Skkn môn toán thptkhai thác một số hướng sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “KHAI THÁC MỘT SỐ HƯỚNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” skkn MỞ ĐẦU 1- Đặt vấn đề: Thực trạng vấn đề: Trong chương trình tốn Trung học học sinh làm quen với toán chứng minh bất đẳng thức từ lớp Bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia, học sinh giỏi Quốc tế Khi xuất kỳ thi toán chứng minh bất đẳng thức thường tốn khó Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh, đặc biệt học sinh chuyên toán, học sinh đội tuyển học sinh giỏi, học sinh chuẩn bị thi đại học số hướng chứng minh bất đẳng thức sử dụng đạo hàm, giúp học sinh hướng tiếp cận với toán chứng minh bất đẳng thức Ý nghĩa tác dụng đề tài: Đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn giai đoạn nào? Câu hỏi đặt cho người làm cơng tác giảng dạy tốn trường phổ thơng Sáng kiến kinh nghiệm việc cung cấp kiến thức cho học sinh đề cập đến việc đổi phương pháp dạy học dạy chuyên đề với mục tiêu nâng cao lực tư duy, phán đoán, biết đưa đường hợp lý cho lời giải; phát huy vai trị chủ động, sáng tạo, tính tích cực học sinh học tốn; học sinh giải số tốn khác sử dụng bất đẳng thức, học sinh tự tìm tịi, sáng tạo toán Việc giảng dạy nội dung sáng kiến kinh nghiệm khích lệ học sinh tìm tịi, sáng tạo học tốn giải toán nghiên cứu toán học ngồi ghế nhà trường Phạm vi nghiên cứu đề tài: Trong chương trình THPT đạo hàm có nhiều ứng dụng để giải dạng toán khác nhau: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình; hệ phương trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tính giới hạn, Có nhiều phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức, phạm vi sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến chứng minh bất đẳng thức có ứng dụng đạo hàm khai thác bất đẳng thức việc giải toán khác Đây phần nội dung chuyên đề bất đẳng thức mà tác giả giảng dạy lớp chuyên toán phân công giảng dạy tất đội tuyển quốc gia tỉnh Hưng Yên nhiều năm qua 2- Phương pháp tiến hành Giáo viên học sinh phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức tổng kết qua bước thực lớp chuyên, đội tuyển sau đây: - Trang bị kiến thức đạo hàm skkn - Cung cấp trước hệ thống tập để học sinh tự tìm tịi cách giải nhà - Sử dụng hệ thống tập cho học sinh làm, học sinh tổng kết hướng chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng đạo hàm - Liên hệ bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm toán khác - Sáng tạo toán từ bất đẳng thức chứng minh đạo hàm Nội dung SKKN sử dụng giảng dạy cho lớp chuyên toán, học sinh giỏi toán, đội tuyển học sinh giỏi thi học sinh giỏi tỉnh học sinh giỏi Quốc gia giảng dạy phần lớp ôn thi đại học skkn NỘI DUNG A- Mục tiêu: Đề tài SKKN đảm bảo nội dung sau Các định lý bất đẳng thức Phần hệ thống lại kiến thức bản, bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm sử dụng phần sau Chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng đạo hàm Phần hệ thống lại hướng để chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm Sử dụng bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm giải toán khác sáng tạo toán từ bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm Phần đưa số toán khác giải sở bất đẳng thức tạo toán từ bất đẳng thức chứng minh cơng cụ đạo hàm qua khích lệ học sinh tự sáng tác toán Một số tập luyện tập Phần dùng học sinh củng cố rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm B- Giải pháp đề tài I- CÁC ĐỊNH LÝ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC CHỨNG MINH BẰNG ĐẠO HÀM 1.1 Các định lý: 1.1.1 Định lý Lagrange Hàm số liên tục , có đạo hàm khoảng liên tục , có đạo hàm khoảng cho 1.1.2 Định lí Rolle Hàm số cho 1.1.3 Điều kiện để hàm số lồi, lõm bất đăng thức Jensen(*) skkn Định nghĩa hàm số lõm, hàm số lồi Hàm số có đạo hàm cấp hữu hạn điểm) hàm số lõm ( trượt tiêu Hàm số có đạo hàm cấp hữu hạn điểm) hàm số lồi ( trượt tiêu Bất đăng thức Jensen Hàm số lõm Hàm số lồi , , 1.1.4 Định lý ( "Bất đẳng thức tiếp tuyến") Hàm số liên tục, có đạo hàm đến cấp a)Nếu b) Nếu Đẳng thức xẩy Ta chứng minh a) sau: Xét hàm số Ta có Do đổi dấu từ - sang + qua Chứng minh tương tự b) 1.2 Các bất đẳng thức chứng minh đạo hàm 1.2.1 Bất đẳng thức liên quan tới sinx skkn 1.2.2 Bất đẳng thức liên quan tới cosx 1.2.3 Bất đẳng thức liên quan tới tanx 1.2.4 Bất đẳng thức liên quan tới 1.2.5 Bất đẳng thức liên quan tới lnx 1.2.6 Bất đẳng thức Becnuli(*) Nếu , Nếu , ; Dấu ; Dấu Các bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm, việc chứng minh dành cho học sinh tự làm tập nhà để chuẩn bị cho phấn sau skkn (*) Học sinh thi học sinh giỏi Quốc gia sử dụng bđt Jensen; Trêbưsep Becnuli II - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Một số hướng sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức (bđt) Để chứng minh bđt dạng với ; ( số Từ biến thiên hàm số từ suy điều phải chứng minh (đpcm) hàm số), ta xét hàm ta chứng minh Ví dụ Cmr : với Lời giải: Xét với : đồng biến đồng biến đồng biến đpcm Ví dụ Cho Cmr: Lời giải: Giả sử ( chứng minh tương tự) ( đặt Với ta có: ) đồng biến đpcm skkn Để chứng minh ta biến đổi dạng Bằng cách xét hàm số đó: Nếu ta chứng minh đồng biến Nếu ta chứng minh nghịch biến Ví dụ Cmr: với x>y>0 Lời giải: Ta có: (3) Xét nghịch biến đpcm Ví dụ 1) So sánh: a) b) 2) Cmr: Lời giải: 1) a) Phân tích: Giả sử > Từ ta có cách giải sau: Xét ( ) nghịch biến > b) Phân tích: Ta thấy skkn Giả sử > (4b) (4b) có dạng: Do ta có cách giải sau: Xét ( Vì ) nghịch biến > 2) Phân tích: Do ta có cách giải sau: Xét với ta có: ( đồng biến Do đó: ; đpcm Để chứng minh bất đẳng thức có dạng hàm số ta xét biến thiên chứng minh Ví dụ 5: Tam giác ABC nhọn Cmr: (5) Lời giải: Với Ta có: (5) skkn Xét ta có: ( Bất đẳng thức Cơ si) đồng biến Với ta có đpcm Ví dụ 6: Cho Cmr: (6) Lời giải: Từ giả thiết ta có: (6) Bằng cách xét hàm số chứng minh : với phương pháp đạo hàm ta hay từ suy đpcm ( Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh : ) Sử dụng bất đẳng thức chứng minh đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Các bất đẳng thức nói đến phần như: ; ; ; ; Ví dụ 7: Chứng minh rằng: Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức ta có: ( Vì 10 skkn Ví dụ 13 Tam giác không tù Chứng minh rằng: Nhận xét: Nhìn vào bđt cần chứng minh ta liên tưởng tới bđt Trêbưsep Do khơng tính tổng qt giả sử với , cần chứng minh từ dẫn đén việc chứng minh hàm số nghịch biến cách sử dụng bất đẳng thức Khi áp dụng bđt Trêbưsep ta có: ( ) ( ) Dấu xẩy tam giác Ví dụ 14 Chứng minh tam giác ta có: Nhận xét 1: - Liên hệ toán với bất đẳng thức Becnuli: Nếu , ; Dấu - Dễ thấy dấu xẩy tam giác điều chỉnh hệ số để có dấu xẩy - Liên hệ với bđt tam giác: Từ suy lấy cách lấy sử dụng bđt Becnuli ta có: 13 skkn tốn giải Nhận xét 2: Ta có = = Liên hệ với bđt Jensen dẫn đến việc xét hàm số với Ta chứng minh hàm số hàm số lõm bào toán giải Sử dụng định lý Lagrange Nếu bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ta sử dụng định lý Lagrange sau: Xét liên tục Ta chứng minh : , có đạo hàm từ suy đpcm Ví dụ 15: Cmr: Lời giải: (10) Xét ; liên Mà tục , có đạo hàm đpcm 14 skkn Ví dụ 16: Cmr: - > - (11) Lời giải: Đặt (11) Xét - > - > liên tục đó: có đạo hàm khoảng tương ứng ; Mặt khác: ; đồng biến đpcm Sử dụng định lý Rolle Ví dụ 17 Cho số khác Đặt Chứng minh rằng: Lời giải: Khơng tính tổng quat giả sử Xét có Theo định lý Rolle phương trình có nghiệm cho: (1) Mà có Do có hai nghiệm (2) Từ (1) (2) suy đpcm Ví