Skkn khai thác và sáng tạo bài toán mới từ khái niệm và bài tập cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KHAI THÁC VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI TỪ KHÁI NIỆM VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN Người thực hiện: Nguyễn Thị Yên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực(mơn): Tốn Hậu Lộc, năm 2021 Trang skkn MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề B Nội dung I Khai thác khái niệm Khái niệm số tính chất Khai thác sáng tạo toán 2.1 Khai thác từ kết 2.2 Khai thác từ kết II Khai thác toán Một số cách giải toán Khai thác toán sáng tạo tốn 13 2.1 Khái qt hóa tốn 15 2.2 Khai thác sáng tạo toán cực trị 17 2.3 Khai thác sáng tạo toán tỉ số 19 2.4 Khai thác sáng tạo toán chứng minh 19 C KẾT LUẬN 20 Trang skkn A Đặt vấn đề Trong trình dạy học, giáo viên thường xuyên quan tâm đến việc hướng dẫn học sinh cách học, cách khai thác sách giáo khoa khuyến khích em đề xuất toán mới, dạy học chắn góp phần bồi dưỡng lực tự học, hứng thú, khả tự tìm tịi kiến thức cho học sinh đặc biệt phát triển tư học sinh Vì thế, với đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ” Khai thác sáng tạo toán từ khái niệm tập bản”, tơi mong muốn góp phần nhỏ tài liệu nhằm phát triển tư học sinh Nội dung sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến việc khai thác sáng tạo toán từ khái niệm tập toán sách giáo khoa, sách tập thơng qua ví dụ cụ thể Tổng quan đề tài gồm : Thứ khai thác khái niệm tích vơ hướng Khái niệm tích vơ hướng có nhiều ứng dụng, có số viết liên quan báo toán học tuổi trẻ : “ Ứng dụng tích vơ hướng vào việc giải số toán đại số “ _ tác giả Phạm Bảo hay “ Ứng dụng tích vơ hướng để giải số dạng toán “ _ tác giả Trần Tuấn Điệp, Đỗ Mạnh Môn Về vấn đề khai thác sáng tạo toán bất đẳng thức, cực trị từ khái niệm tích vơ hướng chưa tác giả nghiên cứu Thứ hai, hướng khai thác 73 trang 64, SBT hình học 11 nâng cao B Nội dung I Khai thác khái niệm Ví dụ : Xét tình khái niệm tích vơ hướng (Sách giáo khoa hình học 10) Khái niệm số tính chất Trước tiên xin nhắc lại khái niệm tích vơ hướng hai vectơ “ Tích vơ hướng hai vectơ số, kí hiệu , xác định “ Từ ta rút kết sau : a) Kết : Cho n điểm , n số dương O điểm thỗ mãn với điểm M ta có bất đẳng thức Dấu xảy M trùng với O Trang skkn b) Kết : Cho n điểm n số dương O điểm thoã mãn với điểm M ta có bất đẳng thức (Trong hướng với , i=1,2,… ) Dấu xảy M trùng với O Chứng minh : a) Ta có : (1) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : (theo (1)) (2) Từ (1)(2) suy điều phải chứng minh b) Ta có : Khai thác sáng tạo toán 2.1 Khai thác từ kết : Trong hệ 1, xuất giả thiết để sáng tạo toán ta kết hợp với đẳng thức vectơ a Kết hợp với khái niệm trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC ta có nên ta có BĐT  Vì Suy với điểm M ta có : Trang skkn Đặc biệt  Với ta có Mặt khác ta có OA=OB=OC=R, ta có hay suy hay hay  Với , ta có Mặt khác ta có b Kết hợp với toán : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, gọi ứng hướng với véc tơ véc tơ đơn vị tương Chứng minh : A F Suy B I E Ta thu bất đẳng thức D C Mặt khác (Với D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA, AB) Do với điểm M Tổng quát Trang skkn Cho đa giác lồi ( ) ngoại tiếp đường tròn tâm J Chứng minh với điểm M ( Đề tác giả báo TH & TT, T8/389 tháng 11/2009) c Kết hợp với toán : Cho tam giác ABC vuông A I trung điểm đường cao AH Chứng minh : Ta thu bất đẳng thức Hay với điểm M Giả thiết thêm tam giác cân cạnh x Cho tam giác ta tốn ABC vng cân A Xác định điểm M cho đạt giá trị nhỏ d Kết hợp với toán : Cho tam giác ABC với cạnh AB=c,BC=a,CA=b.T điểm nằm tam giác,đặt Chứng minh : Khi T trùng với :  I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có nên ta có Mặt khác nên ta có Kết hợp với cơng thức + +  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có Với ABC tam giác nhọn sin2A>0, sin2B>0, sin2C>0 Ta có Trang skkn Áp dụng định lý hàm số sin, cosin đẳng thức ta toán Cho tam giác ABC nhọn , nội tiếp đường trịn bán kính BC=a,AC=b,AB=c, với M nằm mặt phẳng tam