100 bai toan hinh hoc luyen thi vao lop 10

Bài 1: Cho ∆ABC có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N a) Chứng minh: BEDC nội tiếp   ACB  b) Chứng minh: DEA c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Chứng minh: AO phân giác y A x M D E N O B C  MAN e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB a)C/m BEDC nội tiếp:  = BDE  = 1v Hai điểm D E C/m: BEC nhìn đoạn thẳng BC góc vng  = ACB  b)C/m: DEA  + DCB  = 2v.Mà DEB  + AED  = 2v ⇒ AED  = ACB  Do BECD nội tiếp ⇒ DMB c) Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy Ta phải c/m xy//DE   = s® AB Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ xAB  ⇒ xAB  = s® AB  = ACB  mà ACB  = AED  (cmt) Mà s® ACB  = AED  hay xy // DE ⇒ xAB  d) C/m OA phân giác MAN Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN ⊥OA đường trung trực MN (Đường kính vng góc với dây) ⇒ ∆AMN cân A ⇒ AO phân  giác MAN e) C/m :AM2=AE AB  = AMN  (Góc nội tiếp  = AN  ⇒ MBA Do ∆AMN cân A ⇒AM=AN ⇒ AM  chung chắn hai cung nhau); MAB ⇒ ∆MAE  ∆ BAM ⇒ MA AE = ⇒ MA2 = AE AB AB MA Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 2: Cho(O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’, D đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc I với AB; DC cắt đường trịn tâm O’ I A C a) Tứ giác ADBE hình gì? M O B O' b) Chứng minh: DMBI nội tiếp c) Chứng minh: B, I, C thẳng hàng MI = MD E d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC d) Chứng minh: MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý: a) Do MA=MB AB⊥DE M nên ta có DM=ME ⇒ ADBE hình bình hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) Vậy ADBE hình thoi b) C/m DMBI nội tiếp  =1v BC đường kính,I∈(O’) nên BID  =1v (gt) ⇒ BID  + DMB  =2v ⇒ đpcm Mà DMB c) C/m B;I;E thẳng hàng Do AEBD hình thoi ⇒ BE//AD mà AD ⊥ DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  = 1v ⇒ BI ⊥ DC Qua điểm B có hai đường ⇒ BE ⊥ DC; CM ⊥ DE (gt) Do BIC thẳng BI BE vng góc với DC nªn BI ≡ BE hay B;I;E thẳng hàng * Chứng minh: MI = MD: Do M trung điểm DE; ∆EID vuông I ⇒ MI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông DEI ⇒ MI=MD d) C/m MC DB=MI DC  = IMB  chắn cung MI Hãy chứng minh ∆MCI  ∆DCB ( C chung; BDI DMBI nội tiếp) e) C/m MI tiếp tuyến (O’)  = O’CI  -Ta có ∆ O’IC cân O' ⇒ O’IC  = MDI  ∆ BDI cân M ⇒ MID  + O’IC  = MDI  + O’CI  = 1v Từ suy ra: MID Vậy MI ⊥O’I I nằm đường tròn (O’) ⇒ MI tiếp tuyến (O’) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC   90 Trên AC lấy Bài 3: Cho ∆ABC có A điểm M cho AMMC Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường trịn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S a) Chứng minh: ADCB nội tiếp  b) Chứng minh: ME phân giác AED   ACD  c) Chứng minh: ASM d) Chứng tỏ ME phân giác góc AED e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy Gợi ý: a)C/m ADCB nội tiếp:  = BDC  = 1v Hãy chứng minh: MDC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)  = 1V (gt) Từ suy A D BAC nhìn đoạn thẳng BC góc vng) Nên hai điểm A D nằm đường trịn đường kính BC hay ABCD nội tiếp) b)C/m EM phân giác góc AED A S M B E O D C  =MEB  =90 ⇒ BAM  + MEB = BAM 180  = ABM  (1) (cùng chắn cung AM) Nên tứ giác AMEB nội tiếp nên AEM  = ABM  (2) (cùng chắn cung AD) Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ACD  = MED  (3) (cùng chắn cung MD) Do tứ giác MECD nội tiếp nên ACD  = DEM  Nên EM phân giác góc AED Từ (1); (2); (3) ta có AEM  = ACD  (Hai góc nội tiếp chắn cung MD c) C/m: ASM d) C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 3) e) Chứng minh AB;ME;CD đồng quy Gọi giao điểm AB;CD K Ta cần chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng Do CA ⊥ AB (gt) BD ⊥ DC (cm trên) AC cắt BD M ⇒ M trực tâm ∆ KBC nên KM đường cao thứ ⇒ KM ⊥ BC Mà ME ⊥ BC (cmt) ⇒ ME ≡ MK nên K;M;E thẳng hàng ⇒ đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 5: Cho ∆ABC có góc nhọn AB < A AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B I E N C xuống đường kính AA’ a) Chứng minh: AEDB nội tiếp D b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C C B M c) Chứng minh: DE ⊥ AC F d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: A' MD = ME = MF Gợi ý: a) C/m AEDB nội tiếp (Sử dụng hai điểm D;E nhìn đoạn AB…) b) C/m: DB A’A = AD.A’C Chứng minh ∆ DBA  ∆ A’CA c) C/m: DE ⊥ AC Ta cần chứng minh DE // CA'  = BAE  (Cùng bù với góc BDE) Do ABDE nội tiếp nên góc EDC  Suy DE//A’C Mà  = BCA’  (cùng chắn cung BA’) suy EDC  = BCA’ Mà BAE A'C ⊥ AC nên DE ⊥ AC d) C/m: MD = ME = MF - Gọi N trung điểm AB Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB ⇒ MN // AC (Tính chất đường trung bình) Do DE ⊥ AC ⇒ MN ⊥ DE (Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm) ⇒ MN đường trung trực DE ⇒ ME = MD - Gọi I trung điểm EC nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPCF ⇒ MI // EB (Tính chất đường trung bình) Mà BE ⊥ AA' ⇒ MI ⊥ EF ⇒ MI đường trung trực EF ⇒ ME = MF Vậy MD = ME = MF Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 6: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE a) Chứng minh: MFEC nội tiếp b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM c) Chứng minh: ∆AMP ∽ ∆FMQ  d) Chứng minh: PQM  90 M A P E O Q B F C Gợi ý a) C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM…) b) C/m BM.EF = BA.EM •C/m:∆EFM  ∆ABM:  = ACM  (Vì chắn cung AM) Ta có góc ABM  = FEM  (Cùng chắn cung FM) Do MFEC nội tiếp nên ACM  = FEM  (1) ⇒ ABM  (Cùng chắn cung AB)  = ACB Ta lại có góc AMB  = FCM  = FME  (2)  (Cùng chắn cung FE) ⇒ AMB Do MFEC nội tiếp nên góc FME Từ (1) (2) suy :∆EFM  ∆ABM (g - g) ⇒ đpcm c) C/m ∆AMP  ∆FMQ Ta có ∆EFM  ∆ABM (theo c/m trên) ⇒ AB AM = mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) FE MF AP AM AP AM  (suy từ ∆EFM  ∆ABM)  = MFQ = ⇒ = PAM FQ MF FQ FM Vậy: ∆AMP  ∆FMQ (c - g - c)  = 90o d) C/m PQM ⇒  ⇒ PMQ  = AMF  ⇒ ∆PQM  = FMQ Do AMP  =1v (đpcm)  = 1v ⇒ MQP Mà góc AFM Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038  ∆AFM ⇒  = AFM  MQP TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 7: Cho (O) đường kính BC, điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB = AD Dựng hình vng ABED; AE cắt (O) điểm thứ hai F; Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G a) Chứng minhBGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh∆BFC vng cân F tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD c) Chứng minh: GEFB nội tiếp c) Chứng tỏ:C, F, G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD Có nhận xét I F Gợi ý A B C O D F I E G a) C/m BGDC nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 1800 I trung điểm GC b) C/m: ∆BFC vuông cân:  = FBA  (Cùng chắn cung BF) BCF  = 45o (T/C đường chéo hình vng) mà FBA  = 45o BFC  = 1v ⇒ BCF (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ đpcm * C/m: F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDC Ta C/m F cách đỉnh B;C;D Do ∆BFC vuông cân nên BC = FC Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;   = 45o; BE=ED (hai cạnh hình vng ABED) Góc BE F = FED ⇒ ∆BFE = ∆E FD (c - g - c) ⇒ BF = FD ⇒ BF = FC = FD ⇒ đpcm c) C/m: GEFB nội tiếp:  = sđ FC  = 90o ⇒ sđ GBF  = sđ BF  = 90o = 450 Do ∆BFC vuông cân F ⇒ s®BF 2 (Góc tiếp tuyến BG dây BF) o  = 45 (tính chất hình vng) ⇒ FED  = GBF  = 45o Ta lại có FED  + FEG  = 2v Mà FED  + FEG  = 2v ⇒ GEFB nội tiếp ⇒ GBF d) C/m: C;F;G thẳng hàng:  = BEG  mà BEG  = 1v ⇒ BFG  = 1v Do GEFB nội tiếp ⇒ BFG  + CFB  = 2v ⇒ G;F;C thẳng hàng  = 1v ⇒ BFG Do ∆BFG vuông cân ⇒ BFC  = GDC  = 1v C/m: G nằm đường tròn tròn ngoại tiếp ∆BCD Do GBC ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC F ⇒ G nằm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD * Dễ dàng c/m I ≡ F Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 8: Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường cắt đường tròn E F, cắt AC I (E nằm cung nhỏ BC) a) Chứng minhBDCO nội tiếp b) Chứng minh: DC2 = DE.DF c) Chứng minh:DOIC nội tiếp d) Chứng tỏ I trung điểm FE A F O I C B E D Gợi ý C/m: BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai góc đối) C/m: DC2 = DE.DF  chung Xét hai tam giác:DEC DCF có CDE    ECD = CFD = s® EC (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) ⇒ ∆DCE C/m: DOIC nội tiếp:  ∆DFC ⇒ đpcm  (T\C hai tiếp tuyến cắt nhau)  = COB COD  = BOC  (Góc nội tiếp góc tâm chắn cung).Nên COD  = BAC  BAC  = CID  (So le DF//AB) Do COD  = CID  BAC ⇒ Hai điểm O I nhìn đoạn thẳng DC góc ⇒ đpcm Chứng tỏ I trung điểm EF:  = OCD  (cùng chắn cung OD) Do DOIC nội tiếp ⇒ OID  = 1v (tính chất tiếp tuyến)⇒ OID  = 1v hay OI ⊥ ID ⇒ OI ⊥ FE Bán Mà Góc OCD kính OI vng góc với dây cung EF ⇒ I trung điểm EF Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 9: Cho (O), dây cung AB Từ điểm M M cung AB(M ≠ A M ≠ B), kẻ P dây cung MN vng góc với AB H Gọi A B MQ đường cao ∆MAN H I a) Chứng minh4 điểm A, M, H, Q nằm Q đường tròn O b) Chứng minh: NQ.NA =NH.NM  c) Chứng minh: MN phân giác BMQ d) Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN; Xác định vị trí M cung AB để N MQ.AN + MP.BN có GTLN Gợi ý a) C/m: A,Q,H,M nằm đường trịn (Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau: -Cùng nhìn đoạn thẳng góc vng -Tổng hai góc đối b) C/m: NQ NA = NH NM Chứng minh: ∆NQM  ∆NAH c) C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách: • Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I C/m tam giác MIB cân M  = NAH  (Cùng phụ với góc ANH ) • Cách 2: QMN  = NMB  (Cùng chắn cung NB) ⇒ đpcm NAH d) xác định vị trí M cung AB để MQ AN+MP BN có giác trị lớn Ta có 2S∆MAN=MQ AN 2S∆MBN=MP BN 2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ AN+MP BN Ta lại có: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2 AB × MN =AB MN Vậy: MQ AN+MP BN=AB MN Mà AB khơng đổi nên tích AB MN lớn ⇔ MN lớn ⇔ MN đường kính ⇔ M điểm cung AB Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 10: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm đường trịn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N, E, F, A nằm đường tròn c) Chứng tỏ : BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r Gợi ý a) C/m ∆ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nên AE=BE; B E F N O C A I Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC= BC ⇒ ∆ABC vuông A b) CM: N;E;F;A nằm đường tròn Chứng minh tứ giác ANEF hình chữ nhật ⇒ đpcm c) C/m: BC2 = 4R.r Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2 = OA AI (Bình phương đường cao tích hai hình chiêu) BC BC = Rr ⇒ BC = 4R.r Mà AH= OA = R; AI = r ⇒ d) SBCIO = ? Ta có BCIO hình thang vuông ⇒ SBCIO = OB + IC OB + IC ×= BC × R.r 2 ⇒ S = (r + R ) rR Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp (O), đường chéo AC BD cắt E Các cạnh bên AD; BC kéo dài cắt F a) Chứng minh: ABCD thang cân b) Chứng tỏ: FD.FA = FB.FC F  = AOD  c) Chứng minh: AED d) Chứng minh: AOCF nội tiếp B A E O D C Gợi ý C/m ABCD hình thang cân:  = ACD  (so le) Do ABCD hình thang ⇒AB//CD ⇒ BAC  = BDC  = ACD   (cùng chắn cung BC) ⇒ BDC Mà BAC  = BCD  = ACB  (cùng chắn cung AB) ⇒ ADC  Ta lại có ADB Vậy ABCD hình thang cân C/m FD.FA = FB.FC C/m Hai tam giác FDB  = FCA  (cmt) ∆FCA đồng dạng Góc F chung FDB  = AOD : C/m: AED •C/m F;O;E thẳng hàng: Vì ∆DOC cân O⇒O nằm đường trung trực Dc Do ACD = BDC(cmt)⇒∆EDC cân E⇒E nằm tren đường trung trực DC Vì ABCD thang cân ⇒∆FDC cân F⇒F nằm đường trung trực DC ⇒ F;E;O thẳng hàng  = AOD  •C/m AED Ta có: Sđ AED = 1 sđ(AD + BC) = 2sđAD = sđAD cung AD = BC(cmt) 2 Mà sđAOD = sđAD(góc tâm chắn cung AD)⇒AOD = AED Cm: AOCF nội tiếp: + Sđ AFC = sđ(DmC - AB) Sđ AOC = SđAB + sđ BC Sđ (AFC + AOC) = 1 sđ DmC - sđAB + sđAB + sđBC(1) 2 Mà sđ DmC = 360o - AD - AB – BC(2) Từ(1) (2) ⇒sđ AFC + sđ AOC = 180o ⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 77: Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn Kẻ OA ⊥ xy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E Đường thẳng BD cắt OA; CE F M; OE cắt AC N a) Chứng minh: OBAD nội tiếp b) Chứng minh rằng: AB.EN = AF.EC   c) So sánh AOD COM d) Chứng tỏ A trung điểm DE C M x O N E B F A D y Gợi ý C/m OBAD nội tiếp: - Do DB tia tiếp tuyến⇒OBD = 1v;OA⊥xy(gt)⇒OAD = 1v⇒đpcm Xét hai tam giác: ABF ECN có: - ABF = NBM(đối đỉnh);Vì BM CM hai tia tiếp tuyến cắt nhau⇒NBM = ECB⇒FBA = ECN - Do OCE + OAE = 2v⇒OCEA nội tiếp⇒CEO = CAO(cùng chắn cung OC) ⇒∆ABF~∆ECN⇒đpcm So sánh;AOD với COM: Ta có: - DĐoABO nội tiếp⇒DOA = DBA(cùng chắn cung ) DBA = CBM(đối đỉnh) CBM = MCB(t/c hai tia tiếp tuyến cắt nhau) Do BMCO nội tiếp⇒BCM = BOM⇒DOA = COM Chứng tỏ A trung điểm DE: Do OCE = OAE = 1v⇒OAEC nội tiếp⇒ACE = AOE(cùng chắn cung AE) ⇒DOA = AOE⇒OA phân giác góc DOE Mà OA⊥DE⇒OA đường trung trực DE⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 78: Cho (O; R) A điểm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E a) Chứng tỏ EC // OA b) Chứng minh rằng: 2AB.R = AO.CB c) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I, J Chứng tỏ chu vi ∆AI J không đổi M di động cung nhỏ BC d) Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J, I, B, C nằm đường tròn B I M O J E C D Gợi ý C/m EC//OA: Ta có BCE = 1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tịn) hay CE⊥BC Mà OA phân giác ∆cân ABC⇒OA⊥BC⇒OA//EC xét hai tam giác vuông AOB ECB có: - Do OCA + OBA = 2v⇒ABOC nội tiếp⇒OBC = OAC(cùng chắn cung OC) mà OAC = OAB (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)⇒EBC = BAO⇒∆BAO~∆CBE ⇒ Ta lại có BE = 2R⇒đpcm Chứng minh chu vi ∆AIJ không đổi M di động cung nhỏ BC Gọi P chu vi ∆ AIJ Ta có P = JI + IA + JA = MJ + MI + IA + JA Theo tính chất hai tia tiếp tuyến cắt ta có: MI = BI;MJ = JC;AB = AC ⇒P = (IA + IB) + (JC + JA) = AB + AC = 2AB không đổi Giả sử BCJI nội tiếp⇒BCJ + BIJ = 2v MaäI + JBI = 2v⇒JIA = ACB Theo chứng minh có ACB = CBA⇒CBA = JIA hay IJ//BC Ta lại có BC⊥OA⇒JI⊥OA Mà OM⊥JI ⇒OM≡ OA⇒M điểm cung BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC A Bài 79: Cho(O), từ điểm P nằm ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M, qua M dựng đường thẳng vng góc với OM, đường cắt PA, PB C D a) Chứng minh: A, C, M, O nằm đường tròn  = AOB  b) Chứng minh: COD c) Chứng minh: ∆COD cân d) Vẽ đường kính BK (O), hạ AH ⊥ BK Gọi I giao điểm AH PK Chứng minh: AI = IH C A K I H M P O D B 1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OM⊥CD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta có: Do OMAC nt⇒OCM=OAM(cùng chắn cung OM) Chứng minh tương tự ta có OMDB nt⇒ODM=MBO(cùng chắn cung OM) Hai tam giác OCD OAB có hai cặp góc tương ứng ⇒Cặp góc cịn lại ⇒COD=AOB 3/C/m ∆COD cân: Theo chứng minh câu ta lại có góc OAB=OBA(vì ∆OAB cân O) ⇒OCD=ODC⇒∆OCD cân O 4/Kéo dài KA cắt PB Q Vì AH⊥BK; QB⊥BK⇒AH//QB Hay HI//PB AI//PQ Ap dụng hệ định lý Talét tam giác KBP KQP có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 80: Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H a) Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC  c) Chứng tỏ KA phân giác