Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 182 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
HÌNH HỌC Bài Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD biết AB = cm BC = cm Lời giải Gọi I giao điểm đường chéo AC BD ABCD hình chữ nhật nên AC = BD I đồng thời trung điểm AC BD = IB = IC = ID = Do đó, IA AC C B I D A Như vậy, đường tròn ( I ; IA) đường tròn ngoại tiếp ABCD Tam giác ABC vuông B nên theo định lý Py-ta-go ta có: AC = AB + BC = 82 + 62 = 100 ⇒ AC = 10 cm ⇒ IA = AC 10 = = cm 2 Vậy ( I ;5cm) đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết BC = 20 cm, AB = Tính HB , AC HC Lời giải C H A Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 B TÀI LIỆU TỐN HỌC Tam giác ABC vng A , có đường cao AH nên ta có BH BC = AB CH BC = AC Do 2 BH BC AB AB BH BH 16 = = = ⇔ = ⇔ CH BC AC CH CH AC ⇔ BH CH BH + CH BC 20 = = = = = 16 16 + 25 25 ⇒ BH = 4 16 = 12 ,8 (cm); CH = = , (cm) 5 Vậy BH = 12,8 cm CH = 7, cm Bài Cho đường tròn ( O ) , đường kính AB Lấy điểm C nằm đường tròn ( C ≠ A, C ≠ B ) Các tiếp tuyến đường tròn ( O ) A C cắt D Gọi H hình chiếu vng góc C đường thẳng AB I giao điểm BD CH Chứng minh CI = HI Lời giải Gọi BC ∩ AD = { E} Xét ( O ) có: (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn ABC = ACD = DAC AC ) + + DEC =° = ⇒ ∆DEC cân D ACD =° 90 , DAC 90 ⇒ DEC DCE Ta có ECD ⇒ DE = DC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Mà DA = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ DE = DA = DC Xét ∆BED có IC ED ⇒ IC BI = (định lý Ta-lét) DE BD Xét ∆BAD có HI AD ⇒ HI BI = (định lý Ta-lét) AD BD ⇒ HI IC = AD DE Mà AD = DE (chứng minh trên) ⇒ IH = IC ⇒ I trung điểm HI Bài Cho hai đường tròn ( O ) ( O ') cắt hai điểm A B Vẽ tiếp tuyến chung CD hai đường tròn ( C thuộc ( O ) , D thuộc ( O ') ) Lấy hai điểm E , F thuộc đường tròn ( O ) ( O ') cho ba điểm E ; B ; F thẳng hàng ( B nằm E F , E ≠ B, F ≠ B ) EF song song với CD Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AD với EF CA với EF K giao điểm hai đường thẳng EC FD Chứng minh rằng: ∆BCD a) ∆KCD = b) KP = KQ Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = (hai góc đồng vị) ⇒ KFE KDC = DFB a Ta có FE CD ⇒ KDC Xét ( O ') có CD tiếp tuyến = DFB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây chắn BD ) CDB ( ) ⇒ KDC = CDB = DFB Xét ( O ) có CD tiếp tuyến = BEC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây chắn BC ) BCD KCD = KEF (hai góc đồng vị) ⇒ KCD = BEC Có: FE CD ⇒ = ⇒ KCD BCD Xét ∆KCD ∆BCD có: = BCD KCD CD chung ⇒ ∆KCD = ∆BCD ( g − c − g ) = BDC KDC KC = BC b Có: ∆KCD = ∆BCD ⇒ KCD = BCD KCB ⇒ ∆KCB cân C CD tia phân giác ⇒ CD ⊥ BK Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta có CD EF ⇒ BK ⊥ EF Gọi AB ∩ CD = {I } Ta có ∆ICB ∽ ∆IAC ( g − g ) ⇒ IC IB = ⇔ IC = IA.IB IA IC ∆IDA ∽ ∆IBD ( g − g ) ⇒ ID IA = ⇔ ID = IA.IB IB ID ⇒ IC = ID ⇒ IC = ID ⇒ I trung điểm CD Xét ∆ADI có PB ID ⇒ AB BP = (định lý Ta-lét) AI ID Xét ∆ACI có QB IC ⇒ AB BQ = (định lý Ta-lét) AI CI ⇒ BP BQ = ID CI Mà CI = DI (chứng minh trên) ⇒ BP = BQ Xét ∆KQP có KB vừa đường cao, đường trung tuyến ⇒ ∆KQP cân K ⇒ KQ = KP Bài Cho đường tròn (O; R) Điểm M ngồi đường trịn cho OM R Kẻ hai tiếp tuyến MA , MB tới đường tròn ( A , B tiếp điểm) Nối OM cắt AB H , hạ HD MA D , điểm C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến C đường tròn (O; R) cắt MA , MB E , F a) Chứng minh MAOB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: OH OM OA2 c) Đường trịn đường kính MB cắt BD I , gọi K trung điểm OA Chứng minh ba điểm M , I , K thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) Do MA , MB tiếp tuyến A , B đường tròn O nên MA OA MB OB MBO 90 MAO MBO 90 90 180 MAO Vậy tứ giác MAOB tứ giác nội tiếp b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA MB MO tia phân giác AMB MAB cân M , có MO phân giác MO đường trung trực AB MO AB H MAO vng A có đường cao AH OH OM OA2 OA R 30 OMA OM R MO tia phân giác AMB 60, mà MAB cân MAB tam giác AMB c) MAO vuông A sin OMA R.cos 30 R Lại có: MA OM cos OMA 90 hay Gọi N giao đường trịn đường kính MB với MA MNB BN MA MAB N trung điểm MA AN MA R 2 HD MA , BN MA HD BN , mà H trung điểm AB (do MO đường trung trực AB ) D trung điểm AN DN Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 AN R R :2 2 TÀI LIỆU TỐN HỌC BMN vng N có AMB 60 , MB R 3R BN MB.sin AMN R 3.sin 60 DN R : 3R R BND vuông N tan NBD 4 3R BN (hai góc nội tiếp chắn Gọi K giao điểm MI OA AMK NBD ) NI tan AMK tan NBD R MAK vuông A AK MA.tan AMK R AK OA 2 K trung điểm OA K trùng với K Vậy ba điểm M , I , K thẳng hàng Chú ý: Nội dung giả thiết “Tiếp tuyến C đường tròn (O; R) cắt MA , MB E , F ” nhằm mục đích gây nhiễu Bài Cho đoạn thẳng HK = 5cm Vẽ đường trịn tâm H , bán kính 2cm đường trịn tâm K , bán kính 3cm a) Xác định vị trí tương đối hai đường trịn b) Trên đoạn thẳng HK lấy điểm I cho IK = 1cm Vẽ đường thẳng qua I vng góc với HK , đường thẳng cắt đường tròn ( K ) hai điểm P, Q Tính diện tích tứ giác HPKQ Một bể cá làm kính dạng hình hộp chữ nhật tích 500dm3 chiều cao 5dm (bỏ qua chiều dày kính làm bể cá) a) Tính diện tích đáy bể cá b) Đáy bể cá có chu vị nhỏ bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC P I H K Q a) Gọi R1 , R2 bán kính hai đường trịn ( H ) , ( K ) nói Ta có 2+3= = R1 + R2 = HK Suy hai đường tròn ( H ) , ( K ) nói tiếp xúc b) Vì IK ⊥ PQ nên tam giác PIK vng I có PI = PK − IK = 32 − 12 = 8= 2 = KQ = R ) IK ⊥ PQ nên I trung điểm PQ Vì tam giác ∆PKQ cân K ( KP Suy PQ = PI = ⋅ 2 = Vì PQ ⊥ HK ⇒ S HPKQ = 1 PQ ⋅ HK = ⋅ ⋅ = 10 ( cm ) 2 a) Tính diện tích đáy bể cá Vhop = S day ⋅ h ⇒ S day = Vhop 500 = = 100 ( dm ) h b) Đáy bể cá có chu vị nhỏ bao nhiêu? Tại sao? Gọi a, b chiều dài chiều rộng bể cá Ta có P= ( a + b ) ≥ ab = S day = 100 = 40 ( dm ) (Theo bất đẳng thức Cauchy) day Vậy chu vi đáy bể cá nhỏ 40dm Dấu xảy a= b= 10 ( dm ) Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài Cho Cho đường trịn ( O; R ) đường kính AB Điểm M nằm ( O; R ) với MA < MB (M ≠ A, M ≠ B ) Tiếp tuyến M ( O; R ) cắt tiếp tuyến A B ( O; R ) C , D a) Chứng minh tứ giác ACDB hình thang vng b) Biết AD cắt ( O; R ) E khác A , OD cắt MB N Chứng minh DE.DA = DN DO c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt đường thẳng AM F Chứng minh OFDB hình chữ nhật Lời giải D F E M C N A O B a) Vì AC , BD tiếp tuyến ( O; R ) nên AC ⊥ AB ; BD ⊥ AB (tính chất tiếp tuyến) ⇒ AC // BD ( tính chất từ vng góc đến song song) ⇒ Tứ giác ACDB hình thang = 900 ( AC ⊥ AB ) nên tứ giác ACBD hình thang vng Mà CAB b) Ta có DB, DM tiếp tuyến (O) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ OD phân giác MOB nên OD đường OB= OM= R ⇒ ΔOBM cân O có OD phân giác MOB trung trực BM ⇒ DO ⊥ BM N Xét ∆BOD vng B có: BN ⊥ DO ( cmt) ⇒ BD = DN DO ( hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC AEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay BE ⊥ AD Xét ∆BAD vuông B có: BE ⊥ AD ( cmt) ⇒ BD = DE.DA ( hệ thức lượng tam giác vuông) ( ) Từ (1) ( ) ta có DE.DA = DN DO (cùng BD ) AMB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) c) ⇒ BM ⊥ AF M Ta có BM ⊥ AF ; BM ⊥ OD ( cmt) ⇒ AF // OD (cùng vng góc với BM ) = ( hai góc đồng vị) ⇒ FAO DOB Xét ∆AOF ∆OBD có: = DOB (cmt) FAO OA = OB = R FOA = DBO = 900 ⇒ ∆AOF = ∆OBD (g – c – g) ⇒ FO = BD ( hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác OFBD có: FO // BD ( ⊥ AB ) FO = BD ( cmt) Suy tứ giác OFBD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) = 900 (Vì FO ⊥ AB ) Mà FOB Suy tứ giác OFBD hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) Bài Cho đường tròn ( O; R ) dây BC < R Trên cung lớn BC lấy điểm A cho AB < AC Các đường cao AD BF tam giác ABC cắt I 1) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn xác định tâm đường trịn 2) Chứng minh: CD.CB = CF CA 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt ( O; R ) điểm H ( H khác C ) Vẽ đường kính CK ( O; R ) gọi E trung điểm AB Chứng minh AKBI hình bình hành điểm K , E , H thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = HAB (góc chung) DAH ADH= AHB= 90° Do ∆ADH ∽ ∆AHB (g.g) AH AD = AB AH ⇒ AH = AD AB (1) Suy Chứng minh tương tự, ta có ∆AEH ∽ ∆AHC (g.g) AH AE = AC AH ⇒ AH = AC AE ( ) Suy Từ (1) ( ) suy AD AB = AC AE b) Gọi P giao điểm AC DE Ta có: =H (2 góc nội tiếp chắn cung AE đường tròn tâm K ) D 1 =H ( phụ với H ) C 1 = ( 3) ⇒D C 1 Vì O trung điểm BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ∆ABC vuông A BC ⇒ ∆OAC cân O ( hai góc đáy ) ⇒ A = C Suy AO = OC = Từ ( 3) ( ) suy ( 4) = D A1 +E = 90° ( ∆ADE vng A ) Ta lại có D 1 = 90° ⇒ A1 + E Xét ∆APE , có: + A1 + E APE = 180° (định lí tổng góc tam giác ) ( ) = 180° − 90= ⇒ APE = 180° − A1 + E ° 90° ⇒ AO ⊥ DE P c) Vì tứ giác ADHE hình chữ nhật nên trung điểm K đường chéo AH trung điểm DE Đường trung trực DE đường trung trực BC cắt I Suy ra: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC IK đường trug trực DE suy ID = IE ( ) OI đường trug trực BC suy IB = IC ( ) Ta có: ( vng góc với BC ) Mà K ∈ AH nên suy AK // OI Ta lại có: KI // AO ( vng góc với DE ) Suy tứ giác AKIO hình bình hành KI AK = OI ( cạnh đối hình bình hành ) ⇒ AO = Vì tứ giác ADHE hình chữ nhật , K giao điểm đường chéo AH DE nên KA = KE ⇒ KE = OI ⇒ ∆EKI = ∆IOC (c.g.c ) ⇒ IE = IC ( cạnh tương ứng ) ( ) Từ ( ) , ( ) ( ) suy IB = ID = IE = IC ⇒ Tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn tâm I , bán kính IC Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vng A , ta tính BC = AB + AC = 152 + 202 = 625 = 25 ( cm ) ⇒ OC = BC : 2= 25 : 2= 12 ,5 ( cm ) Vì tam giác ABC vng A , có đường cao AH nên suy ra: AB.AC = AH BC ⇒= AH : BC (15.20= ( AB.AC )= ) : 25 12 ( cm ) Vì K trung điểm AH nên = AK AH = : 12 = :2 = AK = ⇒ OI Ta có ∆IOC vuông O nên suy ra: IC = OI + OC ( định lí Pytago ) ⇒ IC =62 + (12 ,5 ) =36 + 156 , 25 = 192 , 25 ⇒= IC 192 , 25 ≈ 13,87 ( cm ) Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC 13,87 cm Bài 85 Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn ( O ) vẽ cát tuyến ADE không qua tâm O hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn tâm ( O ) (Với B, C tiếp điểm) OA cắt BC H , DE cắt đoạn BH I Chứng minh: a) OA ⊥ BC H AB = AD AE b) Tứ giác DEOH nội tiếp c) AD.IE = AE.ID Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC B E I O D A H P C a) OA ⊥ BC H AB = AD AE Ta có: AB AC tiếp tuyến đường tròn ( O ) cắt A (gt) ⇒ AB = AC (t/c) = OC = R mà OB Suy A O đường trung trực BC Suy AO ⊥ BC +) Xét ∆ ABD ∆ AEB có (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung ABD = BED BD ) chung BAD ⇒ ∆ABD ∽ ∆AEB (g – g) ⇒ AB AD = ⇒ AB = AD AE AE AB b) Xét tam giác ABC vng B có: AB = AH AO (hệ thức lượng tam giác vuông) mà AB = AD AE (cmt) ⇒ AD AE = AO AH AD AH ⇒ = AO AE ⇒ ∆ADH ∽ ∆AOE (c- g- c) = AEO ⇒ AHD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ⇒ Tứ giác OHDE nội tiếp (góc ngồi góc đối trong) c) AD.IE = AE.ID +) Xét tam giác ABC vng B có đường cao BH : OB = AH AO (hệ thức lượng tam giác vuông) mà OE = OB = R ⇒ OE = OH OA ⇒ OE OH = OA OE ⇒ ∆AEO ∽ ∆EOH (c− g − c) = (góc tương ứng) ⇒ OHE OEA = mà OEA AHD (tứ giác OHDE nội tiếp) = ⇒ OHE AHD + EHI = = Lại có OHE AHD + DHI 90° = ⇒ EHI DHI ⇒ DI tia phân giác EHD ⇒ HE IE =(tính chất đường phân giác tam giác) (1) HD ID = +) Ta có EHO AHD (cmt) = mà EHO AHP (đối đỉnh) ⇒ AHD = AHP hay HA đường phân giác đỉnh H ⇒ HA tia phân giác DHP tam giác EHD ⇒ HE AE = (tính chất đường phân giác tam giác) (2) HD AD Từ (1) (2): Bài 86 IE AE = ⇒ AD.IE = AE.ID (đpcm) ID AD Cho ∆ ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Tia EF cắt tia CB K a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp KF.KE = KB.KC b) Đường thẳng KA cắt (O) M Chứng minh tứ giác AEFM nội tiếp c) Gọi N trung điểm BC Chứng minh M, H, N thẳng hàng Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Lời giải A E M F H O K B D C N Q a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp KF.KE = KB.KC (1đ) Xét tứ giác BFEC : = BEC = 90° ( BE , CF đường cao ∆ABC ) BFC ⇒ F , E thuộc đường trịn đường kính BC ⇒ Tứ giác BEDC nội tiếp đường trịn đường kính BC = KCE (góc ngồi = góc đối trong) ⇒ KFB ⇒ ∆KFB ∆KCE (g-g) ⇒ KF KE = KB.KC b) Chứng minh tứ giác AEFM nội tiếp (1đ) Ta có: Tứ giác AMBC nội tiếp (O) = KCA (góc ngồi = góc đối trong) ⇒ KMB = KCA Xét ∆KMB ∆KCA có: KMB : chung MKB Do đó: ∆KMB ∽ ∆KCA (g – g) ⇒ KM KB = ⇒ KM.KA = KB KC KC KA Mà: KF KE = KB.KC ⇒ KF KE = KM KA = KAE ⇒ Tứ giác AEFM nội tiếp (góc ngồi = ⇒ ∆KFM ∽ ∆KAE (c-g-c) ⇒ KFM góc đối trong) c) Chứng minh M, H, N thẳng hàng (0,75đ) Kẻ đường kính AQ (O) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Xét (O) ABQ= ACQ= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AK ) ⇒ AB ⊥ BQ; AC ⊥ CQ Mà: AB ⊥ CH ; AC ⊥ BH ⇒ CH / / BQ; BH / / CQ ⇒ BHCQ hình bình hành ⇒ N trung điểm HQ ⇒ H , N , Q thẳng hàng (1) AEFM nội tiếp (cmt) AEHF nội tiếp ⇒ A, E , H , F , M thuộc đường tròn ⇒ AEHM nội tiếp ⇒ AMH = AEH = 900 mà AMH góc nội tiếp (O) ⇒ AMH chắn nửa (O) ⇒ M , H , Q thẳng hàng (2) Từ (1) (2) ⇒ M , H , N , Q thẳng hàng ⇒ M , H , N thẳng hàng Bài 87 Từ điểm S ngồi đường trịn ( O ) vẽ tiếp tuyến SA ( A tiếp điểm) cát tuyến SBC đến đường tròn ( O ) ( A thuộc cung nhỏ BC ) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh : SA2 = SB SC tứ giác SAHO nội tiếp đường trịn b) Kẻ đường kính AK ( O ) Tia SO cắt CK E Chứng minh : EK BH = AB.OK Tia AE cắt ( O ) D Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng Lời giải A C H E O D B S K Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Lời giải a) Xét ∆CAS ∆ABS có: ASB chung (góc tạo tiếp tuyến dây) ACS = BAS ⇒ ∆CAS ∆ABS ( g g ) ⇒ AS CS = ⇒ AS = BS CS BS AS H trung điểm BC ⇒ OH ⊥ BC Xét tứ giác ASOH có: = OHS 90°(OH ⊥ BC ) = OAS 90°( AO ⊥ AS ) ⇒ Tứ giác ASOH nội tiếp đường tròn b) Xét đường tròn (O) có: (cùng chắn CA ) ABC = CKS Xét đường trịn đường kính OS có: AHS = AOS (cùng chắn cung nhỏ AS ) = Mà EOK AOS (2 góc đối đỉnh) ⇒ AHS = EOK Xét ∆AHB ∆EOK có: ABH = EKO AHB = EOK ⇒ ∆AHB ∆EOK (g – g) ⇒ AB HB = ⇒ EK HB = AB.OK EK OK c) VÌ ∆AHB ∆EOK (Cmt) ⇒ EK 2OK AK = − AB BH BC EK AK ∆KEA ∆BAC (vì ) AKE = ABC = AB BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = ⇒ KAE ACB(1) = BCK (2) Mà BAK + BAK = ⇒ BAD = Từ (1) (2) suy ra: KAE ACB + BCK ACK =° 90 góc nội tiếp (O) chắn cung BD BAD = 90° nên BD đường kính BAD (O) Vậy điểm B, O, D thẳng hàng Từ điểm A nằm (O) , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C hai tiếp điểm), Bài 88 gọi H giao điểm OA BC Kẻ đường kính BK (O) , AK cắt (O) E a) b) c) M Chứng minh: tứ giác OBAC nội tiếp AB = AE AK Chứng minh: tứ giác OHEK nội tiếp CE ⊥ HE Tia BK tia AC cắt F , kẻ CI ⊥ BK ( I ∈ BK ) , AK CI cắt Gọi N trung điểm AB Chứng minh: ba điểm F , M , N thẳng hàng Lời giải B N O H A I E M K C S F a) Chứng minh: tứ giác OBAC nội tiếp =90° Vì AB tiếp tuyến ( O ) ⇒ AB ⊥ OB ⇒ OBA =90° Vì AC tiếp tuyến ( O ) ⇒ AC ⊥ OC ⇒ OCA + OCA = ⇒ OBA 180° Vậy tứ giác OBAC nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180° ) = 90° (góc nội tiếp chắn nửa ( O ) ) Ta có: BEK ⇒ BE ⊥ AK Xét ABK vng B , có