giác : (Bài 185, trang 49_Tuyển tập 200 thi vô địch toán)  H trực tâm tam giác ta có Mặt khác tam giác ABC nhọn, gọi A’, B’, C’ chân đườngA cao hạ từ B' A,B,C.Xét tam giác HA’C vng A’ ta có : C' H tương tự ta có Suy C B A' e Kết hợp với toán : Cho tam giác ABC với cạnh AB=c, BC=a, CA=b T điểm nằm tam giác , D, E, F hình chiếu T lên cạnh BC, CA, AB Đặt Chứng minh rằng: Gọi x,y,z khoảng cách từ T lên BC, CA, AB  Tam giác ABC ta Hay  T Trùng với trọng tâm G , ta kết quả: Mặt khác 3GD=ha, 3GE=hb, 3GF=hc Hay  T trùng với O tâm đường tròn ngoại tiếp : Trang skkn Suy Mặt khác tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC nên tam giác ABC nhọn với điểm M  T trùng với I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có Mặt khác ID=IE=IF=r nên Từ kết ta đề xuất toán cực trị sau :  Cho tam giác ABC với cạnh AB=c,BC=a,CA=b, M điểm tam giác Tìm giá trị nhỏ : Thêm giả thiết tam giác ABC nhọn  Với D, E, F hình chiếu M lên cạnh BC, CA, AB x, y, z khoảng cách từ T lên BC, CA, AB Trang skkn Thêm giả thiết tam giác ABC nhọn f Kết hợp với G trọng tâm tứ diện ABCD Với G trọng tâm tứ diện ABCD ta có Ta thu bất đẳng thức Với tứ diện ABCD gần với a, b, c độ dài cặp cạnh đối diện trọng tâm G trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Khi ta có Do Ta tốn Cho tứ diện gần ABCD có tổng bình phương cạnh 16 Chứng minh với điểm M ta có g Kết hợp với tốn: Cho tứ diện ABCD, O điểm tứ diện Đặt , Chứng minh : Ta thu bất đẳng thức h Kết hợp với toán: Cho tứ diện ABCD,O điểm tứ diện Gọi A1, B1, C1, D1 hình chiếu O lên mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC) Đặt Chứng minh : Ta thu bất đẳng thức Trang skkn 2.2 Khai thác từ kết : Trong hệ xuất giả thiết nên để sáng tạo toán ta xuất phát từ đẳng thức a Từ đẳng thức với vectơ đơn vị hướng với Khi ta đề xuất toán : Cho tam giác ABC, O điểm tam giác Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, BC, CA cắt BC, CA, AB A1, B1, C1 Chứng minh với điểm M ta có Tổng quát : Cho O điểm nằm đa giác lồi ( ) Qua O kẻ đường thẳng song song với (xem Ai+1=A1) tương ứng cắt cạnh Bi Chứng minh : b Từ khái niệm trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC Với vectơ đơn vị hướng với Ta toán Cho tam giác ABC với G trọng tâm Qua điểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC điểm A 1, B1, C1 Chứng minh : c Từ định lý “con nhím” : Cho đa giác lồi ( ), vectơ đơn vị hướng đa giác tương ứng vng góc với Ai+1=A1) Chứng minh : Ta toán Cho đa giác lồi ( ), giác.Gọi Bi hình chiếu điểm O lên AiAi+1 (xem , O điểm nằm đa Chứng minh với điểm M ta có d Kết hợp với toán : Cho tam giác ABC, điểm A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB thoả mãn A’B:A’C=B’C:B’A=C’A:C’B=k Ta thu toán Cho tam giác ABC, điểm A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB thoả mãn A’B:A’C=B’C:B’A=C’A:C’B=k(k số thực dương cho trước) Qua điểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với AA’, BB’, CC’ tương ứng cắt BC, CA, AB Chứng minh với điểm M ta có e Kết hợp với toán : Với D,E,F tiếp điểm cạnh BC,CA,AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Trang 10 skkn Ta tốn : Cho D, E, F tiếp điểm cạnh BC, CA, AB với đường tròn nội tam giác ABC, Qua điểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với AD, BE, CF tương ứng cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh với điểm M ta có f Kết hợp với toán Cho N điểm nằm tam giác ABC Đặt vectơ đơn vị hướng với , Chứng minh : Ta đề xuất toán Cho tam giác ABC; N điểm tam giác, đặt Chứng minh với điểm M ta có Đặc biệt :  Khi ta toán Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cho  Cho ta có đạt giá trị nhỏ Mặt khác Tương tự Và ; Ta toán Cho tam giác ABC Chứng minh :  Cho ta , kết hợp định lý sin ta có  Cho kết hợp với tam giác ABC nhọn Ta Hay g Xét tam giác ABC có góc nhỏ 1200, tồn điểm T cho Trang 11 skkn (T gọi điểm Toricelly) lúc vectơ đơn vị hướng với với Suy Ta toán : Cho tam giác ABC góc nhỏ 120 Tìm điểm M cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ Tổng quát : Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn : + Nếu A