DKE d) Gọi I;J trung điểm BC DE Chứng minh: OA // JI x A J D B E O K I C 1/C/m:BDEC nội tiếp: Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE đường cao)⇒Hai điểm D E làm với hai đầu đoạn BC…⇒đpcm 2/c/m AD.AB=AE.AC Xét hai tam giác ADE ABC có Góc BAC chung Do BDEC nt ⇒EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2v⇒ADE=ACB ⇒∆ADE~∆ACB⇒đpcm 3/Do HKBD nt⇒HKD=HBD(cùng chắn cung DH) HKD=EKH Do BDEC nt⇒HBD=DCE (cùng chắn cung DE) Dễ dàng c/m KHEC nt⇒ECH=EKH(cùng chắn cungHE) 4/C/m JI//AO Từ A dựng tiếp tuyến Ax Ta có sđ xAC= sđ cung AC (góc tt dây) Mà sđABC= sđ cung AC (góc nt cung bị chắn) xAC=AED Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC) Vậy Ax//DE.Mà AO⊥Ax(t/c tiếp tuyến)⇒AO⊥DE.Ta lại có BDEC nt đường tròn tâm I ⇒DE dây cung có J trung điểm ⇒JI⊥DE(đường kính qua trung điểm dây không qua tâm)Vậy IJ//AO Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 81: Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường cắt đường tròn E F, cắt AC I (Enằm cung nhỏ BC) a) Chứng minh BDCO nội tiếp b) Chứng minh: DC2 = DE.DF c) Chứng minh: DOCI nội tiếp đường tròn d) Chứng tỏ I trung điểm EF C F I E D O A B 1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến ⇒OBD=OCD=1v ⇒OBD+OCD=2v ⇒BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF D Xét hai tam giác DCE DCF có: D chung Sđ DFC= sđ cung EC (góc nt cung bị chắn)⇒EDC=DFC ⇒∆DCE~∆DFC ⇒đpcm 3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC= sđ(AF+EC) Vì FD//AD ⇒Cung AF=BE ⇒sđ DIC= sđ(BE+EC)= sđ cung BC 2 Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC= BOC⇒sđ DOC= sđBC⇒DOC=DIC ⇒Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc ⇒đpcm 4/C/m I trung điểm EF Do DCIO nội tiếp⇒DIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒DIO=1v hay OI⊥FE.Đường kính OI vng góc với dây cung FE nên phải qua trung điểm FE⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 82: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC, lấy điểm M, AM cắt CD E  a) Chứng minh: AM phân giác CMD b) Chứng minh: tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh NI // CD C I E A F M O N D 1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OA⊥CD ∆COD cân O ⇒OA phân giác góc COD Hay COA=AOD⇒cung AC=AD ⇒góc CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)⇒đpcm 2/cm EFBM nội tiếp: VìCD⊥AB(gt)⇒EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒ EFB+ EMB=2v⇒đpcm 3/Cm: AC2=AE.AM Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AC⇒hai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau) ⇒∆ACE~∆AMC⇒đpcm 4/Cm NI//CD: Vì cung AC=AD⇒góc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay NMI=NBI ⇒Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc ⇒NIBM nội tiếp ⇒Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) ⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Mà CD⊥AB(gt)⇒NI//CD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC B  Bài 83: Cho ∆ABC có A = 90 ; Kẻ AH ⊥ BC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB D a) Chứng minh: AEHF nội tiếp b) Chứng tỏ: HG.HA = HD.HC G A E B  = AFE  c) Chứng minh: EF ⊥ DG FHC d) Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn F C H D 1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtròn) FHE=1v ⇒ BAC+ FHE=2v⇒đpcm 2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai ∆ vng HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1v⇒GAHD nội tiếp ⇒DGH=DAH ( chắn cung DH ⇒DGH=HAC ⇒∆HCA~∆HGD⇒đpcm 3/•C/m:EF⊥DG:Do GH⊥DF DA⊥CG AD cắt GH E ⇒E trực tâm ∆CDG⇒EF đường cao thứ ∆CDG⇒FE⊥DG • C/m:FHC=AFE: Do AEHF nội tiếp ⇒AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC 4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất: Do AEHF nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiêp tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Để EF ngắn I;H;A thẳng hàng hay AEHF hình chữ nhật ⇒HE//AC HF//AB Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 84: Cho ∆ABC (AB = AC) nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ  cắt BC N, cắt (O) AC, phân giác BMC ởI a) Chứng minh: A; O; I thẳng hàng b) Kẻ AK vng góc với đường thẳng MC AI cắt BC J Chứng minh: AKCJ nội tiếp c) Chứng minh: KM.JA = KA.JB A K M O B N J C I 1/C/m A;O;I thẳng hàng: Vì BMI=IMC(gt) ⇒ cung IB=IC ⇒Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)⇒AI phân gíc ∆ cân ABC ⇒AI⊥BC.Mà ∆BOC cân O⇒ có góc tâm chắn cung ⇒đpcm 2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒đpcm 3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vng JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc ngồi tam giác AMC) 2 Mà sđ MAC= sđ cung MC sđMCA= sđ cung AM ⇒sđKMA= sđ(MC+AM)= sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA ⇒∆JBA~∆KMA⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 85: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F a) Chứng minh: BDCF nội tiếp b) Chứng tỏ: CD2 = CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O) c) AC cắt DE I; CB cắt DF J Chứng minh: IJ // AB d) Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) x E y C F I J O A D B 1/Cm:BDCF nội tiếp: Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)⇒FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒đpcm 2/•C/m: CD2=CE.CF Ta có Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt) ⇒CED+CFD=1v nên EDF=1v hay ∆EDF tam giác vng có DC đường cao.Ap dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF •Vì ∆EDF vng D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.⇒đpcm 3/C/m IJ//AB Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chắn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Ta có CD⊥EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính ⇒D≡O Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 86: Cho (O; R (O’; r) R > r, I cắt Avà B Gọi I điểm C đường thẳng AB nằm đoạn D thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với E A M (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K O' O a) Chứng minh ICKD nội tiếp b) Chứng tỏ:IC = IA.IB c) Chứng minh IK nằm đường trung B trực CD F d) IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN.Chứng minh:IE.IF = IM.IN E; F; K M; N nằm đường tròn 1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai đtròn ⇒ICK=IDK=1v ⇒đpcm 2/C/m: IC2=IA.IB Xét hai tam giác ICE ICBcó góc I chung sđ ICE= N sđ cung CE (góc tt dây) Sđ CBI= sđ CE (góc nt cung bị chắn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB  IC=ID⇒I nằm trênđường trung trực CD -Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vng IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K nằm đường trung trực CD.⇒đpcm 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.Ap dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: IF IN = Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ IM IE với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung ⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 87: Cho∆ABC có góc nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC (O) cắt AB; AC D E BE CD cắt H a) Chứng minh: ADHE nội tiếp b) Chứng minh: AE.AC = AB.AD c) AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE d) Gọi I trung điểm AH Chứng minh rằng: IE tiếp tuyến (O) A I D E H B F O C 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta cĩ BDC=BEC=1v(gĩc nt chắn nửa đường trịn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt 2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh ∆AEB v ∆ADC đồng dạng 3/C/m H