Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 299 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
1 Mục Lục Chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử Chủ đề Chia hết đa thức Chủ đề Chứng minh bất đẳng thức Chủ đề Phương trình nghiệm ngun Chủ đề Tính giá trị biểu thức Chủ đề Phương trình đại số Chủ đề Số phương, số nguyên tố, chia hết Chủ đề Tìm giá trị nhỏ Chủ đề Tam giác đồng dạng Chủ đề 10 Tứ giác Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC CHUN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC Phương pháp: - Dùng máy tính nhẩm nghiệm - Nếu tổng hệ số đa thức đa thức có nghiệm x = - Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm x = - Một số đẳng thức đáng nhớ: 1, ( a + b ) = a + b2 + 2ab = ( a − b ) + 4ab 2 2, ( a − b ) = a + b2 − 2ab = ( a + b ) − 4ab 2 3, a + b2 = ( a + b ) − 2ab = ( a − b ) + 2ab 2 4, a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b2 ) = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) 5, a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b2 ) = ( a − b ) + 3ab ( a − b ) 6, ( a + b2 ) = ( a + b ) + ( a − b ) 2 4ab 7, ( a + b ) − ( a − b ) = 2 8, a + b4 = ( a + b )( a − b ) ( a + b ) − 2ab 2 2 9, a + b4 = ( a + b ) − 2ab − ( ab ) 3 10, a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) a + b2 + c − ab − bc − ca (a 11, a + a 2b2 + b4 = 12, a + a + 1= (a ( + ab + b2 )( a − ab + b2 ) ) + a + 1)( a − a + 1) Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a + 4a − 29a + 24 Hướng dẫn Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), Ta có: a + 4a − 29a + 24= ( a − a ) + ( 5a − 5a ) + ( −24a + 24 ) a ( a − 1) + 5a ( a − 1) − 24 ( a − 1) = ( a − 1) ( a + 5a − 24 ) = ( a − 1)( a − 3)( a + ) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 + x − x + HƯỚNG DẪN Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: −6 1 x + x + x − x= + x2 x2 + x + + += x2 x2 + + x − + x x x x 1 Đặt x − = t= > x + =+ t2 x x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Đa thức trở thành : x ( t + + 6t + )= x ( t + 6t + )= x ( t + 3) 2 x − + 3x 2 Thay t trở lại ta : x x − + = x = ( x + x − 1) x x 2 Vậy x + x3 + x − x + 1= (x + x − 1) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x + 11x + HƯỚNG DẪN Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 + x + 11x + = ( x + 1)( x + )( x + 3) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + 1)( x + 3)( x + )( x + ) + 15 HƯỚNG DẪN Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng giống : ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + 5) + 15 = ( x + x + )( x + x + 15) + 15 Đặt x + x = t => ( t + )( t + 15 ) + 15 = t + 22t + 105 + 15 = t + 22t + 120 =( t + 10 )( t + 12 ) =( x + x + 10 )( x + x + 12 ) = ( x + x + 10 ) ( x + )( x + ) Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x + HƯỚNG DẪN Nhận thấy đa thức đẳng thức nên ta có : x + x + 1= (x + 1) Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 − x + 17 x − HƯỚNG DẪN Bấm máy tính cho ta có nghiệm x = , nên có nhân tử : (3x - 1) 3 nên ta có : x − x + 17 x − 5= x − x − x + x + 15 x − = x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x − x + ) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 − x + x − HƯỚNG DẪN Bấm máy tính cho ta có nghiệm x = , nên có nhân tử : (2x - 1) 3 Nên ta có : x − x + x − 3= x − x − x + x + x − = x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1)= ( x − 1) ( x − x + 3) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 − 14 x + x + HƯỚNG DẪN −1 Bấm máy tính cho ta nghiệm : x = nên có nhân tử : (3x + 1) Ta có : x3 − 14 x + x + 3= x3 + x − 15 x − x + x + x ( x + 1) − x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 3) Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x + x + HƯỚNG DẪN bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Như ta có : x3 + x + x + = ( x + 1)( x + ) Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 1997 x + 1996 x + 1997 HƯỚNG DẪN Ta có: ( x + x + 1) + (1996 x + 1996 x + 1996 )= ( x + x + 1)( x − x + 1) + 1996 ( x + x + 1) (x = + x + 1)( x − x + 1997 ) Bài 11: Phân tích thành nhân tử: x + 2004 x + 2003x + 2004 HƯỚNG DẪN = x + 2004 x + 2004 x − x + 2004 = ( ) ( ) (x ) ( ) − x + 2004 x + x + ( ) ( ) = x x − + 2004 x + x + 1= x ( x − 1) x + x + + 2004 x + x + = (x )( + x + x − x + 2004 ) Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x − x − 2001.2002 HƯỚNG DẪN Ta có: x − x − 2001( 2001 + 1) = x − x + 20012 − 2001 = ( x − 20012 ) − ( x + 2001) ( x − 2011)( x + 2011) − ( x + 2011) = ( x + 2011)( x − 2012 ) Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x ( x + )( x + )( x + 10 ) + 128 HƯỚNG DẪN x ( x + 10 )( x + )( x + ) + 128 = ( x + 10 x )( x + 10 x + 24 ) + 128 Đặt : x + 10 x = t , Khi đa thức trở thành : t ( t + 24 ) + 128 =t + 24t + 128 =( t + )( t + 16 ) Thay t trở lại đa thức ta đươc : ( x + 10 x + )( x + 10 x + 16 ) = ( x + 10 x + ) ( x + )( x + ) Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 + x − x + HƯỚNG DẪN Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm sau: −6 1 x + x + x − x= + x2 x2 + x + + += x2 x2 + + x − + x x x x 1 Đặt x − = t= > x + =+ t 2 Đa thức trở thành : x x x ( t + + 6t + )= x ( t + 6t + )= x ( t + 3) Thay t trở lại ta : 2 x − + 3x 2 x x − + 3 = x = ( x + x − 1) x x 2 Vậy x + x3 + x − x + 1= (x + x − 1) Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + x + 1)( x + x + ) − 12 HƯỚNG DẪN Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Đặt x + x = t đa thức trở thành : ( t + 1)( t + ) − 12 =t + 3t − 10 =( t − )( t + ) Thay t trở lại đa thức ta : ( x + x − )( x + x + ) = Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x − )( x − 10 ) − 72 ( x − 1)( x + ) ( x + x + 5) HƯỚNG DẪN Đặt x − = t đa thức trở thành : t ( t − ) − 72 =t − 6t − 72 =( t − 12 )( t + ) =( x − 16 )( x + ) =( x − )( x + ) ( x + ) Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 − 11x + x + HƯỚNG DẪN Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm sau: 1 2 x + x3 + x + x += x x + x + + + 2= x x + + 6 x + + 7 x x x x 1 Đặt x + = > x + =− t= t 2 Đa thức trở thành : x x 2 x ( t − + 6t + )= x ( t + 6t + )= x ( t + 1)( t + ) Thay t trở lại ta : x + + x x + + x x x + + 1 x + + = x = x x x x 2 Vậy x + x + x − x + 1= ( x + x + 1)( x + x + 1) (x + x + 1)( x + x + 1) Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( a + 1)( a + )( a + 3)( a + ) + HƯỚNG DẪN Ta có : ( a + 1)( a + )( a + )( a + 3) + = ( a + 5a + )( a + 5a + ) + Đặt a + 5a + = t , Khi đa thức trở thành : ( t − 1)( t + 1) + = t = (a + 5a + ) Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + )( x + 3)( x + )( x + ) − 24 HƯỚNG DẪN Ta có : ( x + )( x + )( x + 3)( x + ) − 24 = ( x + x + 10 )( x + x + 12 ) − 24 Đặt : x + x + 11 = t , Khi đa thức trở thành ( t − 1)( t + 1) − 24 =t − 25 =( t − 5)( t + 5) =( x + x + )( x + x + 16 ) =( x + 1)( x + ) ( x + x + 16 ) Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + 1)(12 x − 1)( x + )( x + 1) − HƯỚNG DẪN ( x + 1)( 3x + )(12 x − 1)( x + 1) − 4= (12 x + 11x + )(12 x + 11x − 1) − Đặt 12 x + 11x = t , Khi đa thức trở thành : ( t + )( t − 1) − = t + t − = (12 x + 11x − )(12 x + 11x + 3) ( t − )( t + 3) Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + )( x + )( x + 10 )( x + 12 ) − x HƯỚNG DẪN Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta có : ( x + )( x + 12 )( x + )( x + 10 ) − x = ( x + 17 x + 60 )( x + 16 x + 60 ) − x 60 60 60 x x + 17 + x + 16 + − 3 , Đặt : x + = t , Khi đa thức trở thành : x x x x ( t + 17 )( t + 16 ) − 3= x ( 4t + 132t + 1085= ) x ( 2t + 31)( 2t + 35) 120 120 = x2 2x + + 31 x + + 35 = ( x + 31x + 120 )( x + 35 x + 120 ) x x Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + x + 1)( x + x − 3) − HƯỚNG DẪN Đặt : x + x = t , Khi đa thức trở thành : ( t + 1)( t − 3) − =t − 2t − =( t + )( t − ) =( x + 3x + )( x + 3x − ) ( x + 1)( x + )( x − 1)( x + ) Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 + x + x + HƯỚNG DẪN 2 2 ( x + x + x ) + ( x + x + 1)= x ( x + x + 1) + ( x + x + 1)= ( x + x + 1)( x + 1) Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a + a − 37 a − 8a + 12 HƯỚNG DẪN Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x=2, hay có nhân tuer x - Ta có : 6a + a − 37 a − 8a + 12= (6a − 12a ) + (19 a − 38a ) + ( a − 2a ) − ( 6a − 12 ) 6a ( a − ) + 19a ( a − ) + a ( a − ) − ( a − ) = ( a − ) ( 6a + 19a + a − ) = ( a − )( a + 3)( 2a − 1)( 3a + ) Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 + 13 x + 12 x + HƯỚNG DẪN Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có : x + x3 + 13 x + 12 x + 4= ( x + x3 ) + ( x3 + x ) + ( x + x ) + ( x + ) = x3 ( x + 1) + x ( x + 1) + x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x3 + x + x + ) = ( x + 1) ( x + ) 2 Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + x + ) + x3 + 14 x + 24 x (x HƯỚNG DẪN + x + 8) + 3x ( x + x + 8) + x , 2 Đặt: ( x + x + ) == y > y + xy + x => ( y + x )( y + x ) Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 2010 x + 2009 x + 2010 HƯỚNG DẪN 2 x + x + + 2009 x + 2009 x + 2009= ( x + x + 1)( x − x + 1) + 2009 ( x + x + 1) = (x + x + 1)( x − x + 2010 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + x − )( x + x − ) − 24 HƯỚNG DẪN Ta có : ( x + x − )( x + x − ) − 24 = ( x − 1)( x + )( x − )( x + 3) − 24 2 ( x − )( x + )( x − 1)( x + 3) − 24 = (x + x − )( x + x − 3) − 24 Đặt : x + x = t , đa thức trở thành : ( t − )( t − 3) − 24 = t − 11t = t ( t − 11) Thay t trở lại ta : ( x + x )( x + x − 11) = x ( x + ) ( x + x − 11) Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + x + ) − ( x + x + )( x + x + 3) HƯỚNG DẪN Đặt : x + x = t , đa thức trở thành : t − t − 7t − 12 =−t − 6t − =− ( t + 1)( t + ) , Thay t trở lại ta ( t + ) − ( t + )( t + 3) =+ : − ( x + x + 1)( x + x + ) = − ( x + 1) ( x + x + ) Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 10 x3 + 26 x + 10 x + HƯỚNG DẪN 10 1 x + 10 x3 + 26 x + 10 x + 1= x x + 10 x + 26 + + = x x + + 10 x − + 26 x x x x 1 Đặt x + = t= > x + =− t 2 Đa thức trở thành : x x x ( t − + 10t + 26 ) = x ( t + 10t + 24 ) = x ( t + )( t + ) Thay t trở lại ta : x + x + x + x + 1 x x + + x + + = x = x x x x 2 Vậy x + 10 x + 26 x + 10 x + 1= ( x + x + 1)( x + x + 1) (x + x + 1)( x + x + 1) Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x − )( x − )( x − )( x − ) − 1680 HƯỚNG DẪN ( x − )( x − )( x − 5)( x − ) − 1689 = ( x − 11x + 28)( x − 11x + 30 ) − 1680 Đặt x − 11x + 29 = t , Khi đa thức trở thành : ( t − 1)( t + 1) − 1680 = t − 1681 = ( t − 41)( t + 41) Thay t trở lại đa thức ta : ( x − 11x − 12 )( x − 11x + 70 ) =( x − 12 )( x + 1) ( x − 11x + 70 ) Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x3 − x + x + HƯỚNG DẪN 1 1 x + x3 − x + x= + x2 x2 + x − + + = x2 x2 + + x + − x x x x 1 Đặt x + = t= > x + =− t 2 Đa thức trở thành : x x 2 x ( t − + t − 4= ) x ( t + t − 6=) x ( t − )( t + 3) Thay t trở lại ta : Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC x − x + x + x + 1 x x + − x + + = x = ( x − 1) ( x + x + 1) x x x x ( x − 1) Vậy x + x3 − x + x + = (x + x + 1) Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử: x − x3 + 14 x − x + HƯỚNG DẪN −7 1 2 + 2= x − x3 + 14 x − x += x x − x + 14 + x x + − x + + 14 x x x x 1 Đặt x + = > x + =− t= t 2 Đa thức trở thành : x x x ( t − − 7t + 14 )= x ( t − 7t + 12 )= x ( t − 3)( t − ) Thay t trở lại ta : x − x + x − x + x x + − x + − = x = x x x x 2 Vậy x − x + 14 x − x + = ( x − x + 1)( x − x + 1) (b Bài 34: Cho biểu thức: A = + c − a2 ) (x − x + 1) ( x − x + 1) − 4b c a, Phân tích A thành nhân tử b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A< HƯỚNG DẪN a) Ta có: A = = (b (b + c − a2 )( ) ( b + c − a ) − ( 2bc ) + 2bc ) = ( b + c − a )( b + c + a )( b − c − a )( b − c + a ) − 4b c = + c − a2 − 2bc b + c − a2 2 2 b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b + c − a > 0, b + c + a > 0, b − c − a < 0, b − c + a > = > A Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE= DF lại có: EDF => Là hình vng c, Ta có: EF DI = , BI = EF = > DI = BI => I nằm đường trung trực cảu BD 2 Mà AC đường trung trực BD, ( Tứ giác ABCD hình vng) => I ∈ AC => đường AC, DG, EF đồng quy I Bài 70: Cho HBH ABCD, đường chéo cắt O, gọi E, F, G, H theo thứ tự giao điểm đường phân giác ∆ OAB, ∆ OBC, ∆ OCD, ∆ OAD Chứng minh rằng: EFGH hình thoi D C HƯỚNG DẪN: G H Vì OH , OF hai tia phân giác góc đối đỉnh F 1O nên H, O, F thẳng hàng E Tương tự ta có: G, O, E thẳng hàng A B Lại có OH ⊥ OG ( Hai tia phân giác hai góc kề bù) Xét ∆ OAE = ∆ OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF => EFGH hình bình hành có hai đường chéo vng góc với => hình thoi Bài 71: Cho hình vng ABCD, Gọi E, F theo thứ tự TĐ AB, BC a, Chứng minh: CE vuông góc với DF E A B b, Gọi M giao điểm CE DF, Chứng minh : AM=AB HƯỚNG DẪN: F a, Tự chứng minh M b, Gọi N trung điểm DC, Tứ giác AECN có AE //NC AE=NC=> Là hình bình hành H D N C => AN // EC=> AN ⊥ DF DN = NC = > DH = HM Trong ∆ DMC có: HN / / MC => ∆ ADM có AH đường cao lại đường trung tuyến nên AD= AM= AB Bài 72: Cho ∆ ABC, tia AB ta lấy điểm D, tia AC lấy điểm E cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, CD, DE, EB Chứng minh rằng: a, MNPQ hình thoi b, Các đường chéo hình thoi MNPQ // với phân giác ngồi góc A Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN: a, Tự chứng minh y A b, Vì MNPQ hình thoi, MP NQ hai đường chéo => MP ⊥ NQ Gọi I, J lầ lượt giao NQ với AB AC M B C ( so le) => PQ//AD=> I1 = Q J Q N =Q => ∆ IAJ cân A Tương tự: N 1 I E => Phân giác Ax đường cao => Ax ⊥ IJ, Mà MP ⊥ IJ => Ax //MP P D x Dễ dàng chứng minh NQ// Ay Bài 73: Cho hình thoi ABCD, tia đối tia BA, ta lấy điểm M, tia đối tia CB lấy N, tia đối tia DC lấy P, tia đối tia AD lấy Q cho BM=CN=DP=AQ a, Chứng minh: MNPQ hình bình hành b, Chứng minh : MNPQ hình thoi ABCD có tâm đối xứng c, Hình thoi ABCD phải có ĐK để MNPQ hình vng HƯỚNG DẪN: Q a, ∆ AQM = ∆ NCP => QM= PN B A C O ∆ MBN= ∆ PDQ => QP= MN =O b, ∆ OBM= ∆ ODN=> O M N 2 = POB +O = POB +O = BOD = 1800 => POM D P => P, O, M thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ có tâm O c, Để MNPQ hình thoi Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề nhau: QM= QD Thật vậy: == > QAM = , ∆ QAM= ∆ MBN => MBN QAM BAD = BAD QAM + BAD == = Mà QAM 1800 > BAD 900 Hình thoi ABCD có góc vng => hình vng Bài 74: Cho tam giác ABC, trực tâm H, kẻ đường cao AD, điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vng góc với AB MF vng góc với AC, Gọi I trung điểm AM Chứng minh: a, DEIF hình thoi b, Đường thẳng HM qua tâm đối xứng hình thoi DEIF HƯỚNG DẪN: A Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC N a, ∆ ADM vng có DI = AM , Tương tự EI = AM => DI =EI => ∆EID cân A EI = AI => ∆AIE cân có I = 1 =+ A2 = > EID I1 I2 = 600 tương tự : I2 = => ∆ EID => EI=ED= IP Chứng minh tương tự: IF=FD=ID => EIFD hình thoi b, Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi DEIF N trung điểm AH, Ta có: ∆ AMH có IN đường trung bình => IN//MH ∆ IDN có OH đường trung bình => OH//IN Như O, H, M thẳng hàng => MH qua giao điểm O ID EF Bài 75: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC a, Chứng minh: AD phân giác HAM A b, điểm E, M, F thẳng hàng c, Tam giác BDC tam giác vuông cân F HƯỚNG DẪN: B = A1 ( phụ góc B) a, Ta có: C Mà AM= M H E > BC=> AM= MC=> A2 == C A1 = A2 , A3 = A4 2 D => AD tia phân giác = = b, AH // DM => D A4 ,mà A4 = A3 => D A3 => ∆ADM cân 1 => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA= ED => FA=FD Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD=> Thẳng hàng =D c, ∆ BED = ∆ CFD => D = BDF +D = BDF +D = EDF = 900 BDC => ∆ BDC vuông cân Bài 76: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, kẻ đường cao AH, nửa mặt phẳng có chưa A bờ BC vẽ hình vng AHDE Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC C a, Chứng minh: D nằm HC b, Gọi F giao DE AC, đường thẳng qua F // với AB cắt đường thẳng qua B // với AC G, CMR: ABGF hình vng c, CMR: AG, BF, HE đồng quy A d, DEHG hình thang E HƯỚNG DẪN: F >C a, AC > AB => B == > HAC >C Mà: B HAC M B H C D => HC>AH=> AH= HD => HC>HD=> D nằm H,C G b, ta có: A1 + A2 = 900 , A2 + A3 = 900 = > A1 = A3 kết hợp với AE= AH => ∆ AEF = ∆ AHB => AB= AF Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c, Gọi M giao điểm BF, AG, Khi ∆ BDF có DM = 1 BF, tương tự AM= BF 2 => M nằm đường trung trực AD, Ta lại có: AE= ED, HA= HƯỚNG DẪN => E, H nèm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng Bài 77: Cho HCN ABCD E điểm nằm đường chéo AC, tia đối tia EB lấy F cho EF =BE, Gọi M, N hình chiếu F đường thẳng AD, DC, Chứng minh: a, DF//AC MN//BD A b, điểm E, M, N thẳng hàng B HƯỚNG DẪN: a, Dễ thấy OE đường trung bình ∆ BDF => DF// OE=> DF // AC ( Đồng vị ) => A1 = D A = D = D => ∆ OAD cân => O D C 1 M E N I F =M => ∆ IDM cân => D 1 =M ( đồng vị) => MN// DB => D b, I trung điểm DF => IE trung bình => IE // DB mà MN // BD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC M, N, E thẳng hàng Bài 78: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy AM = BN = 2a , BC lấy BN cho 2a a, CMR: AN vng góc DM b, Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ HƯỚNG DẪN : a, Ta chứng minh ∆ ABN = ∆ DAM = +M = A , Mà : D 900 => D 1 = = => >K A1 + M 900 = 900 b, Ta có : MN = = KI M A 1 a 4a a + = 9 B K I a = MN N a 10 a Tương tự ta có : DN = = > KJ =10 a a Tương tự DM = 13 = > IJ = 13 J D C Bài 80: Cho ∆ ABC có cạnh 4cm, M N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM= CN a) Tính diện tích ∆ ABC b) Xác định vị trí M, N để độ dài MN nhỏ nhất, Tìm độ dài nhỏ đó? HƯỚNG DẪN: = h a) Tính độ dài đường cao: Suy diện tích: S= ABC a = = ( cm ) 2 1 4.2= 3(cm ) = a.h 2 b) Gọi P Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB == 600 > AQ = AN Ta có: ∆ ANQ vng Q, có: A Tương tự ∆ MPB có : PB = Cộng theo vế ta : AQ + PB= BM 1 1 AN + BM= AN + NC )= AC ( 2 2 Kẻ MH ⊥ QN , Tứ giác MPQH hình chữ nhật Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta có: MN ≥ MH =PQ =AB − ( AQ + BP ) =AB − 1 AC = AB 2 Như M, N di chuyển ta ln có: MN ≥ AB Và MN = AB , Khi M, N trung điểm BC AC Suy vị trí M,N cần xác định trung điểm BC AC, MN Khi độ dài nhỏ MN : = = AB 2cm Bài 81: Cho ∆ ABC vuông cân A, Gọi M điểm nằm A B, tia đối tia AC lấy điểm I cho AI=AM a) Chứng minh : CM ⊥ BI b) Trên BC lấy điểm P cho BP = 2CP , nửa mp bờ BC có chứa điểm A, vẽ Px = 600 , Tia Px cắt tia CA D, Tính số đo CBD cho xPB HƯỚNG DẪN: a) Tia IM cắt BC H = 450 ∆ ABC vuông cân A nên C ∆ IAM vuông cân A nên I = 450 + I = = ∆ IHC có C 900 = >H 900 = > IH ⊥ BC , Chứng minh M trực tâm ∆ IBC=> CM ⊥ BI = PB = PC b) Gọi E điểm đối xứng với B qua PD => EP => ∆ BPE cân P nên đường trung trực PD tia phân giác góc P == 600 = = = > BPD > EPC DPE 600 Ta chứng minh ∆ EPC vuông C CD phân giác ∆ PCE Đồng thời ED phân giác tai đỉnh E ∆ PCE 150 = 750 hay CBD = 750 Mặt khác: = yEP = , DEP 750 , nên ta tính được: PBD Bài 82: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn, Vẽ đường cao BD, CE Gọi H K theo thứ tự hình chiếu B C ED, CMR: a) EH = DK b) SBEC + SBDC = SBHKC HƯỚNG DẪN: a) Gọi M, I trung điểm BC, ED Chứng minh ∆ MED cân M=> MI ⊥ ED Hình thàng BHKC có: BM=MC, MI//BH//CK nên IH=IK ,mà ID=IE=>EH=DK b) Vẽ EE’, II’, DD’ vng góc với BC, Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta chứng minh II’ đường trung bình Hình thang EE’D’D nên II '= 1 1 EE '+ DD' )= > SBEC + SBDC = BC.EE '+ BC.DD '= ( ( EE '+ DD ')= BC.II ' (1) 2 2 Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK P Q Chứng minh được: BPQC hình thang nên SBPQC = BC.II ' (2) Chứng minh được: ∆ PIH = ∆ QIK=> SBPQC = SBHCK (3) Từ (1), (2), (3) => SBEC + SBDC = SBHKC Bài 83: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F a) CMR: BM=ND b) CMR: N, D, C thẳng hàng c) EMFN hình gì? d) Chứng minh DF + BM = FM chu vi ∆ MFC không đổi M thay đổi BC HƯỚNG DẪN : + MAD = a) Tứ giác ABCD hình vng=> A 90 (1) Vì AMHN hình vng = (2) 90 = > A2 + MAD B A = Từ (1) (2) ta có : A A2 E d Ta có : ∆ AND= ∆ AMB (c.g.c) = = = >B D 90 , BM = ND b) ABCD hình vng = +D = = 90 = 180 , = >D >D NDC 2 N O D C F nên N, D, C thẳng hàng c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN H hình vng AMHN => O tâm đối xứng hình vng AMHN => AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F ∈ AH => EN=Em FM=FN = = = >O O > EM = NF (3) (4) Từ (3) (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF hình thoi (5) d) Từ (5) suy FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi ∆ MCF P cạnh hình vng ABCD a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 M TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta có : P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF , Vì ( MF=DF+MB) = ( MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Hình vng ABCD cho trước => a không đổi=> P không đổi Bài 84: Gọi M điểm nằm xOy = m ,(0 < m < 90) , P, Q hình chiếu M Ox, Oy, Gọi H, K trung điểm OM, PQ a) CMR: HK ⊥ PQ theo m b) Tính số đo HPQ HƯỚNG DẪN: a) ∆ MPO vuông P=> đường trung tuyến PH = OM ∆ MQO vuông Q=> đường trung tuyến QH = OM = QH = Do đó: PH OM => ∆ HPQ cân H, K trung điểm PQ=> HK vng góc với PQ 2.MOQ ,= 2.MOP = 2.= 2.m => b) = MHQ MHP , PHQ POQ = = PHK m0 = > HPQ 900 − m Bài 85: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B D), Gọi M điểm đối xứng C qua P a) chứng minh Am song song với BD b) Gọi E, F hình chiếu M AD AB Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA không phụ thuộc vào vị trí P HƯỚNG DẪN: a) Ta có: O trung điểm AC (ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( Vì M đối xứng với C qua P) Nên Op đường trung bình ∆ ACM, đó: OP//AM=> AM//BD b) Vì OP đường trunh bình ∆ ACM nên OP//AM OP= AM Do đó: OP//AI OP=AI=> tứ giác AIPO hình bình hành=> PI//AC (1) = EAM Kẻ ME//AB cắt AC K, ta có: KAE ) (= KDA Mặt khác: AE ⊥ KM => ∆AKM cân Nên AE phân giác KAM E trung điểm KM, Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC EI đường trung bình ∆ AMK=> EI//OA=>EI//AC Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (2) (3) Từ (1), (2) (3) ta có: E, F, P thẳng hàng Bài 86: Cho ∆ ABC, đường vng góc với AB A đường vng góc với BC C cắt D, gọi H trục tâm ∆ ABC a) Chứng minh DH qua trung điểmt M AC b) ∆ ABC phải thỏa mãn điều kiện để B, H, D thẳng hàng HƯỚNG DẪN: a) Chứng minh tứ giác AHCD hình bình hành Hai đường chéo AC DH cắt trung điểm đường b) Để B, H, D thẳng hàng thì: HD ⊥ AC AHCD hình thoi HA = HC ∆ ABC cân B Bài 87: Cho ∆ ABC vuông A( AC>AB) , đường cao AH, HC lấy HD=HA, đường vng góc với BC D cắt AC E a) CMR: AE=AB b) Gọi M trung điểm BE, TÍnh AHM HƯỚNG DẪN: a) Chứng minh AE =AB Kẻ EF ⊥ AH Tứ giác HƯỚNG DẪNEF hình chữ nhật, => EF=HƯỚNG DẪN mà HƯỚNG DẪN=AH=> EF=AH Xét ∆ HBA ∆ FAE có: = F = 900 H AH=EF = BAH phụ với FAE , Do đó: ∆ HBA= ∆ FAE (g.c.g) => AE=AB FEA =? b) Tính AHM Ta có: ∆ BAE vng A => AM = BE ∆ BDE vuông D => DM= BE Do đó: AM=DM Xét ∆ AHM ∆ DHM có: AM=MD, AH=HƯỚNG DẪN HM cạnh chung => ∆ AHM= ∆ DHM (c.c.c) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC AHD 900 = MHD = = = 450 => AHM 2 Bài 88: Cho hình vng ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI ∆ AEF cắt CD K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi ∆ EKC không đổi HƯỚNG DẪN: a) Xét ∆ ABE vuông B ∆ ADF vuông D có: B A AB=AD, = CAF BAE E G => ∆ ABE= ∆ ADF => AE=AF Vì AE=AF AI đường trung tuyến ∆ AEF I => AI ⊥ EF Hai ∆ IEG vuông I ∆ IFK vng I có: IE=IF, = IFK , IEG F D K x Nên ∆ IEG= ∆ IFK => EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi = CFA , KAF b) Xét ∆ AKF ∆ CAF có: AFK = ACF = 450 => ∆AKF ∆CAF ( g.g) => AF FK = AF = FK FC FC AF c) Theo câu a ta có: ∆ ABE = ∆ ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= KF Do chu vi ∆ EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD ( Không đổi) Bài 89: Cho ∆ ABC vuông A( AB < AC), M trung điểm BC, D đối xứng với A qua M a, Tứ giác ABDC hình gì? b, Lấy điểm H MB( H khác B M), Gọi I điểm đối xứng A qua H, CMR : BIDC hình thang Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC C c, Gọi E F lầ lượt hình chiếu I BD CD, O giao DI EF Chứng minh : HODM hình bình hành d, Chứng minh : điểm H, E, F thẳng hàng Chứng minh Cho hình vng ABCD, gọi E điểm đối xứng A qua D a, Chứng minh: ∆ ACE tam giác vng cân b, kẻ AH vng góc với BE H, Gọi M N trung điểm AH HE, tứ giác BMNC hình ? c, Cho AC =5cm, Tính diện tích ∆ BCE vuông d, CMR: ANC Bài 91: Cho HCN ABCD, kẻ CE ⊥ DB (E ∈ DB), Lấy điểm F đối xứng với C qua E, kẻ FG // BC ( G ∈ DB) CMR: a, Tứ giác CGFB hình thoi b, Tứ giác AFBD hình thang cân c, Gọi H hình chiếu F đường thẳng AD, FG cắt AB K, Tứ giác AFHK hình gì? d, Chứng minh: Ba điểm H, K, E thẳng hàng Bài 92: Cho ∆ ABC vuông A M điểm BC, Gọi P điểm đối xứng với M qua AB, MP cắt AB tạo D, Gọi Q điểm đối xứng với M qua AC, MQ cắt AC E a, Các tứ giác ADME BCQP hình gì? b, Cho Ab=6cm, AC=8cm, Tính đội dài BC diện tích ∆ ABC c, Chứng minh A trung điểm PQ d, Tìm vị trí M BC để chu vi tứ giác BCQP đạt giá trị nhỏ Bài 93: Cho ∆ ABC vuông A, đường trung tuyến AM CN cắt I, lấy E thuộc tia đối tia MN cho ME= MN, nối BE cắt AM F, Gọi D trung điểm CI, gọi K trung điểm CA a, Tứ giác ANEC hình gì? b, CM : BF=2FE c, ∆ ABC phải có điều kiện để MKDF hình thoi d, Cho BC cố định, Tìm vị trí điểm A để diện tích tứ giác ACEN lớn Bài 94: Cho ∆ ABC nhọn, trực tâm H, đường cao BD, CE Gọi M trung điểm BC, lấy điểm F đối xứng với C qua H a, Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P, nối PH cắt AC Q, CMR : HP=HQ b, CM : MH ⊥ PQ c, Gọi I trung điểm DE, J trung điểm AH CMR: I, J, M thẳng hàng 2S∆BHC d, CMR: S∆PBC + S∆QBC = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AN CM vng góc với BD a, Chứng minh: DN=BM b, CM tứ giác ANCm hình bình hành c, Gọi K điểm đối xứng với A qua N, tứ giác DKCB hình gì? d, Tia AM cắt KC P, CM đường thẳng PN, AC, KM đồng quuy Bài 96: Cho ∆ ABC vuông A, Gọi E M trung điểm cạnh BC AC, Từ A vẽ đường thẳng song song với BC cắt ME F a, CMR: ABEF hình bình hành b, CH tứ giác AECF hình thoi c, Gọi N điểm đối xứng với A qua E, tứ giác ABNC hình ? d, ∆ ABC cần có thêm điều kiện để tứ giác AFCN thang cân Bài 97: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH, Gọi D trung điểm AC, lấy E đối xứng với H qua D a, CMR : AHCE hình chữ nhật b, Kẻ AI// HE( I thuộc BC) cm tứ giác AEHI hình bình hành c, Trên tia đối HA lấy điểm K cho AH= HK, CM tứ giác CAIK hình thoi d, ∆ ABC cần có thêm điều kiện để hình thoi CAIK hình vng, Khi tứ giác AHCE hình gi ? Bài 98: Cho hình thoi ABCD, đường chéo AC ≥ BD, M điểm tùy ý AC, đường thẳng qua M song song với AB cắt AD E, Cắt BC G, đường thẳng qua M song song với AD cắt AB F, cắt CD H a, CMR : Tứ giác MEAF hình thoi, Từ EFGH hình thang cân b, xác định vị trí điểm M cho EFGH hình chữ nhật c, Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện để hình chữ nhật EFGH câu b hình vng Bài 99: Cho HCN ABCD, Gọi M trung điểm BC E giao điểm đường thẳng AM với DC a, CMR : ABEC hình bình hành b, Gọi F điểm đối xứng B qua C, CMR : BEFD hình thoi c, CMR C trọng tâm ∆ AEF d, Cho AB = 3.BC , Gọi H trung điểm DF K giao điểm AH với EF, CMR : AE=2 MK = 60 , Hai đường cao BE CF cắt H, Gọi M Bài 100: Cho ∆ ABC nhọn có A trung điểm BC I điểm đối xứng H qua M a, CMR : CI =BH BI ⊥ AB b, Lấy K hình chiếu vng góc C đường thẳng BI, CMR : F, M, K thẳng hàng c, CMR : EF ⊥ EK d, CMR : ∆ MEF Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 101: Cho ∆ ABC vuông A( AB