương pháp giải, hình thành cho em kỹ phương pháp Tất nội dung thể đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ” Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài rèn luyện cho học sinh kỹ giải dạng tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu, tổng kết phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp nghiên cứu: 4.1 Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy skkn 4.2 Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng dạy - Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 11, ôn thi lớp khối 12 năm học PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận: Theo hình học khơng gian lớp 11 – Ban bản, khoảng cách hai đường thẳng chéo đoạn thẳng MN với , , Khi đó, đường thẳng MN cịn gọi đường vng chung hai đường thẳng chéo Ta lại có tính chất: “Với hai đường thẳng chéo ln có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia” Với khái niệm tính chất để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thường: Xác định đường vng góc chung xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Và đề tài sáng kiến kinh nghiệm bàn kỹ để giải vấn đề Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm thực tế giảng dạy lớp 11 (Cơ bản) nhận thấy giáo viên dừng lại mức độ nêu định nghĩa khoảng cách hai đường thẳng chéo nêu cách xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo sách giáo khoa Hình học 11 – Ban bản, học sinh đơn nắm khái niệm mà chưa có kỹ việc xác định, bước để giải vấn đề Điều thể rõ em giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo sách giáo khoa, kiểm tra định kỳ mơn Hình học 11, hay tiếp cận với toán đề thi THPT quốc gia Ngoài ra, học sinh khối 12 ôn thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT, gặp đến dạng tốn tính khoảng skkn cách hai đường thẳng chéo em khơng có phương hướng giải Nguyên nhân việc ngại va chạm với dạng toán này, mặt em không nắm khái niệm khoảng cách hai đường thẳng chéo tính chất liên quan Mặt khác, em thiếu kỹ giải toán, kỹ nhận dạng bước tiến hành trình trình bày lời giải Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: Với nguyên nhân mà tơi nêu việc u cầu học sinh nắm khái niệm khoảng cách hai đường thẳng chéo xây dựng cho em kỹ năng, phương pháp giải, bước tiến hành điều cần thiết Hai đường thẳng chéo khơng gian là: vng góc với khơng vng góc với Vì vậy, để tính khoảng cách chúng chia hai trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Hai đường thẳng chéo vng góc với Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo không vuông góc với Bây xét đến kỹ riêng ví dụ minh họa cụ thể TRƯỜNG HỢP 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU Trong trường hợp để xác định khoảng cách hai đường thẳng a, b chéo vng góc với ta xác định đường vng góc chung a b tiến hành theo bước: skkn Bước 1: Xác định mặt phẳng Bước 2: Xác định giao điểm , vẽ Khi đó, IH đoạn vng góc chung a b Bây ta phân tích số ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC * Phân tích tốn: Gọi H trung điểm BC Vì đều, nên: Mà: Vì vng cân A, nên: Như vậy, BC SA hai đường thẳng chéo vng góc với Hơn nữa, H, nên gọi K hình chiếu H lên SA thì: * Lời giải tốn: Theo kết phân tích ta có: Ta có: ; Trong tam giác vng SHA, ta có: skkn Vậy Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) , đáy ABC tam giác vuông B với Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SM BC S *Phân tích tốn: Ta có : Do đó, SM BC hai đường thẳng vừa chéo Nhau, vừa vng góc với Lại có: Mà nên từ A M kẻ H C B *Lời giải tốn: Theo phân tích ta có: Hai tam giác vng đồng dạng với (Hai góc đối đỉnh) Vậy : Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mp(ABCD) Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC * Phân tích tốn: skkn Vì Mặt khác: Như vậy, DM SC hai đường thẳng chéo vng góc với Hơn nữa: Ta có: Do đó, từ H kẻ thì: * Lời giải tốn: Theo kết phân tích ta có: Hơn nữa: Trong tam giác vng SHC, ta có: Vậy Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có cạnh vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo sau: a) SB CD b) SC BD skkn Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, Tam giác ABC cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng sau: a) SA BC b) SB CI với I trung điểm AB Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết Trên cạnh AB lấy điểm M cho , , cạnh AC cắt MD H Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách SD AC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, , Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC cho (SCD) (ABCD) Góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD * Nhận xét: Ở trường hợp việc xác định đường vuông góc chung tính tốn khoảng cách tương đối thuận lợi Tuy nhiên, toán thuộc dạng thường gặp, mà hay gặp dạng tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo mà chúng khơng vng góc Sau ta xét phương pháp giải dạng toán TRƯỜNG HỢP 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU NHƯNG KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU Để xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng vng góc với thông thường ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Để thực phương pháp tiến hành theo hai bước sau: Giả sử toán yêu cầu tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Bước 1: Xác định mặt phẳng xác định hay tạo mp (Thông thường ta phải cho thuận lợi để thực bước 2) Bước 2: Tìm điểm xác định hình chiếu H I lên Khi đó: skkn Như vậy, trường hợp toán xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo thực chất toán xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng “mẹo” thông thường hay sử dụng nên khéo léo biến toán “khoảng cách hai đường thẳng chéo toán khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng đó, điểm đặc biệt thường hình chiếu vng góc (của đỉnh hình chóp mặt đáy đỉnh lăng trụ mặt đáy cịn lại)” Cần nhắc lại phương pháp xác định khoảng cách từ điểm I đến mp sau: Bước 1: Tìm I chứa Bước 2: Xác định giao tuyến Kẻ Khi đó: Ngồi ra, để làm tốt toán trường hợp này, ta cần ý đến tính chất sau: Tính chất 1: Tính chất tứ diện vng: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức: Tính chất 2: Nếu đường thẳng D song song với mặt phẳng (a) M, N Ỵ D skkn Nếu đường thẳng D cắt mặt phẳng (a) điểm I M, N Ỵ D (M, N khơng trùng với I) M M N N N' M' I α N' M' α Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy điểm I thuộc cạnh AB cho Góc mặt bên (SCD) mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC theo a * Phân tích tốn: Ta nhận thấy: AD SC hai đường thẳng chéo khơng vng góc Thật vậy, vì: Mà: Do đó, nếu: skkn (Vơ lý) Bây ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia: Ta có: Mà: Do đó: (áp dụng tính chất 2), (cần lưu ý hình chiếu vng góc đỉnh S hình chóp đáy điểm I) Như vậy, tốn trở xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, để tìm ta cần tìm hình chiếu I Ta có: Mà: mà nên ta cần vẽ hình chiếu K I lên đường giao tuyến SB * Lời giải tốn: Theo phân tích ta có: Trong qua I vẽ đường thẳng skkn Suy ra: , nên tam giác vuông Trong , ta có: qua I vẽ đường thẳng Trong tam giác vng , ta có: Vậy Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a * Phân tích tốn: Rõ ràng SN AB hai đường thẳng chéo mà khơng vng góc Bởi vì, nếu: (Vơ lý, có hai góc vng) Bây ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia: Qua điểm N vẽ đường thẳng chứa SN Khi đó: cho Gọi mặt phẳng , nên: skkn Tiếp theo ta xác định hình chiếu điểm đường thẳng AB lên (thường nên chọn điểm A theo”mẹo”ta thấy A hình chiếu vng góc đỉnh S hình chóp mặt đáy (ABC)), ta thấy: Trong điểm từ A kẻ A nằm D Khi đó: Như vậy, vng góc với , nên theo cách xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng nêu ta cần vẽ hình chiếu H A lên đường giao tuyến SD khoảng cách hai đường thẳng chéo SN AB, đoạn AH * Lời giải tốn: Theo phân tích ta có: Hơn nữa: Theo giả thiết ta có: (Vì góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC)) Trong tam giác vng SAB, ta có: Trong tam giác vng SAD, ta có: Vậy Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, , cạnh bên Gọi M trung điểm BC Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C skkn A' B' C' E B A M C *Phân tích tốn: Ta thấy, hai đường thẳng chéo không vng góc với Thật vậy, giả sử Mà , mà Điều vô lý Bây ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia: Gọi E trung điểm BB’ Khi nên Tiếp theo ta xác định hình chiếu điểm đường thẳng đến (thường nên chọn điểm B’ C theo”mẹo”ta thấy B’ C hình chiếu vng góc đỉnh lăng trụ mặt đáy lại), ta nhận thấy: Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên áp dụng tính chất ta tính khoảng cách cần tìm *Lời giải tốn: Theo phân tích thì: skkn Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên: Do Vậy * Nhận xét: Như vậy, để xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo trường hợp, việc xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng cho thuận lợi phù hợp điều quan trọng, định thành công việc tìm lời giải tốn Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có cạnh Đường cao SO hình chóp vng góc với đáy (ABCD) có Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB Bài 2: Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có , AB’ tạo với (ABC) góc 600 Tính khoảng cách AA’ BC’ Bài 3: Cho hình lập phương điểm có cạnh a Gọi M trung Tính khoảng cách hai đường thẳng CM Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, , cạnh SA vuông góc với đáy , góc Gọi M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM Một số câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: (Đề minh họa Toán 2020 – lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, , , skkn SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB DM bằng: A B C D Câu 2: (Đề minh họa Toán 2020 – lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, vng góc với mặt phẳng đáy , , SA Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC bằng: A B C D Câu 3: (Đề Toán THPT quốc gia 2018 – Mã đề 101) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, góc với mặt phẳng đáy , , SA vng Khoảng cách hai đường thẳng AC SB bằng: A B C D Câu 4: (Đề thi thử THPT Cộng Hiền – Lần 1- 2018 - 2019) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’ bằng: A B C D Câu 5: (Chuyên đại học Vinh – lần – 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A Gọi E trung điểm AB Biết , , Khoảng cách hai đường thẳng A’B CE bằng: A B C D Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Đề tài triển khai lớp 11 mà trực tiếp giảng dạy lớp 11N năm học 2019 – 2020 trường THPT Ba Đình - Nga Sơn Để kiểm tra hiệu đề tài sáng kiến kinh nghiệm tiến hành tổng hợp, phân skkn tích số lượng học sinh làm câu tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đề kiểm tra định kỳ - Chương III –Hình học 11 qua năm học trước sau triển khai đề tài sáng kiến kinh nghiệm Kết thu sau: Số lượng học sinh làm Năm học Lớp Sĩ số câu tính khoảng cách hai đường thẳng Ghi chéo Chưa triển 2018-2019 11C 40 10 khai đề tài SKKN 2019-2020 11N 42 30 Đã triển khai đề tài SKKN Với kết nhận thấy đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang lại kết đáng khích lệ PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Mảng kiến thức hình học khơng gian nội dung quan trọng chương trình mơn Toán lớp 11 12 Nhưng học sinh lại mảng kiến thức tương đối khó, trừu tượng, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học mà giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết đáng khích lệ Với đề tài này, phát triển thành đề tài rộng là: “Rèn luyện kỹ cho học sinh tốn tính khoảng cách hai đối tượng khơng gian cho học sinh THPT”, như: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song,… skkn Mong đề tài sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh lớp 11, em học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT Kiến nghị Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến tất đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2020 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Phạm Thị Mai skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số đề thi thử THPT quốc gia năm 2019 2020 [2] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Phạm Thị Mai Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Ba Đình TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá Năm học (Ngành GD cấp xếp loại đánh giá huyện/tỉnh; (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ Sở GD&ĐT túi tốn chứng Thanh Hóa C 2016-2017 minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến skkn ... tài rèn luyện cho học sinh kỹ giải dạng tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu, tổng kết phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo. .. xây dựng cho học sinh phương pháp giải, hình thành cho em kỹ phương pháp Tất nội dung thể đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ”... đường thẳng chéo Ta lại có tính chất: “Với hai đường thẳng chéo ln có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia” Với khái niệm tính chất để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo