Luận văn hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong một hệ trụ

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực, tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác LỜI CÁM ƠN Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn TS Hồ Trung Dũng Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình hồn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cám ơn tới tồn thể Thầy giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập khoa Tôi xin chân thành cám ơn Thầy cô Viện Vật lý Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành tốt luận văn Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp Vật lý nguyên tử khóa 22 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối tơi xin cảm ơn gia đình người thân tạo điều kiện giúp tơi hồn thành tốt q trình học tập TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 09 năm 2013 Học viên Phạm Diên Thông MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .4 Mục tiêu nghiên cứu .5 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .5 CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MƠI TRƯỜNG CĨ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ 1.1 Lượng tử hóa trường điện từ mơi trường có phân tán hấp thụ 1.2 Tốc độ truyền lượng CHƯƠNG 2: HÀM GREEN CHO KHỐI TRỤ ĐIỆN MÔI VÔ HẠN 13 2.1 Hàm Green cho khối trụ vô hạn .13 2.2 Các hệ số phản xạ .15 CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ HAI LỚP17 3.1 Công thức tường minh cho tốc độ truyền lượng 17 3.1.1 Hai phân tử đặt đường thẳng song song với trục Oz bên khối trụ.18 3.1.2 Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm mặt phẳng Oxy 20 3.1.3 Các phân tử nằm đường thẳng vng góc với trục Oz 21 3.2 Các cực hàm Green 22 3.3 Phương pháp lấy tích phân .24 CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 27 4.1 Các phân tử nằm mặt phẳng Oxy 27 4.2 Các phân tử nằm đường thẳng song song với trục Oz 30 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 PHỤ LỤC 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề truyền lượng hai nguyên tử phân tử vấn đề quan tâm vật lý học ngành khoa học đại Sự truyền lượng cộng hưởng (resonance energy transfer-RET) hai nguyên tử phân tử chế mà thơng qua ta kích thích hệ ngun tử phân tử Nó đóng vai trị quan trọng sinh học (quang hợp), quang tử nano (LEDs, nano laser), máy tính lượng tử [13] Do việc nghiên cứu chế yếu tố ảnh hưởng đến RET nhiều nhà khoa học quan tâm Bắt đầu từ năm 1946 với cơng trình Purcell [14], người ta biết tốc độ phân rã trạng thái dịch chuyển mức lượng hệ phân tử thay đổi ta đặt mơi trường phù hợp Giống tốc độ rã tự phát dịch chuyển mức lượng, hiệu ứng truyền lượng hai phân tử chịu ảnh hưởng môi trường xung quanh [5] Trước đây, tượng truyền lượng cộng hưởng mô tả qua hai lý thuyết khác nhau, lý thuyết truyền xạ khoảng cách ngắn R / λ > [1], R khoảng cách hai phân tử nguyên tử λ bước sóng phân tử cho Quá trình truyền lượng khoảng cách ngắn vấn đề quan tâm đặc biệt, khoảng cách lớn bước sóng, q trình khác cạnh tranh thành cơng với RET việc giành lấy kích thích phân tử cho (bức xạ tự phát, va chạm phân tử môi trường…) Thực tế RET thay đổi cách đặt cặp phân tử môi trường điện mơi phù hợp từ tăng cường truyền lượng cộng hưởng qua khoảng cách dài Về chất RET trình lượng tử Trong [5], sơ đồ lượng tử cho RET diện mơi trường có tán xạ hấp thụ xây dựng dựa sơ đồ lượng tử hóa cơng trình [4] lý thuyết nhiễu loạn Rất nhiều tính tốn lý thuyết kiểm chứng thực nghiệm thực cho hệ cụ thể mặt phẳng điện môi [5], cầu điện môi [3, 6, 9], sợi nano [11], khối trụ [13],… Các công trình gần khảo sát ảnh hưởng cấu trúc nano kim loại [15], phần tử hữu metalloporplyzin [8], chuỗi DNA đúp [2], graphene [10 ] lên RET Đặc biệt vấn đề truyền lượng cộng hưởng hai phân tử đặt hệ trụ quan tâm Như biết hệ trụ mơ hình gần với thực tế mà điển