Cac bai hinh hoc trong de toan tuyen sinh lop 10 nam 2019

Bài 1: Cho ABC có đường cao BD y CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại A tiếp tam giác hai điểm M N x N D E a) Chứng minh: BEDC nội tiếp M b) Chứng minh: DEA ACB c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến O tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác B C d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Chứng minh: AO phân giác MAN e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB GIẢI a) Chứng minh: BEDC nội tiếp ̂ =𝐵𝐷𝐸 ̂ = 900 Do hai điểm D E nhìn BC góc 900 Nên BEDC CM 𝐵𝐸𝐶 tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: DEA ACB ̂ +𝐵𝐸𝐷 ̂ = 1800 Do tứ giác BEDC mội tiếp nên → 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 𝐵𝐸𝐷 ̂ = 1800 ( Hai góc kề bù) Tại điểm E ta có : 𝐴𝐸𝐷 → DEA ACB c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác ̂ =𝐴𝐶𝐵 ̂ (Cùng chắn cung AB) Kẻ xy tiếp tuyến với (O) A Suy 𝑥𝐴𝐵 ̂ =𝐴𝐸𝐷 ̂ (cmb) Mặt khác 𝐴𝐶𝐵 ̂ =𝐴𝐸𝐷 ̂ Mà góc vị trí góc slt → xy//ED → 𝑥𝐴𝐵 d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Chứng minh: AO phân giác MAN Do xy tiếp tuyến (O) nên ta có xy  AO Mà xy //ED(cm câu c) → ED  AO → MN  AO Mà OA=R →OA trung trực MN →AM=AN →∆ AMN cân A → ̂ AO phân giác 𝑀𝐴𝑁 e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB ̂ =𝐴𝑀𝐸 ̂ Do AM=AN (cmt) → AM  AN → 𝑀𝐵𝐴 ̂ =𝐴𝑀𝐸 ̂ ; 𝑀𝐴𝐸 ̂ =𝑀𝐴𝐵 ̂ →∆ AME ∽ ∆ ABM → Xét ∆ AME ∆ AMB ta có : 𝑀𝐵𝐴 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = →AM.AM=AB.AE → 𝐴𝑀2 =AB.AE 𝐴𝐸 𝐴𝑀 Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Bài 2: Cho(O) đường kính AC Trên đoạn D OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn I AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường trịn tâm O’ I A C a) Tứ giác ADBE hình gì? M O B O' b) Chứng minh: DMBI nội tiếp c) Chứng minh: B, I, C thẳng hàng MI = MD d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC E d) Chứng minh: MI tiếp tuyến (O’) GIẢI a) Tứ giác ADBE hình gì? Do MA=MB ABDE M nên ta có DM=ME ADBE hình bình hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE hình thoi b )C/m DMBI nội tiếp ̂ =1v.Mà 𝐷𝑀𝐵 ̂ =1v(gt)𝐵𝐼𝐷 ̂ +𝐷𝑀𝐵 ̂ =2vđpcm BC đường kính,I(O’) nên 𝐵𝐼𝐷 c)C/m B;I;E thẳng hàng Do AEBD hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường ̂ =1v BIDC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI tròn)BEDC; CMDE(gt).Do 𝐵𝐼𝐶 BE vuông góc với DC → B;I;E thẳng hàng C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; EID vuông IMI đường trung tuyến tam giác vuông DEI MI=MD d) C/m MC.DB=MI.DC ̂ =𝐼𝑀𝐵 ̂ chắn cung MI DMBI nội Hãy chứng minh MCI∽ DCB (𝐶̂ chung ; 𝐵𝐷𝐼 tiếp) e)C/m MI tiếp tuyến (O’) ̂ = 𝑂’𝐶𝐼 ̂ Tứ giác MBID nội tiếp 𝑀𝐼𝐵 ̂ =𝑀𝐷𝐵 ̂ (cùng chắn -Ta có O’IC cân 𝑂’𝐼𝐶 ̂ (cùng chắn ̂ =𝑀𝐸𝐵 ̂ Do MECI nội tiếp 𝑀𝐸𝐵 ̂ =𝑀𝐶𝐼 cung MB) BDE cân B 𝑀𝐷𝐵 cung MI) ̂ = 𝑀𝐼𝐵 ̂ =𝑂’𝐼𝐶 ̂ +𝐵𝐼𝑂’ ̂ =1v ̂  𝑀𝐼𝐵 ̂ +𝐵𝐼𝑂’ Từ suy 𝑂’𝐼𝐶 Vậy MI O’I I nằm đường tròn (O’) MI tiếp tuyến (O’) Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Bài 3: Cho ABC có A 90 Trên AC lấy điểm M cho AMMC Dựng đường trịn tâm O đường kính MC; đường tròn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S a) Chứng minh: ADCB nội tiếp b) Chứng minh: ME phân giác AED c) Chứng minh: ASM ACD d) Chứng tỏ ME phân giác góc AED e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy GIẢI Tuấn Đỗ Ngọc A S M B O E D C 0389956418 a) Chứng minh: ADCB nội tiếp Hãy chứng minh: ̂ =̂ 𝑀𝐷𝐶 𝐵𝐷𝐶 =1v Từ suy A D nhìn đoạn thẳng BC góc vuông… b) Chứng minh: ME phân giác AED Do ABCD noäi tiếp nên ̂ =𝐴𝐶𝐷 ̂ (Cùng chắn cung AD) 𝐴𝐵𝐷 ̂ =𝑀𝐸𝐷 ̂ (Cùng chắn cung MD) Do MECD nội tiếp nên 𝑀𝐶𝐷 ̂ =1v𝑀𝐸𝐵 ̂ =𝐴𝐵𝐷 ̂ ̂ =1v ABEM nội tiếp𝑀𝐸𝐴 Do MC đường kính;E(O)𝑀𝐸𝐶 ̂ =𝑀𝐸𝐷 ̂ →đpcm ̂ ME phân giác 𝐴𝐸𝐷 𝑀𝐸𝐴 c) Chứng minh: ASM ACD ̂ +𝑆𝐷𝑀 ̂ (Góc tam giác SMD) Ta có 𝐴̂ 𝑆𝑀=𝑆𝑀𝐷 ̂ =𝑆𝐶𝐷 ̂ (Cùng chắn cung SD) Mà 𝑆𝑀𝐷 ̂ =𝑆𝐶𝑀 ̂ (Cùng chaén cung SM)𝑆𝑀𝐷 ̂ +𝑆𝐷𝑀 ̂ =𝑆𝐶𝐷 ̂ +𝑆𝐶𝑀 ̂ =𝑀𝐶𝐷 ̂ → 𝑆𝐷𝑀 ̂ 𝐴 𝑆𝑀= ̂ 𝐴𝐶𝐷 →ñpcm d) Chứng tỏ ME phân giác góc AED Tự CM câu b số e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy Goïi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng Do CAAB(gt);BDDC(cmt) AC cắt BD MM trực tâm tam giác KBCKM đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm Bài 5: Cho ABC có góc nhọn AB < A AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B I E N C xuống đường kính AA’ a) Chứng minh: AEDB nội tiếp D b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C C B M c) Chứng minh: DE  AC F d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: A' MD = ME = MF GIẢI a) Chứng minh: AEDB nội tiếp .(Sử dụng hai điểm D;E làm với hai đầu đoạn AB…) b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA A’CA đồng dạng c) Chứng minh: DE  AC Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Do ABDE noäi tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy góc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Mà góc ACA’=1v nên DEAC d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh:MD = ME = MF Goïi N trung điểm AB.Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DEAC MNDE (Đường kính qua trung điểm dây…)MN đường trung trực DE ME=MD ̂ =𝐴’𝐴𝐶 ̂ (Cùng chắn  Gọi I trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)𝐴’𝐵𝐶 ̂ =𝐹𝐷𝐶 ̂ =𝐹𝐷𝐶 ̂ (Cùng chắn cung FC) 𝐴’𝐵𝐶 ̂ hay cung A’C) Do ADFC nội tiếp 𝐹𝐴𝐶 ̂ =1vMIDF (Đường kính MIdây cung DF)MI đường trung DF//BA’ Mà 𝐴𝐵𝐴’ trực DFMD=MF Vậy MD=ME=MF Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE a) Chứng minh: MFEC nội tiếp b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM c) Chứng minh: AMP ∽ FMQ d) Chứng minh: PQM 90 M A P E O Q B F C GIẢI a)C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) b)C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFM∽ABM: ̂ =𝐴𝐶𝑀 ̂ (Vì chắn cung AM) Ta có 𝐴𝐵𝑀 ̂ =𝐹𝐸𝑀 ̂ (Cùng chắn cung FM) Do MFEC nội tiếp nên 𝐴𝐶𝑀 ̂ =𝐹𝐸𝑀 ̂ (1) 𝐴𝐵𝑀 ̂ =𝐴𝐶𝐵 ̂ (Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên 𝐹𝑀𝐸 ̂ ̂ =𝐹𝐶𝑀 Ta lại có 𝐴𝑀𝐵 ̂ =𝐹𝑀𝐸 ̂ (2) (Cùng chắn cung FE).𝐴𝑀𝐵 Từ (1)và(2) suy :EFM∽ABM đpcm c)C/m AMP∽FMQ Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên) AP AM AP AM    FQ MF FQ FM AB AM  FE MF maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt)  ̂ =𝑀𝐹𝑄 ̂ (suy từ EFM∽ABM) 𝑃𝐴𝑀 Vậy: AMP∽FMQ d)C/m góc:PQM=90o ̂ =𝐹𝑀𝑄 ̂ 𝑃𝑀𝑄 ̂ =𝐴𝑀𝐹 ̂ PQM∽AFM 𝑀𝑄𝑃 ̂ =𝐴𝐹𝑀 ̂ Do 𝐴𝑀𝑃 ̂ =1v𝑀𝑄𝑃 ̂ =1v(đpcm) Mà 𝐴𝐹𝑀 Bài 7: Cho (O) đường kính BC, điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho A AB = AD Dựng hình vuông ABED; AE cắt (O) điểm thứ hai F; Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G B C a) Chứng minh BGDC nội tiếp Xác định tâm O D I đường tròn F b) Chứng minhBFC vuông cân F tâm I đường tròn ngoại tiếp BCD E c) Chứng minh: GEFB nội tiếp c) Chứng tỏ:C, F, G thẳng hàng G G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD Có nhận xét I F GIẢI a)C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC b)C/mBFC vuông cân: ̂ ̂ (Cùng chắn cung BF) mà 𝐹𝐵𝐴 ̂ =45o (tính chất hình vuông)𝐵𝐶𝐹 ̂ =45o 𝐵𝐶𝐹=𝐹𝐵𝐴 ̂ =1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆ BFC vuông cân F →đpcm 𝐵𝐹𝐶 C/m F tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.Ta c/m F cách đỉnh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC=FC Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung; ̂𝐹 =𝐹𝐸𝐷 ̂ =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).BFE=E FD (c-g𝐵𝐸 c)BF=FDBF=FC=FD.đpcm c)C/m GE FB nội tiếp: Do BFC vuông cân F Cung BF=FC=90o o o  sñg GBF= Sñ cung BF= 2 90 =45 (Góc tiếp tuyến BG dây BF) ̂ =45o.ta lại có 𝐹𝐸𝐷 ̂ ̂ =45o(tính chất hình vuông)𝐹𝐸𝐷 ̂ =𝐺𝐵𝐹 ̂ +̂ Maø 𝐹𝐸𝐷 𝐹𝐸𝐺 =2v𝐺𝐵𝐹 ̂ =2v  Tứ giác GEFB nội tiếp +𝐹𝐸𝐺 d)C/m C;F;G thẳng hàng: ̂ =𝐵𝐸𝐺 ̂ Do tứ giác GEFB nội tiếp 𝐵𝐹𝐺 Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 ̂ =1v𝐵𝐹𝐺 ̂ =1v.Do BFG vuông cân F𝐵𝐹𝐶 ̂ =1v.𝐵𝐹𝐺 ̂ mà 𝐵𝐸𝐺 ̂ =2vG;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do 𝐺𝐵𝐶 ̂= ̂ +𝐶𝐹𝐵 𝐺𝐷𝐶 =1vTâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC FG nằn đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m I F Bài 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp A (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt F D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường cắt đường tròn E F, O cắt AC I (E nằm cung nhỏ BC) I a) Chứng minhBDCO nội tiếp C b) Chứng minh: DC2 = DE.DF B c) Chứng minh:DOIC nội tiếp E d) Chứng tỏ I trung đ iểm FE D GIẢI a)C/m:BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai góc đối) b)C/m:DC2=DE.DF Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung SđgócECD= sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây) ̂ =𝐷𝐹𝐶 ̂ DCE ∽DFCđpcm Sđ góc E FC= sđ cung EC(Góc nội tiếp)𝐸𝐶𝐷 c)C/m DOIC nội tiếp: Ta có: sđgóc BAC= sđcung BC(Góc nội tiếp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt ̂ 2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc nhau);OD chungBOD=COD ̂ 𝐵𝑂𝐷 =𝐶𝑂𝐷 DOC= sđcungBC (2) ̂ =𝐵𝐴𝐶 ̂ Từ (1)và (2)𝐷𝑂𝐶 ̂ =𝐷𝐼𝐶 ̂ (Đồng vị) 𝐷𝑂𝐶 ̂ =̂ Do DF//AB𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐼𝐶  Hai điểm O I nhìn đoạn thẳng DC góc nhau…Tứ giác DOIC nội tiếp → đpcm d)Chứng tỏ I trung điểm EF: ̂ =̂ Do DOIC nội tiếp  𝑂𝐼𝐷 𝑂𝐶𝐷(cùng chắn cung OD) ̂ =1v(tính chất tiếp tuyến)𝑂𝐼𝐷 ̂ =1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông Mà 𝑂𝐶𝐷 góc với dây cung EFI trung điểmEF Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Bài 9: Cho (O), dây cung AB Từ điểm M bất M kỳ cung AB(M  A M  B), kẻ dây cung P MN vng góc với AB H Gọi MQ đường A B cao MAN H I a) Chứng minh4 điểm A, M, H, Q nằm Q đường tròn O b) Chứng minh: NQ.NA =NH.NM c) Chứng minh: MN phân giác BMQ d) Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN; Xác định vị trí M cung AB để N MQ.AN + MP.BN có GTLN GIẢI a) C/m:A,Q,H,M nằm đường tròn Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng nhìn đoạn thẳng …một góc vuông -Tổng hai góc đối b)C/m: NQ.NA=NH.NM Xét hai vuông NQM NAH đồng dạng c)C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:  Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M ̂ ̂ =𝑁𝐴𝐻 ̂ (Cùng phụ với 𝐴𝑁𝐻) Cách 2: 𝑄𝑀𝑁 ̂ =𝑁𝑀𝐵 ̂ (Cùng chắn cung NB)đpcm 𝑁𝐴𝐻 d) Xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN 2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2 AB  MN =AB.MN Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn MN lớn nhấtMN đường kính M điểm cung AB Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Bài 10: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc B A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung BC E C (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp F N tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuông A A I O b) O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N, E, F, A nằm đường tròn c) Chứng tỏ : BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r GIẢI 1/C/m ABC vuoâng: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC= BC.ABC vuông A 2/C/m A;E;N;F nằm trên… -Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân ̂ =1v AEBEO đường trung trực AB hay OEAB hay 𝐸𝑁𝐴 ̂ =1vTổng hai góc đối……4 điểm… Tương tự 𝐸𝐹𝐴 3/C/m BC2=4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vuông(Cmt)FANE hình vuôngOEI vuông E EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu) Mà AH= BC OA=R;AI=r BC  RrBC2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuoâng SBCIO= S= OB  IC  BC ( r  R ) rR Tuấn Đỗ Ngọc 0389956418 Bài 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM H, cắt AO kéo dài I a) Chứng minhOMHI nội tiếp b) Tính góc OMI c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB x A M O H O I B y K GIẢI 1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối ̂ =? 2/Tính 𝑂𝑀𝐼 Do OBAI;AHAB(gt) OBAH=M Nên M trực tâm tam giác ABI IM đường cao thứ IMAB ̂ =𝐴𝐵𝑂 ̂ (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) 𝑂𝐼𝑀 ̂ =45o𝑂𝑀𝐼 ̂ =45o Mà  vuông OAB có OA=OB OAB vuông cân O 𝑂𝐵𝐴 3/C/m OK=KH ̂ =𝐻𝑂𝐵 ̂ + 𝐻𝐵𝑂 ̂ (Goùc OHB) Ta có 𝑂𝐻𝐾 ̂ =𝐴𝐻𝐵 ̂ =1v) 𝐻𝑂𝐵 ̂ =𝐻𝐴𝐵 ̂ (Cùng chắn cung HB) 𝑂𝐵𝐻 ̂ Do AOHB nội tiếp(Vì 𝐴𝑂𝐵 ̂ (Cùng chắn cung OH) 𝑂𝐻𝐾 ̂=̂ ̂ =𝑂𝐴𝐵 ̂ =45o = 𝑂𝐴𝐻 𝐻𝐴𝐵+𝐻𝐴𝑂 OKH vuông cân KOH=KH 4/Tập hợp điểm K… Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm đường tròn đường kính OB Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K đường tròn đường kính OB Tuấn Đỗ Ngọc 10 0389956418 b)CMR ∆ CAQ đồng dạng với ∆ AMC Từ suy diện tích tứ giác ACMQ không đổi M di động đoạn thẳng OB ̂ = 450 (chắn AD ) 𝐶𝐴𝑀 ̂ = 450 (chắn AC ) → 𝐶𝐴𝑄 ̂ = 𝐶𝐴𝑀 ̂ Ta có 𝐶𝐴𝑄 ̂ =1 sđ( AC  DN )= sđ( AD  DN ) =1 sđ AN Mà 𝐴𝐶𝑀 ̂ = sđ AN → 𝐴𝑄𝐶 ̂ =𝐴𝐶𝑀 ̂ Mặt khác 𝐴𝑄𝐶 2 𝐶𝑄 𝐴𝐶 2 ∆ CAQ ∽ ∆ AMC →(đpcm)→ = →CQ.AM= 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝑀 Xét từ giác ACMQ ta có : 1 1 𝑆𝐴𝐶𝑀𝑄 =𝑆∆𝐴𝐶𝑀 + 𝑆∆𝐴𝑄𝑀 = CO.AM+ QO.AM= AM(CO+QO)= AM.CQ 2 Như M di chuyển tùy ý BO 𝑆𝐴𝐶𝑀𝑄 = 𝐶𝑄 𝐶𝑁 → = 𝐶𝑁 𝐴𝑀 𝑁𝐴 → 𝐴𝐶 𝐶𝑁 ( )2 = ( )2 𝐴𝑀 𝑁𝐴 𝐶𝑄.𝐴𝑀 𝐴𝐶 2 → 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 2 𝐴𝐶 không thay đổi →(đpcm) c)Chứng minh hệ thức = ( )2 𝐴𝑀 𝐴𝑁 ̂ = 450 (cmt) mà 𝐴𝑁𝐶 ̂ = 450 (chắn AC )→ 𝐶𝐴𝑀 ̂ =𝐴𝐶𝑁 ̂ Ta có 𝐶𝐴𝑀 ̂ =𝐶𝐴𝑄 ̂ Do ∆CAQ ∽ ∆ AMC nên 𝐴𝑀𝐶 𝐴𝐶 → 𝑆𝐴𝐶𝑀𝑄 = →∆ ACM ∽ ∆ NCA 𝐶𝑁2 𝐴𝑀2 𝑁𝐴2 𝐶𝑄 𝐴𝐶 → 𝐶𝑄 𝐶𝑁 ) 𝐴𝑁 = ( →(đpcm) 𝐴𝑀 Từ CQ.AM=𝐴𝐶 → = → = 𝐴𝑀2 𝐴𝑀2 𝐴𝑀 𝐴𝑀 c) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng OB để NQ tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ∆ CPQ Tính OM theo R trường hợp Gọi K trung điểm CP mà ∆ CPQ tam giác vuông Q nên đường tròn (K;KQ) ngoại tiếp tam giác CPQ ̂ = 900 → 𝐾𝑄𝑃 ̂ + 𝑁𝑄𝑃 ̂ = 900 Giả sử NQ tiếp tuyến đường tròn (K) 𝑁𝑄𝐾 ̂ = 900 → 𝐾𝑄𝑃 ̂ + 𝐾𝑄𝐶 ̂ = 900 Tại Q ta có: 𝑃𝑄𝐶 ̂ =𝑃𝐷𝑁 ̂ =𝐵𝐷𝑁 ̂ ( chắn cung PN) → 𝑁𝑄𝑃 ̂ Tứ giác PQDN nội tiếp → 𝑁𝑄𝑃 ̂ =𝑄𝐶𝐾 ̂ → 𝐾𝑄𝐶 ̂ =𝐷𝐶𝑁 ̂ Do KQ=KC( Bán kính đường tròn tâm K) →∆ KCQ cân K → 𝐾𝑄𝐶 ̂ Mà 𝐵𝐷𝑁 ̂ ( chắn cung NB) → 𝐵𝐶𝑁 ̂ =𝐷𝐶𝑁 ̂ → 𝐵𝐶𝑀 ̂ = 𝐷𝐶𝑀 ̂ ̂ =𝐷𝐶𝑁 ̂ = 𝐵𝐶𝑁 → 𝐵𝐷𝑁 ̂ → 𝑂𝐶𝑀 ̂ = 22.5 →CM phân giác 𝐵𝐶𝑂 𝑂𝑀 Xét ∆ COM vng O ta có : tan 22,50 = →OM=OC tan 22,50 →OM=R.tan 22,50 𝑂𝐶 Như để NQ tiếp tuyến (K) ngoại tiếp ∆ CPQ điểm M ∈ OB OM=R.tan 22,50 Tuấn Đỗ Ngọc 19 0389956418 Bài 13: A Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Q D Đường trịn (O) cắt đường trịn đường kính Ah I điểm thứ F (F khác A) F 1/ CMR ∆ BEF đồng dạng với ∆ CDF O 2/Gọi N điểm cung