Skkn hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán tổ hợp – xác suất

Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, mới lạ khác với các kiến th[.]

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất 1.MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, lạ khác với kiến thức đại số khác chương trình toán học THPT Các dạng quy tắc đếm, tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất đa dạng và dễ nhầm lẫn Qua thực tiễn qua trình dạy học đồng thời thơng qua tìm hiểu, điều tra từ giáo viên học sinh trường THPT Tĩnh Gia 2, tơi thấy giáo viên khó khăn việc đưa hệ thống tập Tổ hợp – Xác suất phong phú, đa dạng cho học sinh nhận định đưa cách giải xác Học sinh hay gặp sai lầm đưa lời giải, chưa xác định ý tưởng vội kết luận lời giải, số khác thấy mơ hồ, rối rắm thấy kiện nhiều, phức tạp, từ nhụt ý chí, dẫn đến ngại suy nghĩ đưa ý tưởng giải tập loại Mặt khác, đề thi đại học từ năm 2014 trở trước, kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa tỉnh khác, tốn trọng điểm để phân loại lực học sinh, giải loại toán em đạt vào top giỏi Để giúp học sinh hệ thớng và nắm vững các cách tư giải các dạng Tổ hợp- Xác suất chương trình tốn 11 nên tơi nghiên cứu đề tài này Đặc biệt năm phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển học sinh giỏi, qua nghiên cứu giảng dạy thấy việc triển khai sáng kiến “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp thân ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Do vậy chọn đề tài để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường 1.2 Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh về một số lý thuyết, số dạng và cách giải toán Tổ hợp - Xác suất - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ giải toán Qua đó học sinh nâng cao kỹ tư sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các bài tập về Tổ hợp – Xác suất nằm chương trình toán học 11 trung học phổ thông, các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần - Thông qua việc kiểm tra đánh giá lực tiếp thu học sinh - Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp - Thông qua sách giáo khoa, sách tập, hệ thống tập tài liệu tham khảo Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất - Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh hóa năm 2011 đến tỉnh Thanh Hóa các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường THPT toàn quốc - Thông qua đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2015 đến - Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT toàn quốc NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Căn vào lý thuyết chương II: ’’ Tổ hợp – Xác suất’’ chương trình đại số giải tích 11 bản Tơi tóm tắt nội dung lý thuyết sau: 2.1.1 Hai quy tắc đếm: 2.1.1.1 Quy tắc cộng: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc m+n cách thực - Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động 2.1.1.2 Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ nhất, ứng với cách thực có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc - Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp 2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: 2.1.2.1 Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử - Số hốn vị n phần tử : 2.1.2.2 Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử Kết việc lấy k phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho - Quy ước: - Số chỉnh hợp chập k n phần tử : - Tính chất: 2.1.2.3 Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho - Số tổ hợp chập k n phần tử : Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất - Tính chất: ; 2.1.3 Xác suất biến cố: 2.1.3.1 Phép thử, không gian mẫu, biến cố: - Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử - Tập hợp kết thể xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu - Số phần tử không gian mẫu : - Biến cố tập không gian mẫu Tập biến cố không thể, tập biến cố chắn 2.1.3.2 Các phép toán biến cố: - Biến cố đối biến cố A - Hợp hai biến cố A, B - Giao hai biến cố A, B Nếu A B xung khắc 2.1.3.3 Xác suất biến cố: Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với không gian mẫu có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số xác suất biến cố A, kí hiệu - Tính chất: Nếu A B xung khắc Nếu A B hai biến cố độc lập Từ sở lý thuyết số phức định hướng giải bài toán tổ hợp xác suất các tiết ôn tập: - Phân loại các dạng tập Tổ hợp – Xác suất - Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán Tổ hợp – Xác suất Với đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất.'' giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước toán Tổ hợp – Xác suất chương trình Đại số giải tích 11 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong q trình ơn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 11 cấp trường cho học sinh lớp 11 phần Tổ hợp – Xác suất Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài toán dễ , gặp một số bài toán yêu cầu cao đa số các em chưa đưa được Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất hướng giải quyết ngay, đưa lời giải sai, hoặc có em đưa được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán Trước áp dụng đề tài, cho học sinh làm kiểm tra 15 phút Tổ hợp – Xác suất Kết : 9-10 7-8 5-6 3-4 0-2 Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 11A1 45 2,2 11 24,5 23 51,1 10 22,2 0 11A2 42 0 11,9 14 33,3 20 47,6 7,2 Với các vấn đề của thực trạng trên, đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.3.1 Giải pháp: - Tổ chức buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh giỏi - Nêu các dạng bài toán về Tổ hợp – Xác suất , đưa cách giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ làm bài - Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính tốn nhanh kết - Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra 2.3.2 Nội dung giải pháp: Phương pháp chung: - Xác định dùng quy tắc cộng, dùng quy tắc nhân - Khi tốn có xếp thứ tự tất phần tử tập hợp dùng hốn vị Có xếp thứ tự số phần tử dùng chỉnh hợp Nếu cần chọn số phần tử mà khơng quan tâm đến thứ tự chúng dùng tổ hợp - Đối với tốn xác suất, xác định khơng gian mẫu, xác định biến cố Đa số đưa cách tính xác suất bản, biến cố đối dễ xác định nên đưa tính xác suất biến cố đối Nếu xuất biến cố độc lập dùng cơng thức nhân xác suất - Nắm vững dấu hiệu chia hết - Đưa dạng sau A DẠNG BÀI LẬP SỐ, CHỌN SỐ TỰ NHIÊN : Phương pháp: - Chọn chữ số có tính chất đặc biệt chữ số cần lập trước, sau chọn chữ số cịn lại Chú ý đến vị trí thứ tự chữ số, giống khác chữ số Chữ số có điều kiện khác - Tránh trường hợp dùng quy tắc đếp bị trùng lặp số lượng đếm bị dư Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Ví dụ 1: Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà chữ số liền trước lớn chữ số liền sau? Hướng dẫn: - Số thỏa mãn đề lập từ số gồm chữ số Bài giải: Chọn chữ số có cách Mà chữ số lập số gồm năm chữ số thỏa mãn chữ số liền trước lớn chữ số liền sau Suy có (số) Ví dụ 2: Có số tự nhiên gồm sáu chữ số khác thỏa mãn: a) số chia hết cho b) số có chứa chữ số khơng có chữ số Hướng dẫn: - Ở câu a, chọn chữ số thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho trước - Ở câu b, chọn vị trí cho số trước Bài giải: a) Gọi số cần tìm có dạng đơi khác nhau) Vì Với có Với có cách chọn cách chọn Vây theo quy tắc cộng có (số) b) Gọi số cần tìm có dạng Chọn vị trí đơi khác khác 1) cho chữ số có cách Năm vị trí cịn lại chọn từ tập có cách chọn Vây theo quy tắc nhân có (số) Ví dụ 3: Có số tự nhiên gồm sáu chữ số khác có ba chữ số chẵn ba chữ số lẻ Hướng dẫn: - Vì chữ số đầu khác nên ta chọn chữ số đứng đầu trước Sau chọn vị trí cho chữ số cịn lại Bài giải: Gọi số cần tìm có dạng TH1: Với a chẵn a có cách chọn Có cách chọn hai chữ số chẵn cịn lại, Có cách chọn xếp chữ số lẻ Theo quy tắc nhân có: đơi khác nhau) cách chọn vị trí để xếp hai chữ số (số) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất TH2: Với a lẻ a có cách chọn Có cách chọn hai chữ số lẻ cịn lại, Có cách chọn xếp chữ số chẵn cách chọn vị trí để xếp hai chữ số Theo quy tắc nhân có: (số) Vậy có tất (số) Ví dụ 4: Từ hai số lập số tự nhiên gồm tám chữ số khơng có hai chữ số đứng cạnh Hướng dẫn: - Vì số lập từ hai chữ số nên ta phải chia trường hợp chọn vị trí cho nhiều chữ số giống trước Bài giải: Th1: Số cần lập có tám chữ số Có (số) Th2: Số cần lập có chữ số bảy chữ số Có cách chọn vị trí cho chữ số Có (số) Th3: Số cần lập có hai chữ số sáu chữ số Có cách chọn vị trí cho hai chữ số 1( hai khoảng trống khoảng trống giữa, trước sau xếp sáu chữ số sáu) Có Th4: Số cần lập có ba chữ số năm chữ số Có (số) cách chọn vị trí cho ba chữ số 1( ba khoảng trống khoảng trống giữa, trước sau xếp năm chữ số sáu) Có (số) Th5: Số cần lập có bốn chữ số bốn chữ số Có cách chọn vị trí cho bốn chữ số 1( bốn khoảng trống khoảng trống giữa, trước sau xếp bốn chữ số sáu) Có (số) Theo quy tắc cộng có tất cả: (số) Ví dụ 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên gồm bảy chữ số có hai chữ số 1, hai chữ số 2, chữ số 3, 4, có mặt lần, đồng thời chữ số giống khơng đứng cạnh Hướng dẫn: - Bài tốn ta dùng biến cố đối Chọn vị trí cho chữ số giống đứng cạnh trước Bài giải: Gọi số cần tìm có dạng TH1: Lập số tự nhiên gồm bảy chữ số có hai chữ số 1, hai chữ số 2, chữ số 3, 4, có mặt lần Có cách chọn vị trí cho hai chữ số 1, có 3! cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 3, 4, Theo quy tắc nhân, trường hợp có Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia cách chọn vị trí cho hai chữ số (số) skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất TH2: Xét trường hợp có hai chữ số giống đứng cạnh *) Trường hợp hai chữ số đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh Coi cặp vị trí, có 5! ( số) *) Trường hợp hai chữ số đứng cạnh nhau, hai chữ số hai không đứng cạnh Coi cặp hai chữ số vị trí Có cách chọn hai vị trí cho hai chữ số khơng đứng cạnh Có 4! Cách sếp chữ sô 3, 4, cặp chữ số Theo quy tắc nhân có (số) *) Trường hợp hai chữ số không đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh Coi cặp hai chữ số vị trí Có cách chọn hai vị trí cho hai chữ số khơng đứng cạnh Có 4! Cách sếp chữ sơ 3, 4, cặp chữ số Theo quy tắc nhân có (số) Theo quy tắc cộng, trường hợp có: Vậy có tất cả: (số) (số) Ví dụ 6: Cho tập , gọi S tập hợp số tự nhiên gồm bốn chữ số lập từ tập A Chọn nhẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn chia hết cho (Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần -Trường THPT Tĩnh gia 2.) Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho chọn vị trí cho chữ số tận trước Sau dựa vào dấu hiệu chia hết cho suy cách chọn chữ số lại Bài giải: Số cách lập số tự nhiên gồm bốn chữ số lập từ tập A là: Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “ Số chọn từ tập S chia hết cho 6” Gọi số cần tìm có dạng có cách chọn Chọn có cách chọn Nếu Nếu có cách chọn dư Nếu dư Do có cách chọn Theo quy tắc nhân: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia có cách chọn có cách chọn skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 7: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm sáu chữ số Chọn nhẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn gồm sáu chữ số khác hai chữ số kề không số lẻ (Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 lần -Trường THPT Tĩnh gia 2.) Hướng dẫn: - Từ điều kiện đề cho biết tổng số chữ số lẻ có số cần lập Từ trường hợp chọn chữ số đầu chẵn hay lẻ chọn vị trí cho chữ số lẻ khơng cạnh Bài giải: Số cách lập số tự nhiên gồm sáu chữ số là: Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “ Số chọn từ tập S gồm sáu chữ số khác hai chữ số kề khơng số lẻ.” Gọi số cần tìm có dạng đôi khác nhau) Để thỏa mãn số chọn gồm sáu chữ số khác hai chữ số kề khơng số lẻ số có khơng q chữ số lẻ Th1: Có chữ số lẻ năm chữ số chẵn Nếu lẻ có 5! cách xếp chữ số chẵn có 5! (số) Nếu chẵn có có cách chọn Có cách chọn chữ số lẻ, cách chọn vị trí để xếp chữ số lẻ Có 4! cách xếp chữ sơ chẵn cịn lại có 5.5.4! Trường hợp có : 5!+5.5.4!=3000 (số) Th2: Có hai chữ số lẻ bốn chữ số chẵn Nếu lẻ có cách chọn Có 4.4 cách chọn xếp vị trí cho chữ số lẻ cịn lại, có cách chọn xếp chữ số chẵn có (số) Nếu chẵn có có cách chọn Chọn số lẻ xếp vào hai vị trí khơng kề có cách, số chẵn cịn lại có cách chọn xếp vào vị trí cịn trống có Trường hợp có : (số) Th3: Có ba chữ số lẻ ba chữ số chẵn Nếu lẻ có cách chọn Có cho chữ số lẻ cịn lại, có có cách chọn xếp hai vị trí khơng kề cách chọn xếp chữ số chẵn (số) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Nếu chẵn có có có cách chọn Chọn số lẻ xếp vào ba vị trí khơng kề cách, số chẵn cịn lại có có Trường hợp có : Theo quy tắc cộng: cách chọn xếp vào vị trí cịn trống (số) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 8: Ba bạn Cường, Lương, Tâm bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn Tính xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho ( Trích đề thi THPT QG năm 2019 BGD&ĐT) Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư số chia cho để xét trường hợp Bài giải: Mỗi bạn có 19 cách viết số Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “ba số viết có tổng chia hết cho 3.” Xét đoạn có sáu số tự nhiên chia hết cho 3, bảy số tự nhiên chia cho dư sáu số tự nhiên chia cho dư Biến cố A xảy trường hợp sau: TH1: Cả ba bạn viết số chia hết cho có (cách) TH2: Cả ba bạn viết số chia cho dư có (cách) TH3: Cả ba bạn viết số chia cho dư có (cách) TH4: Một bạn viết số chia hết cho 3, bạn viết số chia cho dư 1, bạn viết số chia cho dư có (cách) Theo quy tắc cộng: Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 9: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên gồm chữ số bội số 3, đồng thời bé ( Trích đề thi kỳ năm học 2017-2018 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình) Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư số chia cho để xét trường hợp Bài giải: Do số cần lập bé nên có dạng Tổng tất số có chữ số dạng Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia lập từ chữ số : skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Do nên tổng số số chia hết cho tổng số số chia cho dư tổng số số chia cho dư Vì tổng số số tự nhiên gồm chữ số bội số 3, đồng thời bé là: (số) Ví dụ 10: Gọi tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chọn từ chữ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc Tính xác suất để lấy số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho ( Trích đề thi khảo sát THPT QG năm 2019, Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 11 để suy điều kiện chữ số Bài giải: Số phần tử S Gọi số tự nhiên thuộc có dạng Vì nên Từ giả thiết Các cặp có tổng chia hết cho 11 Vậy số cách chọn số thỏa mãn Bài tập vận dụng: Bài 1: Có số có chữ số khác mà có mặt hai chữ số lẻ ba chữ số chẵn, chữ số chẵn có mặt hai lần ( đáp số : số) ( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh năm 2019- Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Bài 2: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số lập số có chữ sơ chữ số có mặt bốn lần, chữ số cịn lại có mặt lần ( đáp số : ) Bài 3: Trong tập hợp số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để lấy số lẻ gồm chữ số khác đôi một, lớn 500000.( đáp số : ) Bài 4: Chọn ngẫu nhiên số có chữ số dạng Tính xác suất để chọn số thỏa mãn ( đáp số : ) Bài 5: Có số tự nhiên có tám chữ số đơi khác số chia hết cho ( đáp số : số ) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 10 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Bài 6: Gọi A tập hợp ước số tự nhiên 40500 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số chọn chia hết cho ( đáp số : ) ( Trích đề thi giao lưu HSG lớp 11 năm 2018 – Trường THPT Đặng Thai Mai) Bài 7: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số có hàng đơn vị số chia hết cho ( đáp số : ) ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018 Trường THPT Tĩnh Gia 2) Bài 8: Có số tự nhiên có bốn chữ số cho khơng có chữ số lặp lại ba lần ( đáp số : số) Bài 9: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho ( đáp số : ) ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018 Trường THPT Nghi Sơn) Bài 10: Từ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số lập số chia hết cho ( đáp số : ) ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11-năm học 2017-2018,Trường THPT Đặng Thai Mai) Bài 11: Gọi M tập hợp tất số tự nhiên có chín chữ số đơi khác dạng Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn ( đáp số : ) Bài 12: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số khác số chia hết cho 15 ( đáp số : ) (Trích đề thi khảo sát THPTQG lần năm học 2017-2018, THPT Tĩnh gia 2.) Bài 13: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên gồm bảy chữ số khác cho không đứng cạnh ( đáp số : số) B DẠNG BÀI CHỌN NGƯỜI, CHỌN VẬT : Phương pháp: - Chọn người chọn vật ý đến vị trí thứ tự , điều kiện toán, xét đầy đủ trường hợp tránh trùng lặp Ví dụ 1: Một tiểu đội gồm 11 người có bạn nữ bạn nam Hỏi có cách xếp tiểu đội thành hàng dọc thỏa mãn: a) bạn nữ xếp liền Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 11 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất b) bạn nữ không xếp liền Hướng dẫn: - Ở câu a xếp thứ tự bạn dùng hốn vị - Ở câu b ta thứ tự cho nhóm nam trước, nữ xếp xen kẽ sau Bài giải: a) Coi bạn nữ vị trí bạn nam vị trí Xếp bạn nữ thành hàng dọc có 4! cách Xếp bạn nữ bạn nam thành hàng dọc có 8! cách Theo quy tắc nhân có : (cách) b) Xếp bạn nam thành hàng dọc có 7! cách xen kẽ bạn nam có vị trí trống, chọn vị trí vị trí xếp bạn nữ vào có cách Theo quy tắc nhân có : (cách) Ví dụ 2: Trường X có 50 học sinh Giỏi, có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm học sinh Giỏi để dự trại hè Tính xác suất cho em chọn khơng có cặp anh em sinh đơi Hướng dẫn: - Ở dùng biến cố đối cho đơn giản tốn Chọn cặp sinh đơi trước, sau chọn học sinh Bài giải: Chọn học sinh 50 học sinh có: (cách) Khơng gian mẫu: Gọi biến cố A: “ em chọn khơng có cặp anh em sinh đôi nào” Xét biến cố : “3 em chọn có cặp anh em sinh đơi” Số cách chọn cặp anh em sinh đôi cách Số cách chọn người lại Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 3: Một hộp kín đựng 50 bóng kích thước nhau, đánh số từ đến 50 Bốc ngẫu nhiên lúc hai bóng từ hộp Tính xác suất để bốc bóng có tích hai số ghi bóng số chia hết cho 10 ( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 - Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ) Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 10 phân chia trường hợp để chọn, tránh trường hợp trùng lặp Bài giải: Bốc bóng 50 bóng có (cách) Khơng gian mẫu: Gọi biến cố A: “2 bóng có tích hai số ghi bóng số chia hết cho 10.” Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 12 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Xảy trường hợp sau: Th1: bóng ghi số chia hết cho 10 ( 10, 20, 30, 40, 50) bóng ghi số có (cách) Th2: bóng ghi số tận chia hết cho ( 2, 4, 6, 8, 12, 14, ) bóng ghi số tận chia hết cho (5; 15; 25; 35; 45) có (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 4: Một đội niên tình nguyện có 15 người có 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ huyện miền núi tỉnh Thanh hóa, cho tỉnh có nam nữ Hướng dẫn: - Chọn số người u cầu huyện, khơng có thứ tự Bài giải: Chọn nam nữ huyện thứ có cách Chọn nam nữ huyện thứ hai có cách Chọn nam nữ huyện thứ ba có cách Theo quy tắc nhân có : (cách) Ví dụ 5: Bạn Lan có 10 bơng hoa giống bình khác Hỏi bạn Lan có cách căm 10 bơng hoa vào bình cho bình có bơng hoa Hướng dẫn: - Dùng vách ngăn thành nhóm Bài giải: Sắp 10 hoa thành hàng ngang , bơng hoa có khoảng cách, chọn khoảng cách khoảng cách để ngăn 10 hoa thành nhóm Mỗi nhóm hoa cắm vào lọ Vậy số cách cắm hoa cho lọ bơng Ví dụ 6: Một đồn tàu có toa chở khách: Toa I, toa II, Toa III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi có cách hành khách lên tàu để toa có khách Hướng dẫn: - Chia trường hợp số khách lên toa, sau chọn toa chọn khách Tránh trường hợp trùng lặp chọn hai đối tượng khách toa lúc Bài giải: Một toa có hành khách, hai toa có hành khách Số cách chọn hành khách vào toa là: (cách) Số cách chọn toa để có hai hành khách là: (cách) Hai người cịn lại chọn người toa có: (cách) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 13 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Theo quy tắc nhân có : (cách) Ví dụ 