l tm đường trịn ngoại tiếp tam gic DEF: Ta phải c/m H l giao điểm đường phn gic tam gic DEF -Tứ gic BDHF nt⇒HED=HBD(cng chắn cung DH).M EBD=ECD (cng chắn cung DE).Tứ gic HECF nt⇒ECH=EFH(cng chắn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH l phn gic DEF -Tứ gic BDHF nt⇒FDH=HBF(cng chắn cung HF).M EBC=CDE(cng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH l phn gic gĩc FDE⇒H l… 4/ C/m IE l tiếp tuyến (O):Ta cĩ IA=IH⇒IA=IE=IH= AH (tính chất trung tuyến tam gic vuơng)⇒∆IAE cn I⇒IEA=IAE.M IAE=EBC (cng phụ với gĩc ECB) v AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cn O⇒ OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE điểm E nằm trn đường trịn (O)⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 88: Cho(O; R) (O’; r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD ⊥ AB (C∈(O)) cát tuyến EBF (E∈(O)) a) Chứng minh: A, O, C thẳng hàng A, O’, D thẳng hàng b) Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Chứng minh rằng: AEKF nội tiếp c) Chứng minh: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ACD d) Chứng tỏ: FA.EC = FD.EA A E O C O' B D F K 1/C/m AOC AO’D thẳng hàng: -Vì AB⊥CD ⇒Góc ABC=1v⇒AC đường kính (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng 2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm 3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ∆ACD Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA Ta chứng minh hai tam giác vng FAD EAC đồng dạng EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC  Bài 89: Cho ∆ABC có A = 90 Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’; r) tiếp xúc với BC C Gọi M; N trung điểm AB; AC, OM ON kéo dài cắt K a) Chứng minh: OAO’ thẳng hàng b) Chứng minh: AMKN nội tiếp c) Chứng minh: AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC d) Chứng tỏ: 4MI2 = Rr O' A O M B N I C K 1/C/m AOO’ thẳng hàng: -Vì M trung điểm dây AB⇒OM⊥AB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ góc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v ⇒đpcm 2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’) -Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OA⊥AK điểm A nằm đường tròn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’) -C/m K nằm BC: Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC Nhưng AMKN hình chữ nhật⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr Vì ∆OKO’ vng K có đường cao KA.Ap dụng hệ thue=ức lượng tam giác vng có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI= AK⇒đpcm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB > BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F a) Chứng minh: BDEF nội tiếp b) Chứng tỏ:DA.DF = DC.DE c) Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Chứng minh rằng: DIMF nội tiếp d) Gọi H giao điểm AC với FE Chứng minh: AI.AM = AC AH E B A O I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vng DAC DEF có: Do BF⊥AE ED⊥AF nên C trực tâm ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm 3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vng góc với dây DB)⇒∆ADB cân A⇒ AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)⇒Đường trịn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm đường AM ⇒góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm 4) Chứng minh AI.AM=AD.AF AD.AF=AC.AH Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... MN đường kính ⇔ M điểm cung AB Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 10: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư... thẳng hàng C/m: BI = DI:  =1v (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay AI ⊥ DB,có A * Cách 1: Ta có BAI trung điểm ⇒ AI đường trung trực BD ⇒ ∆IBD cân I ⇒ ID = BI  = ABI  (cùng chắn cung AI) ∆ADC