Leçons sur l''''intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra ppt

The Project Gutenberg EBook of Leỗons sur l'intộgration des ẫquations Différentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Leỗons sur l'intộgration des ẫquations Diffộrentielles aux Dộrivộes Partielles Professées a Stockholm sur l'Invitation de S M le Roi de Suéde Author: Vito Volterra Release Date: August 24, 2009 [EBook #29783] Language: French Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** Produced by Laura Wisewell, Andrew D Hwang, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The original copy of this book was generously made available for scanning by the Department of Mathematics at the University of Glasgow.) Notes sur la transcription Ce livre a été préparé l'aide d'images fournies par la Département de Mathématiques, Université de Glasgow Des modications mineures ont été apportées la présentation, l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques Les illustrations ont été recrées Ce chier est optimisé pour imprimer, mais peut être aisément reformaté pour être lu sur un écran Veuillez consulter le préambule A du chier L TEX source pour les instructions LEÇONS SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES PROFESSÉES À STOCKHOLM (FÉVRIER, MARS 1906) SUR L'INVITATION DE S M LE ROI DE SUÈDE PAR M V VOLTERRA SÉNATEUR DU ROYAUME D'ITALIE PROFESSEUR DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE À L'UNIVERSITÉ DE ROME UPSAL 1906 IMPRIMERIE ALMQVIST & WIKSELL iốre leỗon Introduction Le cours que je ferai se rapportera quelques points de la théorie des équations diérentielles de la physique mathématique On sait que la physique mathématique traverse une période de crise On abandonne certaines idées pour en suivre de nouvelles Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes pages que M Poincaré a consacré cette question et ceux, qui ont pris connaissance de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M Picard, sont renseignés d'une manière fort claire là-dessus Mais, même si certains concepts que nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes, une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver du naufrage Elle représente en eet, peut-être d'une manière grossière, mais certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus, les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion L'histoire des sciences nous ore l'exemple de théories analytiques de certains phénomènes qui ont été créées sous l'inuence de certains principes et qui ont résisté la chute de ces principes Pour n'en citer qu'un seul, parmi la foule de ceux qui se présentent, il sut de rappeler la théorie des instruments optiques qui se conserve dans ses lignes générales, tandis que les principes de l'optique ont subi tant d'évolutions Les théories de la propagation de la chaleur, de l'hydrodynamique, de l'élasticité, des forces newtoniennes et de l'électromagnétisme peuvent être aujourd'hui traitées sous un point de vue commun, de sorte qu'elles peuvent constituer un seul chapitre d'analyse On peut systématiser les méthodes qu'on emploie et classier tous les faits qui s'y rapportent par la classication des équations diérentielles dont ils dépendent Cela conduit envisager trois types d'équations diérentielles qu'on a l'habitude d'appeler elliptique, hyperbolique et parabolique et des types mixtes Lorsqu'on étudie les choses sous cet aspect une seule formule est capable de nous révéler sous une forme unique des propriétés qui se rapportent des phénomènes en apparence divers entre eux Quelquefois l'analogie est une simple analogie analytique, quelquefois elle va bien au delà Supposons maintenant pour un instant que la base des faits physiques sur laquelle pose l'édice analytique vienne manquer, ou qu'on la néglige Cet édice est tellement solide et utile par lui-même qu'il continuerait subsister comme un des plus beaux chapitres de l'analyse Le point de départ de toutes les considérations dont nous venons de parler ii est d'envisager un ensemble continu ou un domaine une, deux ou trois dimensions A chaque point du domaine correspond une quantité scalaire ou un vecteur ou plusieurs quantités scalaires et plusieurs vecteurs liés par les équations différentielles Ces quantités sont quelquefois constantes par rapport au temps et quelquefois variables Dans ce cas on a en général un grand avantage en considérant le temps comme une nouvelle coordonnée Tout le monde sait que les idées des physiciens ont toujours oscillé entre le concept d'un milieu continu, siège de tous les phénomènes par lequel on tâche de supprimer toute action distance, et le concept fondé sur l'hypothèse des molécules séparées et des actions distance Il ne faut pas croire que nos considérations soient liées forcément au premier concept Elles correspondent aussi l'autre Il sut pour cela de rappeler que Cauchy, Poisson, Fourier, Laplace, qui suivaient les idées, qu'on appelle maintenant de la mécanique physique, c'est dire au fond le second système, ont été les premiers découvrir les équations diérentielles qui forment la base des théories analytiques Il leur a fallu, pour y parvenir, faire un passage la limite qui les a amené du discontinu au continu Mais une fois cette limite franchie, les deux conceptions au point de vue analytique se mêlent dans la plupart des cas Je n'aurai pas le temps de traiter d'une manière complète le chapitre d'analyse dont je viens de parler Je toucherai seulement quelques points, qui me semblent avoir un certain intérêt et que je crois nouveaux Le rôle que certaines solutions polydromes jouent dans les diérents cas, voilà un point que je tâcherai d'examiner avec quelque détail Nous envisagerons ces solutions dans les diérents types d'équations et pour nous familiariser avec elles nous étudierons d'abord les solutions polydromes dans le cas de l'équilibre élastique Elles nous conduisent des résultats pratiques et frappants qu'on peut montrer par des modèles matériels qui nous dévoilent leur vrai caractère et leur importance Le cas d'équilibre des corps élastiques connexion multiple, non assujettis des forces externes, est en dépendance étroite avec les solutions polydromes, et nous ore de nouveaux problèmes de la théorie de l'élasticité La théorie des fonctions est liée aux problèmes de physique mathématique qui dépendent de l'équation de Laplace deux variables Si l'on envisage, par exemple, un voile liquide incompressible inniment mince qui est en mouvement, tout théorème de la théorie des fonctions peut être interprété comme un théorème relatif au mouvement Réciproquement toute propriété du mouvement peut être interprétée comme un théorème de la théorie des fonctions On obtient cette relation par les fonctions conjuguées qu'il faut regarder comme la partie réelle et le coecient de l'imaginaire dans la théorie des fonctions et en hydrodynamique comme le potentiel de vitesse et la fonction qui dénit les lignes des courants Mais cela est borné au cas de deux dimensions Comment généraliser la chose iii au cas d'un nombre quelconque de dimensions ? Je montrerai que la théorie des fonctions conjuguées peut s'étendre au cas général par l'introduction d'un nouveau concept analytique sur lequel je reviendrai tout l'heure Cela nous amènera exposer certaines vues nouvelles sur la théorie générale des fonctions Par rapport aux équations du type hyperbolique j'exposerai d'abord, sans entrer dans les détails, quelques résultats que j'ai trouvés et publiés il y a quelque temps et qui plus récemment ont été étendus et complétés par d'autres géomètres Ensuite je tâcherai de montrer le rôle bien singulier que joue le principe des images La mémorable méthode de Lord Kelvin peut être employée quelquefois même dans ce cas et amène des résultats plus simples que dans celui des équations du type elliptique L'inuence de la réalité des caractéristiques se révèle par d'une manière frappante Il y a un mémoire très-profond de Weierstrass sur l'intégration des équations diérentielles linéaires aux dérivées partielles où il expose une méthode par laquelle il intègre quelques équations du type hyperbolique Mme Kowalewski a appliqué dans un travail sur l'optique la méthode de Weierstrass, mais, sans s'en douter, elle avait faire avec des fonctions polydromes, c'est pourquoi la méthode ne l'a pas amenée au résultat qu'elle cherchait J'entrerai dans la discussion de cette question et du rôle de la solution polydrome Je n'ai connu aucun géomètre, après Mme Kowalewski, qui ait emplo la méthode de Weierstrass et elle part comme une méthode part qui n'est pas reliée aux autres Je serai heureux de montrer qu'elle se rattache d'une manière très-simple la méthode de Kirchho Or, puisque les méthodes de Kirchho de Green et de Riemann ont des rapports étroits entre elles, toutes ces diérentes méthodes restent reliées ensemble Les derniốres leỗons seront consacrộes