ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG A MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Các bài toán hình học phẳng luôn xuất hiện trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi các cấp Điều đó cho thấy phương pháp tư duy hình học rất được chú trọn[.]
ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn hình học phẳng ln xuất kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp Điều cho thấy phương pháp tư hình học trọng việc rèn luyện phát triển tư sáng tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Vì để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi phân mơn hình học, cần phải trạng bị cho học sinh kiến thức để có đủ sở cho việc tìm tịi lời giải tốn hình học hay khó kì thi phát triển khiếu hình học Trong tốn học nhiều vấn đề hình học tưởng chừng khác biệt thực lại có chất có mối liên hệ với Sau xin giới thiệu vấn đề liên quan đến “đường đối trung” yếu tố có nhiều tính chất đẹp tam giác số khái niệm liên quan tới nó, có nhiều ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng, sáng tạo Mụ c đích nghiên cứu Trong viết tơi nhằm mục đích giới thiệu đường đối trung có nhiều ứng dụng việc chứng minh quan hệ hình học đường thẳng đồng quy, điểm thẳng hàng; chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định, đường thẳng qua điểm cố định chứng minh quan hệ hình học khác (đồng dạng, nhau, tính tỉ số,…), đồng thời phương pháp để sáng tạo toán Đối tượ ng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm học sinh u thích mơn hình học, nhằm trang bị thêm kiến thức luận khoa học để tiếp cận giải tốn hình học phẳng, thơng qua tính chất đường đối trung Đồng thời đưa cách xây dựng tập hay khó từ tính chất đường đối trung phương pháp khác tạo đường đối trung Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa tương tự hóa UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Đườ ng đối trung tính chất tam giác có nhiều mối liên hệ tới vấn đề khác hình học như: đường đối song, tứ giác điều hòa, tam giác đồng dạng, giao điểm hai tiếp tuyến, Từ cách khác xác đị nh đường đối trung có cách sáng tạo toán khác B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đường đối trung Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường phân giác AL Điểm S thuộc cạnh BC Đoạn thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu hiệu nhận biết đường đối trung theo tỉ số đoạn thẳng Trong tam giác ABC, đặt khoảng cách từ điểm X đến đường thẳng l Mệnh đề Điểm S thuộc cạnh BC tam giác ABC Khi mệnh đề sau tương đương: i) đường đối trung ii) iii) iv) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com v) Chứng minh Đặt khoảng cách từ M đến AB, AC; cách từ S đến AB, AC M trung điểm cạnh BC khoảng Ta có Từ tỉ số sin tam giác vng ta có AS đường đối trung Hơn tam giác ABS tam giác ACS có chung đường cao hạ từ đỉnh A iii) v) chứng minh Hai tam giác ABS tam giác ACS có chung cạnh đáy AS, đó iv) chứng minh Ngược lại có v) suy có ii) dễ thấy điều kiện từ ii) đến v) xác định điểm S thuộc đoạn BC, điều kiện ii), iii), iv), v) tương đương Hệ Trong tam giác ba đường đối trung đồng quy điểm 2.2 Đường đối trung coi điểm quỹ tích điểm Đường thẳng qua đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC R S điểm thuộc đường thẳng AR ta có Mệnh đề Điểm S nằm đỉnh với góc đối Ta có khẳng định sau tương đương: i) Đường thẳng AS đường đối trung; ii) B R S UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com iii) iv) Một số khái niệm liên quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm thẳng) thuộc đường thẳng AB, AC Đường thẳng (đoạn gọi đối song với đường thẳng (đoạn thẳng) BC cặp đường thẳng AB AC (hay góc BAC), vẽ) (gọi tắt (hình đối song với BC) B1 C1 A A A B1 B1 B1 C1 B C Hình a B C C≡C1 B B Hình b Hình c 3.1.2 Một số cách xác định đường đối song Cho tam giác ABC, điểm a) Đường thẳng ABC tam giác b) Các điểm đối song với đường thẳng BC tam giác đồng dạng phân biệt Chứng minh đường thẳng BC đối song với đường thẳng tròn điểm Trường hợp: đường trịn thuộc đường tiếp xúc với AC tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A đường đối song với đường thẳng BC c) Với đường cao tam giác ABC, đối song với BC Hì UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d) Các điểm cho BC Khi đối song với đối song với Nhận xét Đường thẳng đối song với đường thẳng BC cặp đường thẳng AB, AC song song với đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC Mệnh đề Trong tam giác ABC, Đường thẳng đối song với đường thẳng BC đường đối trung AS tam giác ABC chia đôi đoạn Chứng minh Gọi AM đường trung tuyến tam giác ABC Gọi đoạn đối xứng với đoạn trung điểm thì qua phân giác Gọi trung điểm Thế Gọi điểm đối xứng với qua phân giác Ta có thuộc AS đối song với BC Nhận xét Trung tuyến AM tam giác ABC đường đối trung tam giác 3.2 Đường đối trung với tam giác đồng dạng Mệnh đề Điểm X nằm A cho X thuộc đường đối trung qua đỉnh A X Chứng minh Ta có (đpcm) B C Nhận xét Với điểm X thỏa mãn mệnh đề thì: AX chứa đường phân giác UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điểm X thuộc đường tròn ngoại tam giác BOC (O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3.3 Đường đối trung với tứ giác điều hòa 3.3.1 Tứ giác điều hòa Một tứ giác nội tiếp gọi tứ giác điều hòa có tích cặp cạnh đối diện Mệnh đề Tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác điều hòa AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Theo tính chất iii) mệnh đề ta có AD đường đối trung tam giác ABC B S C D 3.3.2 Một số tính chất tứ giác điều hòa Điểm D nằm cung BC khơng chứa A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh điều kiện sau tương đương: a) ABDC tứ giác điều hòa; b) Phân giác góc b’) Phân giác góc cắt điểm thuộc đoạn BC; cắt điểm thuộc đoạn AD; c) Điểm D nằm đường tròn Apollonius dựng đoạn BC qua điểm A; d) Đường chéo AD đường đối trung tam giác ABC (hoặc tam giác BDC); d’) Đường chéo BC đường đối trung tam giác ABD (hoặc tam giác ACD); e) Tam giác BDC đồng dạng với tam giác BKA (hoặc tam giác AKC) K trung điểm AD f) Đường đối trung AS tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S Chứng minh điểm X xác định mệnh đề thuộc AD HD Sử dụng điều kiện e) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mệnh đề Tam giác ABC có đường trung tuyến AM, điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp Đường thẳng AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Áp dụng điều kiện e) 3.4 Đường đối trung với tiếp tuyến Mệnh đề Các tiếp tuyến B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt P Chứng minh AP đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Cách Ta có theo tính chất iii) mệnh đề 2, suy AP đường đối trung tam giác ABC Cách Gọi D, E giao điểm AB, AC với đường trịn tâm P bán kính PB Theo mệnh đề 3, ta cần chứng minh AP trung tuyến tam giác ADE Thật ta có nên DE đường kính P trung điểm DE II Một số toán xác định đường đối trung Trong tam giác ABC vuông C, đường cao CH đường đường đối trung HD: Cách khác: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thẳng AS gọi đoạn đối trung tam giác ABC đường thẳng AS đối xứng với đường thẳng AM qua đường thẳng AL (ta gọi đường thẳng AS đường đối trung tam giác ABC) Một số tính chất đường đối trung 2.1 Dấu... i) Đường thẳng AS đường đối trung; ii) B R S UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com iii) iv) Một số khái niệm liên quan đến đường đối trung 3.1 Mối liên hệ đường đối trung đường. .. đối song 3.1.1 Đường đối song Các điểm thẳng) thuộc đường thẳng AB, AC Đường thẳng (đoạn gọi đối song với đường thẳng (đoạn thẳng) BC cặp đường thẳng AB AC (hay góc BAC), vẽ) (gọi tắt (hình đối