hình sợi dây nano thường xuyên sử dụng tinh thể hai chiều Sử dụng sơ đồ [5], [13] tác giả khảo sát RET hệ trụ Nếu phân tử cho phân tử nhận đặt gần hình trụ, tốc độ truyền lượng tăng cường hay bị ức chế so với giá trị chân không Trường hợp số điện môi thực khảo sát cho thấy tốc độ truyền lượng tăng cao từ vài lần khoảng 10 lần Mặt khác, với mơ hình Drude – Lorentz tăng lên lên đến 106 lần [13] Hệ trụ có hai dạng cộng hưởng: cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) truyền dọc theo trục z (trục hình trụ) cộng hưởng whispering gallery truyền dọc theo rìa khối trụ Trong cơng trình [13] tác giả giả định phân tử cho phân tử nhận nằm mặt phẳng Oxy Trong luận văn xem xét ảnh hưởng cộng hưởng sóng dẫn cách đặt phân tử cho phân tử nhận đường thẳng song song với trục z Khối trụ hệ hình học hai lớp Bài tốn mở rộng cho hệ ống nanocarbon có cấu hình ba lớp Mục tiêu nghiên cứu - Xem xét ảnh hưởng cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) lên hiệu ứng truyền lượng khối trụ - Sự phụ thuộc tốc độ truyền lượng (tăng giảm) vào yếu tố khoảng cách phân tử, hàm điện mơi, bán kính hình trụ… Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hiện tượng truyền lượng cộng hưởng hệ trụ tính chất • Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình cho phép số điện môi phụ thuộc tần số (tán sắc hấp phụ) Tương tác vật chất – trường điện từ tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo, sách có liên quan đến đề tài luận văn - Viết chương trình (Fortran) tính số chi tiết hàm Green cho hình trụ - Trên sở chương trình viết chương trình tính tốn hiệu ứng truyền lượng dựa công thức rút từ lý thuyết nhiễu loạn bậc hai [5] - Phân tích ý nghĩa vật lý kết số - Để thuận tiện việc trình bày, chúng tơi quy ước ký hiệu tốn học in đậm vectơ ký hiệu vừa in đậm vừa in nghiêng ma trận CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MƠI TRƯỜNG CĨ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ 1.1 Lượng tử hóa trường điện từ mơi trường có phân tán hấp thụ Về chất trình truyền lượng phân tử trình học lượng tử Do đó, yêu cầu thiết phải lượng tử hóa trường điện từ Trong miền tần ˆ toán tử từ trường Bˆ thể qua hệ phương trình số, tốn tử điện trường E Maxwell lượng tử [13] ω ∇ × Eˆ (r, ω ) = i Bˆ (r, ω ) , c ω ∇ × Bˆ (r, ω ) = −i ε (r, ω ) + ˆj(r, ω ) , c c (1.1) (1.2) 0, ∇ ⋅ Bˆ (r, ω ) = (1.3) ˆ (r, ω )] = ∇ ⋅ [ε (r, ω )E ρˆ (r, ω ) (1.4) Trong hệ phương trình ε (r, ω ) hàm điện mơi mơi trường, cịn ρˆ (r, ω ) ˆj(r, ω ) toán tử mật độ điện tích tốn tử dịng điện tích Từ hệ phương trình ta rút phương trình Helmholtz cho tốn tử điện trường Để tìm phương trình cho ˆ , ta loại Bˆ cách viết lại phương trình (1.1) dạng sau tốn tử E c Bˆ (r, ω ) = −i ∇ × Eˆ (r, ω ) ω (1.5) Thế (1.5) vào (1.2) ta thu phương trình Helmholtz cho tốn tử điện trường ω ˆ (r, ω ) − ω ε (r, ω )E ˆ (r, ω ) = ∇ ×∇ ×E i ˆj(r, ω ) c c (1.6) Phương trình vi phân giải phương pháp hàm Green, ta thu ˆ (r, ω ) có dạng biểu thức tốn tử điện trường E ω Eˆ (r, ω ) = i ∫ d sG (r, s, ω )ˆj(s, ω ) , c (1.7) hàm Green G (r, s, ω ) nghiệm phương trình ∇ × ∇ × G (r, s, ω ) − ω2 c2 ε (r, ω )G (r, s, ω= ) I δ (r − s) (1.8) thỏa điều kiện biên vơ cực Trong phương trình (1.8) I tốn tử đơn vị, δ (r − s) hàm delta Dirac Các toán tử điện trường từ trường định nghĩa sau ∞ ˆ (r, ω ) + H.c , dωE (1.9) ∞ dωBˆ (r, ω ) + H.c , (1.10) ˆ (r ) E = 2π ∫0 Bˆ (r ) = 2π ∫0 với H.c phần liên hợp ˆ (r ) B ˆ (r ) thỏa Với dạng biểu thức định nghĩa tốn tử E mãn hệ thức giao hoán ˆ (r ), Eˆ (r′)] [ = = Bˆi (r ), Bˆ k (r′)] , [E i k (1.11) ∂  [ Eˆ i (r ), Bˆ k (r′)] = −i ikl δ (r − r′) , c ∂xl (1.12) ikl tensor Levi – Civita Khi khơng có dịng ngồi, ˆj dịng nhiễu cần thiết để mơ tả hấp thụ vật chất Tốn tử mật độ dịng nhiễu ˆj(r, ω ) thể qua toán tử vectơ trường sở fˆ (r, ω ) sau ˆj(r, ω ) = ω 2 ε ′′(r, ω )fˆ (r, ω ) , (1.13) với ε '' phần ảo số điện môi: ε= (r, ω ) ε '(r, ω ) + iε ''(r, ω ) Toán tử trường fˆ (r, ω ) phương trình (1.13) thỏa mãn hệ thức giao hoán bosonic = [ fˆi (r, ω ), fˆk (r′, ω ′)] [ = fˆi + (r, ω ), fˆk+ (r′, ω ′)] , (1.14) [ fˆi (r, ω ), fˆk+ (r′, ω ′)] = δ ik δ (ω − ω ′)δ (r − r′) (1.15) ˆ (r, ω ) thơng qua tốn tử trường Bây ta biểu diễn tốn tử điện trường E fˆ (r, ω ) cách phương trình (1.13) vào phương trình (1.7) ˆ (r, ω ) = i ω d sG (r, s, ω ) 2 ε ′′(s, ω )fˆ (s, ω ) E ∫ c2 (1.16) Tiếp tục phương trình (1.16) vào phương trình (1.9) ta ˆ (r ) E i  ∞ π ∫0 dω ω2 c ∫d s ε ′′(s, ω )G (r, s, ω )fˆ (s, ω ) + H.c (1.17) Như có biểu thức tốn tử điện trường Đây sở để ta thiết lập Hamilton hệ phân tử trường điện từ, từ tính tốn tốc độ truyền lượng hai phân tử 1.2 Tốc độ truyền lượng Để tính tốn tốc độ truyền lượng cộng hưởng hai phân tử trước hết ta cần xây dựng Hamilton hệ hai phân tử Xét hai phân tử A B với vectơ tọa độ tương ứng rA rB Ở thời điểm, ta xem phân tử giống hệ hai mức với trạng thái | a〉 (| b〉 ) trạng thái kích thích | a′〉 (| b′〉 ) cho phân tử A( B ) Các phân tử dao động xạ với tần số khác trạng thái trạng thái kích thích Tần số phần tử ma trận lưỡng cực tương ứng ωa′a (ωb′b ) µa′a ( µb′b ) Chúng ta sử dụng Hamilton đa cực để mô tả tương tác hệ với trường điện từ Trong mơ tả tương tác Coulomb hai phân tử bỏ qua Thay vào chúng tương tác với thơng qua trường xạ Tốn tử Hamilton tổng qt hệ viết sau Hˆ = Hˆ mol + Hˆ rad + Hˆ int (1.18) Trong phương trình (1.18) Hˆ rad Hamilton đặc trưng cho mật độ lượng trường điện từ diện vật chất ∞ Hˆ rad = ∫ d 3r ∫ dω ωfˆ + (r, ω )fˆ (r, ω ) (1.19) Số hạng thứ phương trình (1.18) mô tả lượng hệ phân tử có dạng Hˆ mol = ωa′aσ A+σ A + ωb ' bσ B+σ B , (1.20) σ A+ σ A toán tử Pauli đảo trạng thái phân tử A tương tự cho phân tử B Số hạng cuối (1.18) Hamilton mô tả tương tác hai phân tử với trường điện từ ˆ (r ) − µˆ E ˆ Hˆ int = − µˆ A E A B (rB ) , (1.21) = µˆ A µa′aσ A+ + µa*′aσ A tương ứng cho toán tử lưỡng cực phân tử A có dạng ˆ (r ) cho phương trình (1.17) phân tử B Toán tử điện trường E Bây xem xét trình truyền lượng hai phân tử A B Giả sử ban đầu hệ trạng thái | i〉 tương ứng với phân tử A trạng thái kích thích, phân tử B trạng thái trường điện từ trạng thái chân không Ta biểu diễn trạng thái hệ dạng = | i〉 | a′, b〉⊗ | 0〉 (1.22) Trong trạng thái hệ có lượng ωa′a Sau có truyền lượng từ phân tử A cho phân tử B hệ chuyển trạng thái cuối | f 〉 tương ứng với phân tử A trạng thái phân tử B trạng thái kích thích Lúc hệ có lượng ωb′b |= f 〉 | a, b′〉⊗ | 0〉 (1.23) Tốc độ truyền lượng hai phân tử cho phương trình 2π w fi = | 〈 f | Tˆ | i〉 |2 δ (ωa′a − ωb′b ) ,  (1.24) Tˆ tốn tử truyền có dạng = Tˆ Hˆ int + Hˆ int Hˆ int Ei − Hˆ + iη (1.25) Trong phương trình (1.25) số hạng Tˆ khơng đóng góp cho tốc độ truyền lượng hai phân tử Ở số hạng thứ hai (1.25) η số dương vơ nhỏ Do yếu tố ma trận tương tác 〈 f | Tˆ | i= 〉 Hˆ int | α 〉〈α | Hˆ int | i〉 , ˆ i − H + iη ∑ 〈 f | Hˆ int E |α 〉 (1.26) với | α 〉 tập hợp đầy đủ trạng thái chuyển tiếp Các trạng thái trung gian có hai loại 10 Từ hình 4.6 ta thấy thay đổi ε '' từ đến 10−3 đường cong không đổi cách khoảng cách z B có giá trị từ tới 3.5λ A Khi ε '' tăng tới ε '' = 10−1 (đường nét gạch) thay đổi trở nên rõ ràng Ảnh hưởng hấp thụ vật chất đáng kể khoảng cách xa so với khoảng cách gần Như Γ tăng liên tục khoảng cách tăng, mà sớm muộn giảm ảnh hưởng hấp thụ vật chất Ta thấy tăng hấp thụ vật chất có xu hướng làm giảm tốc độ truyền lượng cộng hưởng không làm thay đổi đáng kể vị trí đỉnh Γ Chú ý các giá trị ε '' = 10−3 10−1 sử dụng hình vẽ tương đối lớn so với vật liệu điện môi thông dụng 33 KẾT LUẬN Trong luận văn khảo sát hiệu ứng truyền lượng cộng hưởng hai phân tử đặt gần khối trụ, tập trung vào trường hợp phân tử đặt bên khối trụ, đường