aux ộquations diộrentielles du type parabolique Leur étude n'est pas si avancée que celle des équations des autres types Au premier abord il ne semble pas que la méthode des caractéristiques, qui a donné les résultats les plus généraux dans le cas hyperbolique, puisse conduire embrasser tous les résultats connus lorsqu'on l'applique aux équations du type parabolique Nous montrerons où est la dicultộ On a toujours conỗu la mộthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles Au contraire pour approfondir avec succès la question des équations du type parabolique, il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes et ensuite l'employer ainsi généralisée Comme application des formules qu'on a dans les cas des équations du type parabolique j'exposerai la solution d'un problème qui se rapporte aux oscillations des uides incompressibles J'aurai ainsi l'occasion de dire quelques mots par rapport cette question générale qui d'un côté est liée aux équations du type elliptique et d'un autre côté a bien des rapports avec les problèmes des ondes qu'on étudie par des équations du type hyperbolique Je donnerai ce propos une iv formule analogue celle ordinaire de Green qui contient une fonction analogue celle qu'on appelle fonction de Green Voilà le programme du cours Cependant je n'ai pas encore parlé d'une manière explicite d'une question dont j'aurai l'occasion de traiter avec quelque détail Nous avons vu que dans nos considérations nous prenons comme fondement un continu un certain nombre de dimensions, dans lequel on envisage des quantités scalaires ou des vecteurs Supposons que nous ayons une quantité scalaire qui soit une fonction des points d'un domaine trois dimensions, et pour xer les idées supposons que ce soit la température des points d'une surface Aura-t-on examiné d'une manière complète la question en envisageant cette quantité scalaire comme une fonction de trois variables, c'est dire des coordonnées des diérents points de la surface et du temps ? Il est facile de se convaincre que, si nous pouvons changer arbitrairement la température au contour du corps, la température dépendra aussi de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température au contour De même le potentiel d'un corps déformable dépendra de la forme du corps On est par amené d'une manière fort naturelle, et l'on peut même dire qu'on est forcé d'envisager non seulement les fonctions qui dépendent d'un certain nombre de variables, mais aussi celles qui dépendent de la forme de certaines lignes et de certaines surfaces et de toutes les valeurs de certaines fonctions Nous aurons l'occasion de parler de ce concept et de développer quelques idées sur ces fonctions et sur leur inversion, lorsque nous entrerons dans le sujet dont nous avons touchộ au iốme leỗon Envisageons dans un plan les axes coordonnés x, y et la fonction θ = y y arc tg x θ est l'angle que le rayon vecteur fait avec l'axe x Partons d'un point M0 situé sur l'axe x, xy et, après avoir parcouru un cycle M0 N M autour de l'origine, revenons au point de départ M1 θ En prenant les valeurs de θ qui se suivent avec M0 continuité la valeur θ1 qu'on trouve en M1 après O M1 x avoir parcouru le cycle est égale la valeur initiale augmentée de 2π Voilà un exemple très-simple N d'une fonction polydrome y ∂θ x ∂θ =− , = ainsi que les dérivées Les dérivées partielles ∂y ∂x x +y x + y2 successives sont nies continues et monodromes excepté l'origine C'est pourquoi ∂θ ∂θ dans un domaine S qui ne comprend pas l'origine les dérivées , seront ∂x ∂y régulières ainsi que leurs dérivées successives y Rappelons un théorème de calcul intégral qu'on appelle théorème de Gauss Soit S un domaine trois dimensions X , Y , Z , trois fonctions monodromes nies et continues qui ont des dérivées monodromes nies et continues On a S ∂Z ∂X ∂Y + + ∂x ∂y ∂z = σ x O dS (X cos nx + Y cos ny + Z cos nz) dσ σ étant le contour du domaine S , n la normale σ dirigée vers l'extérieur du domaine S Rappelons aussi le théorème de Stokes σ étant une surface ayant pour contour S et X , Y , Z étant des fonctions monodromes nies et continues dont les dérivées sont aussi monodromes nies et continues on a σ ∂Z ∂Y − ∂y ∂z cos nx + ∂X ∂Z − ∂z ∂x cos ny + ∂Y ∂X − ∂x ∂y =± S cos nz dσ (X dx + Y dy + Z dz) n étant la normale σ On peut faire l'intégration sur le contour s dans une direction telle que l'intégrale du second membre soit précédée du signe + Un domaine trois dimensions est acyclique ou connexion simple si toute ligne fermée que l'on peut tirer l'intérieur peut se réduire inniment petite par une déformation continue sans sortir du domaine Si cette condition n'est pas vériée, le domaine est cyclique ou connexion multiple Supposons que par une coupure transversale un espace cyclique devienne acyclique, on dit alors que cette connexion est double Si l'espace cyclique devient acyclique lorsqu'on fait deux coupures, on dit que la connexion est triple, et ainsi de suite Dans tout domaine acyclique une ligne fermée peut être regardée comme le contour d'une surface située l'intérieur du domaine Dans la théorie de l'élasticité on peut envisager un milieu continu et l'on peut supposer qu'il existe un ộtat naturel oự il n'y a aucune tension interne Dộplaỗons inniment peu les points du milieu, et soient u, v , w les composantes des déplacements, alors la déformation du milieu est dénie par les quantités que les Anglais appellent strains γ11 = γ32 = γ23 = ∂u ∂x ∂v ∂w γ33 = ∂y ∂z ∂w ∂u ∂u ∂v = + , γ21 = γ12 = + ∂x ∂z ∂y ∂x γ22 = ∂v ∂w + , γ13 = γ31 ∂z ∂y Il peut y avoir déplacement sans déformation lorsque ces quantités sont nulles Le potentiel des forces élastiques relatif chaque élément dS du milieu déformé s'exprime par F (γ11 , γ22 , γ33 , γ23 , γ31 , γ12 ) dS ó F est un polynơme homogène de 2d degré par rapport γ11 , γ22 , γ33 , γ23 , γ31 , γ12 qui est toujours négatif et s'annule seulement lorsque toutes les quantités γrs sont nulles La tension dans chaque point est caractérisée par les quantités ∂F ∂F ∂F , t22 = , t33 = , ∂γ11 ∂γ22 ∂γ33 ∂F ∂F ∂F = , t13 = t31 = , t21 = t12 = , ∂γ32 ∂γ31 ∂γ12 t11 = t32 = t23 que les Anglais appellent stress La tension unitaire qui s'exerce sur chaque élément d'aire dσ du milieu a 75 Le problème dépend de l'équation diérentielle de Laplace ∆2 V = 0, car V doit être harmonique Il est donc rattaché une équation du type elliptique Ce sont les conditions le long de la partie ω du contour qui déterminent le caractère ondulatoire du mouvement ∂V = Or on démontre que V est déterminée si l'on connt les valeurs V0 et ∂t ∂V V0 de V et de sur ω pour t = On peut aussi donner une méthode générale ∂t pour résoudre le problème Soit UA (x, y, z, t) une fonction harmonique régulière de x, y, z dans le domaine S , excepté dans le point A de coordonnées x1 , y1 , z1 où l'on a UA (x, y, z, t) = + WA (x, y, z, t), rA rA = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 , WA (x, y, z, t) étant une fonction régulière Si nous supposons que sur ω soit vériée l'égalité ∂UA ∂ UA −α = ∂n ∂t2 et sur σ ∂UA =0 ∂n et pour t = t1 sur ω (12) UA et V (x1 y1 z1 t1 ) = − ∂UA soient nulles, alors on aura ∂t d 4π dt1 ω (UA )0 ∂V ∂t − V0 ∂UA ∂t dω, α ∂UA ∂UA désignant les valeurs de UA et pour t = Cette formule ∂t ∂t sert pour reconduire le problème de déterminer V celui de trouver UA , c'est dire déterminer une fonction qui certains points de vue est analogue la fonction de Green 15 Mais laissons de côté la théorie générale qui nous conduirait trop loin, et envisageons le cas où le liquide occupe un domaine sphérique et où ω est toute la surface de la sphère Supposons aussi que α soit constante de sorte que l'on puisse ∂V ∂ 2V prendre α = Alors sur la surface de la sphère on aura = , r étant le ∂r ∂t2 (UA )0 et 76 rayon vecteur conduit par le centre de la sphère Posons log r = ρ, et supposons que le rayon de la sphère soit égal Alors l'équation précédente pourra s'écrire ∂V ∂ 2V = ∂ρ ∂t2 (13) Cela posé, r, ϑ, ϕ étant les coordonnées polaires soient V0 (r, ϑ, ϕ) et V0 (r, ϑ, ϕ) les fonctions harmoniques l'intérieur de la sphère qui sur la surface de la sphère ∂V pour t = sur deviennent égales aux valeurs V0 et V0 données de V et de ∂t la surface même On pourra aussi les considérer comme des fonctions de ρ, ϑ, ϕ, et l'on écrira V0 (ρ, ϑ, ϕ), V0 (ρ, ϑ, ϕ) Regardons ϑ et ϕ comme des quantités constantes, et déterminons par la formule de Poisson l'intégrale de l'équation (13) qui pour t = se réduit V0 (ρ, ϑ, ϕ) et dont la dérivée par rapport t pour t = se réduit V0 (ρ, ϑ, ϕ) Appelons cette intégrale V (ρ, ϑ, ϕ, t) On voit facilement qu'elle est la fonction qu'on veut déterminer En eet on aura ∆2 (14) Mais ∆2 ∂V ∂ ∆2 V = ∂ρ ∂t2 ∂V ∂(r2 ∆2 V ) = ∂ρ r ∂ρ par suite l'équation (14) s'écrit ∂(r2 ∆2 V ) r2 ∂ (∆2 V ) = ∂ρ ∂t2 (15) ∂(r2 ∆2 V ) Or r ∆ V pour t = devient r ∆ V0 = et pour t = devient ∂t 2 2 r ∆ V0 = : par suite r ∆ V = Donc V est harmonique, vérie