Skkn giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

Mục lục Thứ tự PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 PHẦN 2.1 2.2 2.3 2.4 PHẦN 3.1 3.2 Danh mục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực 2.3.1 Giải phương trình , bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập rèn luyện 2.3.2 Giải phương trình , bất phương trình chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập tự luyện Hiệu SKKN KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 4 5 7 7 12 12 12 15 16 18 18 18 19 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh THPT khái niệm phương trình, bất phương trình lên lớp 10 định nghĩa, thực tế phương trình, bất phương trình học giải từ sớm tốn tìm số chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước Do học giải phương trình, bất phương trình học sinh quen thuộc, vấn đề giải cho hợp lôgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy bậc hai, chứa ẩn dấu Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Đặc biệt lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Với tính ưu việt việc ứng dụng đạo hàm vào giải tốn, khơng đơn giải toán liên quan đến khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà cịn giải nhiều dạng tốn khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên trình giảng dạy mơn tốn THPT tơi nhận tốn học nói riêng mơn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, chí nỗi “khiếp sợ” đông đảo học sinh Điều khiến học sinh suy nghĩ vậy? Tơi nhận thấy, đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức, khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức có vào dạng tốn cụ thể Trong kỳ thi, câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trị lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn, em ln đặt câu hỏi: “Tại nghĩ làm ? ’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thông qua toán điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - mơn học coi ơng vua mơn tự nhiên Để tốn học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT ta phải cần giải vấn đề sau: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị skkn nhỏ đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai khơng thể vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính chất hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “Giải phương trình – Bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định toán cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề toán theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho toán theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số skkn - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit 1.4 Kế hoạch nghiên cứu (Bỏ) Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài cho em học sinh THPT, chủ yếu học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào kì thi làm tốn phương trình, bất phương trình Khi học sinh làm toán mà sau đặt ẩn phụ quy phương trình, bất phương trình bậc hai tính tốn đơn thơng qua biệt thức đenta sau biến đổi cô lập tham số ta vế hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm khơng xác khơng để ý tìm điều kiện ẩn phụ có tìm điều kiện ẩn phụ tìm khơng xác Với tốn có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hàm số phân thức học sinh khơng thể giải em chưa biết cách sử dụng tính chất hàm số có sử dụng cịn máy móc, thiếu xác Các vướng mắc nói giải toàn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do từ đầu năm học 2017 – 2018 nghiên cứu đề tài nói thơng qua số tiết tự chọn ơn thi từ xây dựng, hồn thiện viết 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có lời nhận xét trước sau giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Phương pháp sử dụng nhiều là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn ôn thi, lồng ghép tập phương trình, bất phương trình mà giải phải cần đến hàm số Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tơi cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng skkn NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số có đạo hàm D Nếu hàm số đồng biến (tăng) D Nếu hàm số nghịch biến (giảm) D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có Nếu hàm tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có ( ) Nếu hàm tăng hàm giảm khoảng (a;b) phương trình có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Cauchy : Nếu hàm số liên tục tồn điểm để Nếu hàm số đơn điệu liên tục tồn điểm để Nếu hàm số đồng biến ( nghịch biến ) y = đồng biến (nghịch biến ), với nghịch biến ( đồng biến), nghịch biến (đồng biến ) Tổng hàm đồng biến ( nghịch biến ) D đồng biến (nghịch biến ) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) D hàm đồng biến (nghịch biến ) D 2.1.2 