đường cao BE AE AK = AB (hệ thức lượng tam giác vng) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Xét ABO vng B, có đường cao BH AH AO = AB (hệ thức lượng tam giác vuông) ⇒ AH AO = AE AK (= AB ) Xét AHE AKO có: chung OAK AH AE = (vì AH AO = AE AK ) AK AO ⇒ ∆AHE ∆ΗKO (c.g.c) ⇒ AHE = AKO Vậy tứ giác OHEK nội tiếp (tứ giác có góc ngồi góc đối trong) Chứng minh: CE ⊥ HE =90°(OA ⊥ BC ) AHE + EHC (cmt ) AHE = EKB Mà = ECB (góc nội tiếp chắn cung BE ( O ) ) EKB + EHC =° ⇒ ECB 90 ⇒ ∆EHC vuông E ⇒ CE ⊥ HE c) Chứng minh điểm F , M , N thẳng hàng Gọi S giao điểm KC BA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa ( O ) ) BCK ⇒ BC ⊥ SK ⇒ ∆BKS có O trung điểm BK , OA KS (cùng ⊥ BC ) ⇒ A trung điểm BS ⇒ AB = AS IM AB(⊥ BK ) ⇒ IM KM = (hệ Talet ∆KBA ) BA KA CM AB(⊥ BK ) ⇒ CM KM = (hệ Talet ∆KSA ) AS KA ⇒ IM CM KM = (= ) BA AS KA Mà BA = AS (cmt ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = CM ⇒ M trung điểm IC Nên IM Bài 89 Cho đường tròn ( O ; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB , AC ( O ) ( B , C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE ( O ) ( D , E thuộc ( O ) ; D nằm A E ; tia AD nằm hai tia AB AO a) Chứng minh AB = AD AE b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh tứ giác DEOH nội tiếp c) Đường thẳng AO cắt đường tròn ( O ) M N ( M nằm A O ) Chứng minh EH AD = MH AN Lời giải a) Chứng minh AB = AD AE A chung Xét ∆ABD ∆AEB có ABD = AEB chaén BD ( ) Vậy ∆ABD ∽ ∆AEB (g – g) Suy AB AD = ⇔ AB = AD AE AE AB b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh tứ giác DEOH nội tiếp A chung Xét ∆AHB ∆ABO có ⇒ ∆AHB ∽ ∆ABO (g – g) AHB= ABO= 90° Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ⇒ AH AD AH AB AB hay AH AO = AD AE ⇒ =⇔ AH AO = = AE AO AB AO A chung Xét ∆AHD ∆AEO có AH AD ⇒ ∆AHD ∽ ∆AEO (c – g – c) = AE AO ⇒ ADH = AOE Do tứ giác DEOH nội tiếp (Tứ giác có góc góc đối ngồi) c) Đường thẳng AO cắt đường tròn ( O ) M N ( M nằm A O ) Chứng minh EH AD = MH AN DEH 1= Ta có= DEM DOM 2 Suy EM phân giác ∆EAH ⇒ ∆AEM ∽ ∆AND (g – g) ⇒ Từ (1) ( ) suy Bài 90 EH MH = AE AM (1) AE AM = AN AD ( 2) EH AE MH AM ⇔ EH AD = MH AN = AE AN AM AD Cho hình vng ABCD có cạnh cm Điểm N nằm cạnh CD cho DN = cm , P điểm nằm tia đối tia BC cho BP = DN ∆ADN tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn a) Chứng minh ∆ABP = b) Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANCP = 45° Chứng minh MP = MN tính c) Trên cạnh BC , lấy điểm M cho MAN diện tích ∆AMN Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC P A B O M D N C ∆ADN tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn a) Chứng minh ∆ABP = AB = AD ( gt ) ∆ADN (c – g – c) Xét ∆ABP ∆ADN , có: ABP= ADN= 90° ⇒ ∆ABP = BP = DN = cm ( ) ⇒ APB = AND (hai góc tương ứng) ⇒ Tứ giác ANCP nội tiếp đường trịn b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP = 90° Tứ giác ANCP nội tiếp, ta có NCP = 90° ⇒ NP đường kính đường tròn (O) NAP ⇒ NP = AN + AP = (1) AN ∆ADN vuông D , nên AN = Từ (1) ( ) suy= ra: NP AD + DN = ( 2) 62 + 22 = 10 = 2.2 10 ( cm ) ⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP ( cm ) Độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP là:= C 2= π R 2π 2= 5π ( cm ) = 45° Chứng minh MP = MN tính c) Trên cạnh BC , lấy điểm M cho MAN diện tích ∆AMN Ta có A1 + A2 + A3 = 90° ⇒ A1 + A3 = 45° Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC =° Mà A4 + A3 = 45° ⇒ MAP A1 = A4 nên 45 AM chung = MAP=( 45° ) Xét ∆MAN ∆MAP , có: MAN AN = AP ⇒ ∆MAN = ∆MAP (c – g – c) ⇒ MN = MP AN = AP Ta có MN = MP ⇒ AM ⊥ NP O ON = OP chung P ⇒ ∆POM ∽ ∆PCN (g – g) Xét ∆POM ∆PCN có POM = PCN = ° 90 ( ) ⇒ PM PC = PO.PN ⇒ PM = AM = S ANM = Bài 91 AB + BM = PO.PN 5.4 ( cm ) = = ( cm ) ⇒ BM = PC 62 + 32 = 45 = ( cm ) 1 AM NO 5.2 15 ( cm ) = = 2 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) Kẻ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD ( C nằm A D ) đường tròn ( O ) a) Chứng minh: AB = AC AD b) Gọi CE , DF hai đường cao tam giác BCD Chứng minh EF song song AB c) Tia EF cắt AD G BG cắt đường tròn ( O ) H Chứng minh = HBD HFG Lời giải B E H F A G C O D a) Chứng minh: AB = AC AD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Xét ∆ABC ∆ADB có: ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn A chung; ABC = BDC ) BC ⇒ ∆ABC ∽ ∆ADB ( g − g ) ⇒ AB AC = AD AB ⇒ AB = AC AD b) Chứng minh EF // AB Xét tứ giác CFED có: CFD = CED = 900 ⇒ E , F thuộc đường trịn đường kính CD ⇒ Tứ giác CFED nội tiếp = BDC (góc ngồi = góc đối trong) ⇒ BFE = ABF (cmt) Mà BDC = ABF mà góc vị trí so le ⇒ EF // AB ⇒ BFE = HBD c) Chứng minh HFG = GBA (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn HB ) Ta có: HCF = HGF (2 góc so le EF // AB ) ⇒ HCF = HGF mà GBA ⇒ Tứ giác HGCF nội tiếp (2 đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau) = HCG (2 góc nội tiếp chắn HG ) ⇒ HFG = HBD (tứ giác BHCD nội tiếp, góc ngồi = góc đối trong) Mà HCG = HBD ⇒ HFG Bài 92 Một tượng cao 1, mét đặt bệ Tại điểm A mặt đất bạn Hào nhìn thấy tượng bệ với góc nâng 60° 45° Tính chiều cao bệ Lời giải Vì tam giác ABC vng B = DB AB tan 60°(1) Xét tam giác ABC vng B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC = BC AB tan 45°(2) Từ (1) (2) ⇒ BD = − BC AB(tan 60° − tan 45°) = ⇒ DC AB(tan 60° − tan 45°) = 1, AB(tan 60° − tan 45°) 1, ⇒ AB = tan 60° − tan 45° ⇒ AB ≈ 2m BC AB tan 45° tan 45° 2m = = = Chiều cao bệ mét Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... PQ = PI = ⋅ 2 = Vì PQ ⊥ HK ⇒ S HPKQ = 1 PQ ⋅ HK = ⋅ ⋅ = 10 ( cm ) 2 a) Tính diện tích đáy bể cá Vhop = S day ⋅ h ⇒ S day = Vhop 500 = = 100 ( dm ) h b) Đáy bể cá có chu vị nhỏ bao nhiêu? Tại... chiều rộng bể cá Ta có P= ( a + b ) ≥ ab = S day = 100 = 40 ( dm ) (Theo bất đẳng thức Cauchy) day Vậy chu vi đáy bể cá nhỏ 40dm Dấu xảy a= b= 10 ( dm ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038... OA trung trực BC ) ⇒ AB = AH AO (1) Xét ∆ABD ∆AEB có = ABD AEB = sd BD chung BAD ⇒ ∆ABD # ∆AEB ( gg ) ⇒ AB AD = ⇒ AB = AD AE (2) AE AB Từ (1) (2) suy AH = AO AD = AE ( AB