l'équation ∂V ∂ 2V ∂V = la surface de la sphère et en même temps V et pour t = − ∂n ∂t ∂t prennent la surface de la sphère les valeurs données, comme il fallait démontrer Il est facile de vérier que V est régulière au centre de la sphère Le problème est donc résolu On pourrait aussi se servir de cette méthode pour calculer la fonction UA analogue la fonction de Green et calculer ensuite V par la formule (12) 2 2 Bibliographie Poisson Théorie mathématique de la chaleur, Chapitre VI Paris 1835 77 Schlaefli Über die partielle Dierentialgl ∂u ∂ 2u − = Journ de Crelle ∂t ∂x2 T 72 Betti Sopra la determinazione delle temperature nei corpi solidi omogenei Memorie delle Soc Italiana della Scienza (detta dei XL) S III, T I Po II ∂z ∂ 2z = Journ de Math T VIII, s − Appell Sur l'équation ∂x ∂y Volterra Sur les équations diérentielles du type parabolique Comptes rendus des Séances de l'Ac des Sciences Déc 1904 Note additionnelle la iốme leỗon Communication faite le soir du Mars Rappelons la formule bien connue de trigonométrie sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α, on peut en tirer que si sin α cos β + sin β cos α = const (1) on doit avoir α + β = const Posons maintenant α= x dx √ − x2 β= y dy − y2 l'équation (1) s'écrira √ x − y + y − x2 = const (2) Donc si cette égalité est vériée on doit avoir (3) x dx √ + − x2 y dy − y2 = const 78 y M M2 s M1 si on déplace le Rapportons-nous deux axes coordonnés x, y, et soit s un arc de la courbe ayant pour équation (2), M un point de la courbe, M1 et M2 ses projections sur les axes ; alors OM1 et OM2 seront les amplitudes des deux intégrales qui paraissent x dans la formule (3) Le théorème de trigonométrie peut s'énoncer en disant : point M sur la courbe s la somme des intégrales dx √ , − x2 dy − y2 étendues respectivement OM1 et OM2 est constante Passons une extension de ce théorème au cas de trois variables Envisageons les trois intégrales dy dz (4) σ1 b2 b3 z − y + β1 λ λ , dz dx , b3 b1 x − z + β2 µ µ σ2 dx dy σ3 b1 b2 y − x + β3 ν ν où b1 , b2 , b3 ; β1 , β2 , β3 ; λ, µ, ν sont des quantités constantes et λ + µ + ν = Prenons la surface algébrique ayant pour équation par rapport aux axes coordonnés x, y, z (5) λx b2 b3 z − y + β1 + µy λ λ b3 b1 x − z + β2 + νz µ µ z σ2 s2 σ1 σ s1 s x y σ3 s3 b1 b2 y − x + β3 = const ν ν et menons une ligne quelconque s fermée sur cette surface Soient s1 , s2 , s3 les projections de cette ligne sur les plans coordonnés, et supposons que nous étendions les trois intégrales (4) aux aires σ1 , σ2 , σ3 renfermées dans ces projections Alors la somme des trois intégrales (4) ne changera pas en dộplaỗant et en dộformant la ligne s sur la surface (5) La démonstration de ce théorème ne présente pas de dicultés Il donne évidemment une extension du théorème élémentaire de trigonométrie par l'emploi des fonctions de lignes La remarque 79 la plus intéressante faire est que la surface algébrique constitue une liaison algébrique entre les trois lignes dont dépendent les trois intégrales Ce théorème peut bien se généraliser Voir Volterra : Un teorema sugli integrali multipli Att della R Accad di Torino, 1897 80 81 Table Page Premiốre leỗon Deuxiốme leỗon Troisième leỗon Quatriốme leỗon Cinquiốme leỗon Sixiốme leỗon Septiốme leỗon Huitiốme leỗon Neuvième leỗon Dixiốme leỗon Onziốme leỗon Note I 12 18 25 34 40 50 59 67 77 82 83 End of the Project Gutenberg EBook of Leỗons sur l'intộgration des ẫquations Diffộrentielles aux Dérivées Partielles, by Vito Volterra *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES *** ***** This file should be named 29783-pdf.pdf or 29783-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29783/ Produced by Laura Wisewell, Andrew D Hwang, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The original copy of this book was generously made available for scanning by the Department of Mathematics at the University of Glasgow.) Updated editions will replace the previous one the old editions will be renamed Creating the works from public domain print editions means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you receive specific permission If you not charge anything for copies of this eBook, complying with the rules is very easy You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research They may be modified and printed and given away you may practically ANYTHING with public domain eBooks Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution *** START: FULL