KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI “KINH NGHIỆM KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC” skkn 2 PHẦN 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua quá trình công tác giảng dạ[.]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “KINH NGHIỆM KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC” skkn PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua q trình cơng tác giảng dạy trường THPT tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Song địi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Đào sâu suy nghĩ toán chủ đề khơng có lạ Thậm chí cịn cổ điển lịch sử tốn học Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là thầy giáo dạy toán trường THPT mong muốn có nhiều học sinh u q, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chun mơn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trị “Khai thác sâu tốn” phần việc giúp người thầy thành công nghiệp Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác sâu toán thi đại học” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô cơng tác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn - Thơng qua đề tài này, tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 12 skkn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp ứng rút kết luận KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Đề tài tác giả nghiên cứu hoàn thiện năm 2012 - 2014 skkn PHẦN NỘI DUNG Bài toán Trong đề thi Đại học khối B năm 2007 có tốn sau Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – = 0; d’: x + y – = 0; điểm A(2;2) Tìm đường thẳng d diểm B đường thẳng d’ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A Đứng trước toán học sinh thường đưa lời giải sau LG: B A C A Cách 1: Gọi B( b; – b ); C( c; – c ) điểm thuộc d d’ AB AC Để tam giác ABC vng cân A ta có hệ: AB AC Ta có: AB (b 2; b) , AC (c 2; c ) Hệ trở thành: (b 2)2 b2 (c 2)2 (6 c)2 (b 2)(c 2) b(6 c) Nhận xét: Làm theo Cách gặp khó khăn việc giải hệ Với tinh thần bền bỉ sáng tạo tơi động viên học trị hướng dẫn em hai hướng giải sau: Hướng 1: Đặt ẩn phụ đưa hệ đẳng cấp biết cách giải skkn Ta biến đổi hệ thành: Đặt b2 2b c 8c 20 (b 1) (c 4) bc 4b c bc 4b c b x b x c y c y thay vào hệ ta được: x2 y xy Đến ta hệ đẳng cấp bậc biết cách giải Hướng 2: Sử dụng số phức Ta biến đổi hệ thành: b2 c 2b 8c 18 (b2 c 2b 8c 18) (2bc 8b 2c 4)i 2bc 8b 2c (b2 2bci c ) 2(b ci) 8(bi c) 18 4i (b ci)2 2(1 4i)(b ci) 18 4i Đến ta phương trình bậc tập số phức em dễ dàng tìm nghiệm là: b ci 5i b ci 1 3i có điểm B(3;1), C(5;3) B(-1;3), C(3;5) Không dừng lại Cách Tôi hướng dẫn HS làm cách khác Cách Gọi H, K hình chiếu A d d’ta dễ dàng chứng minh hai tam giác AHB tam giác CKA tam giác ABC vuông cân A Ta có hệ: AK CH BK AH Để tìm H K ta lập phương trình đường thẳng qua A vng góc với d (cần ý d d’ song song) Đường thẳng cắt d d’ K H Ta có: K(1;1), H(4;4), B(b; – b ), C(c; – c ) AH 8, CH 2(c 4)2 , AK 2, BK 2(b 1)2 Hệ trở thành: (c 4) (b 1) Giải hệ dễ dàng nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm kết luận skkn B K B A C A A C H A Tam giác ABC vuông cân A khiến cho nghĩ đến phép quay tâm A góc quay 900 Do tơi hướng dẫn học sinh làm Cách Cách Giả sử ta có tam giác ABC vng cân A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 Ta dựng d’’ ảnh d’ qua phép quay tâm A góc quay 900 Giao điểm d d’’ điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm điểm C Cụ thể: Tính khoảng cách từ A đến d: d ( A; d ) 2 Đường trịn tâm A bán kính R 2 có phương trình ( x 2)2 ( y 2)2 Đường thẳng d’’ tiếp tuyến đường trịn vng góc với d’ Ta có d’’ có dạng: x –y + c = Do d’’ tiếp tuyến đường tròn: d ( A; d '') R 22c 2 c 4 Trường hợp d’’ có phương trình: x – y + = ta có điểm B( -1;3) giao điểm d d’’ Gọi C(c, – c ) Ta có AC (c 2, c), AB (3; 1) Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC 3(c 2) 1(6 c) c Vậy điểm C(3;5) Trường hợp skkn d’’ có phương trình: x – y - = ta có điểm B( 3;-1) giao điểm d d’’ Gọi C(c, – c ) Ta có AC (c 2, c), AB (1; 3) Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC 1(c 2) 3(6 c) c Vậy điểm C(5;3) B d A d ’ C d’’ Không thỏa mãn với cách tơi tiếp tục tìm tịi tìm Cách Cách Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến mở rơng tốn thành nhiều tốn thú vị, nhiều không làm theo cách gần bế tắc skkn K A H y=2 C B d d’ Qua A kẻ đường thẳng y = song song trục hồnh Giả sử có tam giác ABC vuông cân A thỏa mãn đề Gọi H, K hình chiếu vng góc B,C đường thẳng y = Dễ dàng chứng minh tam giác AHB tam giác BKA Ta có hệ: AK BH CK AH Mà A(2;2), B(b; – b ), C(c; – c ), H(b; 2), K(c; 2) Nên AK (c 2)2 , BH b2 , CK (c 6)2 , AH (b 2)2 (c 2)2 b2 Hệ trở thành: 2 (c 6) (b 2) Giải hệ dễ dàng nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm kết luận Tiếp tục đào sâu suy nghĩ nhận thấy giả thiết đường thẳng d d’ song song với đặc biệt, gợi ý cho tốn tương tự cách dễ dàng thành cơng tất lời giải cách làm skkn Nhưng thay đổi giả thiết cho hai đường thẳng d d’ cắt (không vng góc) Cách mà đa số học sinh suy nghĩ làm theo gặp nhiều khó khăn việc giải hệ phương trình Và tất nhiên khơng thể có cách làm số Cách Cách cịn ngun giá trị Sau dây tơi đưa tốn số Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x – y = Và diểm A(2; 1) Tìm đường thẳng d điểm B, trục hoành điểm C cho tam giác ABC vuông cân A Khi đưa tập cho học sinh đa số em suy nghĩ làm theo Cách Và nhiều thời gian vào phương án thách thức đặt giải hệ phương trình Tất nhiên sử dụng phương pháp đưa phương trình bậc có hai nghiệm hữu tỷ tới kết Với phép quay tốn giải cách nhanh chóng B A O C d d’ Giả sử ta có tam giác ABC vng cân taị A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 Ta dựng d’ ảnh Ox qua phép quay tâm A góc quay 900 skkn Giao điểm d d’ điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm điểm C Cụ thể Xét đường trịn tâm A(2; 1) bán kính R = tiếp xúc với trục Ox Đường thẳng d’ tiếp xúc với đường trịn vng góc với trục Ox có phương trình là: x = x = Trường hợp d’có phương trình: x = ta có điểm B( 3;3) giao điểm d d’ Gọi C(c; ) thuộc trục Ox Ta có Mà tam giác ABC vng A nên AC (c 2, 1), AB (1; 2) AB AC 1(c 2) c Vậy điểm C(4; 0) Trường hợp d’có phương trình: x = ta có điểm B( 1;1) giao điểm d d’ Gọi C(c; ) thuộc trục Ox Ta có Mà tam giác ABC vuông A nên AC (c 2, 1), AB (1;0) AB AC 1(c 2) c Vậy điểm C(2; 0) Cách khác Qua A kẻ đường thẳng song song với trục hồnh có phương trình là: y = Giả sử có tam giác ABC vuông cân A thỏa mãn đề Gọi H, K hình chiếu vng góc B,C đường thẳng y = Dễ dàng chứng minh tam giác AHB tam giác BKA Ta có hệ: AK BH CK AH 10 skkn B y=1 K A C d Mà A(2;1), B(b; b ), C(c; 0), H(b; 1), K(c; 1) Nên AK (c 2)2 , BH (b 1)2 , CK 1, AH (b 2)2 (c 2)2 (b 1)2 Hệ trở thành: 1 (b 2) Giải hệ dễ dàng nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm kết luận Quay lại toán ta nhận thấy giả thiết tam giác ABC vuông cân A đặc biệt Bây muốn tam giác ABC tam giác liệu kết ta có tốn Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – = 0; d’: x + y – = 0; 11 skkn điểm A(2;2) Tìm đường thẳng d diểm B đường thẳng d’ điểm C cho tam giác ABC Đứng trước toán học sinh thường đưa lời giải sau Cách 1: Gọi B( b; – b ); C( c; – c ) điểm thuộc d d’ Để tam giác ABC ta có hệ: Ta có: AB AC AB BC AB (b 2; b) , AC (c 2; c), BC (c b; c b) Hệ trở thành: 2 2 (b 2) b (c 2) (6 c) 2 2 (b 2) b (c b) (6 c b) Đặt ẩn phụ đưa hệ đẳng cấp biết cách giải Đặt b x b x c y c y thay vào hệ ta được: 2 x y x xy 8 Đến ta hệ đẳng cấp bậc biết cách giải d’’ d B A d’ C Phát huy cách làm phép quay ta có cách khác sau Cách 12 skkn Giả sử có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tốn Khi B ảnh C qua phép quay tâm A góc quay 600 Dựng d’’ ảnh d’ qua phép quay tâm A góc quay 600 B giao điểm d d’’ Có A, B dễ dàng tìm C để tam giác ABC Khai thác hai đường thẳng chưa làm tơi thỏa mãn, thúc đẩy tơi bẻ cong hai đường thẳng song song thành hai nhánh đồ thị hàm số Bài toán Cho điểm A(2;1), tìm hai nhánh đồ thị hàm số 2x điểm B, C cho tam giác x 1 ABC vuông cân A Nhận xét: Đây câu hỏi phụ cho khảo sát hàm số tương đối khó, đa số học sinh làm theo Cách giải hệ phương trình Bản thân tơi nhiều thời gian để giải hệ phương trình chưa có kết Phép quay tâm A với góc quay 900 khó khăn cịn Cách cịn ngun giá trị LG Qua A kẻ đường thẳng song song với trục hồnh có phương trình là: y = Giả sử có tam giác ABC vng cân A thỏa mãn đề Gọi H, K hình chiếu vng góc B,C đường thẳng y = Dễ dàng chứng minh tam giác AHB tam giác CKA Ta có hệ: AK BH CK AH A(2;1), H(b;1), K(c;1), B (b; 2b 2c ) , C (c; ) b 1 c 1 b2 (c 2) ( b ) Hệ trở thành: (b 2) ( c ) c 1 Việc giải hệ phương trình khơng q khó khăn, ta cần xét trường hợp, ý thử lại, loại nghiệm kết luận 13 skkn Chú ý: Do vai trò B,C thuộc hai nhánh đồ thị hàm số Chúng ta giả sử b>1 c