thẳng song song với trục hình trụ Sử dụng công thức rút từ lý thuyết lượng tử áp dụng cho vật chất có tán sắc hấp thụ, rút biểu thức giải tích cho tốc độ truyền lượng cộng hưởng thể qua hàm Green sau sử dụng tính tốn số để nhận kết vật lý Độ tin cậy chương trình tính số kiểm nghiệm cách phục hồi lại kết tác giả khác cho trường hợp phân tử nằm mặt phẳng mặt cắt hình trụ Kết cho thấy khoảng cách phân tử xa ảnh hưởng khối trụ rõ nét (so với trường hợp không gian tự do) Tốc độ truyền lượng cộng hưởng tăng bậc nhờ có mặt khối trụ Ngược lại, quan sát thấy tượng ức chế hoàn toàn hiệu ứng truyền lượng cộng hưởng khoảng cách phù hợp hiệu ứng giao thoa triệt tiêu Chúng khảo sát ảnh hưởng hấp thụ vật chất lên tốc độ truyền lượng cộng hưởng Việc tính đến hấp thụ vật chất giúp toán trở nên thực tế đặc biệt quan trọng khoảng cách xa phân tử cho phân tử nhận Các tính tốn mở rộng hoàn thiện theo nhiều hướng khác Ví dụ tính đến hướng khác mơmen lưỡng cực phân tử Các hướng khác có mức độ tương tác khác với guided mode ảnh hưởng đáng kể tới tốc độ truyền lượng cộng hưởng Các cơng thức trình bày phần phụ lục bước chuẩn bị cho tính tốn số cho trường hợp hai phân tử cho nhận nằm bên khối trụ, phân tử nằm bên phân tử lại nằm bên ngồi Các cơng thức cho hệ ba lớp sử dụng cho tính tốn cho hệ carbonnanotube 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Avery J S (1966), “Resonance energy transfer and spontaneous photon emission”, Proceedings of the Physical Society, 88(1) Blum C., Zijlstra N., Lagendijk A., Wubs M., Mosk A P., Subramaniam V., Vos W L (2012), “Nanophotonic Control of Förter Resonance Energy Transfer Efficiency”, Physical Review Letters, 109(203601) Druger S D., Arnold S and Forlan L M (1987), “Theory of enhanced energy transfer between molecules embedded in spherical dielectric particles”, Journal of Chemical Physics, 87(2649) H T Dung, Knöll L and Welsch D.-G (1998), “Three-dimensional quantization of the electromagnetic field in dispersive and absorbing inhomogeneous dielectrics”, Physical Review A, 57(3931) H T Dung, Knöll L and Welsch D.-G (2002), “Intermolecular energy transfer in the presence of dispersing and absorbing media”, Physical Review A, 65(043813) Fujiwara H., Sasaki K and Masuhara H (2005), “ Enhancement of Förster energy transfer within a microspherical cavity”, A European Journal of Chemical Physics and Physical Chemistry, 6(2410) Förster T (1948), “Intermolecular Energy Migration and Fluorescence”, Annals of Physics, 2(55) Thanopulos I., Paspalakis E., Yannopapas V (2012), “Plasmon-induced enhancement of nolinear optical rectification in organic materials”, Physical Review B, 85(035111) Klimov V V and Letokhov V S (1998), “Resonance interaction between two atomic dipoles separated by the surface of a dielectric nanosphere”, Physical Review A, 58(3235) 10 Kirill A V., Tigran V S (2012), “Long-range plasmon-assisted energy transfer over doped graphene”, Physical Review B, 86(245432) 11 Le Kien F., Gupta S D., Nayak K P and Hakuta K (2005), “Nanofibermediated radiative transfer between two distant atoms”, Physical Review A, 72(063815) 35 12 Li L.-W., Leong M.-S., Yeo T –S and Kooi P.-S (2000) , “Electromagnentic Dyadic Green’s Function in spectral domain for multilayered cylinders”, Journal of Electromagnetic Waves and Aplication, 14(961) 13 Marocico C A and Knoester J (2009), “Intermolecular resonance energy transfer in the presence of a dielectric cylinder”, Physical Review A, 79(053816) 14 Purcell E M (1946), “Spontaneous emission probabilities at radio frequencies”, Physical Review, 69(674) 15 Vitaliy N P and Tigran V S (2011), “ Resonance energy tranfer near metal nanostructures mediated by surface plasmons”, Physical Review B, 83(085427) 36 PHỤ LỤC CÁC PHƯƠNG TRÌNH XÁC ĐỊNH HỆ SỐ PHẢN XẠ CHO HỆ TRỤ HAI VÀ BA LỚP Ta đưa vào ma trận chuyển −1 T f( H ,V ) =τ (f H( ij,V) )  4×4 = F( (fH+1),V f)   F ff( H ,V )  , với  F((fH+1),V )f  −1 (1) ma trận nghịch đảo ma trận F((fH+1),V )f T f( H ,V ) ma trận × Khi viết lại phương trình (2.8) dạng sau H ,V C= T f( H ,V ) C (fsH ,V ) + δ sf A2  − δ sf +1 A1 ( f +1) s (2) Như vậy, vấn đề phải giải N phương trình ma trận thu từ hệ ( H ,V ) thức (2.16) để tìm hệ số C1(sH ,V ) , C2( Hs ,V ) , C Ns Đối với khối trụ nhiều lớp có ba trường hợp là: điểm nguồn lớp cùng, điểm nguồn lớp trung gian điểm nguồn lớp Từ phương trình (2) thu hệ thức truy hồi điểm nguồn vị trí C (fsH ,V ) = T f( H−1,V ) Ts( H ,V ) Ts(−H1 ,V ) T1( H ,V ) C1(sH ,V ) + (1 − δ sN )u ( f − s − 1) A2 − (1 − δ s1 )u ( f − s ) A1  , (3) hàm u ( x) = x ≥ u ( x) = x < Bằng cách đặt f = N phương trình (3), ta thu phương trình ma trận cho hệ số lớp lớp Giải phương trình ma trận ta thu hệ số cho lớp lớp Bây ta định nghĩa ma trận chuyển có dạng sau K ( H ,V )   ( H ,V )   ( H ,V )   ( H ,V )   ( H ,V )  = T(KH ,V ) τ = ij  4×4 TN −1  TN −2  TK +1  TK  (4) Khi xét lớp hệ số thu từ phương trình ma trận sau 37  (1 − δ s1 )C1(1sH ,V )  1s (1 − δ s1 )C2( H ,V )  1( H ,V ) (1 − δ sN )C1(′1Hs ,V )  τ 11 = 1( H ,V ) ′1sH ,V )  τ 21 (1 − δ sN )C2( τ121( H ,V )   τ 221( H ,V )  s ( H ,V )  τ 11 τ12s ( H ,V )  (1 − δ s1 ) 0 ×    s ( H ,V ) s ( H ,V )  0 τ τ      21 22 s ( H ,V ) τ 13 τ14s ( H ,V )  0 (1 − δ sN )   −   s ( H ,V ) s ( H ,V )  0 τ τ  23    24 (5) Tương tự ta thu hệ số ứng với lớp cuối sau 1( H ,V )  (1 − δ s1 )C3(NsH ,V ) (1 − δ sN )C3( ′ NsH ,V )  τ 31    = 1( H ,V ) Ns (1 − δ s1 )C4(NsH ,V ) (1 − δ sN )C4(  τ 41 ′ H ,V )   s ( H ,V ) τ 31 − s ( H ,V ) τ 41 s ( H ,V ) τ 33 + s ( H ,V ) τ 43 τ 321( H ,V )   C1(1sH ,V ) C1(′1Hs ,V )  × τ 421( H ,V )  C2(1s H ,V ) C2(′1sH ,V )  τ 32s ( H ,V )  (1 − δ s1 ) 0   τ 42s ( H ,V )   0 τ 34s ( H ,V )  0 (1 − δ sN )     τ 44s ( H ,V )  0 (6) Thay hệ số phương trình (5) (6) vào phương trình (3) ta thu hệ số hàm Green tán xạ Áp dụng khối trụ hai lớp 1.1 Điểm nguồn nằm bên khối trụ Khi điểm nguồn đặt vị trí bên ngồi khối trụ ( s = 1) , hàm Green viết dạng sau: với trường hợp f = 11 (r, r′) Ges i = 8π +∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η12 ∫−∞ dh ∑  (1) (h)M′(1) (− h) + C1′V11N (1) (h)N′(1) (− h) × C1′11 HM e e e e o nη1 o nη1 o nη1 o nη1   (1) (h)M′(1) (− h) + C2′11 + C2′11 M (1) (h)N′(1) (− h)  HNo V e o e e nη1 o nη1 e nη1 o nη1  Tương tự trường hợp f = ta có 38 (7) Ges21 (r, r′) i = 8π +∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η12 ∫−∞ dh ∑  × C3′21 (h)M′(1) (− h) + C3′V21N e (h)N′(1) (− h) HM e e nη e nη o nη1 o nη1 o o  + C4′21 HNo e nη1 (8)  (h)M′(1) (− h)  e e nη1 o nη1  (h)M′(1) (− h) + C4′21 V Mo e nη o Áp dụng phương trình (2.17), ta thu hệ thức truy hồi cho trường hợp s = sau ( H ,V ) = C (f H1 ,V ) T f( H−1,V )  T1( H ,V ) C11 + A2  (9) Bằng cách đặt f = phương trình (9) hệ thức truy hồi thỏa mãn hệ số ma trận vùng bên bên khối trụ Các hệ số chưa biết vùng bên ngồi thể thơng qua phương trình ma trận có dạng sau  C1(′11H ,V )  τ 1( H ,V )   = −  11 1( H ,V ) 11 C2(  τ 21  ′ H ,V )  τ121( H ,V )  τ131( H ,V )  τ 221( H ,V )  τ 231( H ,V )  −1 (10) Sử dụng hệ số phương trình (10), ta viết hệ số cho vùng bên khối trụ sau  C3( ′ NH1 ,V )  τ 1( H ,V ) τ 1( H ,V )   C1(′11H ,V )  τ 1( H ,V )  32  =  +  33   −  31 1( H ,V ) H V H V 1( , ) 1( , ) N 11 C4(        ′ ′ τ τ τ C 42  41   2( H ,V )   43  H ,V )  (11) Như vậy, tất hệ số hàm Green tán xạ khối trụ hai lớp điểm nguồn nằm bên ngồi hình trụ thu 1.2 Điểm nguồn nằm bên khối trụ Khi điểm nguồn nằm bên khối trụ hàm Green có dạng sau: với trường hợp f = 12 Ges (r, r′) i = 8π +∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η22 ∫−∞ dh ∑  (1) × C112H M (1) (h)M′e (− h) + C112 (h)N′e (−h) VNe e nη o nη2 o nη2 o o nη1   + C212H