2 đường đẳng giác đường đối trung nguyễn tăng vũ

ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC, ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG Nguyễn Tăng Vũ1 Đường đẳng giác 1.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho góc ∠xOy Ta nói hai đường thẳng d1 d2 đường đẳng giác góc cho chúng qua đỉnh O đối xứng với qua phân giác góc Ví dụ d (a) Một trường hợp tầm thường là: Đường phân giác đẳng giác với (b) Trong tam giác vuông, đường cao trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng hai đường đẳng giác (c) Tổng quát hơn, tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) AO đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC hai đường đẳng giác góc ∠BAC A O H B C Bạn đọc kiểm tra cách dễ dàng ví dụ 1.2 1.2.1 Các tính chất Tiêu chuẩn để hai đường thẳng đẳng giác góc Định lý (Định lý Steiner) Cho tam giác ABC hai điểm D, E cạnh BC Khi đó, AD AE hai đường đẳng giác góc ∠BAC BD BE AB · = AC DC EC Giáo viên trường Phổ thơng Năng khiếu, thành phố Hồ Chí Minh (1) Đường đẳng giác, đường đối trung Chứng minh d A B D C E (a) Phần thuận Giả sử AD AE hai đường đẳng giác góc ∠BAC, ta chứng minh đẳng thức (1) thỏa mãn Ta có SBAD BD AD · AB · sin ∠BAD AB sin ∠BAD = = = · SDAC AD · AC · sin ∠DAC AC sin ∠DAC DC (2) Tương tự, ta có BE AB sin ∠BAE · = AC sin ∠EAC EC Mặt khác, AD, AE hai đường đẳng giác góc ∠BAC nên ∠BAD = ∠EAC, ∠DAC = ∠BAE (3) (4) Từ kết hợp với (2) (3), ta thu đẳng thức (1) (b) Phần đảo Giả sử AD, AE thỏa (1), ta chứng minh AD AE hai đường đẳng giác ứng với góc A Vẽ AD đường đẳng giác AE (D ∈ BC) Khi ta có hệ thức AB BD BE · = AC D C EC Kết hợp với (1), ta có BD DC = BD DC Suy D ≡ D , tức AD AE hai đường đẳng giác Định lý Cho góc ∠xOy đường thẳng d1 qua O, A điểm d1 Gọi H, K hình chiếu A Ox, Oy Khi đó, đường thẳng d2 đường đẳng giác d1 ứng với góc ∠xOy d2 qua O vng góc với HK Chứng minh Chứng minh định lý đơn giản, để thuận tiện ta sử dụng góc hình học A1 y K d2 B A O H A d1 x Kỷ yếu trường hè 2011 (a) Phần thuận Giả sử d2 đường đẳng giác d1 , ta chứng minh d2 ⊥ HK Ta có OHAK tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính OA nên ∠AOH = ∠AKH Mặt khác, ta lại có ∠KOB = ∠AOH, nên từ suy ∠KOB = ∠AKH Vì ∠AKH + ∠HKO = 90◦ nên ta có ∠KOB + ∠HKO = 90◦ , từ suy OB ⊥ HK (b) Phần đảo Giả sử d2 qua O vuông góc với KH, ta chứng minh d2 đường đẳng giác d1 Gọi đường thẳng d đường đẳng giác d1 ứng với góc ∠xOy Theo phần thuận ta có d ⊥ HK, suy d trùng d2 Vậy d2 đường đẳng giác d1 Hệ Gọi A1 , A2 điểm đối xứng A qua Ox Oy Khi đó, đường trung trực đoạn A1 A2 đường đẳng giác OA 1.2.2 Các tính chất Định lý Cho góc ∠xOy A B hai điểm cho OA, OB hai đường đẳng giác ứng với góc ∠xOy A1 , A2 hình chiếu A Ox, Oy B1 , B2 hình chiếu B Ox, Oy Khi đó, ta có điều sau: (a) Bốn điểm A1 , A2 , B1 , B2 nằm đường trịn có tâm trung điểm AB; (b) AA1 · BB1 = AA2 · BB2 Chứng minh d y B2 A2 B O A B1 A1 x (a) Ta có OA1 = OA cos ∠AOA1 , OB1 = OB cos ∠BOB1 OA2 = OA cos ∠AOA2 , OB2 = OB cos ∠BOB2 Suy OA1 · OB1 = OA2 · OB2 Do đó, bốn điểm A1 , A2 , B1 B2 thuộc đường tròn Hơn tâm đường trịn trung điểm AB (b) Kết suy trực tiếp từ định nghĩa đường đẳng giác Đường đẳng giác, đường đối trung Định lý Cho tam giác ABC Các cặp đường thẳng da , da đường đẳng giác ứng với góc A, định nghĩa tương tự với db , db dc , dc Khi đó, da , db , dc đồng quy P da , db , dc đồng quy P Chứng minh d A P P C B Sử dụng định lý Ceva dạng lượng giác ta chứng minh định lý sau: Giả sử da , db , dc đồng quy P, ta có sin(da , c) sin(db , a) sin(dc , b) · · = −1 sin(da , b) sin(db , c) sin(dc , a) Lại có (da , c) = −(da , b) (da , b) = −(da , c) nên sin(da , c) sin(da , b) = sin(da , b) sin(da , c) Tương tự, ta có sin(db , a) sin(db , c) = , sin(db , c) sin(db , a) sin(dc , b) sin(dc , a) = sin(dc , a) sin(dc , b) Từ kết này, ta suy sin(da , b) sin(db , c) sin(dc , a) · · = −1 sin(da , c) sin(db , a) sin(dc , b) Do da , db , dc đồng quy Định lý chứng minh Từ định lý 4, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Hai điểm gọi hai điểm đẳng giác cặp đường thẳng nối chúng với đỉnh cặp đường đẳng giác Ví dụ Trong tam giác tâm đường trịn ngoại tiếp trực tâm hai điểm đẳng giác Áp dụng định lý ta có định lý sau: Định lý Cho P P hai điểm đẳng giác tam giác ABC Gọi X, Y, Z hình chiếu P cạnh BC, AC, AB X , Y , Z hình chiếu P cạnh BC, AC, AB Khi đó, sáu điểm X, Y, Z, X , Y , Z nằm đường tròn Một hệ định lý định lý đường tròn Euler: Định lý Trong tam giác, chân đường cao trung điểm cạnh thuộc đường trịn, tâm đường trịn Euler trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm tâm ngoại tiếp tam giác Kỷ yếu trường hè 2011 1.3 Một số toán áp dụng Bài tốn Cho tam giác ABC Đường trịn thay đổi qua B C cắt đường thẳng AB AC D E Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di chuyển đường thẳng cố định Chứng minh d A E I D O B C Ta có tam giác ADE tam giác ACB đồng dạng, suy hai tam giác AID AOC đồng dạng, ∠DAI = ∠OAC Kết cho thấy AI AO hai đường đẳng giác góc A Mà đường cao AH tam giác ABC AO hai đường đẳng giác Từ suy I ∈ AH cố định Nhận xét Đây tốn thi vào trường Phổ thơng Năng khiếu năm 2011 tốn dễ Ta khơng cần phải sử dụng tới khái niệm đẳng giác Tuy nhiên, qua ta có dấu để nhận biết hai đường đẳng giác: Cho hai điểm D, E thuộc đường thẳng AB AC cho ADE ∼ ACB Khi đường thẳng tương ứng hai tam giác ADE ABC qua A hai đường đẳng giác góc ∠BAC.2 Cụ thể hơn: Cho tam giác ABC Nếu DE đường đối song BC trung tuyến (đường cao ) xuất phát từ A tam giác ADE tam giác ABC hai đường đẳng giác Đây ý hay để ta giải tốn Ta xét ví dụ sau: Bài tốn Chứng minh tam giác, đường thẳng kẻ từ tâm đường trịn bàng tiếp góc, vng góc với cạnh đối diện, đồng quy điểm Chứng minh d Ia B C Ib Ic A DE BC gọi hai đường đối song Đường đẳng giác, đường đối trung Gọi Ia , Ib , Ic tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A, B, C Dễ dàng chứng minh Ia A, Ib B, Ic C đường cao tam giác Ia Ib Ic Vì BC Ia Ib hai đường đối song nên theo tích chất ta có đường thẳng qua A vng góc với BC đường thẳng Ia A hai đường đẳng giác ứng với góc Ib Ia Ic Áp dụng định lý 4, ta có điều cần chứng minh Bài tốn (Nga, 2010) Đường trịn nội tiếp tam giác nhọn ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, AC C1 , A1 , B1 Các điểm A2 , B2 trung điểm đoạn B1 C1 , A1 C1 Gọi P giao điểm đường tròn nội tiếp CO, với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi N, M giao điểm thứ hai P A2 , P B2 với đường tròn nội tiếp Chứng minh giao điểm AN BM thuộc đường cao hạ từ C tam giác ABC Chứng minh d A N B1 A2 C1 I O M P B2 B C A1 Ta biết đường cao hạ từ C CO hai đường đẳng giác Các đường thẳng CO, BP, AP cắt P Do vậy, ta cần chứng minh (AP, AN ) (AP, AM ) cặp đường đẳng giác ứng với góc A B tam giác ABC Từ đây, ta đến lời giải cho toán sau: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, K giao điểm AN BM Áp dụng phương tích điểm P đường tròn (I) đường trịn ngoại tiếp tứ giác AC1 IB1 , ta có A2 I · A2 A = A2 C1 · A2 B1 , A2 C1 · A2 B1 = A2 N · A2 P Từ suy A2 N · A2 P = A2 I · A2 A Đẳng thức cho thấy AN IP tứ giác nội tiếp Hơn IN = IP nên ta có AI phân giác góc ∠N AP, AN AP hai đường đẳng giác ứng với góc A Chứng minh tương tự ta có BM BP hai đường đẳng giác góc B Mà AP, BP, CO đồng quy I AN, BM cắt K, nên CK đường đẳng giác CO Suy K thuộc đường cao hạ từ C tam giác ABC Kỷ yếu trường hè 2011 2.1 Đường đối trung Định nghĩa Định nghĩa Trong tam giác, đường đẳng giác với trung tuyến xuất phát từ đỉnh gọi đường đối trung tam giác Ví dụ Trong tam giác vng đường cao xuất phát từ đỉnh đường đối trung 2.2 Các tính chất Đường đối trung đường đẳng giác với trung tuyến nên có tính chất cặp đường đẳng giác Từ định lý 1, 2, 3, 5, ta có tính chất sau: (1) Cho tam giác ABC Ta có AD (D ∈ BC) đường đối trung khi: DB AB = ; DC AC AB sin ∠DAB = ; (b) sin ∠DAC AC AB DH = (H, K hình chiếu D AB, AC) (c) DK AC (a) (2) Các đường đối trung giao điểm gọi điểm Lemoine Chú ý rằng: (a) Điểm Lemoine trọng tâm hai điểm đẳng giác; (b) Điểm Lemoine có nhiều tính chất hay, ta xét tính chất phần tập 2.3 Cách dựng đường đối trung áp dụng Dựa vào tính chất đường đối trung, phần ta xét xét cách dựng đường đối trung Qua đó, ta xem xét vài ví dụ liên quan tới đường đối trung tam giác Bài toán Cho tam giác ABC Trên đường thẳng AB lấy điểm D đường thẳng AC lấy điểm E cho DE đường đối song BC Chứng minh trung tuyến tam giác ADE đường đối trung tam giác ABC A E D N M B C Đường đẳng giác, đường đối trung Bài tốn chứng minh dựa vào nhận xét sau toán (bạn đọc tự chứng minh) Bài tốn Cho tam giác ABC Tiếp tuyến B C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC Chứng minh d A M B C P (a) Cách Gọi D giao điểm AP BC, ta có SABP AB · BP · sin ∠ABP AB sin ∠ACB AB DB = = = · = DC SACP AC · CP · sin ∠ACP AC sin ∠ABC AC Do AP đường đối trung tam giác ABC A M B C E D P (b) Cách Gọi D, E giao điểm AB, AC với đường tròn tâm M bán kính M B O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta cần chứng minh DE đường kính đường trịn Thật ta có ∠DBE = ∠BAE + ∠AEB = ∠BOC ∠BP C + = 90◦ , 2 nên DE đường kính P trung điểm DE Từ đây, dễ dàng suy AP đường đối trung tam giác ABC Sau ta xét vài ví dụ có liên quan đến đường đối trung Kỷ yếu trường hè 2011 Bài toán (Đề chọn đội tuyển trường Phổ thông Năng khiếu, 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có A cố định B, C thay đổi (O) cho BC song song với đường thẳng cố định Các tiếp tuyến (O) B C cắt K Gọi M trung điểm BC, N giao điểm AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định Chứng minh d A D M C B N P K Gọi D, P giao điểm KN, AP (O) Vì BC có phương khơng đổi nên KM đường thẳng cố định Theo trên, ta thấy AK đường đối trung, suy ∠BAP = ∠N AC Từ ta chứng minh P, N đối xứng qua đường thẳng KM cố định Khi dễ dàng suy D đối xứng với A qua đường thẳng KM nên D cố định Bài toán Cho tam giác ABC Một đường tròn thay đổi qua BC cắt cạnh AB AC D E Tiếp tuyến D E đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt P Chứng minh P thuộc đường thẳng cố định Chứng minh Nhận xét P thuộc đường đối trung tam giác ADE Mà BC đường đối song DE nên trung tuyến AM tam giác ABC đường đối trung tam giác ADE Do P thuộc AM cố định Bài toán Cho tam giác ABC nhọn khác tam giác cân M trung điểm BC D E điểm thuộc AM cho AD = BD AE = EC DB cắt CE F Một đường tròn qua B C cắt cạnh AB, AC H K Chứng minh AF qua trung điểm HK Chứng minh d Đường đẳng giác, đường đối trung 10 A D F O E B C P Ta thấy HK đường đối song BC nên để chứng minh AF qua trung điểm HK ta cần chứng minh AF đường đối trung tam giác ABC Áp dụng định lý sine cho tam giác ABF tam giác ACF, ta có sin ∠AF B sin ∠AF B AB = = AF sin ∠ABF sin ∠BAD (1) AC sin ∠AF C sin ∠AF C = = AF sin ∠ACF sin ∠EAC Mà D, E thuộc trung tuyến AM nên ta có sin ∠DAB AC = sin ∠EAC AB (2) (3) Từ (1), (2) (3), ta suy sin ∠AF B = sin ∠AF C, tức ∠AF B = ∠AF C (4) Mặt khác ta lại có ∠BF C = ∠F DE + ∠F ED = 2∠BAD + 2∠EAC = 2∠BAC = ∠BOC Kết hợp với trên, ta ∠AF B = ∠AF C = 180◦ − ∠BAC Như vậy, ta có ∠F AC + ∠F CA = ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD Mà ∠F CA = ∠CAD nên ∠F AC = ∠BAD Vậy AF đường đối trung tam giác ABC Từ suy điều cần chứng minh Nhận xét Sau ∠BF C = ∠BOC ngồi cách chứng minh trên, ta cịn có cách khác để hồn tất tốn sau: Từ ∠BF C = ∠BOC, ta có tứ giác BF OC nội tiếp Gọi P giao điểm AF (BF OC) Từ (4) suy P B = P C Điều chứng tỏ Kỷ yếu trường hè 2011 11 OP đường kính P B ⊥ OB, P C ⊥ OC Suy P B, P C tiếp tuyến (ABC) thế, AP đường đối trung tam giác ABC Từ ta có điều phải chứng minh Qua cách chứng minh này, ta thấy OF ⊥ AF F thuộc đường trịn đường kính AO Đây nội dung tốn thi Olympic Tốn tồn nước Mỹ năm 2008: Cho tam giác ABC nhọn tam giác cân, đường trung trực AB AC cắt trung tuyến AM D E F giao điểm BD CE Gọi N, P trung điểm AB, AC O tâm tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh bốn điểm N, F, O, P nằm đường tròn Bài tập tự luyện Bài tập Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi Oa , Ob , Oc tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OAC OAB Chứng minh AOa , BOb , COc đồng quy điểm K0 K0 điểm đẳng giác tâm đường tròn Euler tam giác ABC (K0 gọi điểm Kosnita.) Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm cho P B, P C tiếp tuyến với đường tròn (O) Trên AB AC ta lấy điểm K H cho P K AC P H AB Chứng minh điểm H, K trung điểm cạnh AB, AC nằm đường tròn Bài tập (APMO, 2010) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện AB > BC, AC > BC Gọi H O trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt đường thẳng AB điểm M khác A, đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB cắt đường thẳng AC điểm N khác A Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M N H thuộc đường thẳng OH Bài tập Cho tam giác ABC cân A, P điểm nằm tam giác cho ∠P BA = ∠P CB Gọi M trung điểm BC, chứng minh ∠AP C + ∠M P B = 180◦ Bài tập Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định đường tròn, M trung điểm AB Điểm C thay đổi cung lớn AB Đường trung trực AC BC cắt CM D E Gọi F giao điểm AD BE Chứng minh CF qua điểm cố định C thay đổi Bài tập (Nga, 2010) Một điểm B thay đổi dây AC đường tròn (ω) Đường trịn đường kính AB BC có tâm O1 O2 cắt (ω) D E Tia O1 D O2 E cắt F, tia AD CE cắt G Chứng minh F G qua trung điểm AC Bài tập Cho tam giác ABC Một đường thẳng (d) thay đổi song song với BC cắt AB AC M, N Gọi I giao điểm BN CM Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIM CIN cắt P (khác I) Chứng minh P thuộc đường thẳng cố định (d) thay đổi Lời kết Bài viết khơng sâu nghiên cứu tính chất đường đẳng giác, điểm đẳng giác, mà nêu lên khái niệm phổ biến hình học cịn lạ lẫm với nhiều học sinh, qua giúp cho em có thêm hướng nhìn giải tốn hình học Bạn u thích nghiên cứu thêm tài liệu tham khảo 12 Đường đẳng giác, đường đối trung Tài liệu tham khảo [1] Hồng Chúng (chủ biên), Hình học tam giác, Nhà xuất Giáo dục, 1996 [2] Đỗ Thanh Sơn, Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2010 [3] Roger A Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 1964 [4] Darij Grinberg, Isogonal Conjugation with Respect to a Triangle, Unpublished notes, 2006 [ONLINE: http://www.cip.ifi.lmu.de/∼grinberg/geometry2.html] [5] Lê Bá Khánh Trình, Hình học tĩnh động, Hội thảo vấn đề dạy học Toán trường phổ thông, 2008 [6] http://www.geometry.ru  ... từ đỉnh đường đối trung 2. 2 Các tính chất Đường đối trung đường đẳng giác với trung tuyến nên có tính chất cặp đường đẳng giác Từ định lý 1, 2, 3, 5, ta có tính chất sau: (1) Cho tam giác ABC... yếu trường hè 20 11 2. 1 Đường đối trung Định nghĩa Định nghĩa Trong tam giác, đường đẳng giác với trung tuyến xuất phát từ đỉnh gọi đường đối trung tam giác Ví dụ Trong tam giác vng đường cao xuất... tứ giác AC1 IB1 , ta có A2 I · A2 A = A2 C1 · A2 B1 , A2 C1 · A2 B1 = A2 N · A2 P Từ suy A2 N · A2 P = A2 I · A2 A Đẳng thức cho thấy AN IP tứ giác nội tiếp Hơn IN = IP nên ta có AI phân giác