Phiếu học tập tuần toán 7 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 Giải hệ phương trình 2 3 1 1 1 3 4 10 1 1 x y x y x y x y + = + − − = + − Lời giải Điều kiện xác định 1; 1x y≠ − ≠ Đặt 1 1 xu x yv[.]
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2x x +1 + Giải hệ phương trình 3x − x + Bài 3y = y −1 4y = 10 y −1 Lời giải Điều kiện xác định: x ≠ −1; y ≠ u = Đặt v = x x +1 hệ phương trình trở thành: y y −1 u = 2u + 3v = 8u + 12v = 17u = 34 u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 10 30 3v = − 2.2 3u − 4v = 9u − 12v = 3v = − 2u v = −1 x x = −2 ( thỏa mãn ) x + = x 2x + = ⇔ Khi ta có ⇔ y y =− y + y = ( thỏa mãn ) = −1 y − 1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = −2; 2 Bài x − + y −1 = Giải hệ phương trình: + = x − − y Lời giải x ≥ 0, x ≠ Điều kiện xác định: y ≠ Đặt 1 =≠ = a, ( a ) ; b, ( b > ) y −1 x −3 = 8a + b = 4a a = Ta có hệ phương trình: ⇔ ⇔ a + b 4= a+b 4= b =1 Nên ta có: x = 25 25 x = = x −3 x −3= y = x =5 ⇒ ⇔ ⇔ y = ⇔ y − =±1 y = =1 x = 25 y − = y − y = x = 25 x = 25 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: y =1 y=0 Bài Giải hệ phương trình: ( x − )( y + 1) = xy + − = x y xy ) )( ( Lời giải Giải hệ phương trình: Ta có: ( x − )( y + 1) = xy xy ( x + 8)( y − ) = ( x − )( y + 1) = xy xy ( x + 8)( y − ) = xy + x − y − =xy xy xy − x + y − 16 = x − y − = (1) ⇔ ( 2) −2 x + y − 16 = ⇔ Cách 1: Sử dụng phương pháp rút – thế: Xét phương trình (1) ta có: x − y − = ⇔ x = 2y + Thay = x y + vào phương trình ( ) ta được: ( ) −2 y + + y − 16 = ⇔ −4 y − + y − 16 =0 ⇔ y − 20 = ⇔ y= Với y = , ta có: = x 2y + ⇔ x = 2.5 + ⇔x= 12 ( ) ( Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: x ; y = 12; Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng ) ( thỏa mãn ) ( thỏa mãn ) ( thỏa mãn ) ( thỏa mãn ) Nhân hai vế phương trình (1) với ( ) ta được: x − y − = ( 3) Cộng vế với vế phương trình ( ) phương trình (3) ta được: x − y − − x + y − 16 = ⇔ y − 20 = ⇔ y= Thay y = vào phương trình (1) ta được: x − 2.5 − = 12 ⇔x= ( ) ( ) Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: x ; y = 12; Bài 2 5 ( x + y ) = xy + Giải hệ phương trình: 2 2 x + x= y + y + ( x, y ∈ ) Lời giải 2 2 2 (1) 5 ( x + y ) = xy + 5 x + y = xy + 5 x + y = xy + ⇔ ⇔ 2 2 − y) − y ) (2) 2 x − y + ( x= 4 x − y + ( x= 2 x + x= y + y + Lấy (1) + ( ) vế theo vế ta được: x + y − xy + ( x − y ) = ⇔ ( 3x − y ) + ( 3x − y ) + = ⇔ ( x − y ) + 1 = 3 x − y + = y = 3x − ⇔ ⇔ 3 x − y + =−3 y =3 x + + Với = y x − thay vào phương trình ( ) ta x − y + ( 3x − y ) = ⇔ x − y + ( 3x − y ) = ⇔ x − ( 3x − ) + ( 3x − 3x + ) = ( ) ⇔ x − x − 12 x + − =0 ⇔ x − 18 x + 24 x − = ⇔ 16 x − 24 x + = ⇔ ( x − 3) = 3 ⇒ y = − = 4 + Với = y x + thay vào phương trình ( ) ta ⇔x= x − y + ( 3x − y ) = ⇔ x − y + ( 3x − y ) = ⇔ x − ( 3x + ) + 3x − ( 3x + ) − = ⇔ x − 18 x − 48 x − 32 − = ⇔ 16 x + 48 x + 39 = ⇔ ( 4x + 6) + = Vơ lý ( x + ) + > ∀x 3 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y ) = ; 4 4 Bài 3 x − − y + =4 Giải hệ phương trình 2 x − + = y+2 Lời giải Điều kiện xác định: x ≥ 1; y ≠ −2 3 x − − y + =4 2 x − + = y+2 3 x − − y + =4 ⇔ 4 x − + = 10 y+2 7 x − = 14 ⇔ 3 x − − y + =4 x − = x = ⇔ ⇔ y = −1 y + = Hệ phương trình có nghiệm ( 5; − 1) Bài 2 x + y − − x − = Giải hệ phương trình 3 x + y − + = 2x −1 Lời giải x + y −1 = a x + y −1 ≥ Đặt Giải hệ phương trình: ĐK: , ( a ≥ 0, b ≠ ) ta = b 2 x − ≠ 2x −1 2a − 3b = hệ: 3a + b = Ta có: 2a − 3b + 3(3a + b) =1 + 3.7 ⇔ 11a =22 ⇔ a =2 Thế a = vào PT 3a + b = 7, ta được: b = 2 x − = = x 1= x Khi có: ⇔ ⇔ Vậy ( x; y ) = (1; ) y −1 = x + y − = x += y Bài x +1 − Giải hệ phương trình: + x + = −1 y −1 = y −1 Lời giải Điều kiện xác định: x ≠ −1 , y ≥ , y ≠ Đặt = a, x +1 = b ( a, b ≠ ) Khi hệ phương trình trở thành: y −1 1 b= b= a − b = − − 10 b = − a b − = − 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 2a + 4b = 2a + 4b = 2a + 4b = 2a + = a = 2 x + = x + =2 x = ⇒ ⇔ ⇔ ( thỏa mãn điều kiện) 1 y = y − = = y − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) = (1;9 ) Bài Giải hệ phương trình sau x + y − + − x = x + 2 2 y − y =x + xy − xy Lời giải Điều kiện xác định: x + y ≥ 1; x ≤ Phương trình y − y =x + xy − xy ⇔ y − y − xy = x + xy − xy ⇔ y ( y − y − x)= x ( x + y − y ) ⇔ ( y2 − y − x) ( x + y ) = ⇔ y2 − y − x = (vì x + y ≥ > ) Thay = x y − y vào phương trình x + y − + − x = x + ta y2 − y + = y2 + y −1 +1 − y2 + y +1 + = y +1 2 y2 + y −1 + 1− y2 + y ≤ ⇒ ( y − 1) ≤ ⇒ y =1 ⇒ x = Thay= x 0;= y vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 0;1) Bài x 11 y 7 Giải phương trình 10 x 11 y 31 Lời giải x 10 x 24 x2 12 x 24 x 11 y 7 x 10 x 11 y 31 2 x 11 y 7 2 x 11 y 7 2.2 11 y 7 y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1 Bài 10 xy ( x − )( y + 1) = xy ( x + )( y − ) = Giải hệ phương trình : Lời giải ( x − )( y + 1) = xy xy ( x + )( y − ) = y − xy = 4x − y = xy + x −= x − y = 2 x 24 = x 12 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 16 xy y 16 y 16 2y = xy − x + y −= −2 x + = −2 x + = x − = y Vậy hệ cho có nghiệm ( x ; y ) = (12;5 ) + x+ y Bài 11.Giải hệ phương trình: − x+ y = y−2 = y−2 Lời giải + x+ y − x+ y = y−2 ĐKXĐ: x ≠ − y ; y > Đặt = y−2 x+ y = a ( a ≠ 0, b > ) =b y − +b 2b 2a = − 3b = a= 2a += a ⇔ ⇔ ⇔ ta có − 3b 2a = − 3b = = 2a = 5b b Với b = ta : Với a = suy ra: y−2 =1 ⇔ y − =1 ⇔ y − =1 ⇔ y = (tm) 1 −5 (tm) = ⇔ x+3= ⇔ x = 2 x+3 −5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ;3 x −3 + y −2 = Bài 12 Giải hệ phương trình: 4 x − + = 15 y−2 Lời giải Điều kiện: x ≥ 3; y ≠ Đặt x= − a; = b ( a ≥ 0, b ≠ ) Hệ cho trở thành y−2 + 2b = a= a ⇔ + 3b 15 = 4a = b x −3 = x = 12 (TM ) x − = ⇔ Khi ⇔ y = (TM ) y − = y − =1 Hệ có nghiệm (x, y) = (12; 3) Bài 12 ( x − 3)( y + ) = xy − Giải hệ phương trình xy ( x + )( y − 3) = Lời giải ( x − 3)( y + ) = xy − xy ( x + )( y − 3) = 3 xy − y + x − = xy − 6x − y = 6x − y = 2x − 3y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 12 xy 12 xy + y − x − = −6 x + y = −6 x + y = −3 x + y = 2 x + = x =−4 2 x − y = ⇔ ⇔ ⇔ 15 −3 −3 −5 y = y= y = Vậy ( x; y ) =( −4; −3) nghiệm hệ phương trình Bài 13 xy ( x + )( y − 3) = Giải hệ phương trình: xy ( x + )( y − ) = Lời giải xy ( x + )( y − 3) = xy 6 xy − x + y − = −9 x + y = ⇔ ⇔ xy 25 xy 4 xy − 20 x + y − 25 = −20 x + y = ( x + )( y − ) = 30 −45 x + 30 y = x = −2 x = −2 35 x = −70 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 100 25 25 −80 x + 20 y = 40 + y = y = −3 −20 x + y = Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) =( −2; −3) Bài 14 3 x − + y = 13 Giải hệ phương trình x − − y =4 Lời giải ĐKXĐ: x ≥ 1; y ≥ x − = a Đặt (ĐK: a, b ≥ ) y = b 13 3a + 2b = Hệ phương trình trở thành 2a − b = + 2b 13 = 3a= a 21 = a ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện) − 2b −b = 4a = 2a= b Trở ẩn cũ = x −1 = x 10 x − = (thỏa mãn điều kiện) ⇒ ⇔ y 4= y y = = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (10; ) Bài 15 4x 3 x y Giải hệ phương trình 15 y x 3y 14 Lời giải 4x 3 5 x y x x y 5 x y x 14 x 42 y 15 y 15 y 14 x y 15 y x 3y 14 x 3 y x 12 x 3 y 19 y 57 y 3 14 3 y 51 y 15 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 12; 3 Bài 16 x − + | y − |= Giải hệ phương trình: −3 | y − | + = −2 x −1 Lời giải Điều kiện xác định: x > Đặt = a; | y = − | b ; ( ÐK : a > 0; b ≥ ) x −1 2a + b 2a + b 2a + b a = 1(TM ) = = = Hệ trở thành: ⇔ ⇔ ⇔ −2 −4 a − 3b = 2a − 6b = 7b = b = 1(TM ) Với a = ⇒ = ⇔ x − = ⇔ x = 2(TM ) x −1 y = 1(TM ) 3 y − = Với b =1 ⇒ y − =1 ⇔ ⇔ y = (TM ) − = − y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ ( 2;1) ; 2; Bài 17 x − y + x −1 = Giải hệ phương trình sau: − x −1 = x − y Lời giải x ≠ y ĐKXĐ : x ≥ 1 = a; x −= b ( a ≠ 0; b ≥ ) Đặt x− y a = (TM ) 10 7 a = 14 2a + b = 4a + 2b = ⇔ ⇔ Hệ cho trở thành ⇔ 4 2a + b = 3a − 2b = 3a − 2b = b = 1(TM ) Thay = a; x −= b x− y Ta có: 1 x = =2 =2 x− y = 2 − y = ⇔ 2 − y ⇔ x− y ⇔ ⇔ ( thỏa mãn ĐKXĐ) y= x −1 = 1 x −1 = x = x = 3 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: 2; 2 Bài 18 x − + y −1 = Giải hệ phương trình + = x − y − Lời giải Điều kiện x ≥ ; x ≠ ; y ≠ Đặt a = 1 , ( a ≠ 0) ; b = , ( b ≠ ) , ta có hệ phương trình: y −1 x −3 8a + b = 4a = a = ⇔ ⇔ 3 4a + b = 4a + b = b = 1 x − = Từ đó: =1 y − x − = x = 25 ⇔ ⇔ ( tm ) 2 y − = y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 25;1) Bài 19 5 ( x + y ) =3 x − Giải hệ phương trình sau 2 x + = x − 15 y − 12 Lời giải 5 ( x + y ) =3 x − 2 x + = x − 15 y − 12 −4 −4 x + 5y = x = x + 5y = ⇔ ⇔ ⇔ − x + 15 y =−16 y = −1 20 y = −20 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y= ) Bài 20 (1; −1) x + y −1 = Giải hệ phương trình sau: 2 x − = y −1 Lời giải x + y −1 = Giải hệ phương trình sau: 2 x − = y −1 ĐKXĐ: y ≠ 1 x = = x = 3 x = y − ⇔ Hệ phương trình tương đương ⇔ x = −1 y −1 = x + y −1 = =2 y − x = (TM ) y = ⇔ x = −1 (TM ) y = x 2x + y = a+b = a = ⇔ ⇒ ⇒ y = ⇒ x = −2 (thỏa mãn điều kiện) 1 3a − 2b = b = =1 y − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = Bài 31 ( −2; ) x −1 + y = Giải hệ phương trình − x −1 = y Lời giải x −1 + y = − x −1 = y Điều kiện y ≠ x − = 2 x − + = x −1 + y = y x −1 + = x −1 = ⇔ x − =−1 y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = y = =3 y = y = y x= −1 = x (thỏa mãn) y y = = 2 ⇔ ⇔ x − =−1 x =0 (thỏa mãn) = y 2= y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2; ) , ( 0; ) Bài 32 2 x + − y − = Giải hệ phương trình (I) x y 17 + + − = Lời giải 2 x + − y − = Giải hệ phương trình (I) 17 4 x + + y − = ĐKXĐ: x ≥ −1; y ≥ Đặt x +1 = a; y−2 = b , ( a ≥ 0; b ≥ ) Ta được: 5 2a − 3b = a = 2a − 3b = 14a = 56 a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (I) ⇔ (TMĐK) 17 17 17 51 4a + b = 12a + 3b = b = 4a + b = 4.4 + b = x + = x = 15 (TM ) 16 x +1 = ⇔ ⇒ ⇔ 1 y − = y = (TM ) y − = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (15;3) Bài 33 x + + y − = Giải hệ phương trình − y − =−7 x + Lời giải Điều kiện xác định: y ≥ , x ≠ −2 2 y −3 y − 14 x + += x + += ⇔ − y − =−7 − y − =−7 x + x + 7 y − 21 y −3 = = y = 12 ⇔ ⇔ ⇔ y −3 = += x = −1 x+2 x+2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = Bài 34 ( −1;12 ) 3 ( x − ) − y + = Giải hệ phương trình 2 ( x − ) + = y+3 Lời giải 1) Điều kiện xác định y ≠ −3 2 14 7 ( x − ) = 4 3 ( x − ) − y + = 3 ( x − ) − y + = ⇔ ⇔ ( x − 2) + = 10 2 ( x − ) + = ( x − 2) + = 10 y+3 y+3 y+3 x = x − = x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 10 y + =10 − ( x − ) 4 ( x − ) + y + = y + =10 − ( − ) x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ y = −2 ( thoûa maõn ) y +3 = y+3 = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y= ) ( 4; −2 ) Bài 35 x + + y −1 = Giải hệ phương trình: 3 x + − = y −1 Lời giải 4 x+2 + = 7 x + = x + + 2= y −1 y −1 ⇔ ⇔ x+2 + = 3 x + − = x+2 − = 2 y −1 y −1 y −1 x + = x =−1 x+2 = x + =−1 x =−3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 y − 1 = 1 + y − = = y y − =−1 y =0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ {(−1;1);(−3;1);(−1;0);(−3;0)} x+3 − Bài 36 Giải hệ phương trình + x + = y −1 = y −1 Lời giải Điều kiện: x ≠ −3 ; y ≠ =a x + Đặt =b y − 27 21 −3 a − 2b = 3a − 6b = −7b = b = ⇔ ⇔ ⇔ Ta hệ sau: +b +b +b = 3a= 3a= 3a= a 1 + = = − x x (thỏa mãn) x + = 3 ⇒ ⇔ Từ ta có: (1) 1 y = (thỏa mãn) = −3 y − =− y − 3 x= − Vậy hệ phương trình có nghiệm y = Bài 37 x + − y + = Giải hệ phương trình 11 3 x + + y + = Lời giải Điều kiện xác định y ≥ −3 x + − y + = 4 x + 12 = x + = ⇔ ⇔ y + 11 3 x + + 2= y + 11 11 3 x + + 2= 3 x + + y + = = x + = x + x + = ⇔ ⇔ ⇔ y + 11 = y + y = −2 ( thoûa maõn ) 3.3 + 2= x= +1 = x −2 −2 y = y = ⇔ ⇔ x + =−3 x =−4 −2 −2 y = y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ∈ {( 2; − ) , ( −4; − )} Bài 38 3 x − 2( y −1) = Giải hệ phương trình: 2( x − 1) + y = Lời giải 3 x − ( y − 1) = 2 ( x − 1) + y = 3 x − y = ⇔ 2 x + y = 3 x − y = ⇔ 10 4 x + y = 7 x =14 ⇔ y= − x x = ⇔ y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 2;1) Bài 39 x + y − = Giải hệ phương trình sau: x − y − = Lời giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ x + y − = (I) ⇔ 3 x − y − = Đặt a = x ; b = y − (a ≥ 0; b ≥ 0) Khi ta có hệ phương trình: a + 2b = a + 2b = ⇔ 6a − 2b = 3a − b = a = a + 2b = ⇔ ⇔ (thỏa mãn) 7 a = 14 b = Thay a= 2= b=3= (thỏa mãn) x ⇒x= y−2 ⇒ y−2=9 ⇒ y = 11 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 4;11) Bài 40 99 5 ( x + y ) − x + y = Giải hệ phương trình: x − y = x − y − 17 Lời giải 99 5 ( x + y ) − x + y = x − y = x − y − 17 99 5 x + 10 y − x + y = ⇔ 17 7 x − y − x + y = 99 2 x + 13 y = ⇔ 17 6 x − y = 297 6 x + 39 y = ⇔ 17 6 x − y = 40 y = 280 ⇔ 17 6 x − y = y = ⇔ 6 x= y + 17 6 x = 24 ⇔ y = x = ⇔ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 4;7 ) Bài 41 − y−x = x − Giải hệ phương trình: + y−x = x − ... 2 2 − y) − y ) (2) 2 x − y + ( x= 4 x − y + ( x= 2 x + x= y + y + Lấy (1) + ( ) vế theo vế ta được: x + y − xy + ( x − y ) = ⇔ ( 3x − y ) + ( 3x − y ) + = ⇔ ( x − y ) + 1 = 3