Skkn một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy học hình học lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY - HỌC HÌNH HỌC LỚP 12" skkn A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình ơn thi tốt nghiệp THTP Đại học – Cao đẳng nay, tốn tính thể tích khối đa diện xuất phổ biến Bài tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng phần kiến thức khó học sinh THPT Đa số học sinh học theo kiểu “làm nhiều quen dạng, làm nhiều nhớ”, học không phát triển tư sáng tạo, không linh hoạt đứng trước tình lạ hay tốn tổng hợp Vì lí đó, để giúp học sinh tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục giúp học sinh có thêm phương pháp giải tốn, tơi định chọn đề tài: “Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ” Mục tiêu sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện cách hệ thống sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức phương pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ phát triển tư sáng tạo giải tốn khó II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng Trong chương trình phổ thơng, phần kiến thức tính thể tích khối đa diện đưa vào giảng dạy lớp 12 Đây phần kiến thức hay khó học sinh trình làm tập; phần kiến thức xuất từ nhu cầu thực tế ứng dụng nhiều thực tế Để giải tốn tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp phương pháp tính trực tiếp phương pháp tính gián tiếp Phương pháp tính trực tiếp dựa vào việc tính chiều cao diện tích đáy từ suy thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích Đứng trước tốn học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “Phải định hướng lời giải toán từ đâu?” Một số học sinh có thói quen khơng tốt đọc đề chưa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn đến kết quả, nhiên hiệu suất giải tốn khơng cao Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét tốn nhiều góc skkn độ, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh khả tư theo phương pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hoàn thiện kỹ định hướng giải tốn Đặc biệt tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng hầu hết học sinh, kể học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn giải tập Nguyên nhân thực trạng học sinh chưa trang bị cho kiến thức phương pháp tính đầy đủ hệ thống nên lúng túng đứng trước toán Kết thực trạng Trước áp dụng nghiên cứu vào giảng dạy tiến hành khảo sát chất lượng học tập học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Hậu Lộc (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) thu kết sau: Lớp Sĩ số 12A3 12A4 Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 45 18 24 53 10 22 45 0 21 47 16 36 10 Như số lượng học sinh nắm bắt dạng không nhiều chưa nắm vững nguồn kiến thức kĩ cần thiết Để thực để tài vào giảng dạy, trước hết nhắc lại cơng thức tính thể tích khối đa diện, tiếp đưa phương pháp tính ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối đưa tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Thực nghiên cứu ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy chia nội dung thành phần dạy cho học sinh vào buổi, buổi tiết; buổi có thí dụ minh họa tập cho học sinh tự rèn luyện phương pháp tính Sau nội dung cụ thể: Phần I skkn Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng ứng dụng rộng rãi q trình tính tốn tính trực tiếp, tức dựa vào chiều cao khối diện tích đáy Như mấu chốt phương pháp phải xác định chiều cao diện tích đáy, ta xét số ví dụ minh họa sau: Các thí dụ minh họa Thí dụ Cho khối chóp có góc với mặt phẳng , tam giác khối chóp , cân Mặt phẳng vng tam giác vng Tính thể tích Lời giải (h.1) s Tam giác có nên Vì trung điểm cạnh nên với Bây ta xác định tam giác đỉnh vuông A C H Nếu vng đỉnh B định lí ba đường vng góc), điều vơ vng Tương tự, Từ suy vng C K B Hình (theo lý (Vơ lí) vng S Gọi K trung điểm cạnh BC Từ đó: skkn Nhận xét: Ở ví dụ dễ dàng nhận thấy SH chiều cao khối chóp từ giả thiết và việc cịn lại xác định SH Thí dụ Cho hình lập phương trung điểm cạnh tích khối tứ diện có cạnh Gọi thứ tự tâm mặt A D M E Lời giải (h.2) theo thứ tự Tính thể O N B C Ta có theo giao tuyến Gọi ( chúng trung điểm cắt cạnh O2 tâm hình vuông A1 D1 E1 Suy đường cao hình N1 O1 B1 ) C1 chóp Hình Ta có: Nhận xét: Khi gặp tốn nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp, nhiên khối “bù” với khối nhiều phức tạp Nếu để ý mặt phẳng nằm mặt phẳng việc xác định chiều cao diện tích đáy hình chóp trở nên đơn giản Thí dụ Cho khối chóp có đáy hình vuông cạnh Giả sử trung điểm cạnh hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp hình chóp có ba mặt bên tam giác vuông Lời giải (h.3) skkn Vì vng góc đáy nên đường