LICENSE *** THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase "Project Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg-tm License (available with this file or online at http://gutenberg.org/license) Section General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm electronic works 84 1.A By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement If you not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg-tm electronic work and you not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8 1.B "Project Gutenberg" is a registered trademark It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement There are a few things that you can with most Project Gutenberg-tm electronic works even without complying with the full terms of this agreement See paragraph 1.C below There are a lot of things you can with Project Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic works See paragraph 1.E below 1.C The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg-tm electronic works Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States If an individual work is in the public domain in the United States and you are located in the United States, we not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed Of course, we hope that you will support the Project Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with the work You can easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the same format with its attached full Project Gutenberg-tm License when you share it without charge with others 1.D The copyright laws of the place where you are located also govern what you can with this work Copyright laws in most countries are in a constant state of change If you are outside the United States, check the laws of your country in addition to the terms of this agreement before downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg-tm work The Foundation makes no representations concerning the copyright status of any work in any country outside the United States 1.E Unless you have removed all references to Project Gutenberg: 1.E.1 The following sentence, with active links to, or other immediate access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, 85 copied or distributed: This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org 1.E.2 If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived from the public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with permission of the copyright holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United States without paying any fees or charges If you are redistributing or providing access to a work with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9 1.E.3 If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted with the permission of the copyright holder, your use and distribution must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed by the copyright holder Additional terms will be linked to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the permission of the copyright holder found at the beginning of this work 1.E.4 Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm License terms from this work, or any files containing a part of this work or any other work associated with Project Gutenberg-tm 1.E.5 Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic work, or any part of this electronic work, without prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate access to the full terms of the Project Gutenberg-tm License 1.E.6 You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word processing or hypertext form However, if you provide access to or distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than "Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other form Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm License as specified in paragraph 1.E.1 1.E.7 Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9 1.E.8 You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided that 86 - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method you already use to calculate your applicable taxes The fee is owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he has agreed to donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Royalty payments must be paid within 60 days following each date on which you prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax returns Royalty payments should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, "Information about donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." - You provide a full refund of any money paid by a user who notifies you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm License You must require such a user to return or destroy all copies of the works possessed in a physical medium and discontinue all use of and all access to other copies of Project Gutenberg-tm works - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the electronic work is discovered and reported to you within 90 days of receipt of the work - You comply with all other terms of this agreement for free distribution of Project Gutenberg-tm works 1.E.9 If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm electronic work or group of works on different terms than are set forth in this agreement, you must obtain permission in writing from both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark Contact the Foundation as set forth in Section below 1.F 1.F.1 Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to identify, copyright research on, transcribe and proofread public domain works in creating the Project Gutenberg-tm collection Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic works, and the medium on which they may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by your equipment 1.F.2 LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project 87 Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including legal fees YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3 YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE 1.F.3 LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to the person you received the work from If you received the work on a physical medium, you must return the medium with your written explanation The person or entity that provided you with the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a refund If you received the work electronically, the person or entity providing it to you may choose to give you a second opportunity to receive the work electronically in lieu of a refund If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem 1.F.4 Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE 1.F.5 Some states not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions 1.F.6 INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause Section Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from 88 people in all walks of life Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections and and the Foundation web page at http://www.pglaf.org Section Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541 Its 501(c)(3) letter is posted at http://pglaf.org/fundraising Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S federal laws and your state's laws The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr S Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://pglaf.org For additional contact information: Dr Gregory B Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up 89 with these requirements We not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit http://pglaf.org While we cannot and not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States U.S laws alone swamp our small staff Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses Donations are accepted in a number of other ways including checks, online payments and credit card donations To donate, please visit: http://pglaf.org/donate Section General Information About Project Gutenberg-tm electronic works Professor Michael S Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S unless a copyright notice is included Thus, we not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition Most people start at our Web site which has the main PG search facility: http://www.gutenberg.org This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks ... instructions LEÇONS SUR L''INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES PROFESSÉES À STOCKHOLM (FÉVRIER, MARS 1906) SUR L''INVITATION DE S M LE ROI DE SUÈDE PAR M V VOLTERRA SÉNATEUR... degré des espaces r dimensions peuvent se calculer par des intégrations étendues des espaces r + dimensions, et l''on peut former des dérivées de ces fonctions tout fait analogues aux dérivées des. .. conjuguées des fonctions harmoniques des points sont aussi des fonctions des points Dans un espace dimensions les fonctions conjuguées des fonctions harmoniques des points sont des fonctions des lignes,