N (1) (h)M′e (− h) + C212V M (1) (h)N′e (− h)  o nη o nη o nη2 o nη2 e e  Với trường hợp f = 39 (12) Ges22 (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η22 dh ∑  × C322H M e (h) M ′e (− h) + C322 (h)N′e (−h) VNe o nη2 o nη2 o nη2 o nη2   + C422H N o (h)M′e (−h) + C422V M o (h)N′e (−h)  e nη2 o nη2 e nη2 o nη2  (13) Tương tự ta có phương trình truy hồi có dạng −1 ( H ,V ) = C (fNH ,V ) T((Hf ,)V )  T((1) − u ( f − N ) A1 H ,V ) C1N (14) Do đó, hệ số hàm Green tán xạ thu từ phương trình (14) cách đặt f = N vào phương trình Kết lớp ta thu  C1(12H ,V )  τ 1( H ,V )   =  11 12 C2(   1( H ,V )  H ,V )  τ 21 τ121( H ,V )  τ 221( H ,V )  −1 1  0    (15) Bằng cách áp dụng hệ số lớp phương trình (15) ta thu  C3(22H ,V )  τ 1( H ,V )   =  31 1( H ,V ) 22 C4( H ,V )  τ 41   τ 321( H ,V )   τ 421( H ,V )  −1  C1(12H ,V )    12 C2(   H ,V )  (16) Áp dụng khối trụ ba lớp Trong trường hợp khối trụ môi trường ba lớp, hàm Green hệ số thu cách cho N = , tương ứng với thứ tự lớp Tương tự ví dụ trên, kết thu cho tất mode 2.1 Điểm nguồn lớp Khi điểm nguồn đặt lớp thứ ( s = 1) , hàm Green viết dạng là: với trường hợp f = 11 Ges (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η12 dh ∑  × C1′1H1M (1) (h)M′(1) (− h) + C1′V11N (1) (h)N′(1) (− h) e nη e nη e nη e nη o o o o   (1) + C2′11 (h)M′(1) (− h) + C2′1V1M (1) (h)N′(1) (− h)  HNo e o e e nη1 o nη1 e nη1 o nη1  40 (17) Với f = Ges21 (r, r′) i = 8π ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η12 +∞ ∫−∞ dh ∑  × C1′H21M (1) (h)M′(1) (− h) + C1′V21N (1) (h)N′(1) (− h) e nη e nη e nη e nη o o o o  (1) (1) (h)M′(1) (− h) + C2′21 (h)N′(1) (− h) + C2′21 HN VM o nη e e nη o o nη e e nη o (18) (1) (h)M′(1) (− h) + C3′V21N (1) (h)N′(1) (− h) + C3′21 HM e nη o e nη o e o nη2 e o nη1  (1) (1) (h)M′(1) (− h) + C4′21 (h)N′(1) (− h)  + C4′21 HNo V Mo e e e nη2 o nη1 e nη2 o nη1  Với f = Ges31 (r, r′) i = 8π +∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η12 ∫−∞ dh ∑  × C3′3H1M (1) (h)M′(1) (− h) + C3′V31N (1) (h)N′(1) (− h) e nη e e e o o nη1 o nη3 o nη1   (1) + C4′31 (h)M′(1) (− h) + C4′3V1M (1) (h)N′(1) (− h)  HNo e nη o nη e nη e nη3 o e o  (19) Từ phương trình (4) ta có (1) T( H ,V ) τ 111( H ,V ) τ 1( H ,V ) =  211( H ,V ) τ 31  1( H ,V ) τ 41 τ 121( H ,V ) τ 221( H ,V ) τ 321( H ,V ) τ 421( H ,V ) τ 131( H ,V ) τ 231( H ,V ) τ 331( H ,V ) τ 431( H ,V ) τ 141( H ,V )  τ 241( H ,V )  τ 341( H ,V )   τ 441( H ,V )  (20) T((2) H ,V ) ( H ,V )  R2(11)  ( H ,V )  R2(21) = ( H ,V )  R2(31)  ( H ,V )  R2(41)  ( H ,V ) R2(12) ( H ,V ) R2(13) ( H ,V ) R2(22) ( H ,V ) R2(23) ( H ,V ) R2(32) ( H ,V ) R2(33) ( H ,V ) R2(42) ( H ,V ) R2(43) ( H ,V )  R2(14)  ( H ,V )  R2(24)  ( H ,V )  R2(34)  ( H ,V )  R2(44)  (21) Các yếu tố ma trận phương trình (20) biểu diễn sau ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ111( H ,V ) = R1(11) R2(11) + R1(21) R2(12) + R1(31) R2(13) + R1(41) R2(14) , 41 (22a) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ121( H ,V ) = R1(12) R2(11) + R1(22) R2(12) + R1(32) R2(13) + R1(42) R2(14) , (22b) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ131( H ,V ) = R1(13) R2(11) + R1(23) R2(12) + R1(33) R2(13) + R1(43) R2(14) , (22c) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ141( H ,V ) = R1(14) R2(11) + R1(24) R2(12) + R1(34) R2(13) + R1(44) R2(14) , (22d) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) R1(11) R2(21) + R1(21) R2(22) + R1(31) R2(23) + R1(41) R2(24) , τ 211( H ,V ) = (22e) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 221( H ,V ) = R1(12) R2(21) + R1(22) R2(22) + R1(32) R2(23) + R1(42) R2(24) , (22f) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 231( H ,V ) = R1(13) R2(21) + R1(23) R2(22) + R1(33) R2(23) + R1(43) R2(24) , (22g) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 241( H ,V ) = R1(14) R2(21) + R1(24) R2(22) + R1(34) R2(23) + R1(44) R2(24) , (22h) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) R1(11) R2(31) + R1(21) R2(32) + R1(31) R2(33) + R1(41) R2(34) , τ 311( H ,V ) = (22i) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 321( H ,V ) = R1(12) R2(31) + R1(22) R2(32) + R1(32) R2(33) + R1(42) R2(34) , (22j) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 331( H ,V ) = R1(13) R2(31) + R1(23) R2(32) + R1(33) R2(33) + R1(43) R2(34) , (22k) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 341( H ,V ) = R1(14) R2(31) + R1(24) R2(32) + R1(34) R2(33) + R1(44) R2(34) , (22l) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) R1(11) R2(41) + R1(21) R2(42) + R1(31) R2(43) + R1(41) R2(44) , τ 411( H ,V ) = (22m) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 421( H ,V ) = R1(12) R2(41) + R1(22) R2(42) + R1(32) R2(43) + R1(42) R2(44) , (22n) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 431( H ,V ) = R1(13) R2(41) + R1(23) R2(42) + R1(33) R2(43) + R1(43) R2(44) , (22o) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) τ 441( H ,V ) = R1(14) R2(41) + R1(24) R2(42) + R1(34) R2(43) + R1(44) R2(44) (22p) Các hệ số hàm Green tán xạ cho hệ thức = C1(′11H ,V ) D3 (τ 1( H ,V ) 1( H ,V ) 12 23 τ 1( H ,V ) 1( H ,V ) −τ 22 τ13 , ) (23a) = C1(′11H ,V ) D3 (τ 1( H ,V ) 1( H ,V ) 21 13 τ 1( H ,V ) 1( H ,V ) −τ 11 τ 23 , ) (23b) ( H ,V ) 11 ( H ,V ) 11 ( H ,V ) ′ H ,V ) + R1(13) C1(′21H ,V ) =R1(11) C(′H ,V ) + R1(12) C2( , (23c) ( H ,V ) 11 ( H ,V ) 11 ( H ,V ) ′21H ,V ) =R1(21) ′ H ,V ) + R1(23) C2( C(′H ,V ) + R1(22) C2( , (23d) 42 ( H ,V ) 11 ( H ,V ) 11 ( H ,V ) ′21H ,V ) =R1(31) ′ H ,V ) + R1(33) C3( C(′H ,V ) + R1(32) C2( , (23e) ( H ,V ) 11 ( H ,V ) 11 ( H ,V ) ′21H ,V ) =R1(41) ′ H ,V ) + R1(43) C4( C(′H ,V ) + R1(42) C2( , (23f) 1( H ,V ) 11 1( H ,V ) 11 1( H ,V ) ′31H ,V ) =τ 31 ′ H ,V ) + τ 33 C3( C1(′ H ,V ) + τ 32 C2( , (23g) 1( H ,V ) 11 1( H ,V ) 11 1( H ,V ) ′31H ,V ) =τ 41 ′ H ,V ) + τ 43 C4( C1(′ H ,V ) + τ 42 C2( , (23h) = D3 τ111( H ,V )τ 221( H ,V ) −τ121( H ,V )τ 211( H ,V ) (24) 2.2 Nguồn nằm lớp Trong trường hợp hàm Green có dạng: với f = 12 Ges (r, r′) i = 8π +∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η22 ∫−∞ dh ∑    M′(1) (− h)  × M (1) (h) C112H M′e (− h) + C1′12 H e nη o nη2 o  eo nη1     N′e (−h) + C1′V12 N′(1) (−h)  + N (1) (h) C112 V e nη e nη o nη2 o o     M′(1) (− h)  + N (1) (h) C212H M′e (−h) + C2′12 H o nη e nη o nη2 e o     N′(1) (−h)   + M (1) (h) C212V N′e (− h) + C2′12 V o nη e nη o nη2 e o   43 (25) Với f =2 Ges22 (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η22 dh ∑    M′e (−h) + C1′H22M′(1) (−h)  × M (1) (h) C122 H e o nη2 o nη2  oe nη2     N′e (−h) + C1′V22 N′(1) (−h)  + N (1) (h) C122 V e nη e nη o nη2 o o     M′(1) (−h)  + N (1) (h) C22H2 M′e (−h) + C2′22 H o nη e nη o nη2 e o     N′(1) (−h)  + M (1) (h) C222V N′e (−h) + C2′22 V o nη e nη o nη2 e o     (1) ( − h)  + M e (h) C322H M′e (−h) + C3′22 H M′e o nη2 o nη2 o nη2     (−h) + C3′V22 N′(1) (−h)  + N e (h) C322 V N′e e nη o nη2 o nη2 o     (1) (h) C422H M′e (−h) + C4′22 ( − h)  H M′e e nη2 o nη2 o nη2     + M o (h) C422V N′e (−h) + C4′2V2 N′(1) (−h)  e e nη2 o nη2 o nη2   + No (26) Với f =3 Ges32 (r, r′) +∞ i = 8π ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η22 ∫−∞ dh ∑    (1) × M e (h) C332H M′e (−h) + C3′32 ( − h)  H M′e o nη2  o nη3 o nη2     (h) C332V N′e (−h) + C3′V32 N′(1) (−h)  e o nη3 o nη2 o nη2     + N o (h) C432H M′e (−h) + C4′3H2 M′(1) (−h)  e e nη3 o nη2 o nη2   + Ne   (1) (h) C432V N′e (− h) + C4′32 ( − h)   V N′e e nη3 o nη2 o nη2   +Mo (27) Tiếp tục áp dụng kết phương trình (5) (6) ta thu hệ số cho hàm Green sau 44 ( ) (28a) 1( H ,V ) ( H ,V ) −τ 22 R2(13) , ) (28b) ) (28c) ) (28d) 1( H ,V ) ( H ,V ) ( H ,V ) , C1(12H ,V ) = − τ12 R2(21) −τ 221( H ,V ) R2(11) D3 = C1(′12H ,V ) D3 (τ 1( H ,V ) ( H ,V ) R2(23) 12 ( 12 ( H ,V ) 1( H ,V ) ( H ,V ) − τ 211( H ,V ) R2(11) −τ 11 C2( R2(21) , H ,V ) = D3 ′12H ,V ) = C2( D3 (τ 1( H ,V ) ( H ,V ) R2(13) 21 ( H ,V ) , −τ 11(1H ,V ) R2(23) ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 ( H ,V ) C1(22H ,V ) = R1(11) C1( H ,V ) + R1(12) C2( H ,V ) − R1(11) , ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 ′ H ,V ) , = C1(22H ,V ) R1(11) C1(′ H ,V ) + R1(12) C2( (28e) (28f) 22 ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 = C2( R1(21) C1( H ,V ) + R1(22) C2( H ,V ) , H ,V ) (28g) ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 ′22H ,V ) R1(21) ′ H ,V ) , = C2( C1(′ H ,V ) + R1(22) C2( (28h) ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 = C3(22H ,V ) R1(31) C1( H ,V ) + R1(32) C2( H ,V ) , (28i) ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 ′22H ,V ) R1(31) ′ H ,V ) , = C3( C1(′ H ,V ) + R1(32) C2( (28j) 22 ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 = C4( R1(41) C1( H ,V ) + R1(42) C2( H ,V ) , H ,V ) (28k) ( H ,V ) 12 ( H ,V ) 12 ′22H ,V ) R1(41) ′ H ,V ) , = C4( C1(′ H ,V ) + R1(42) C2( (28l) 1( H ,V ) 12 1( H ,V ) 12 ( H ,V ) C3(32H ,V ) =τ 31 C1( H ,V ) + τ 32 C2( H ,V ) − R2(31) , (28m) 1( H ,V ) 12 1( H ,V ) 12 ( H ,V ) ′32H ,V ) =τ 31 ′ H ,V ) + R2(33) C3( C1(′ H ,V ) + τ 32 C2( , (28n) 32 1( H ,V ) 12 1( H ,V ) 12 ( H ,V ) C4( C1( H ,V ) + τ 42 C2( H ,V ) − R2(41) , H ,V ) =τ 41 (28o) 1( H ,V ) 12 1( H ,V ) 12 ( H ,V ) ′32H ,V ) =τ 41 ′ H ,V ) + R2(43) C4( C1(′ H ,V ) + τ 42 C2( (28p) 2.3 Nguồn nằm lớp Khi điểm nguồn nằm lớp khối trụ ba lớp, hàm Green có dạng sau: với f = 45 13 Ges (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η32 dh ∑  × C1′1H3M (1) (h)M′(1) (− h) + C1′V13N (1) (h)N′(1) (− h) e nη e nη e nη e nη o o o o   (1) + C2′13 (h)M′(1) (− h) + C2′1V3M (1) (h)N′(1) (− h)  HNo e o e e nη1 o nη3 e nη1 o nη3  (29) Với f = Ges23 (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η32 dh ∑  (1) (1) (h)M′(1) (− h) + C123 (h)N′(1) (− h) × C123 HM e V Ne e e nη o nη2 o nη3 o nη2 o  + C221H N (1) (h)M′(1) (− h) + C221V M (1) (h)N′(1) (− h) o nη e e nη o o nη e e nη o (1) (h)N′(1) (− h) + C32H1 M (1) (h)M′(1) (− h) + C321 VN e nη o e nη o e nη o e nη o  + C42H1 N (1) (h)M′(1) (−h) + C421V M (1) (h)N′(1) (−h)  o nη e nη o nη e nη e o e o  (30) Với f = Ges33 (r, r′) = i 8π +∞ ∫−∞ ∞ (2 − δ n0 ) n =0 η32 dh ∑  (h)M′e (− h) + C3′V33N e (h)N′e (−h) × C3′33 HM e o nη3 o nη3 o nη3 o nη3   (h)N′e (− h)  + C4′3H3 N o (h)M′e (− h) + C4′33 V Mo e nη3 o nη3 e nη3 o nη3  ( 31) Các hệ số C1(13H ,V ) = 1( H ,V ) τ 22 , D3 13 C2( H ,V ) = − 1( H ,V ) τ 21 , D3 ( H ,V ) 13 ( H ,V ) 13 = C1(23H ,V ) R1(11) C1( H ,V ) + R1(12) C2( H ,V ) , 46 (32a) (32b) (32c) 23 ( H ,V ) 13 ( H ,V ) 13 = C2( R1(21) C1( H ,V ) + R1(22) C2( H ,V ) , H ,V ) (32d) ( H ,V ) 13 ( H ,V ) 13 = C3(23H ,V ) R1(31) C1( H ,V ) + R1(32) C2( H ,V ) , (32e) 23 ( H ,V ) 13 ( H ,V ) 13 = C4( R1(41) C1( H ,V ) + R1(42) C2( H ,V ) , H ,V ) (32f) 1( H ,V ) 13 1( H ,V ) 13 C3(33H ,V ) =τ 31 C1( H ,V ) + τ 32 C2( H ,V ) − , 33 = C4( H ,V ) τ 411( H ,V )C1(13H ,V ) +τ 421( H ,V )C2(13H ,V ) 47 (32g) (32h) ... 106 lần [13] Hệ trụ có hai dạng cộng hưởng: cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) truyền dọc theo trục z (trục hình trụ) cộng hưởng whispering gallery truyền dọc theo rìa khối trụ Trong cơng trình... phẳng Oxy Trong luận văn xem xét ảnh hưởng cộng hưởng sóng dẫn cách đặt phân tử cho phân tử nhận đường thẳng song song với trục z Khối trụ hệ hình học hai lớp Bài tốn mở rộng cho hệ ống nanocarbon... khoảng cách phân tử, hàm điện mơi, bán kính hình trụ? ?? Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hiện tượng truyền lượng cộng hưởng hệ trụ tính chất • Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình cho phép