dụ 18 Cho , chứng minh rằng: 15 skkn Lời giải: Xét có Theo định lý Rolle phương trình (3) có nghiệm , cho: Ta có: (3) Lại có nghiệm phương trình nên (4) Từ (30 (4) suy ra: (5) (6) Áp dụng bđt Cơsi ta có: (7) Từ (5); (6); (7) ta có đpcm Sử dụng " Bất đẳng thức tiếp tuyến" Để chứng minh bất đẳng thức có dạng ta dụng định lý " bất đẳng thức tiếp tuyến" Trong trường hợp bđt chưa có dạng cần lưu ý: - Nếu bất đẳng thức có dạng lấy loganepe hai vế - Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc chuẩn hóa Tùy thuộc vào tốn cụ thể ta lụa chọn cách chuẩn hóa phù hợp Ví dụ 19 Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh 16 skkn Lời giải Xét hàm số với Ta có: (*) Lại có: Do từ (*) (đpcm) Ví dụ 20 Cho số thực dương P= thỏa mãn Chứng minh Lời giải: Ta có: lnP = Xét hàm số a ln(c   c ) f ( x)  ln( x   x ) với ; ; Suy ra: Tương tự lnP ( Vì ;f ) 17 skkn lnP P III - MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI ĐƯỢC KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN MỚI TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC CHỨNG MINH BỞI CÔNG CỤ ĐẠO HÀM Một số toán khác giải liên hệ với bđt chứng minh công cụ đạo hàm Bài Tìm limun n        n  n n n limun trước cần tính với Un =   Nhận xét: Để tính giới hạn 2 ; mà n  lnU n=ln    +ln    + +ln   n  n n n 2 Từ nghĩ đến việc tìm bất đẳng thức dạng A  lnUn  B = = a Sử dụng nguyên lý kẹp giới hạn ta có kết x tốn Bất đẳng thức có liên quan đến lnx nghĩ đến là: x - 2 < Lnx < x với x  Giải : Ta có: lnUn=ln    +ln    + +ln   n  n n n 2 2 i Sử dụng (*) với x= ( i=1,2, n) Ta có: + n 2n n i i  n 2n (1+2+ +n) + 2 (1 +2 + +n ) < ln Un < (1+2+ +n) n i < ln   2 n < i n 18 skkn  S1= n(n  1) 1 24 n 2n Mà = n ( n  1)(2 n  1) < ln Un < n n(n  1) =S2 =2   = e Với suy nghĩ tương tự hướng học sinh đưa cách giải cho toán sau: Bài x x 1 Cho f(x) = với x >0 Sn = f ( n 2)+ f ( n ) + + f ( n 1 n )+ f ( n n ) Tính : Bất đẳng thức sử dụng : x x 2 x x 1 < = f(x) < x x  Lời giải : Ta chứng minh f(x) < x x  : x > 0 < x 1 x x x   x 1 > x 1 x  phương pháp dùng đạo hàm 2) Ta có : n >0, n > , , n n >0 Do áp dụng câu (1) ta có : 1 1 < f ( 2) < n 2n 2 - n n 2n < f( n n ) < n 19 skkn - n 2n < f( n ) < n n n 2n n -  n  T1= < f( n n n n (1+2+ +n) n 2) < 2n - (12+22+ +n2) < Sn < 2n n < Sn < (1+2+ +n) n n ( n  1) = T2  Lim Sn = Mà Lim T1=LimT2 Bài Tìm  n n1 + 2 n n + + 2 n n n  n Bất đẳng thức sử dụng là: chứng minh nhờ bất đẳng thức : 2 n k 1 n < >1+ 1 ln n k n k < n ; bất đẳng thức kn  n N* Lời giải : Ta chứng minh : 2x > 1+xln2 x  Xét hàm số y=f(x) =2x - xln2 -1 với x   0,  f’(x) = 2x.ln2 - ln2 = (2x-1) ln2  x>0  y=f(x) đồng biến  0,  f(x) > f(0) =0  x>0 20 skkn Với x= n  Tn = n 2 + + + (*)  2 1 k 1 n < k n = kn ( Vì ln2 >  ln n ln n >1+ n n 1 n Ta cm : n 2 n n = n k n n  k 1 > kn 1 k n kn (1) k  ; Dễ thấy n 1 k n n n < 1 kn k 1 n (*) (Đpcm) k 1 n ln n 1 kn 1 > 1 > 2n > kn ( k  )  +  Xét f(x)=2x liên tục R  f(x) liên tục  cho: 2C k = k n n k n < 1 kn k 1 n ln n k n  n  k  > 1+ kn k 1 k  ,  n n k  )  ; Có (1)   Ck   k 1 k ,  n n C + C + + C n ) với Ck   k  , k  k   Tn = n ( +  n n 1 1 kn n 2 k  Đặt Sn= n ( + 2C + 2C + + 2C ) n n  2x  Sn =  dx =   ln   1 Theo định nghĩa tích phân : x = ln Dễ thấy : Tn= Sn  Tn= ln 2 Sáng tạo toán từ bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm Xuất phát từ bđt < cos với x ( 0; ) ta có toán sau: Bài Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: 21 skkn + + < cos Ta chứng minh < cos hay cosx < cos2 (- f “(x) = cosx - cos sin ) ) ) ) + sin x = sinx - Sin x x x< f ’(x)> f ’(0) = + cos ( 0; ( 0; - cosx ( 0; f ’(x) = cos Với < x < với x (*) với x Xét f(x) = cos2 + cos cosx > cos f(x) > f(0) = Vận dụng (*) ta có : f “(x) > x f ’(x) đồng biến (1) chứng minh < cos ; < cos ; < cos từ suy điều phải chứng minh Tương tự ta giải toán khó hơn: Xuất phát từ bđt cosx > - x2 (*) với x ( 0; ), ta có toán sau: Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:  cos A +  cos A B + B  cos C >3 C Sử dụng kết (*) ( Ta chứng minh điều phương pháp đạo hàm ) Vì ; ; ( 0; cos > 1- A2 cos > 1- B2 cos > 1- C2 ) ta có : > > > - A B - C 22 skkn + + > 2( Sử dụng bất đẳng thức : ( ( + + Do : + + ) - ) ( A+B+C ) ( A+B+C ) ) + 5,2 > + + + > - ( A+B+C ) = - > 5,3 > ( Đpcm )  cos x 2x Cũng nghĩ đến bất đẳng thức có mặt tgx + sinx > 2x  tgx( 1+cosx) > 2x   cos x 2x > tgx ; Bất đẳng thức (2) với x ( 0; ) Do có cách giải thứ cho toán này: sử dụng bất đẳng thức (2) bất đẳng thức tg A tg B tg C  3 Ta có (2) tgx + sinx -2x >0 ( Có thể chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm ) Sử dụng kết (2) với + ; + Lại có: tg tg Do : ; > ( 0; + ) bất đẳng thức Côsi ta có : + tg + + Xuất phát từ bđt 2lnx -x2 +1 Bài Tam giác ( Đpcm) (3) với x > ta có toán sau: thỏa mãn + 23 skkn Nhận dạng tam giác Lời giải: Ta chứng minh được: cos2A +cos2B +cos2C = 1- cosAcosBcosC Do đó: = = Lại có: + = = + + + Do đó: (1) ( - ) +( Ta chứng minh : 2lnx -x2 +1 - )+( - ) 0 (2) với x > Thật : Xét F(x) = 2lnx -x2 +1 miền x > F/(x) = F(x) ; F/(x) F(1) = ; Dấu x=1 ( TC THTT tháng năm 2000) Giải hệ : ( TC THTT tháng năm 2003 ) Trong năm qua sử dụng nội dung giảng dạy cho học sinh đội tuyển quốc gia góp phần tạo nên kết đáng kích lệ: 26 skkn Năm học 2002-2003 có 5/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải có giải ba, học sinh Bộ GD&ĐT triệu tập tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế năm 2003 Cũng năm học có 12/12 học sinh dự thi HSG tỉnh có giải có giải Năm học 2005-2006 có 8/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải có giải nhì, giải ba giải khuyến khích, có học sinh Bộ GD&ĐT triệu tập tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế năm 2006 Năm học 2007-2008 có 10/10 học sinh đội tuyển HSG tỉnh lớp 12 có giải, có giải giải nhì, giải ba Năm học 2008-2009 với đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 3/6 học sinh đoạt giải Năm học 2010-2011 với đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 5/6 học sinh đoạt giải Năm học 2011-2012 với đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 6/6 học sinh đoạt giải Năm học 2012-2013 với đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 8/8 học sinh đoạt giải Năm học 2013-2014 với đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia có 5/8 học sinh đoạt giải KẾT LUẬN Việc đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn dạy chuyên đề với mục tiêu nâng cao lực tư duy, phán đốn, phát huy vai trị chủ động, sáng tạo, tính tích cực học sinh học toán qua việc khai thác kiến thức, tập sáng tạo toán cần thiết, hy vọng có dịp tiếp tục trình bầy sáng kiến kinh nghiệm nội dung chuyên đề khác, năm học Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân viết, không chép nội dung người khác Hưng Yên, ngày 15 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thanh Giang 27 skkn ... bất đẳng thức cách sử dụng đạo hàm Phần hệ thống lại hướng để chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm Sử dụng bất đẳng thức chứng minh công cụ đạo hàm giải toán khác sáng tạo toán từ bất. .. xét hàm số chứng minh : với phương pháp đạo hàm ta hay từ suy đpcm ( Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh : ) Sử dụng bất đẳng thức chứng minh đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Các bất. .. Quốc gia sử dụng bđt Jensen; Trêbưsep Becnuli II - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Một số hướng sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức (bđt) Để chứng minh bđt dạng với ; ( số Từ