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số xác định D Số M gọi GTLN hàm số D cho Kí hiệu Số m gọi GTNN hàm số D cho Kí hiệu Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số skkn * Từ việc lập BBT hàm số tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số xác định liên tục đoạn ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm đoạn mà khơng xác định - Tính giá trị - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số đoạn 2.1.3 Các dạng toán liên quan a) Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng chứng minh f đơn điệu để kết luận b) Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-GTNN Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số biện luận số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng Ta giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : với hàm số có GTLN - GTNN tập xác định Khi đó: - Phương trình có nghiệm D - Bất phương trình thỏa mãn - Bất phương trình thỏa mãn skkn - Bất phương trình có nghiệm - Bất phương trình có nghiệm Trong trường hợp hàm số khơng có GTLN GTNN tập ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng bổ sung thêm dấu cho điều kiện 2.2 Thực trạng đề tài: Đối tượng học sinh trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình trung bình nên giải phương trình , bất phương trình học sinh lúng túng khơng biết giải vấn đề từ đâu Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không không làm 2.3 Giải pháp thực hiện: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề theo hướng dễ tiếp cận học sinh Kiến thức bản: 2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải Điều kiện: Đặt Ta có Do hàm số đồng biến , nên phương trình có nghiệm nghiệm Hơn nữa, nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình: Nhận xét: nên (2) skkn Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong nhân liên hợp hợp lí Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: Khi Do Vậy nghiệm phương trình Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: Đặt Ta có Do hàm số đồng biến Mà nên nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (1) Giải Cách 1: Ngược lại với cho Cách 2: Đặt Ta có: f ' ( x)  Do hàm số thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình (2 x  1)  (2 x  2)  3  ;  x   ,  ,  2 (2 x  3) đồng biến Mà nên suy nghiệm phương trình cho skkn Ví dụ 4: Giải phương trình : Giải Điều kiện: Đặt Ta có nên hàm số đồng biến Mà nên nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : Nhận xét : Bài tốn gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện (1) Điều kiện: Khi đó, (1) Xét hàm số Ta có Do hàm số đồng biến Mà nên nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Giải Cách 1: Viết lại phương trình dạng Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn Nhận thấy nghiệm Ta chứng minh hai vế phương trình Vậy phương trình Hơn ta thấy nghiệm nghiệm với nên ta có skkn hay suy phương trình vơ nghiệm khoảng với làm tương tự ta thấy phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình Cách giải sử dụng phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm Cách 2: Viết lại phương trình dạng: (1) Xét hàm số Do hàm số đồng biến Ta có Từ (1) Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trình Giải Nhận xét: nên phương trình vơ nghiệm Viết phương trình dạng Xét hàm số Ta có nghịch biến Do hàm số Mà nên nghiệm phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình Giải Ta có: (*) 10 skkn Xét hàm số Ta có Suy hàm số đồng biến Từ (*) Vậy phương trình có nghiệm Chú ý : Đối với bất phương trình ta sử dụng tính đơn điệu hàm số cách linh hoạt tốn trở nên đơn giản Ví dụ 11: Giải bất phương trình sau: (*) Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình để giải, cịn giải trực tiếp khó khăn Giải Giải bất phương trình Cách 1: Đặt ẩn phụ Điều kiện: Với điều kiện ta đặt Khi ta có Do nên ta Suy Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình cho Cách 2: Dùng tính đơn điệu hàm số Điều kiện: Xét hàm số Ta có đồng biến Mà nên bất phương trình Kết hợp với điều kiện cho Ví dụ 12 : Giải bất phương trình Suy hàm số ta nghiệm bất phương trình (*) Giải Điều kiện: 11 skkn Bất phương trình (*) viết lại dạng Xét hàm số Do đồng biến Mà hàm số nên Kết hợp với điều kiện nên ta nghiệm bất phương trình cho Qua ví dụ giải phương trình bất phương trình trên, ví dụ có hai cách giải ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu hàm số hay tự nhiên nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp có thấy thiếu tự nhiên, khơng có “Manh mối” để tìm lời giải Đây dạng tốn khó học sinh lần đầu tiếp xúc , em khó khăn việc sử dụng phương pháp khác để giải Vì việc bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, vận dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số việc làm cần thiết Từ hình thành học sinh Tư linh hoạt giải tốn, để học sinh khơng bối rối trước toán lạ b) Bài tập rèn luyện Giải phương trình, bất phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 2.3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số a) Các ví dụ Ví dụ Tìm tham số để phương trình: , (1) có ba nghiệm phân biệt có nghiệm bé Giải: Phương trình (1) , Xét hàm số Yêu cầu đề phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt cho tức đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn Ta có 12 skkn Bảng biến thiên + 0 - + -2 -4 Từ bảng biến thiên suy điều kiện phải tìm Ví dụ : Tìm m để phương trình: Giải Xét hàm số: có nghiệm Ta có (Vơ nghiệm) Mặt khác: Suy nên hàm số đồng biến Hơn nữa, ; Bảng biến thiên: -∞ +∞ + -1 Vậy phương trình có nghiệm 1 < m < Nhận xét: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số dẫn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn toán khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt Gi¶i: Điều kiện: Phương trình cho tương đương với 13 skkn Xét hàm số Ta có Bảng biến thiên -1 +∞ + - -∞ Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm thực phân biệt Ví dụ 4.Chứng minh , phương trình sau ln có hai nghiệm thực phân biệt: Giải Do nên (1) Yêu cầu toán quy chứng minh phương trình (*) có nghiệm Biến đổi (*) Xét hàm số với Ta có Bảng biến thiên: f ' ( x) + x f ( x) Từ bảng biến thiên suy phương trình (*) có nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Nhận xét: 14 skkn Sau tìm điều kiện việc khảo sát hàm số dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số Ví dụ : Chứng minh phương trình sau có nhiệm ` Nhận xét : Đây phương trình mà giải cần có có mặt tư hàm số Sau vài cách tiếp cận lời giải Cách 1: Với , biến đổi phương trình dạng Mặt khác (*)Suy hàm số đồng biến nghịch biến nên phương trình (*) có nhiều nghiệm Hơn hàm số nữa, ; liên tục nên nghiệm thuộc khoảng cho có nghiệm Do phương trình có Kết hợp với điều kiện ta có phương trình Cách 2: Biến đổi phương trình sau Với Với Hơn , suy nên phương trình vơ nghiệm Xét hàm số Ta có nên đồng biến cho có nhiều nghiệm Do phương trình Cách 3: Biến đổi phương trình Ta có sau lại xét hàm số Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: (*) Giải Phương trình Xét ham số 15 skkn Ta có Trên Bảng biến thiên:  + - - -12 Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm thực b) Bài tập rèn luyện 1.Tìm m để phương trình: có nghiệm Tìm m để bất phương trình: với Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Tìm m để phương trình: có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: Tìm m để bất phương trình có nghiệm: Tìm m để với thoả mãn: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với 16 skkn Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: 10 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với 12 Tìm m để bất phương trình có nghiệm : : 17 skkn PHẦN KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đất nước ta bước đường xây dựng, phát triển giáo dục Đảng, Nhà nước coi quốc sách hàng đầu, để chấn hưng giáo dục nước nhà việc đổi phương pháp giảng dạy Bộ Giáo dục coi nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực cách có hiệu Muốn làm tốt cơng việc người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ tìm cho phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao nhất, tạo hứng thú niềm tin học trị nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một cách để tạo chuyển biến tích cực cơng tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu số cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính tính chất hàm số Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, song lực thời gian có hạn, mong đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải tốn phương trình bất phương trình đại số kỳ thi trung học phổ thông 3.2 Kiến nghị Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi cho phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Thủy 18 skkn Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa mơn Tốn 10, 11, 12 Sách tập mơn Tốn 10, 11, 12 Căn số tốn vơ tỉ - Nxb giáo dục Hồng Kỳ Khảo sát nghiệm phương trình – Nxb giáo dục Lê Hồnh Phị Hàm số - Nxb giáo dục Phan Huy Khải Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Bài giảng thư viện đề thi Violet Tài liệu , giảng mạng internet 19 skkn ... giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu số cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính. .. ? ?Giải phương trình – Bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số. .. tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính chất hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn