Thông tin tài liệu
2 Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Hằng đẳng thức Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19 Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 58 Chuyên đề 4: Phương trình đại số 111 Chuyên đề 5: Đồng thức 131 Chuyên đề 6: Bất đẳng thức 157 Chuyên đề 7: Đa thức 175 Chuyên đề 8: Hình học 186 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC A CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a + b) = a + 2ab + b = a − 2ab + b + 4ab = (a − b) + 4ab (a − b) = a − 2ab + b = a + 2ab + b − 4ab = (a + b) − 4ab a − b = (a − b)(a + b) (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 = a + b3 + 3ab(a + b) ⇒ a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)3 = a − 3a 2b + 3ab − b3 = a − b3 − 3ab(a + b) ⇒ a − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b) a − b3 = (a − b)(a + ab + b ) a + b3 = (a + b)(a − ab + b ) Bài 1: a) Tính A = 1002 − 992 + 982 − 97 + + 22 − 12 −12 + 22 − 32 + 42 − + ( −1) n b) Tính B = n Lời giải a) Ta có: A= 1002 − 992 + 982 − 97 + + 22 − 12 = (100 − 99)(100 + 99) + + (2 − 1)(2 + 1)= 100 + + 1= b) Ta xét hai trường hợp 101.100 = 5050 - TH1: Nếu n chẵn B = ( 22 − 12 ) + ( 42 − 32 ) + + n − ( n − 1) =1 + + + + + ( n − 1) + n = n ( n + 1) - TH1: Nếu n lẻ 2 B =( 22 − 12 ) + ( 42 − 32 ) + + ( n − 1) − ( n − ) − n =+ + + + + ( n − 1) − n =− ⇒ Hai kết dùng cơng thức: ( −1) n n ( n + 1) n ( n + 1) Bài 2: So sánh A = 19999.39999 B = 299992 Lời giải Ta có: 19999.39999 = (29999 − 10000)(29999 + 10000) = 299992 − 100002 < 299992 ⇒ A < B Bài 3: Rút gọn biểu thức sau a A = (2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + b B = (3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + c C = (a + b + c) + (a + b − c) −2(a + b) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải a A = (2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + = (2 − 1)(2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + = 2128 − + = 2128 b B = (3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + = 1 3128 + (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + = (3128 − 1) + = 2 c Ta có: C = (a + b + c) + (a + b − c) −2(a + b) = (a + b + c) − 2(a + b + c)(a + b − c) + ( a + b − c) − 2( a + b + c)( a + b − c) −2(a + b) = (a + b + c + a + b − c) − ( a + b ) − c -2 ( a + b ) = 4(a + b) − 2(a + b) + 2c − 2(a + b) = 2c Bài 4: Chứng minh a (a + b )( x + y ) = (bx − ay ) + ( ax + by ) 2 b (a + b + c )( x + y + z ) − ( ax + by + cz ) = (bx − ay ) + (cy − bz ) + (az − cx) 2 Lời giải a Ta có: VT = (a + b )( x + y ) = a x + a y + b x + b y = (bx) + (ay ) + (ax) + (by ) = (bx) − 2bx.ay + (ay ) + 2bx.ay + (ax) + (by ) = (bx − ay ) + ( ax + by ) (dpcm) 2 b VT = (a + b )( x + y ) + (a + b ) z + c ( x + y + z ) − ( ax + by ) + ( ax + by ) cz + ( cz ) = ( ax + by ) + (bx − ay ) + (az ) + (bz ) + (cx) + (cy ) + (cz ) − ( ax + by ) − (cz ) − 2ax.cz − 2by.cz 2 =(bx − ay ) + [(cy) − 2by.cz + (bz ) ]+(az) + (cx) − 2az.cx =(bx − ay ) + (cy − bz ) + (az − cx) Nhận xét: Đây bất đẳng thức Bunhicopski Bài 5: Cho x= y + z Chứng minh rằng: (5 x − y + z )(5 x − y − z ) = (3 x − y ) Lời giải VT = (5 x − y ) − 16 z = 25 x − 30 xy + y − 16 z Mà: z = x − y ⇒ VT = 25 x − 30 xy − y − 16( x − y ) = x − 30 xy + 25 y = (3 x − y ) (dpcm) Bài 6: Cho (a + b + c + d )(a − b − c + d ) = (a − b + c − d )(a + b − c − d ) Chứng minh rằng: ad = bc Lời giải VT = ( a + d ) + ( b + c ) ( a + d ) − ( b + c ) = ( a + d ) − (b + c) = a + d + 2ad − b − c − 2bc VP = [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d) − (c − b) = (a − d ) − (c − b) = a + d − 2ad − c − b + 2bc VT = VP ⇒ 2ad − 2bc = −2ad + 2bc ⇔ 4ad = 4bc ⇔ ad = bc(dpcm) Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: a a + b + c = a + a c − abc + b c + b3 = b ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y ) = ( y + z − x) + ( z + x − y ) + ( y + x − z ) x = y = z Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC a Ta có : a + b3 = (a + b)(a − ab + b ) ⇒ a + b3 = −c(a − ab + b ) = −a c + abc − b c ⇒ a + b3 + a c − abc + b c = a + b + c ⇒ a + b = − c y + z − x = ( y − x) + ( z − x) = b − c b Đặt : y − z = a; z − x = b; x − y = c ⇒ a + b + c = z + x − y = c − a x + y − 2z = a − b Từ giả thiết ta có : a + b + c = (b − c) + (c − a ) + (a − b) ⇔ a + b + c = b − 2bc + c + c − 2ac + a + a − 2ab + b ⇔ a + b + c − 2ab − 2bc − 2ca =0 ⇔ 2(a + b + c ) − (a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) =0 x = y 2 2 2 ⇔ 2(a + b + c ) − (a + b + c) = ⇔ a +b + c = ⇔ a = b = c ⇒ y = z ⇒ x = y = z z = x Bài 8: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: a x + 10 y − xy − x − y + = b x + y + z − x − z + y + 15 = Lời giải a VT = ( x − y ) + (2 x − 1) + ( y − 1) ≥ (dpcm) b VT = ( x − 1) + 4( y + 1) + ( z − 3) + ≥ (dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn a x + y += y ( x + 3) b x − xy + y − 28 x + 28 = c x + y + z += 2( xy + yz + z ) Lời giải 3 a Ta có: x + y + = y ( x + 3) ⇔ ( x − y ) + (2 y − 3) = ⇔ x ∈ 3; 2 b Ta có: x − xy + y − 28 x + 28 = ⇔ (7 x − 28 x + 28) + (2 x − xy + y ) = x = ⇔ 7( x − 2) + 2( x − y ) =0 ⇔ y =1 c Ta có: x + y + z + = 2( xy + yz + z ) ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − 1) = ⇔ x = ; y = 2; z = Bài 10: Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức: x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) 2 Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta có: x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) = x + ( x + x + 1) + ( x + x + ) + ( x + x + ) 2 = 10 x + 40 x + 50 = ( x + ) + ( x + ) ⇒ dpcm 2 Bài 11: Cho a = x + x + Tính theo a giá trị biểu thức A = x + x3 + x + x + Lời giải Ta có: A = x + x3 + x + x + = ( x + x + 1) + x3 + x + x + x + x + ⇒ A= (x + x + 1) + ( x + x + 1) + ⇒ A = a + 2a + = ( a + 1) Bài 12: Chứng minh x ( x − a )( x + a )( x + 2a ) + a bình phương đa thức Lời giải Ta có: A = (x + ax )( x + ax − 2a ) + a Đặt t =x + ax ⇒ A =t ( t − 2a ) + a =t −2ta + a =( t − a ) ⇔ A =( x + ax − a ) ⇒ dpcm 2 Bài 13: = a1005b1005 + b1005c1005 + c1005 a1005 Tính giá trị biểu a) Cho a, b, c thỏa mãn a 2010 + b 2010 + c 2010 thức sau A = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 20 11 2010 b) Cho a, b, c, d ∈ Z thỏa mãn a + b = c + d Chứng minh a + b + c + d ln tổng ba số phương c) Chứng minh rằng: Nếu p q hai số nguyên tố thỏa mãn p − q = p − 3q + p + q số nguyên tố Lời giải a) Ta có: a 2010 + b 2010 + c 2010 = a1005b1005 + b1005 c1005 + c1005 a1005 ⇔ 2a 2010 + 2b 2010 + 2c 2010 − 2a1005b1005 − 2b1005 c1005 − 2c1005 a1005 = ⇔ ( a1005 − b1005 ) + ( b1005 − c1005 ) + ( c1005 − a1005 ) = ⇔ a1005 − b1005 = b1005 − c1005 = c1005 − a1005 ⇔ a = b = c 2 Vậy A = ( a − a ) + ( b − b ) + ( c − c ) 20 11 2010 ⇒ A= b) Ta có: a + b =c + d ⇒ a =c + d − b; a + b + c + d =( c + d − b ) + b + c + d =( c + d ) − ( c + d ) b + b + b + c + d 2 = ( c + d ) − 2bc − 2bd + b + b + c + d = ( c + d ) + ( b − c ) + ( b − d ) 2 2 c) Ta có: p − q =p − 3q + ⇒ p − 4q =4 p − 12q + ⇒ p − p + =4q − 12q + ⇒ ( p − 1) = ( 2q − 3) mà p − > ( p nguyên tố ); 2q − > (q nguyên tố ) Do p − = 2q − ⇔ q = p + Ta có: q ≥ ( p ≥ ) ⇒ q lẻ, p chẵn ⇒ p = ⇒ q = ⇒ p + q =13 số nguyên tố Bài 14: [ HSG – năm 2015 ] Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c 2= 2; a + b + c= 2.CMR : M = (a + 1)(b + 1)(c + 1) viết dạng bình phương biểu thức Lời giải: Cách 1: M = (a + 1)(b + 1)(c + 1) = a 2b c + a 2b + a c + b c + a + b + c + 1(*) Có: a + b + c = = a + b + c ⇒ (a + b + c ) = (a + b + c) Có: (a + b + c) =a + b + c + 2(ab + bc + ca ) =4 ⇒ ab + bc + ca =1 ⇒ a 2b + a c + b c + 2(acb + a 2bc + c ab) =1 ⇒ a 2b + a c + b c = − 2(acb + a 2bc + abc ) ⇒ M = (abc) − 2abc(a + b + c) + + a + b + c + abc − ( a + b + c )2 (dpcm) M = (abc) − 2abc(a + b + c) + (a + b + c)= Cách 2: Ta có: a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c); b + = (a + b)(b + c); c + = (a + c)(c + b) ⇒ M = [(a+b)(b+c)(c+a)]2 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 = a + b3 + 3ab(a + b) ⇒ a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)3 = a − 3a 2b + 3ab − b3 = a − b3 − 3ab(a + b) ⇒ a − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b) Bài 1: Cho x − x = 10 Tính A =x − x5 + x − x3 + x − x + Lời giải A =x − x + x − x + x − x + =( x − x + x − x ) + ( x − x + x ) + ( x − x + 1) = ( x − x)3 + ( x − x) + ( x − x) + = 1111 Bài 2: Tính A = (23 + 1)(33 + 1) (1003 + 1) (23 − 1)(33 − 1) (1003 − 1) Lời giải (k + 1)3 + (k + 2)[(k+1) -(k+1)+1] k + Ta có: = = (k-1)(k + k + 1) k −1 k −1 Cho k chạy từ đến 100, ta thu được: 33 + 43 + 1003 + 1 101 A= (23 + 1) = 2 −1 −1 99 − 100 − 1 98 99(100 + 100 + 1) 99.100.101 9.99.100.101 30300 = A = = 1.2.3 10101 6.99.10101 20202 Bài 3: Cho x + y = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y A = ( x6 + y ) − ( x4 + y ) Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Ta có: 3 A = ( x ) + ( y ) − ( x + y ) = ( x + y )( x − x y + y ) − ( x + y ) = x − x y + y − x − y = − ( x4 + 2x2 y + y ) = − ( x2 + y ) 2 = −1 ⇒ dpcm Bài 4: Cho a − 3ab = 2; b3 − 3a 2b = −11 Tính a + b Lời giải Ta có: ( a − 3ab ) + (b 2 − 3a 2b ) = 22 + ( −11) ⇒ a − 6a 4b + 9a 2b + b − 6a 2b + 9a 4b = + 121 2 ⇒ a + 3a 4b + 3a 2b + b = 125 ⇒ ( a + b ) =⇒ 53 a + b = Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + b3 + c − 3abc Lời giải A = a + b3 + c − 3abc = (a + b)3 − 3ab(a + b) + c3 − 3abc 3 A= ( a + b ) + c3 -3ab ( a + b + c ) = ( a + b + c ) − 3(a + b)c.(a + b + c) − 3ab(a + b + c) A = (a + b + c) ( a + b + c ) − 3(a + b)c − 3ab = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a + b3 + c3 = 3abc Áp dụng tính B = (a − b )3 + (b − c )3 + (c − a )3 (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 Lời giải Từ giả thiết ⇒ c = −( a + b) ⇒ a + b + c = a + b − ( a + b)3 = −3ab(a + b) = 3abc a − b + b − c + c − a = 3(a − b )(b − c )(c − a ) ⇒B= = (a + b)(b + c)(c + a) +) 3(a − b)(b − c)(c − a ) a − b + b − c + c − a = Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a + b + c) = a + b + c Chứng minh rằng: 1 + 3+ 3= a b c abc Lời giải Ta có: (a + b + c) =a + b + c ⇒ ab + bc + ca =0 ⇔ Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 1 + + =0 ⇒ + + =3 = a b c a b c a b c abc bc ca ab 1 Tính A = + + + + = a b c a b c Lời giải Đặt x = ⇒ A= 1 1 1 ; y = ; z = ⇒ x + y + z = ⇒ x3 + y + z = xyz ⇔ + + = a b c a b c abc abc abc abc 1 + + = abc( + + )= abc = 3 a b c a b c abc Bài 9: Cho x + y = a + b; x + y = a +b Chứng minh x + y = a + b3 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải Ta có: x + y = ( x + y ) ( x + xy + y ) ; x + y = a + b ⇒ ( x + y ) = ( a + b ) ⇔ x + xy + y = a + 2ab + b 2 Do x + y = a + b ⇒ xy = 2ab ⇒ xy = ab Thay kết vào ta được: x + y = ( x + y ) ( x + xy + y ) = ( a + b ) ( a + ab + b ) = a + b3 ⇒ dpcm Bài 10: Cho a + b= m; a − b= n Tính ab; a − b3 theo m n Lời giải Cách 1: Từ a + b = m; a − b = n ⇒ b = m+n m−n a= −b − = 3 3 m−n m+n m − n m + n m2 − n2 ,a = ⇒ ab = = 2 2 n) ( m + n ) − ( m −= 3 3m n + n3 Cách 2: Ta có: 4ab = ( a + b ) − ( a − b ) = m − n ⇒ ab = 2 m2 − n2 m2 − n2 Lại có: a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) = ( a − b ) ( a + b ) − ab = n m − n ( 3m + n ) 3m n + n3 = = 4 Bài 11: Cho a + b + c = m Tính giá trị biểu thức sau theo m A= ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) 2 Lời giải Ta có: A = ( 2a + 2b + 2c − 3c ) + ( 2b + 2c + 2a − 3a ) + ( 2c + 2a + 2b − 3b ) 2 Đặt x = a + b + c ⇒ A = ( x − 3c ) + ( x − 3a ) + ( x − 3b ) = 12 x − 12 x ( a + b + c ) + ( a + b + c ) 2 = 12 x − 12 x + ( a + b + c )= 9m HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c)3 Ta có: (a + b + c)3 =( a + b ) + c =(a + b)3 + 3(a + b) c + 3(a + b)c + c3 = 3(a 2b + ab + a c + ac + b c + bc + abc + abc) = (a 2b + ab ) + (a c + ac ) + (ac + bc ) + (b c + abc) =3 ( a + b )( b + c )( c + a ) +a + b3 + c3 ⇒ (a + b + c)3 = a + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính: A = (a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 − (a + b − c)3 Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 x = b + c − a x + y = 2c Đặt y = c + a − b ⇒ y + z = 2a ; x + y + z = a + b + c z = a + b − c z + x = 2c ⇒ A = ( x + y + z )3 − x3 − y − z = 3( x + y )( y + z )( z + x) = 3.2c.2b.2a = 24abc = 24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a A= 8(a + b + c)3 − (2a + b − c)3 − (2b + c − a)3 − (2c + a − b)3 b = B 27(a + b + c)3 − (2a + 3b − 2c)3 − (2b + 3c − 2a)3 − (2c + 3a − 2b)3 Lời giải 2a + b − c = x x + y = a + 3b 2b + c − a = y ⇒ y + z = b + 3c ⇒ x + y + z = 2(a + b + c) a Đặt 2c + a − b = z z + x = c + 3a ⇒ A = ( x + y + z )3 − x3 − y − z = 3( x + y )( y + z )( z + x) = 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) b Ta có: B = 27(a + b + c)3 − (2a + 3b − 2c)3 − (2b + 3c − 2a )3 − (2c + 3a − 2b)= 3(5a + b)(5b + c)(5c + a) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = Tính A = a n + b n + c n ( n số tự nhiên lẻ ) Lời giải a + b = Ta có: (a + b + c) =1 =a + b + c ⇒ 3(a + b)(b + c)(c + a) =0 ⇒ b + c =0 c + a = 3 3 +) TH1: a + b =0 ⇒ a =−b ⇒ c =1 ⇒ a n + b n + c n =1 +) Tương tự ta có: A = Bài 4: Giải phương trình sau a 27 x3 + ( x − 5)3 + 64 = (4 x − 1)3 c ( x − x + 2)3 = x + ( x − 1)( x − 2)3 b (2 x − x − 1)3 + (2 x − 1)3 = ( x − x + 1)3 + ( x + x − 3)3 d ( x + x + 3)3 + ( x − x − 1)3 + (−2 x − x − 1)3 =1 a b c Lời giải a Ta có: 27 x + ( x − 5)3 + 64 = (4 x − 1)3 ⇔ (3 x)3 + ( x − 5)3 + 64 = 3 x + ( x − ) + ⇒ 3(3 x + x − 5)( x − + 4)(4 + x) = −4 ⇒ x ∈ ;1; 3 4 b (2 x − x − 1)3 + (2 x − 1)3 = ( x − x + 1)3 + ( x + x − 3)3 ⇔ (2 x − x − 1)3 + (2 x − 1)3 + ( x − x − 1)3 = ( x + x − 3)3 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 a + b= x − b + c = x − x − 2 Đặt x − x − = a; x − = b; x − x − = c ⇒ ⇒ a + b + c = ( a + b + c )3 c + a = x − x − a + b + c = x + x − 2 x2 − = +b +b a= a= ⇔ 3(a + b)(b + c)(c + a ) = ⇔ b + c = ⇔ b + c = ⇔ 3 x − x − = ⇒ x ∈ {−1;1; 2} x2 − x = c= c= +a +a 0 c ( x − x + 2)3 = x + ( x − 1)( x − 2)3 ⇔ ( x − x + 2)3 = x3 + x3 ( x − 2)3 + (2 − x)3 ⇔ 3( x + x − x)( x − x + − x)(2 − x + x ) = ⇔ 6( x − x)( x − x + 2) = ⇔ x ∈ {0;1; 2} x2 y z + + yz xz xy Bài 5: Cho x + y += z 0; xyz ≠ Tính A = Lời giải A= x y z x3 + y + z + + = yz xz xy xyz Cách 1: Nếu x + y + z = ⇒ x3 + y + z = xyz ⇒ A = Cách 2: ( x + y + z )3 = x + y + z + 3( x + y )( y + z )( z + x) → x + y + z = ( x + y + z )3 − 3( x + y )( y + z )( z + x) → A = =0 Bài 6: Giải phương trình sau: ( x + x + 3) + ( x − x − 1) + (−2 x − x − 1)3 =1(*) a b c Lời giải a + b= x + x + b + c =− x − x − (*) ⇒ ⇒ 3(a + b)(b + c)(c + a ) = ⇒ x ∈ {2; −2; −1} c + a =− x + x + a + b + c = Bài 7: Rút gọn A = ( x + y + z )3 − ( x + y − z )3 − ( x − y + z )3 − (− x + y + z )3 Lời giải a x + y − z = Đặt x − y + z = b ⇒ a + b + c = x + y + z ⇒ A = 24 xyz x + y + z = c Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 236 E A a Ta có: B ˆ = EDC ˆ + CDF ˆ = EDC ˆ + EDA ˆ = 900 (CDF ˆ = EDA ˆ ) EDF = b Xét ◊DEGF có: EI IF, DI = IG ⇒ ◊DEGF G Dˆ 900 ⇒ ◊DEGF hình bình hành , lại có = hình chữ nhật mà ∆ADE = CDF ⇒ ED = FD ⇒ ◊DEGF hình I vng ( dấu hiệu nhận biết ) c Ta có EF giao DG I, ta chứng minh I C D thuộc đường trực AC EF ⇒ I thuộc đường trung trực = ID = Có: IB F BD ⇒ I ∈ AC ( AC đường trung trực BD) Bài 2: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB lấy điểm M , tia đối tia DC lấy điểm N cho BM = DN Vẽ hình bình hành AFMN Chứng minh ∆ADN a ∆ABM = b Tứ giác AMFN hình vng ˆ = 90 c Kẻ FH ⊥ BM , FK ⊥ CN , chứng minh : ACF d B, D, O thẳng hàng ( O trung điểm FA ) Lời giải F H a Ta có ˆ = ˆ ∆ABM = ∆ADN (cgc) ⇒ AM =⇒ AN DAN BAM b Hình bình hành AMFN, có: AM = AN ⇒ ◊AMFN M 1 D C hình thoi Lại có O K N MAN = MAD + DAN = MAD + MAB = 900 ⇒ ◊AMFN hình vng ˆ =ACD ˆ + DCF ˆ =45 + DCF ˆ c ACF B A ˆ= 45 ⇒ ◊CHFK Ta chứng minh DCF hình vng Có: Mˆ + Mˆ = 900 ⇒ Nˆ + Mˆ = 900 , Nˆ + Nˆ = 900 ⇒ Mˆ = Nˆ ⇒ ∆MHF = ∆NKF (ch − gn) ⇒ FH = FK ˆ =900 (đpcm) ⇒ ◊CHFK hình vng DCFˆ =45 ⇒ ACF d Ta chứng minh điểm B, D, O nằm đường trung trực AC Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 237 Ta có: ABCD hình vng ⇒ B, D nằm đường trung trực AC OM O trung điểm AF ⇒ O trung điểm MN ⇒ OA = Lại có OC = OM = AC ⇒ OM = OC ⇒ OA = OC ⇒ O nằm đường trung trực AC ⇒ B, D, O thẳng hàng Bài 3: Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE ⊥ BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Lời giải E F ) I H mà: MD ⊥ AC ⇒ AC ⊥ BE Lại có D EC ⊥ AB ⇒ C trực tâm tam giác ABE O' C ⇒ AE ⊥ BC O M A a Có MD // BE ( hai góc đồng vị K B b Gọi O O’ tâm hai hình vng AMCD BMEF Tam giác vng AHC có OH đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC ⇒ OH = 1 AC = DM 2 ⇒ ∆DMH (= Hˆ 900 ) ⇒ DH ⊥ MH (1) Chứng minh tương tự, ta HF ⊥ MH (2) ⇒ D, H , F thẳng hàng c Gọi I giao điểm AC DF Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF, hay I trung điểm DF Kẻ IK vng góc AB ( K thuộc AB ) ⇒ K trung điểm AB, K cố định Mặt khác IK = 1 ( AD + BF )= AB ( Không đổi ) ⇒ I cố định Vậy DE qua I cố 2 định Bài 4: Cho hình vng ABCD điểm M thuộc đoạn BC Lấy điểm N thuộc đoạn CD ˆ = 450 Chứng minh rằng: BM + DN = cho MAN MN Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 238 Lời giải A 45° B Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho : DE = BM ∆ADE (cgc) → AM = AE; Aˆ1 = Aˆ3 Ta có: ∆ABM = M E D N ˆ = MAD ˆ + DAE ˆ = MAD ˆ + BAM ˆ = 900 → EAN ˆ = 900 MAE ∆EAN = ∆MAN (cgc) → EN = MN ↔ DN + BM = MN C Bài 5: Cho hình vng ABCD điểm M thuộc đoạn BD Gọi E, F hình chiếu M lên AB, AD Chứng minh rằng: BF, DE, CM đồng quy E A B Lời giải +) Ta có: ◊FAEM hình chữ nhật +) Ta có: ∆FDM vng cân F ⇒ AE = FM = FD K AD = DC ˆ = FCD ˆ = EDA ˆ + EDC ˆ = 900 ⇒ ∆EAD = ∆FDC (cgc) ⇒ EAD F ˆA = Dˆ M ⇒ CF ⊥ DE (1) C D Tương tự: BF ⊥ CE (2) +) Gọi K giao điểm CM EF ˆ (dvi ) = ˆ =AFE ˆ = ˆ = ˆ ⇒ KFM ˆ + KMF ˆ = ˆ + FEM ˆ = KMF MCD MAD FEM KFM 900 ⇒ CM ⊥ FE (3) ∆ AFK can doi xung hinh vuong E A Từ (1), (2) (3) suy ba đường cao ∆CEF B Bài 6: Cho hình vng ABCD, E điểm AB K Phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh rằng: CK + EA = DE Lời giải +) Trên tia đối tia CK lấy điểm F cho CF = AE ⇒ CK + EA = CK + CF = FK ∆CFD (c.g.c) ⇒ DE = DF ; Dˆ1 = Dˆ +) ∆AED = Sưu tầm tổng hợp D C F TÀI LIỆU TOÁN HỌC 239 ˆ == ˆ ˆ = DEA 900 − Dˆ1 ; FDK Dˆ + Dˆ +) Xét ∆DKF có: DFK ˆ = 1800 − DEK ˆ − FDK ˆ = 1800 − (900 − Dˆ ) − ( Dˆ + Dˆ )= 900 + Dˆ − Dˆ − Dˆ DFK 4 ˆ = DKF ˆ ⇒ ∆DKF cân F = 900 − Dˆ = Dˆ1 + Dˆ = Dˆ + Dˆ ⇒ FDK ⇒ DF = KF = DE ⇒ CK + FC = DE ⇒ AE + CK = DE Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi E, F trung điểm AB, BC M giao điểm CE DF Chứng minh : AM = AB Lời giải E A B +) Eˆ = Fˆ → Fˆ = Cˆ1 = 900 → CE ⊥ FD +) Gọi N trung điểm CD +) ◊AECN hình bình hành F +) ∆MCD vng → MN = ND M Có : AN ⊥ DM → Chứng minh : AM = AD = AB I D N C Bài 8: Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, AD BN CM cắt P Chứng minh rằng: DP = AB A Lời giải M B ˆ ˆ = ∆CBM (c.g.c); ABN BCN +) ∆BAN = ˆ = 900 ⇒ Cˆ1 + Bˆ = 900 ⇒ BPC P +) Kéo dài BN cắt CD E N ∆BAN = ∆EDN (c.g c) ⇒ AB = DE ⇒ D trung điểm EC E D C +) Xét ∆CPE vuông P ⇒ PD = EC = CD = AB(dpcm) Bài 9: Cho ∆ABC Về phía ngồi G Q tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Chứng minh I đường cao AH ∆ABC qua E trung điểm EG P Lời giải F A Gọi P, Q hình chiếu E, G lên AH D Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC B H C 240 AE = AB ˆ = AHB ˆ = 900 EPA AH (1) ⇒ ∆EAP = ∆AHB ⇒ PE = ˆ = ABH ˆ ) ˆ ( phu : BAH EAP Tương tự: ∆GQA = ∆CHA(ch.gn) ⇒ GQ = AH (2) ⇒ GQ = EP EP = GQ Xét ∆EPI , ∆GQI có: Iˆ1 = Iˆ2 ⇒ ∆EPI = ∆GQI ( g.c.g ) ⇒ EI = IG Pˆ= Qˆ= 900 Bài 10: Cho ∆ABC , M trung điểm BC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Gọi P, Q tâm hình vng CMR: ∆MPQ vng cân Lời giải MP / / EC MQ / / BG ; +) PM QM đường trung bình ∆EBC , ∆BGC ⇒ 1 = EC MQ BG MP 2= EC = BG ∆ABG (c.g c) ⇒ +) ∆AEC = ˆ = ABG ˆ AEC G 1800 Xét ∆IHB có: Iˆ1 + Bˆ + Hˆ = Iˆ2 = Iˆ1 ⇒ Iˆ1 + Bˆ = Iˆ2 + Eˆ = 900 ⇒ Hˆ = 900 Bˆ = Eˆ E Q A MP ⊥ MQ ⇒ EC ⊥ BG ⇒ ⇒ ∆MPQ vuông MP = MQ I cân P H D B M C Bài 11: Cho ∆ABC , phía ngồi tam giác dựng hình vng ABGH, ACEF, BCIJ Gọi O1 , O2 , O3 tâm hình vng, M trung điểm BC, D trung điểm HF CMR: a ∆O1MO2 vuông cân c HF = AM b ◊DO1MO2 hình vng d AD ⊥ BC ; AM ⊥ HF e O1O2 = AO3 Lời giải Xét ta giác FAB tam giác CAH có: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC F 241 FA = AC ; AB = AH ; ˆ = 900 + Aˆ = CAH ˆ FAB ˆ = I BJ ˆ ⇒ ∆FAB = ∆CAH (cgc) ⇒ FB = CH ⇒ AHJ 1 ˆ + AJˆ H = 900 ⇒ I BJ ˆ + BJˆ I = 900 ⇒ FB ⊥ CH Mà: AHJ 1 1 1 +) O2 M đường trung bình ∆FCB ⇒ O2 M / / FB; O2 M = BF H +) O1M đường trung bình ∆HBC ⇒ O1M / / HC ; O= 2M D D1 O1M ⊥ O2 M ⇒ ∆F O1MO2 HC ⇒ O1M = O2 M G vuông cân A O1 J1 b +) O2 D đường trung bình O2 I1 ∆FHC ⇒ O1 D / / BF ; O1 D = BF E +) O1 D đường trung bình C HC ⇒ O1= M O2= M O= O2 D ⇒ ◊DO1MO2 1D hình thoi, = Mˆ 900 ⇒ hình vng M B ∆FBH ⇒ O2 D / / HC ; O= 2D O3 c Tứ giác ABA1C hình bình hành ˆ ⇒ BA = FA; ˆ = 1800 − BAC ⇒ BA1 = AC ; ABA 1 ˆ ˆ ˆ ABA1 = 180 − BAC = FAH ⇒ BA = AH I J ∆FAH ⇒ AA1 = HF ⇔ AM = FH +) ∆ABA1 = d Hạ CC1 ⊥ AM ≡ C1 ˆ ( slt ) ˆ = ∆BAA1 (c.g.c) ⇒ HFA AAˆ1 B = CAA AM cắt FH D1: ∆HAF = ˆ + FAD ˆ = 900 ⇒ D FA ˆ = 900 ⇒ Dˆ = 900 ⇒ AM ⊥ FH ˆ + D AF Mà: CAA 1 1 Bài 12: Cho hình vng ABCD, điểm E, F cạnh BC, CD cho = 450 , tia đối tia DC lấy điểm M cho DM = BE CMR: EAF = ∆ADM , MAF 450 a) ∆ABE = b) Chu vu tam giác CEF nửa chu vi tứ giác ABCD Lời giải a, ∆ ABE = ∆ ADN ( cạnh góc vng) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 242 => A1 = A2 A B =− == => MAE 900 > MAF 900 450 = 450 45 b, ∆ AEF = ∆ AMF (c.g.c) E => EF = MF, EF = MD + DF = BE + DF Chu vi ∆ CEF = CE + EF + CF = CK + BE + DF + CF = BC + CD = chu vi ABCD M C F D Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC a) CMR: AD phân giác HAM b) điểm E, M, F thẳng hàng c) Tam giác BDC tam giác vuông cân Lời giải A = a) Ta có: C A1 ( phụ góc B) Mà AM= 1 > BC=> AM= MC=> A2 == C A1 = A2 , A3 = A4 2 F => AD tia phân giác = mà A4 = A3 => D A3 => ∆ADM cân M B = b) AH // DM => D A4 , 1 H E => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA = ED => FA = FD Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD D => Thẳng hàng =D c, ∆ BED = ∆ CFD => D +D = BDF +D = EDF = 900 = BDF BDC => ∆ BDC vuông cân Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, ABC a) AC > AB => B == > HAC >C => HC > AH => AH = HD => HC > HD => D nằm H,C Mà: B HAC b, Ta có: A1 + A2 = A2 + A3 = > A1 = A3 900 , 900 = kết hợp với AE= AH => ∆ AEF = ∆ AHB => AB= AF Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c) Gọi M giao điểm BF, AG, Khi ∆ BDF có DM = Tương tự AM= A E BF 2 BF F => M nằm đường trung trực AD M Ta lại có: AE= ED, HA= HD B H C D => E, H nằm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng G B, tia đối Bài 15: Cho hình vng ABCD điểm E bắt kỳ nằm điểm A tia CB lấy điểm F cho CF =AE a) Tính EDF b) Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF, tứ giác DEGF hình gì? c) CMR: AC, DG, EF đồng quy Lời giải a) ∆ AED = ∆ CFD (c.g.c) A E B = EDC + => EDF = EDC + CDF => ADE = CDF ADE G => EDF = = 900 ADC b) Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG Do đó: DEGF hình bình hành = 900 => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE = DF lại có: EDF I D C => Là hình vng F Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 244 Bài 16: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F Chứng minh rằng: a) : B M = ND b) N, D, C thẳng hàng c) EMFN hình gì? d) Chứng minh DF + BM = FM chu vi ∆ MFC không đổi M thay đổi BC Lời giải + MAD = a) Tứ giác ABCD hình vng => A 90 Vì AMHN hình vng (1) B A E d = = > A2 + MAD 90 (2) = Từ (1) (2) ta có: A A2 1 Ta có : ∆ AND= ∆ AMB (c.g.c) = = = >B D 90 , BM = ND 1 N b, ABCD hình vng O C F D +D = = = 90 = NDC 180 , = >D >D 2 H Nên N, D, C thẳng hàng c, Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN => O tâm đối xứng hình vng AMHN => AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F ∈ AH => EN = EM FM = FN (3) = = = >O O > EM = NF (4) Từ (3) (4) => EM = NE = NF = FM => MENF hình thoi (5) d, Từ (5) suy FM = FN = FD + DN, mà DN = MB (cmt) => MF = DF + BM Gọi chu vi ∆ MCF P cạnh hình vng ABCD a Ta có : P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF , Vì ( MF = DF + MB) = ( MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Hình vuông ABCD cho trước => a không đổi => P khơng đổi Bài 17: Cho hình vng ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI ∆ AEF cắt CD K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF AF = FK FC Sưu tầm tổng hợp M TÀI LIỆU TOÁN HỌC 245 c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi ∆ EKC không đổi Lời giải B A a) Xét ∆ ABE vuông B ∆ ADF vuông D có: AB = AD, E G => ∆ ABE = ∆ ADF = CAF BAE => AE = AF Vì AE = AF AI đường trung tuyến I ∆ AEF => AI ⊥ EF Hai ∆ IEG vuông I ∆ IFK vuông I có: F = IFK , IE=IF, IEG Nên ∆ IEG = ∆ IFK => EG = FK D K x Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi , = CFA b) Xét ∆ AKF ∆ CAF có: AFK AF FK = AF = FK FC KAF = ACF = 450 => ∆AKF ∆CAF ( g.g) => FC AF c) Theo câu a ta có: ∆ ABE = ∆ ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= KF Do chu vi ∆ EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD ( Không đổi) Bài 18: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy AM = BN = 2a , BC lấy BN cho 2a a) CMR: AN vng góc DM b) Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ Lời giải = = +M = = a, Ta chứng minh ∆ ABN = ∆ DAM => D A1 + M 900 = >K 900 A1 , Mà : D 900 => 1 1 b, Ta có : MN = = KI a 4a a + = 9 M A 1 a = MN B K I a 10 a Tương tự ta có : DN = = > KJ =10 N Sưu tầm tổng hợp D J TÀI LIỆU TOÁN HỌC C C 246 a a Tương tự DM = 13 = > IJ = 13 Bài 19: Cho hình vng ABCD, Từ điểm M tùy ý đường chéo BD, kẻ ME, MF vng góc với AB AD, CMR: a, CF = DE, CF ⊥ DE b, CM = EF, OM ⊥ EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xác định M để diện tích AEMF lớn Lời giải E A B a) BD đường chéo hình vng ABCD => BD phân giác góc D => ADB =450 => ∆DFM cân F=> DF = FM = AE =D ∆ CDF = ∆ DAE (c.g.c) => CF = DE C 1 +F = +F = = Mà C 900 = >D 900 = > FOD 900 1 1 H F b, AM = EF, BD đường trung trực AC => MA = MC => MC = EF Kéo dài FM cắt BC N => Tứ giác BEMN hình vng, O M N 1 D C => MN = ME = MEF , => ∆ EMF = ∆ MNC(c g c) => M +M == +M = Mà M 900 > MEF 900 2 = 900 => ĐPCM => EHM c) ∆ EFC có CH ⊥ EF => CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF Lại có ED ⊥ CF O => ED đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự câu a => CE ⊥ BF => BF đường cao ứng với cạnh CE => đường CM, BF, DE đồng quy Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 247 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT Bài 1: Cho ∆ABC , phía ngồi tam giác dựng hình vng BCDE, ACIG hình bình hành BEQK, CDPE Chứng minh ∆APQ vuông cân Lời giải G ∆ABC = ∆CFP(c.g.c) : AC = CF ; BC == PF CD; ˆ ) ⇒ CP = AB ; A ˆ =Cˆ Cˆ =Fˆ (bù: DCF 1 H AC = BQ ∆BKQ(c.g c) ⇒ Tương tự: ∆ABC = Aˆ1 = Bˆ1 F A 1 ∆ABQ = ∆ACP(cgc) ⇒ AQ = AP ⇒ ∆APQ K 1 C B P Cân A Ta có: ˆ = QAB ˆ + BAC ˆ + CAP ˆ = APC ˆ + CAP ˆ ˆ + FCP QAP = 180 −900 = 900 ( Tổng ba góc tam giác ) Q D E ⇒ ∆APQ vuông cân Bài 2: [ HSG: 14/04/2014 ] Cho hình thang ABCD vuông A D, biết CD = 2AB = 2AD BC = a Gọi E trung điểm CD a ◊ABED hình gì? Vì b Tính S ABCD theo a ˆ c Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Tính HDI Lời giải a Hình chữ nhật có hai cạnh kề nên hình vng b ∆BEC vng cân vng cân ⇒ AB = AD = a; CD = 2a; A = S ABCD B H ( AB + CD) AD (a + 2a).a 3a = = 2 ˆ ˆ + BDI ˆ HDI = HDB c Ta chứng minh : ˆ + HDA ˆ = 900 HDB a I ˆ ( phu : HDC ˆ ˆ ˆ ) ⇐ ∆BDI ∆DCA(cgc) BDI = ADH = ACD BI AD ˆ ˆ ˆ = = =; B = D= 900 ⇒ HDI 450 Vì : BD DC E D C Bài 3: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang – 2014 ] Cho ∆ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt AB M Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC N Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 248 a Gọi O trung điểm AI CMR: M, O, N thẳng hàng b Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD c Tìm vị trí điểm I để MN // BC Lời giải a a AM / / NI ⇒ HBH ⇒ MN ∩ AI AN / / MI trung điểm đường → M , O, N m o thẳng hàng n b Kẻ OE ⊥ BC ta chứng minh MHKN hình thang vng Ta có: O trung điểm MN, mà : b h e d i c k OE / / MH / / NK ⇒ OE đường trung bình hình thang vng MNHK ⇒ MH + NK = 2OE (1) +) Xét ∆ADI ⇒ OE đường trng bình ∆ADI ⇒ AD = 2OE (2) ⇒ MH + NK = AD (dpcm) c Ta có : MN / / BC ⇔ MN đường trung bình ∆ABC , lại có O trung điểm AI mà : MI // AC, M trung điểm AB ⇒ I phải trung điểm BC Bài 4: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, cắt DC F a Chứng minh rằng: BM = ND b N, D, C thẳng hàng c FMNE hình gì? d DF + BM = FM chu vi ∆MFC khơng đổi M thay đổi vị trí BC Lời giải A B ∆AMB(c.g.c) ⇒ Bˆ = Dˆ1 = 900 ; BM = ND a ∆AND = ˆ = 1800 ⇒ N , D, C thẳng hàng b NDC E M EN = EM E , F ∈ AH ⇒ ; ∆EOM = ∆FON (ch − gn) ⇒ FN = EM FM = FN Vậy cạnh nên hình thoi c Ta có : MN đường trung trực AH O d FM = FN = ND + DF = BM + FD N +) P∆MFC = MC + CF + FM = MC + CF + BM + DF D C F Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC H 249 = ( MC + MB) + (CF + DF ) = AB ( không đổi ) Bài 5: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M N theo thứ tự hai điểm ˆ = 450 Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BM cạnh BC CD cho MAN a Chứng minh ∆ADK = ∆ABM ˆ b Chứng minh AN tia phân giác KAM c Tính chu vi ∆CMN theo a d BD cắt AM AN E F Chứng minh ba đoạn BE, FE, FD lập thành ba cạnh tam giác vuông Lời giải A B a ∆ADK =∆ABM (c − g − c) ∆ABM → Aˆ1 = Aˆ5 b ∆ADK = E M ˆ = Aˆ + Aˆ + Aˆ + Aˆ = Aˆ + Aˆ + Aˆ + Aˆ = 900 KAM 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 90 − NAM =45 ⇒ KAN =MAN =450 (dpcm) KAN = c PCMN = MN + NC + CM = CM + CN + KN F ∆AMN ) = CM + CN + KD + DN = (∆ANK = 2a H d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến MN K D N C ∆AND = ∆AMH (ch − gn) ⇒ Aˆ = Aˆ3 ⇒ ∆FAD = ∆FAH (c.g.c) ˆ = ADF ˆ = 450 ⇒ FH = FD; AHF ˆ = ∆AEH = ∆AEB(c.g.c) ⇒ EH = EB; AHE ABE = 450 ˆ =EHA ˆ + FHA ˆ =900 ⇒ vng H Ta có: EHF Vậy BE , DF , FE lập thành ba cạnh tam giác vuông Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 250 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Ngày đăng: 20/02/2023, 07:31
Xem thêm:
