Skkn đường đối trung

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn hình học phẳng ln xuất kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp Điều cho thấy phương pháp tư hình h ọc trọng việc rèn luyện phát triển tư sáng tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Vì để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi phân mơn hình học, cần phải trạng bị cho học sinh kiến thức để có đủ sở cho việc tìm tịi lời giải tốn hình học hay khó kì thi phát triển khiếu hình học Trong tốn học nhiều vấn đề hình học tưởng chừng khác biệt thực lại có chất có mối liên hệ với Sau xin giới thiệu vấn đề liên quan đến “đường đối trung” yếu tố có nhiều tính chất đẹp tam giác số khái niệm liên quan tới nó, có nhiều ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng, sáng tạo Mục đích nghiên cứu Trong viết tơi nhằm mục đích giới thiệu đường đối trung có nhiều ứng dụng việc chứng minh quan hệ hình học đường thẳng đồng quy, điểm thẳng hàng; chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định, đường thẳng qua điểm cố định chứng minh quan hệ hình học khác (đồng dạng, nhau, tính tỉ số,…), đồng thời phương pháp để sáng tạo toán Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm học sinh u thích mơn hình học, nhằm trang bị thêm kiến thức luận khoa học để tiếp cận giải tốn hình học phẳng, thơng qua tính chất đường đối trung Đồng thời đưa cách xây dựng tập hay khó từ tính chất đường đối trung phương pháp khác tạo đường đối trung Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa tương tự hóa skkn Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Đường đối trung tính chất tam giác có nhiều mối liên hệ t ới vấn đề khác hình học như: đường đối song, tứ giác điều hòa, tam giác đồng dạng, giao điểm hai tiếp tuyến, Từ cách khác xác định đường đối trung có cách sáng tạo toán m ới khác B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đường đối trung Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường phân giác AL Điểm S thuộc cạnh BC Đoạn thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu hiệu nhận biết đường đối trung theo tỉ số đoạn thẳng Trong tam giác ABC, đặt khoảng cách từ điểm X đến đường thẳng l Mệnh đề Điểm S thuộc cạnh BC tam giác ABC Khi mệnh đề sau tương đương: i) đường đối trung ii) iii) iv) skkn v) Chứng minh Đặt khoảng cách từ M đến AB, AC; khoảng cách từ S đến AB, AC M trung điểm cạnh BC Ta có Từ tỉ số sin tam giác vng ta có AS đường đối trung Hơn tam giác ABS tam giác ACS có chung đường cao hạ từ đỉnh A iii) v) chứng minh Hai tam giác ABS tam giác ACS có chung cạnh đáy AS, đó iv) chứng minh Ngược lại có v) suy có ii) dễ thấy điều kiện từ ii) đến v) xác định điểm S thuộc đoạn BC, điều kiện ii), iii), iv), v) tương đương Hệ Trong tam giác ba đường đối trung đồng quy điểm 2.2 Đường đối trung coi điểm quỹ tích điểm Đường thẳng qua đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC R S điểm thuộc đường thẳng AR Mệnh đề Điểm S nằm đỉnh với ta có góc đối A Ta có khẳng định sau tương đương: i) Đường thẳng AS đường đối trung; ii) B R S skkn C iv) iii) Một số khái niệm liên quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm thuộc đường thẳng AB, AC Đường thẳng (đoạn thẳng) gọi đối song với đường thẳng (đoạn thẳng) BC cặp đường thẳng AB AC (hay góc BAC), vẽ) (gọi tắt (hình đối song với BC) B1 C1 A A A A B1 B1 B1 C1 B Hình a C B C Hình b C≡C1 B Hình c C B Hình d C1 3.1.2 Một số cách xác định đường đối song Cho tam giác ABC, điểm a) Đường thẳng đối song với đường thẳng BC tam giác ABC tam giác đồng dạng b) Các điểm phân biệt Chứng minh đường thẳng BC đối song với đường thẳng điểm thuộc đường tròn Trường hợp: đường trịn tiếp xúc với AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A đường đối song với đường thẳng BC c) Với đường cao tam giác ABC, skkn đối song với BC d) Các điểm cho BC Khi đối song với đối song với Nhận xét Đường thẳng đối song với đường thẳng BC cặp đường thẳng AB, AC song song với đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC Mệnh đề Trong tam giác ABC, Đường thẳng đối song với đường thẳng BC đường đối trung AS tam giác ABC chia đôi đoạn Chứng minh Gọi AM đường trung tuyến tam giác ABC Gọi đoạn đối xứng với đoạn qua phân giác trung điểm trung điểm Ta có Gọi Thế Gọi điểm đối xứng với qua phân giác thuộc AS đối song với BC Nhận xét Trung tuyến AM tam giác ABC đường đối trung tam giác 3.2 Đường đối trung với tam giác đồng dạng Mệnh đề Điểm X nằm cho A X thuộc đường đối trung qua đỉnh A X Chứng minh Ta có (đpcm) Nhận xét Với điểm X thỏa mãn mệnh đề thì: AX chứa đường phân giác skkn B C Điểm X thuộc đường tròn ngoại tam giác BOC (O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3.3 Đường đối trung với tứ giác điều hòa 3.3.1 Tứ giác điều hòa Một tứ giác nội tiếp gọi tứ giác điều hòa có tích cặp cạnh đối diện Mệnh đề Tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác điều hòa AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Theo tính chất iii) mệnh đề ta có A AD đường đối trung tam giác ABC B S C D 3.3.2 Một số tính chất tứ giác điều hịa Điểm D nằm cung BC khơng chứa A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh điều kiện sau tương đương: a) ABDC tứ giác điều hịa; b) Phân giác góc cắt điểm thuộc đoạn BC; b’) Phân giác góc cắt điểm thuộc đoạn AD; c) Điểm D nằm đường tròn Apollonius dựng đoạn BC qua điểm A; d) Đường chéo AD đường đối trung tam giác ABC (hoặc tam giác BDC); d’) Đường chéo BC đường đối trung tam giác ABD (hoặc tam giác ACD); e) Tam giác BDC đồng dạng với tam giác BKA (hoặc tam giác AKC) K trung điểm AD f) Đường đối trung AS tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S Chứng minh điểm X xác định mệnh đề thuộc AD HD Sử dụng điều kiện e) skkn Mệnh đề Tam giác ABC có đường trung tuyến AM, điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp Đường thẳng AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Áp dụng điều kiện e) 3.4 Đường đối trung với tiếp tuyến Mệnh đề Các tiếp tuyến B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Cách Ta có theo tính chất iii) mệnh đề 2, suy AP đường đối trung tam giác ABC Cách Gọi D, E giao điểm AB, AC với đường tròn tâm P bán kính PB Theo mệnh đề 3, ta cần chứng minh AP trung tuyến tam giác ADE Thật ta có nên DE đường kính P trung điểm DE II Một số toán xác định đường đối trung Trong tam giác ABC vuông C, đường cao CH đường đường đối trung HD: Cách khác: skkn đường cao tam giác ABC cắt H trung điểm cạnh AC Chứng minh đường thẳng đối xứng với qua đường phân giác góc cắt điểm thuộc Chứng minh Ta có đối song với AC, nên theo mệnh đề 3, đối trung tam giác Suy đường thẳng thẳng BM qua phân giác đường đối xứng với đường (trong M trung điểm ) Cũng từ đối song với AC, nên theo mệnh đề 3, đường đối trung qua đỉnh H tam giác AHC qua trung điểm M minh Cho tam giác ABC, đường tròn qua A, B tiếp xúc với AC; đường tròn qua A, C tiếp xúc với AB Chứng minh đường thẳng qua giao điểm đường đối trung tam giác ABC HD: Áp dụng mệnh đề 4, cho Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , Tiếp tuyến B đường tròn cắt đường thẳng AC K KD tiếp tuyến thứ hai đường tròn Chứng minh BD đường đối trung tam giác ABC skkn Từ suy điều phải chứng HD: ABCD tứ giác điều hòa Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC D, E tương ứng Đường trịn đường kính DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A, X Chứng minh AX đường đối trung tam giác ABC Lời giải: Cách Gọi P giao điểm tiếp tuyến A đường tròn (ABC) với BC Khi P tâm đường tròn (ADE) (đường tròn A- Apollonius tam giác ABC qua đỉnh A dựng đoạn BC) Do suy tứ giác ABXC tứ giác điều hòa nên AX đường đối trung tam giác ABC A E B C D X Nhận xét AX trục đẳng phương đường tròn A- Apollonius đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách Gọi T giao điểm Nhưng AX và BC, suy Do suy điều phải chứng minh (ARMO 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O AO cắt BC D Gọi trực tâm tam giác ABD, ACD S tâm đường tròn skkn ngoại tiếp tam giác Chứng minh AS đường đối trung tam giác ABC Lời giải: Không tổng quát giả sử Xét hai tam giác ABC tam giác chúng có cạnh tương ứng vng góc, suy Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt BC E, suy E tâm đường tròn Apollonius qua đỉnh A tam giác ABC dựng đoạn BC (A- Apollonius) A O H1 E B C D S H2 ta có tiếp tuyến đường trịn Suy mà A, O, D thẳng hàng nên Do AS trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn A- Apollonius tam giác ABC, nên theo suy AS đường đối trung tam giác ABC (Olympic hình học Mát-xcơ-va, 2009) Hai đường tròn hai điểm A, B CD tiếp tuyến chung điểm A và cắt cho điểm B gần CD Một đường thẳng qua A cắt K, L tương ứng (A nằm xen K L) KC LD cắt P Chứng minh đường thẳng PB đường đối trung tam giác PKL 10 skkn 17 (Olympic Nga hình học, 2004) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tiếp tuyến Các A, B cắt P Gọi X, Y hình chiếu P lên CA, CB Chứng minh trung tuyến qua đỉnh C tam giác ABC vng góc với XY (tương đương với trực tâm tam giác CXY thuộc AB) HD: CXPY nội tiếp, 18 (Olympic hình học Nga, 2015) Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có đường cao AA’, BB’ cắt H M trọng tâm tam giác ABH Đường thẳng CM qua trung điểm đoạn A’B’ Tính C O A' B' H M A B D F HD: AH, AO đẳng giác AM đối trung tam giác CHF Suy 35 skkn 19 Một đường thẳng d qua đỉnh A tam giác ABC song song với BC Đường đối trung qua đỉnh B tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Đường thẳng CD cắt đường thẳng d X Chứng minh (M trung điểm cạnh AC) HD: Gọi hình bình hành, suy ABEM nội tiếp, 20 Cho tam giác ABC Gọi đường tron qua A, C tiếp xúc với AB, đường tròn qua A, B tiếp xúc với AC cắt A, P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q P trung điểm AQ A P C B Q HD: tứ giác điều AP đường đối trung (mệnh đề 4), suy ABQC là trung điểm AQ 36 skkn 21 (Balkan 2017) Cho tam giác nhọn ABC với có ngoại tiếp Gọi L giao điểm giao điểm tiếp tuyến B C đường tròn đường tròn Đường thẳng qua B song song với AC cắt D Đường thẳng qua C song song với AB cắt E Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC cắt lại AC T; T nằm A C Đường trịn ngoại tiếp tam giác BEC cắt lại AB S; B nằm S A Chứng minh đồng quy Lời giải Điểm L giao điểm tiếp tuyến B, C đường tròn , nên AL đường đối trung tam giác ABC (1) A T M B C X K D S L E Ta có , suy AC tiếp tuyến đường tròn (BEC), nên SC đối song với BC (2) Chứng minh tương tự ta có BT đối song với BC (3) Từ (1), (2) (3) suy AL qua trung điểm BT, SC (4) Từ (2) (3) ta có SC, BT đối song với BC, suy BT // SC, SBTC hình thang (5) Từ (4) (5) theo bổ đề hình thang, ta có 37 skkn đồng quy 22 Cho tam giác ABC điểm P không nằm đường thẳng chứa cạnh tam giác Các đường thẳng AP, BP, CP cắt lại đường thẳng BC, CA, AB tương ứng A’, B’, C’ Gọi Q giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC’, PCB’ giả sử Q nằm góc BPC góc đối đỉnh với góc BPC Chứng minh PQ đường đối trung tam giác BPC A’ trung điểm BC HD Ta áp dụng bổ đề sau Bổ đề Cho hai đường tròn điểm M thuộc i) N thuộc cắt hai điểm phân biệt A, B Với Khi điều kiện sau tương đương : thẳng hàng ii) iii) Các tam giác đồng dạng hướng Trở lại toán Do B, P, B’ thẳng hàng C, P, C’ thẳng hàng, nên theo bổ đề suy Bởi gọi X, Y hình chiếu Q đường thẳng BB’, CC’ PQ đường đối trung tam giác BPC Điều tương đương đương với (vì ) tương Mặt khác áp dụng định lý ceva cho tam giác ABC, với ba đường thẳng đồng quy AA’, BB’, CC’ ta A’ trung điểm BC 38 skkn 23 (Olympic hình học Nga, 2014) Cho đường tròn dây cung AB cố định W trung điểm cung nhỏ AB Điểm C tùy ý cung lớn AB Tiếp tuyến đường tròn C cắt tiếp tuyến A, B đường tròn X, Y WX, WY cắt AB N, M Chứng minh độ dài đoạn MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C Lời giải Gọi T giao điểm WC với AB Từ đường đối song góc AWC XA, XC tiếp tuyến dường tròn nên WX đường đối trung tam giác AWC, Do N trung điểm AT Chứng minh tương tự ta có M trung điểm BT, Cách Xét đường trịn tiếp xúc với Ta có C tiếp xúc với AB T đẳng phương đường tròn điểm A đường tròn suy WX trục Do WX qua trung điểm N đoạn AT Chứng minh tương tự ta có WY qua trung diểm M đoạn BT Vậy 39 skkn IV SÁNG TẠO BÀI TOÁN Áp dụng tính chất đường đối trung cách xác định đường đối trung toán mục II sáng tạo bày tốn hay khó Chẳng hạn từ từ mệnh đề 7, ta có tốn sau Bài 1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), đỉnh A cố định hai đỉnh B, C thay đổi cho BC khơng đường kính BC ln song song với đường thẳng cố định Các tiếp tiếp đường tròn (O) B, C cắt K Gọi M trung diểm BC, N giao điểm thứ hai AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định HD: Từ giả thiết suy MK trung trực A D dây cung BC đường thẳng MK cố định Gọi P điểm đối xứng với N qua MK P thuộc đường trịn (O), suy đường đối trung tam giác ABC, mà AK đường đối trung tam giác ABC, suy A, P, K thẳng hàng Do hai đường thẳng KA, KD đối xứng B P N qua MK, suy A D đối xứng qua MK, suy AD song song với BC Do điểm D cố định, nên đường thẳng KN qua điểm D cố định Bài 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Các tiếp tuyến B, C đường tròn cắt P AP cắt BC D, đường thẳng qua D song song với AB, AC cắt AC, AB E, F Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn 40 skkn C M K HD: Ta có AD đường đối trung tam giác ABC, suy Từ suy tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Bài 2.1 Cho tam giác ABC điểm D nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Chứng minh AD đường đối trung tam giác ABC Lời giải A F B E D C Do tứ giác AFDC nội tiếp nên suy tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC nên ta được: (1) Tương tự ta tứ giác ABDE nội tiếp nên CED đồng dạng với tam giác CBA nên ta được: Do từ (1) (2) ta có Từ (3) ta có suy tam giác (2) (3) đường đối trung tam giác ABC Nhận xét Nếu AD đường đối trung EF BC Thật vậy, từ tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC tam giác CED đồng dạng với tam giác CBA ta được: 41 skkn Từ suy BFEC hình thang, kết hợp với bổ đề hình thang ta có tập sau: Bài 2.2 Cho tam giác ABC AD đường đối trung tam giác ABC (D nằm cạnh BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Chứng minh đường thẳng EF song song với đường thẳng BC Bài 2.3 Cho tam giác ABC AD đường đối trung tam giác ABC (D nằm cạnh BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Gọi P giao điểm đường thẳng BE đường thẳng CF Chứng minh AP qua trung điểm BC Bài 2.4 Cho tam giác ABC điểm D nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại AB F Gọi P giao diểm BE CF Chứng minh EF song song với BC Từ 11, mục II, ta có tốn sau Bài 3.1 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC cho MN song song với BC Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Khi điểm Q di chuyển đường thẳng cố định Lời giải Do nằm đường tròn đường tròn, nên 42 skkn nằm Từ suy (2) Gọi I J theo thứ tự hình chiếu Q đường thẳng BM CN Khi đó, (2) nên (do ) Từ đó, theo tính chất đường đối trung, Q nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC Nhận xét Đường thẳng IJ vng góc với trung tuyến AL tam giác ABC Thật vậy, tứ giác AIQJ nội tiếp nên trung nên , kết hợp với AQ đường đối Do Nếu ta gọi B', C' điểm đối xứng Q qua đường thẳng AC, AB IJ đường trung bình tam giác QB'C' nên AL vng góc với B'C' Mặt khác nên AL đường trung trực B'C' A M B' N P J C' I Q B L C Từ nhận xét ta thu toán sau: Bài 3.2 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC cho Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Gọi I, J hình chiếu vng góc Q lên đường thẳng AB, AC 43 skkn Khi đường thẳng IJ vng góc với đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Bài 3.3 Cho tam giác ABC, điểm M N di chuyển đường thẳng AB AC cho Gọi P giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP cắt hai điểm phân biệt P Q Gọi A', B', C' điểm đối xứng Q qua đường thẳng BC, CA, AB Khi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AB'C' ln nằm đường thẳng cố định HD: Tam giác AB’C’ cân A, nhận AQ trung trực, nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AB'C' ln nằm đường thẳng AQ (là đường đối trung tam giác ABC) Sáng tạo toán vế đường thẳng qua điểm cố định, ba diểm thẳng hàng Vì đường đối trung qua giao điểm hai tiếp tuyến (tại hai đỉnh) đường tròn ngoại tiếp tam giác, nên từ cách xác định đường đối trung mục III, sáng tạo toán đường thẳng qua điểm cố định chứng minh ba điểm thẳng hàng Sau số ví dụ Từ 19, mục II, ta có tốn sau Bài 4.1 (Từ 14, mục II) Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định khơng đường kính Điểm A thay đổi cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn, BE, CF đường cao M trung điểm cạnh BC, AM cắt EF P X hình chiếu P BC Chứng minh AX qua điểm cố định Tiếp tục ý tưởng tạo toán đường thẳng qua điểm cố định Bài 4.2 (Từ 24, mục II) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), với hai đỉnh B, C cố định BC khơng đường kính Đỉnh A thay đổi (O); BE, CF hai đường cao tam giác ABC Gọi Y, Z trung điểm CE, BF P điểm tùy ý đường trung trực BC Các đường vng góc kẻ từ B, C đến PZ, PY tương ứng cắt Q Chứng minh AQ qua điểm cố định HD: Điểm cố định giao điểm hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O) 44 skkn Bài 4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi O cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn N Dựng phía ngồi tam giác ABC hình A L vng ABKL, ACMN Gọi O M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ALN Chứng minh đường thẳng AO qua điểm cố K C B định S Lời giải: Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O), suy S cố định AS đường đối trung tam giác ABC O thuộc đường trung trực đoạn AL, AN Suy Do A, O, S thẳng hàng Vậy AO qua điểm S cố định Từ ba đường đối trung tam giác đồng quy, sáng tạo toán chứng minh đồng quy từ đường đối trung Chẳng hạn từ 5, mục II, ta có toán sau Bài 5.1 Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC tương ứng Đường trịn đường kính ngoại tiếp tam giác ABC Các điểm Chứng minh đường thẳng cắt đường tròn xác định tương tự đồng quy Cũng từ Chẳng hạn từ 6, mục II, ta có tốn sau Bài 5.2 Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O AO cắt BC Gọi trực tâm tam giác 45 skkn tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Các điểm minh đường thảng xác định tương tự Chứng AS đồng quy Bài 5.3 Cho tam giác ABC Đường tròn Đường tròn qua B, tiếp xúc với AC A qua C tiếp xúc với AB A Hai đường tròn cắt điểm thứ hai A’ Các điểm B’, C’ xác định tương tự Chứng minh đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy Lời giải A E Obc Oab D A' C B Gọi D, E tương ứng hình chiếu vng góc A’ AB, AC Từ giả thiết suy Suy Từ thuộc đường đối trung qua đỉnh A tam giác ABC Chứng minh tương tự ta có BB’, CC’ đường đối trung tam giác ABC, AA’, BB’, CC’ đồng quy Cũng từ 5, mục II, ta có tốn sau Bài 5.4 Các đường phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC D, E tương ứng Đường trịn đường kính DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A, F 46 skkn AF cắt BC A’, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA’ cắt lại AB N, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABA’ cắt lại AC M Gọi P, Q trung điểm AM, AN Chứng minh đường thẳng AA’, BQ, CP đồng quy HD: Theo 5, AA’ đường đối trung tam giác ABC Theo giả thiết A’N, A’M đường đối song với AC, AB, mà Q, P trung điểm A’N, A’M Do BQ, CP đường đối trung tam giác ABC Vậy AA’, BQ, CP đồng quy C KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM Sáng kiến kinh nghiệm dược áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh chun Tốn niên khóa 2020 - 2023, với thời gian ba buổi học Các em học sinh vào học lớp 10 chuyên Toán thường bị động với tốn hình học có yếu tố đường đối trung 12, mục III tài liệu này, kiểm tra có 1/3 (trong tổng số 70 HS) em giải tốn cịn lại em khơng giải chọn vẹn tốn chưa định hướng cách tiếp cận để giải tốn Sau em học tính chất đường đối trung sáng kiến nhiều tốn hình học có nội dung liên quan tới đường đối trung (mức độ bậc THCS) em có hướng để giải quết tốt toán 90% em giải qua kiểm tra 17, 18, 21, mục III tài liệu (có 70% HS giải chọn vẹn tập này) Sau em học sinh học đường đối trung khái niệm liên quan, em nói thân thấy tự tin thích thú học mơn hình học Đối với em học sinh chun tốn khơng phải mục đích giải nhiều tốn tương tự, mà Toán em giải phải suy luận kiến thức sở nào? Chính nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho em kiến thức đường đối trung để nâng cao thêm vốn kiến thức, làm sở cho phương pháp tìm tịi lời giải tốn có kiến thức liên quan 47 skkn D KẾT LUẬN Hằng năm vào đầu năm học em học sinh thi đậu vào lớp 10 trường THPT chuyên Lam Sơn, tổ chức ôn tập để bổ sung thêm kiến thức cần thiết, chuẩn bị tốt cho việc học môn chuyên với kiến thức chuyên sâu học sinh THPT không chuyên Nội dung viết nhằm trang bị cho em số tính chất ứng dụng đường đối trung kiến thức THCS Do viết giới thiệu cho học sinh cuối cấp bậc học THCS Qua số toán nêu liên quan đến đường đối trung, thấy với cách tạo đường đối trung với cấu hình khác có tốn khác hay đẹp Tôi mong trao đổi với đồng nghiệp nội dung viết để giới thiệu đến em học sinh đam mê mơn hình học từ cấp học THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí KBAHT [2] Art of Problem Sloving / http://www.artofproblemsolving.com/community [3] The Triangles Web / http://www.xtec.cat/qcastell/ttw/ttweng/protada.html [4] Geometrikon / http://www.math.uoc.rg/pamfilos/eGallery/Gallery.html [5] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Tài liệu giáo khoa chuyên Toán, Nhà xuất Giáo dục, 2010 [6] Tạp chí hình học Sharyghin 48 skkn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tôi cam đoan SKKN không chép nội dung người khác Nguyễn Văn Nhiệm 49 skkn ... i) Đường thẳng AS đường đối trung; ii) B R S skkn C iv) iii) Một số khái niệm liên quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm thuộc đường. .. thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu... AP trung tuyến tam giác ADE Thật ta có nên DE đường kính P trung điểm DE II Một số toán xác định đường đối trung Trong tam giác ABC vuông C, đường cao CH đường đường đối trung HD: Cách khác: skkn