7: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh khối 10, học sinh khối 11 học sinh khối 12 thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh khối 11 xếp hai học sinh khối 10 ( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 - Trường THPT Yên Lạc) Hướng dẫn: - Xét trường hợp số học sinh lớp 12 đứng hai học sinh khối 10, sau coi cụm thành vị trí, dùng hoán vị Bài giải: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành hàng ngang có (cách) Khơng gian mẫu: Gọi biến cố A: “ Xếp10 học sinh thành hàng ngang mà khơng có học sinh khối 11 xếp hai học sinh khối 10.” Xảy trường hợp sau: TH1: học sinh khối 10 đứng cạnh Xem bạn khối 10 vị trí, bạn khối 11 12 vị trí có (cách) TH2: học sinh khối 12 đứng xen học sinh khối 10 Xem bạn vị trí, bạn khối 11 12 cịn lại vị trí có (cách) TH3: học sinh khối 12 đứng xen học sinh khối 10 Xem bạn vị trí, bạn khối 11 12 cịn lại vị trí có (cách) TH4: học sinh khối 12 đứng xen học sinh khối 10 Xem bạn vị trí, bạn khối 11 vị trí có (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 8: Trong hộp đựng viên bi màu xanh ghi số từ đến viên bi màu đỏ ghi số từ đến 11 Chọn ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có có hai bi ghi số chẵn bi màu đỏ Hướng dẫn: - Chia trường hợp bi màu đỏ ghi số chẵn hay lẻ chọn bi màu xanh lại Nhớ khơng có thứ tự chọn Bài giải: Tổng số viên bi hộp là: (bi) Chọn viên bi 11 viên bi có (cách) Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “3 viên bi chọn có có hai bi ghi số chẵn bi màu đỏ.” Xảy trường hợp sau: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 14 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Th1: bi màu xanh ghi số chẵn, bi màu đỏ ghi số lẻ có (cách) Th2: bi màu xanh ghi số chẵn, bi màu xanh ghi số lẻ, bi màu đỏ ghi số chẵn có (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 9: Có người xếp thành hàng ngang người gieo đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất để tồn hai người cạnh có kết ( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang) Hướng dẫn: - Ở dùng biến cố đối cho đơn giản toán Khi người cạnh khơng kết xảy trường hợp nào? Bài giải: Mỗi người gieo đồng xu cân đối đồng chất xảy kết sấp ngửa Xếp người thành hàng ngang có 5! cách Khơng gian mẫu: Gọi biến cố A: “ tồn hai người cạnh có kết quả” Xét biến cố : “ hai người cạnh khơng có kết quả” Xảy trường hợp với biến cố là: Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 10: Một thùng đựng sáu bóng đỏ ghi số từ đến 6, năm bóng vàng ghi số từ đến 5, bốn bóng xanh ghi số từ đến Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Lam Kinh) Hướng dẫn: - Chia trường hợp số bóng đủ màu Trong trường hợp, khơng có hai bóng có số thứ tự trùng nên ta phải chọn bóng có số lượng ban đầu Bài giải: Tổng số thùng là: (bi) Chọn bóng 15 bóng có (cách) Khơng gian mẫu: Gọi biến cố A: “4 bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng nhau.” Xảy trường hợp sau: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 15 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Th1: bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ Chọn bóng xanh đánh số từ đến có cách , chọn bóng vàng đánh số từ đến có cách , chọn bóng đỏ đánh số từ đến có cách có (cách) Th2: bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ có (cách) Th3: bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ có (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 11: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh ( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018) Hướng dẫn: - Ta nên xếp thành hàng ngang học sinh lớp có số lượng nhiều trước (cụ thể lớp 11C) Sau xen kẽ học sinh hai lớp lại (A B) vào cho khơng có học sinh lớp đứng cạnh Chú ý để thiếu trường hợp Bài giải: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành hàng ngang có (cách) Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “ Xếp10 học sinh thành hàng ngang mà khơng có học sinh lớp đứng cạnh nhau.” Xếp học sinh lớp 11C thành hàng ngang có 5! cách, tạo khoảng trống 1C2C3C4C5C6 Xếp học sinh lại vào chỗ trống cho hai học sinh lớp không đứng cạnh Xảy trường hợp sau: TH1: Xếp học sinh lớp A lớp B vào vị trí từ đến từ đến có (cách) TH2: Xếp học sinh lớp A lớp B vào vị trí từ đến 5, xếp bạn lớp A bạn lớp B vào chung vị trí , bạn cịn lại vào vị trí ( ví dụ CABCACBCAC) có (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 12: Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn nút liên tiếp khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng dần có tổng 10 Học sinh B Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 16 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất nhớ dãy tăng Tính xác suất để B mở cửa phịng học biết bấm sai lần liên tiếp cửa tự động khóa lại ( khơng cho mở nữa) ( Trích đề thi học kỳ I lớp 11 năm học 2018-2019, THPT Nguyễn Trãi- Bình Định) Hướng dẫn: - Liệt kê trường hợp mở khóa Sau tính xác suất để B mở khơng Sau dùng biến cố đối Bài giải: Các trường hợp nhấn là: Gọi Do biến cố mở lần thứ biến cố độc lập Xác xuất để mở là: Bài tập vận dụng: Bài 1: Trong hộp có 40 thẻ đánh số từ đến 40 Lấy ngẫu nhiên thẻ hộp Tính xác suất để tổng số thẻ lấy số chia hết cho ( đáp số : ) ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Vĩnh Lộc) Bài 2: Một đồn tàu có toa chở khách với toa cịn chỗ trống Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu có toa có khách lên, hai toa có khách lên toa khơng có khách lên ( đáp số : ) Bài 3: Một hộp đựng 16 viên bi bảy viên bi trắng đánh số từ đến 7, sáu viên đen đánh số từ đến 13, ba viên bi đỏ đánh số từ 14 đến 16 Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có hai màu đánh số chẵn ( đáp số : ) Bài 4: Có bơng hoa khác lọ hoa khác nhau, người cắm hết hoa vào ba lọ hoa Tính xác suất để có lọ khơng có hoa (đáp số : ) ( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Hoàng Hóa 2) Bài 5: Từ tập thể 14 người gịm nam nữ có Minh Hằng, người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn cho tổ cơng tác có tổ trưởng, tổ viên Minh Hằng khơng đồng thời có mặt ( đáp số : cách) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 17 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Bài 6: Biển số xe ô tô tỉnh Bắc Ninh bắt đầu chuyển sang biển chữ số ơng An đăng kí xe người chọn biển số chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để ông An có biển số đẹp, biết biển số đẹp biển số có chữ số giống chữ số tăng dần ( đáp số : ) (Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, năm học 2018-2019, THPT Thuận Thành số 1) Bài 7: Có cách cắm bơng hoa giống vào lọ khác biết không thiết lọ có hoa ( đáp số : ) (Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, năm học 2018-2019, THPT Gia Bình số 1) Bài 8: Một dãy phố có cửa hàng bán quần áo Có khách đến mua quần áo, nười khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều người khách ( đáp số : ) (Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, 2018-2019, THPT Đào Duy từ- Hà Nội) Bài 9: Trong kì thi THPT QG, thí sinh Tâm dự thi mơn thi trắc nghiệm Toán Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu thí sinh 0,2 điểm Bạn Tâm chắn 42 câu, câu cịn lại có câu bạn loại trừ câu đáp án chắn sai Do không đủ thời gian nên Tâm khoanh bắt buộc khoanh bừa câu cịn lại Tính xác suất để bạn tâm 9,4 điểm ( đáp số : ) C DẠNG BÀI QUY TĂC ĐẾM TRONG HÌNH HỌC Phương pháp : - Dùng phép đếm, liệt kê - Dùng tính chất hình học Ví dụ 1: Tính số đường chéo đa giác 20 cạnh (Trích đề thi khảo sát chất lượng THPTQG 2018, sở GD&ĐT Thanh Hóa) Hướng dẫn: - Đường chéo đa giác sinh hai đỉnh Tuy nhiên hai đỉnh tạo thành cạnh Bài giải: Cứ hai đỉnh đa giác tạo đường chéo cạnh Mà có 20 cạnh nên số đường chéo là: (đường) Ví dụ 2: Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Tính xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác cân khơng phải tam giác ( Trích đề thi khảo sát lần lớp 11 năm học 2018-2019, Trường THPT Tĩnh Gia 2) Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 18 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Hướng dẫn: -Nhận xét tam giác cân chung đỉnh cân tạo từ đỉnh đa giác Bài