cao khối chóp với S Hai tam giác vng (theo định lí ba đường vng góc) Tam giác có (vì ) nên khơng thể vng D vng Nhưng vng nên Từ không tam giác vuông Do , (vì C H Nếu Từ giả thiết suy C B A D Hình phải tam giác vuông ) nên vuông S, suy Vậy Thí dụ Xét khối chóp có đáy hình bình hành với Khối chóp tích lớn tính giá trị lớn Lời giải (h.4) S Vì khối chóp có nên đáy phải nội Suy Gọi cạnh tiếp bên hình chữ nhật giao B x C a H A D Hình skkn Đặt Vì nên theo BĐT Cauchy đạt giá trị lớn Lúc Bài tập tự luyện Bài (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc S mặt phẳng điểm H thuộc cạnh AB cho Góc đường thẳng SC mặt phẳng Tính thể tích khối chóp tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo Bài Cho hình hộp chéo điểm Bài Cho khối chóp tích khối chóp Bài Cho khối chóp mặt phẳng chóp có đáy hình thoi cạnh vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Tính thể tích hình hộp Hai mặt trung có Tính thể có đáy hình thoi cạnh Các nghiêng với đáy góc Tính thể tích khối Bài Cho khối chóp có đáy hình thang cân, đáy lớn lần đáy nhỏ , chiều cao đáy Bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh có độ dài Tính thể tích hình chóp Bài Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh Tam giác cân đỉnh mặt phẳng Giả sử trung điểm hai mặt phẳng vng góc với Tính thể tích khố chóp Bài Hình chóp có trọng tâm Hai mặt phẳng thể tích khối chóp , tạo với đáy góc , vng góc với mặt phẳng Tính skkn Bài Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh Các cạnh nghiêng đáy góc Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ Bài Cho hình chóp có diện tích đáy , chu vi đáy Các mặt bên nghiêng đáy góc Hình chiếu lên mặt phẳng đáy nằm đa giác Tính thể tích hình chóp Phần Trong tốn tính thể tích khối đa diện đơi việc xác định chiều cao diện tích đáy gặp nhiều khó khăn, tính cách gián tiếp cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ tính thể tích khối “bù” với khối cần tính Từ cơng thức cộng thể tích ta suy thể tích khối cần tính Sau số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ Thí dụ minh họa Thí dụ Cho khối chóp với tam giác Giả sử điểm thuộc cho diện Tính thể tích vng cân , , cạnh S khối tứ Lời giải (h.5) I Tam giác nên vng cân Do Vì hình chóp nên có A C chiều cao Hình B Suy Mặt khác Vậy skkn Nhận xét: Trong tốn ta hồn tồn tính trực tiếp, nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích tính tốn trở nên đơn giản nhiều Thí dụ Cho hình điểm thuộc cạnh chóp Giả sử cho có đáy hình chữ điểm thuộc cạnh cho Tính thể tích khối đa diện Lời giải (h.6) nhật, , S F Ta có Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ta có vng E A D O Gọi Xét tam giác cân có giác Suy Chứng minh tương tự B C Hình trung tuyến nên Suy Ta có hay đồng thời đường cao tam đường cao hình chóp Mặt khác (1) (2) Từ (1) (2) ta có: skkn Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích khơng thuộc khối quen thuộc (khơng có cơng thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành khối nhỏ quen thuộc, ta tính gián tiếp cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích Thí dụ Chi hình lập phương Mặt phẳng chia hình thành hai khối đa diện Tính tỉ số hai khối đa diện cạnh Gọi A' trung điểm cạnh lập phương thể tích D' B' C' Lời giải (h.7) Gọi giao điểm giao điểm Mặt phẳng Do Do M D A chia hình lập thành hai khối đa khối diện K B C Hình , K phương diện N nên nên Ta có ; Thể tích khối lập phương Từ 10 skkn Suy Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thí dụ ta dựa vào việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính Thí dụ Chi hình chóp có đơi vng góc với nhau, ; lần đường cao tam giác Tính thể tích khối G lượt chóp A B' Lời giải (h.8) C C' A' Hình Ta có Do , nên tam giác B vuông Áp dụng định lý Pythagore ta có: Xét tam giác vng có đường cao nên: Áp dụng định lý Pythagore tam giác vng ta có Chứng minh tương tự ta có: Mặt khác Suy 11 skkn Chứng minh tương tự, ta được: Do Nhận xét: Trong thí dụ ta áp dụng việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính thí dụ ta thấy phương pháp hiệu Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp với mặt phẳng , mặt phẳng cắt góc đường thẳng có đáy hình chữ nhật, đường thẳng vng góc trọng tâm tam giác , mặt phẳng cắt , Tính thể tích khối chóp ; biết , mặt phẳng Bài Cho hình chóp có đơi vng góc với nhau; đường phân giác tam giác Tính thể tích khối chóp Bài Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , Gọi hình chiếu vng góc điểm cạnh cắt Tính thể tích khối chóp , Mặt phẳng Bài Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vng tâm O SA vng góc với đáy SA = Cho Gọi H, K hình chiếu A SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 có hình chóp A1ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A 1BC) Tính tan thể tích hình chóp A1BB1C1C Phần Trong buổi trước, rèn luyện phương pháp tính thể tích tính trực tiếp tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, toán thi đại học 12 skkn học sinh giỏi sử dụng phương pháp hiệu phương pháp tọa độ hóa, nội dung phương pháp gồm bước: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Bước 2: Xác định tọa độ điểm liên quan, chuyển tốn hình học khơng gian thơng thường thành tốn hình học tọa độ Bước 3: Tính tốn dựa vào cơng thức hình học tọa độ không gian Bước 4: Kết luận Sau số thí dụ minh họa tập rèn luyện: Thí dụ minh họa Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD hình chữ nhật, SA=AB=a, AD= , gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) CMR: b) Tính thể tích tứ diện ANIB Lời giải (Hình 9) Chọn hệ tọa độ với Axyz với Khi đó: a) Ta có:mp(SAC) có vtpt Hình Hay mp(SMB) có vtpt 13 skkn b) Ta có mp(SAC) có phương trình: Vì , BM có phương trình: Thí dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy có cạnh a Gọi M, N trung điểm SB, SC Biết Tính thể tích hình chóp Lời giải (Hình 10) Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ (h.10) Đặt SO = h Khi ta có: , Hình 10 Ta có mp(SBC) cắt Oy , Ox , Oz S(0;0;h) nên có phương trình theo đoạn chắn là: 14 skkn Ta có Vậy Thí dụ (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013) Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC tam giác cân C, cạnh đáy AB 2a 30 Tính thể tích khối lăng trụ biết khoảng cách hai đường thẳng AB Lời giải (H.11) z Gọi M, N trung điểm AB Ta có MN đường cao lăng trụ Giả Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O M, điểm A, C, N thuộc Oy, Oz (Hình 11) Khi đó: C' N B' x A C nên trùng với tia Ox, y M Dễ có: A’B’ sử A' Hình 11 B Ta có Suy ra: Từ giả thiết khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ Ta suy 15 skkn Vậy: Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đưa toán hình học khơng gian thơng thường thành tốn hình học tọa độ giúp việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, ví dụ khơng dùng tọa độ việc tính chiều cao h khó khăn Điều quan trọng cần xác định yếu tố vng góc hình để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh SA vng góc với đáy SA = () mặt phẳng qua A vng góc với SC, () cắt SB, SC, SD H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD Bài Cho hình lập phương cạnh ; P, Q trọng tâm tam giác theo , trung điểm Tính thể tích khối tứ diện Bài (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp có đáy tam giác vuông cân B, , hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT Kết nghiên cứu Trong năm học 2012 – 2013, nhà trường phân cơng dạy mơn tốn lớp 12A3, 12A4 Đứng trước thực trạng học sinh ngại đối mặt với tốn hình học khơng gian, tơi mạnh dạn đưa vào chương trình bồi dưỡng phương pháp tính thể tích đa diện Và thực tế sau học cách có hệ thống đầy đủ phương pháp tính thể tích học sinh hứng thú học hình học khơng gian, học sinh giải tốt tốn tính thể tích nói riêng tốn hình học khơng gian nói chung Qua học sinh cịn rèn luyện cách trình bày giải cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt rèn luyện cho học sinh tư logic, tư sáng tạo, củng cố kiến thức Kết cụ thể 16 skkn Lớp Sĩ số 12A3 12A4 Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 45 10 22 18 40 17 38 0 0 45 11 17 38 22 49 0 Kiến nghị, đề xuất - Tổ chuyên môn cần tổ chức diễn đàn trao đổi chun mơn để giáo viên học hỏi kinh nghiệm phổ biến sáng kiến kinh nghiệm cá nhân - Nhà trường cần tăng cường trang thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy - Sở Giáo dục Đào tạo cần mở lớp chuyên đề hướng dẫn giáo viên sử dụng phần mềm công tác giảng dạy C KẾT LUẬN Trong trình thực áp dụng sáng kiến trên, thu kết định, học sinh hứng thú tốn hình học khơng gian, kết học tập mơn tốn nâng lên rõ rệt; nhiên để sáng kiến sử dụng hiệu rộng cần ý kiến đóng góp đồng nghiệp để khắc phục thiếu sót, hồn thiện đề tài nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Sỹ Tam 17 skkn 18 skkn ... nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục giúp học sinh có thêm phương pháp giải tốn, tơi định chọn đề tài: ? ?Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng. .. pháp tính trực tiếp phương pháp tính gián tiếp Phương pháp tính trực tiếp dựa vào việc tính chiều cao diện tích đáy từ suy thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức ta chia khối đa diện. .. Đại học – Cao đẳng nay, tốn tính thể tích khối đa diện xuất phổ biến Bài tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng phần kiến thức khó học sinh THPT Đa số học