giải: Chọn đỉnh đa giác tạo tam giác Không gian mẫu: Gọi biến cố A: “ Chọn tam giác từ tập X tam giác cân khơng phải tam giác đều.” Chia hình đa giác thành phần qua đường kính đường trịn (O) đường chéo qua đỉnh đa giác Mỗi cặp đỉnh đối xứng qua đường kính với đỉnh đầu mút đường kính tạo tam giác cân ( kể tam giác đều), mà có tất cặp nên có 8.2=16 tam giác cân ( có tam giác tính) Mặt khác có tất đường chéo đường kính Do số tam giác cân là: , có tam giác tính Có tất số tam giác cân ( khơng có tam giác đều) là: Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 3: Cho 15 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác Hỏi có hình bình hành tạo thành (Trích sách bài tập đại số giải tích 11 nâng cao) Hướng dẫn: - Từ cặp đường thẳng song song cặp đường thẳng song song khác cắt tạo hình bình hành Bài giải: Có tất (hình) Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng song song a b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, b lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm a b ( Trích tập sách tập đại số giải tích 11 bản), Hướng dẫn: - Chia trường hợp tạo tam giác Bài giải: TH1: Chọn điểm a điểm b Có (tam giác) TH2: Chọn điểm a điểm b Có (tam giác) Vậy có tất (tam giác) Ví dụ 5: Cho 20 điểm khơng gian có 10 điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa điểm 20 điểm Hỏi có tất mặt phẳng khác Hướng dẫn: - Chia trường hợp tạo mặt phẳng Dùng biến cố đối Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 19 skkn Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất Bài giải: Số mặt phẳng tạo từ điểm 20 điểm là: Số mặt phẳng trùng tạo từ 10 điểm đồng phẳng là: Vậy số mặt phẳng khác là: (mặt phẳng) Ví dụ 6: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD lấy 1, 2, 3, điểm phân biệt ( không trùng với đỉnh hình vng) Từ 10 điểm lập tứ giác (Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần năm học 2016-2017, trường THPT Nguyễn Đăng Đạo, tỉnh Bắc Ninh) Hướng dẫn: - Chia trường hợp tạo tứ giác Dùng biến cố đối Bài giải: Tất điểm chọn từ 10 điểm là: Trong có khơng tạo tứ giác: Vậy số tứ giác tạo thành là: (tứ giác) Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho đa giác 108 cạnh Hỏi lập hình lục giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh cạnh đa giác.( đáp số ) (Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 năm học 2018-2019, trường THPT Cẩm thủy 1) Bài 2: Cho 20 điểm khơng gian có 10 điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có tất tứ diện tạo thành từ 20 điểm ( đáp số 4635 tứ diện) Bài 3: Cho đa giác 20 cạnh Hỏi lập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh cạnh đa giác.( đáp số tam giác) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với sáng kiến kinh nghiệm đây, bản thân rút được bài học kinh nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp giải các dạng bài tập Tổ hợp – Xác suất chương trình thi THPT QG , thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì giáo viên cần phải hệ thống các kiến thức trọng tâm và cách giải một số dạng bài về Tổ hợp – Xác suất chương trình đại số giải tích 11 Đờng thời giáo viên phải là người tạo động để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đã đặt Sau cùng giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em biết định hướng giải toán Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động việc giảng dạy ôn tập cho học sinh khối 11 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về Tổ hợp – Xác suất, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 20 skkn ... dạng tập Tổ hợp – Xác suất - Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán Tổ hợp – Xác suất Với đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất. '''' giúp học sinh giải... nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải toán Tổ hợp – Xác suất - Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh hóa năm 2 011 đến tỉnh Thanh Hóa các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, ... (cách) Vậy xác suất biến cố A là: Ví dụ 11: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh