Nghiên cứu công thức vector cường độ từ trường để tính toán sự phân bố của từ thông tản và dòng điện foucault trong bài toán điện động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Untitled TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN 1859 4557) Số 23 17 NGHIÊN CỨU CÔNG THỨC VECTOR CƯỜNG ĐỘ TỪ TRƯỜNG ĐỂ TÍNH TOÁN SỰ PHÂN BỐ CỦA TỪ THÔNG TA ̉N VÀ DÒ[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) NGHIÊN CỨU CƠNG THỨC VECTOR CƯỜNG ĐỢ TỪ TRƯỜNG ĐỂ TÍNH TỐN SỰ PHÂN BỐ CỦA TỪ THƠNG TẢN VÀ DỊNG ĐIỆN FOUCAULT TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN STUDYING THE MAGENETIC FIELD INTENSITY VECTOR FORMULATION TO COMPUTE THE LEAKAGE FLUX AND THE EDDY CURRENT DISTRIBUTION OF ELETRODYNAMIC PROBLEMS BY FINITE ELEMENT METHOD Đặng Quốc Vương*, 2Nguyễn Đức Quang Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 2Trường Đại học Điện lực Ngày nhận bài: 12/03/2020, Ngày chấp nhận đăng: 14/07/2020, Phản biện: TS Mai Hồng Cơng Minh Tóm tắt: Mơ hình tốn điện từ đóng vai trị quan trọng lĩnh vực hệ thống điện Do đó, việc tính tốn phân tích tốn điện động ln chủ đề mang tính thời đáng quan tâm nhà nghiên cứu thiết kế thiết bị điện Bài báo áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để mơ tính tốn phân bố từ thơng tản, từ thơng rị tởn hao dịng điện xốy trường hợp khác thay đổi độ lớn khe hở khơng khí Phương pháp được phát triển với cơng thức vectơ cường độ từ trường Từ khóa: Bài tốn điện động, công thức vectơ cường độ từ trường, từ thơng tản, từ thơng rị, dịng điện Foucault, phương pháp phần tử hữu hạn Abstract: Modeling of electromagnetic prolems plays an extremely important role in the fields of electrical systems Hence, computing and analyzing electromagnetic problems are always a matter of concern and topicality for researchers and designers of electrical equipments This paper uses a finite element method to simulate and calculate the leakage and fringing flux distributions, and eddy current losses of in different situations with air-gap variations, The method is developed with the magnetic field intensity formulation Keywords: Electrodynamic problem, magnetic field intensity, leakage flux, fringing flux, eddy current, finite element method MỞ ĐẦU Như biết, hầu hết trình biến đổi điện từ xảy thiết bị điện (máy điện tĩnh, máy điện quay, phanh điện từ…) hệ thống điện Số 23 mô tả hệ phương trình Maxwell với luật trạng thái Đây phương trình đạo hàm riêng viết dạng vi - tích phân, liên kết vectơ cường độ từ trường, mật độ từ cảm, 17 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) cường độ điện trường vectơ từ thông qua luật trang thái Để giải phương trình đạo hàm riêng với biến tham số trường, nhà nghiên cứu thực phương pháp giải tích hoặc phương pháp mạch từ khơng gian thay [1], kích thước số bậc tự ma trận lớn, đặc biệt khó tốn có cấu trúc hình dạng phức tạp Do đó, để giải toán này, năm gần có nhiều tác giả sử dụng phương pháp số để giải phân tích, cụ thể phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp tích phân số, phương pháp phần tử biên… Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn [2] phương pháp phổ biến phù hợp để tính tốn, phân tích mơ tượng điện từ xảy thiết bị điện từ Bài báo giới thiệu nghiên cứu khai triển công thức vector cường độ từ trường ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tốn phân bố từ thơng tản, từ thơng rị dịng điện Foucault mạch từ thiết bị điện Nhiều mơ hình thực tương ứng với trường hợp khác độ lớn khe hở khơng khí Sự phù hợp phương pháp minh họa thơng qua tốn thực tế BÀI TỐN ĐIỆN TỪ 2.1 Phương trình Maxwell Xét mơ hình tốn điện xác định miền nghiên cứu 𝛺, với biên 𝜕𝛺 = 𝛤 = 𝛤 h ∪ 𝛤 e không gian hai 18 chiều ba chiều Hệ phương trình Maxwell với luật trạng thái điều kiện biên viết không gian ba chiều Eculidean 3 [4]-[9] là: curl 𝒆 = −𝜕𝑡 𝒃, curl 𝒉 = 𝒋𝑠 , div𝒃 = (1a-b-c)  Các luật trạng thái: 𝒃 = 𝜇𝒉, 𝒋 = 𝜎𝒆 (2a-b)  Các điều kiện biên: 𝒏 × 𝒉|Γℎ =0, 𝒏 × 𝒆|Γ𝑒 =0 (3a-b) đó b mật độ từ cảm (T), h cường độ từ trường (A/m), 𝒆 cường độ điện trường (V/m), 𝜇 độ từ thẩm vật liệu từ, 𝜎 độ dẫn điện (S/m), 𝒋 mật độ dòng điện Foucault xác định miền dẫn từ Ω𝑐 (Ω𝑐 ⊂ Ω); 𝒋𝑠 mật độ dòng điện đặt vào cuộn dây xác định miền không dẫn từ Ω𝐶𝑐 , with Ω𝑐 = Ω𝑐 ∪ Ω𝐶𝑐 n vectơ pháp tuyến đơn vị có hướng từ ngồi miền Ω Phương trình (1a) (1b) giải kết hợp với điều kiện biên xét đến thành phần tiếp tuyến vectơ cường độ từ trường điện trường cho (3a) (3b) Đối với toán từ động, trường h, b, e, j xác định kiểm chứng ràng buộc thỏa mãn sơ đồ Tonti [4] Điều đó có nghĩa 𝒉 ∈ 𝑯ℎ (curl; Ω), 𝒋 ∈ 𝑯ℎ (div; Ω ), 𝒆 ∈ 𝑯𝑒 (curl; Ω ) 𝒃 ∈ 𝑯𝑒 (div; Ω ) Trong đó 𝑯ℎ (curl; Ω) 𝑯𝑒 (dive; Ω) không gian hàm chứa điều kiện biên trường tồn biên Γℎ Γ𝑒 miền nghiên cứu Ω Do đó, sơ đồ Tonti toán từ Số 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) động xác định theo biểu đồ [3]: ∫ 𝜕𝑡 (𝜇𝒉 ∙ 𝒉′ )𝑑Ω + ∫ 𝜎 −1 curl 𝒉 ∙ curl𝒉′ 𝑑Ω 𝛺 𝛺 + ∫ 𝒆 ∙ curl𝒉′ 𝑑Ω 𝛺 + ∫(𝒏 × 𝒆) ∙ 𝒉′ 𝑑Γ = Γ ∀ 𝒉′ ∈ 𝑯0ℎ (curl; Ω) Hình Sơ đồ Tonti [3] 2.2 Phương trình rời rạc với công thức vectơ cường độ từ trường Phương trình yếu rời rạc cho vectơ cường độ từ trường h thiết lập dựa vào hệ phương trình Maxwell (1a-b-c) luật trạng thái (2a-b) mục 2.1 Để thỏa mãn phương trình Ampere (1b), trường 𝒉 ∈ 𝑯ℎ (curl; Ω), 𝒋 ∈ 𝑯ℎ (div; Ω ), 𝒆 ∈ 𝑯𝑒 (curl; Ω ) 𝒃 ∈ 𝑯𝑒 (div; Ω ) phải kiểm tra thỏa mãn luật trạng thái cho (2a-b) Dựa vào định luật Faraday (1a), phương trình rời rạc viết: ∫ 𝜕𝑡 (𝒃 ∙ 𝒉′ )𝑑Ω + ∫ curl 𝒆 ∙ 𝒉′ 𝑑Ω = 0, 𝛺 𝛺 ∀ 𝒉′ ∈ 𝑯0ℎ (curl; Ω) (4) đó trường 𝒉′ ∈ 𝑯0ℎ (curl; Ω) trường hàm thử “test function” không phụ thuộc vào thời gian Áp dụng công thức Green cho công thức (4) với miền nghiên cứu Ω, ta có: ∫ 𝜕𝑡 (𝒃 ∙ 𝒉′ )𝑑Ω + ∫ curl 𝒆 ∙ 𝒉′ 𝑑Ω 𝛺 𝛺 + ∫(𝒏 × 𝒉) ∙ 𝒉′ 𝑑Γ = 0, Γ ∀ 𝒉′ ∈ 𝑯0ℎ (curl; Ω) (5) Thay luật trạng thái phương trình (3a-b) định luật Ohm vào phương trình (5), ta có: Số 23 (6) Cường độ điện trường 𝒉 miền nghiên cứu Ω (6) xác định [5]: 𝒉 = 𝒉𝑟 + 𝒉𝑠 (7) đó, 𝒉𝑠 trường nguồn xác định thông qua mật độ dòng điện bơm vào cuộn dây 𝒋𝑠 miền Ω𝑠 , 𝒉𝑟 trường phản ứng (biến chưa biết) cần xác định thông qua: curl 𝒉 = 𝒋𝑠 miền Ω𝑠 { curl 𝒉 = miền Ω𝐶𝑐 − Ω𝑠 (8) curl 𝒉 = miền Ω𝐶𝑐 (9) với Trong miền không dẫn Ω𝐶𝑐 , trường nguồn 𝒉𝑟 xác định thơng qua từ vô hướng 𝜙, đó 𝒉𝑟 = −grad 𝜙 Từ 𝜙 miền không dẫn Ω𝐶𝑐 đa trị biến đổi thành đơn trị dựa kỹ thuật cắt ∑ thông qua lỗ miền dẫn Ω𝑐 [4] Trường 𝒉′ phương trình rời rạc (6) lựa chọn không gian 𝑯0ℎ (curl; Ω), với curl 𝒉′ = miền Ω𝐶𝑐 , đó 𝒉′ = 𝒉′𝑟 + 𝒉′𝑠 Đại lượng tích phân thứ ba phương trình rời rạc (6) xác định không miền không dẫn Ω𝐶𝑐 Do đó, kết hợp với phương trình (7), phương trình (6) trở thành: 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) ∫ 𝜕𝑡 (𝜇𝒉𝒓 ∙ 𝒉′ )𝑑Ω + ∫ 𝜕𝑡 (𝜇𝒉𝒔 ∙ 𝒉′ )𝑑Ω 𝛺 𝛺 + ∫ 𝜎 −1 curl 𝒉𝒓 ∙ curl𝒉′ 𝑑Ω 𝑖∈𝑐𝑢𝑡 + ∫(𝒏 × 𝒆) ∙ 𝒉′ 𝑑Γ = 0, Γ ∀ 𝒉′ ∈ 𝑯0ℎ (curl; Ω), 𝒉′ = 𝒉′𝑟 + 𝒉′𝑠 , (10) đó 𝑯0ℎ (curl; Ω) xác định miền nghiên cứu Ω chứa đựng hàm nội suy (hàm dạng) trường 𝒉 (trường liên kết tới từ vô hướng 𝜙), hàm thử 𝒉′ Thành phần tiếp tuyến cường độ điện trường 𝒏 × 𝒆 phương trình (8) xác định biên Γ𝑒 miền nghiên cứu Ω xem điều kiện biên đồng “Nummann” cho phương trình (3b) Trường h phương trình rời rạc (8) rời rạc hóa theo phần tử cạnh, với khơng gian hàm xác định lưới miền nghiên cứu Ω, đó là: 𝑒∈𝐸(Ω) (11) đó 𝐸(Ω) tập hợp tất cạnh miền Ω, 𝑠𝑒 hàm nội suy cạnh kết hợp với cạnh e ℎ𝑒 thông lượng trường h dọc theo cạnh e Ở đây, phần tử lưới sử dụng phần tử tam giác tứ giác Như phân tích trên, trường phản ứng 𝒉𝑟 = miền không dẫn Ω𝐶𝑐 , đó 𝒉𝑟 = −grad 𝜙 Do đó, từ vơ hướng phân 20 (12) 𝑖∈Τ𝑡 đó, 𝜙𝑑 |Τ𝑐𝑢𝑡 𝜙𝑑 |Τ𝑡 điện vô hướng không liên tục, tồn xuất tốn mơ hình vỏ mỏng miền khơng dẫn đa trị Ω𝐶𝑐 [4] Do đó, mơ hình tốn từ động mà khơng kể đến hai trường hợp, hàm rời rạc hóa từ vơ hướng khơng có mặt phương trình rời rạc Kết hợp (9) (10), rời rạc hóa trường 𝒉 − 𝜙 viết lại sau [5]: 𝒉 = 𝒉𝑠 + ∑ ℎ𝑘 𝑠𝑘 , 𝑒∈𝐸(Ω𝑐 ) + ∑ 𝑒∈𝑁(Ω𝐶 𝑐) 𝜙𝑐,𝑛 𝑣𝑐,𝑛 (13) BÀI TỐN ÁP DỤNG 2.3 Rời rạc hóa trường h ℎ = ∑ ℎ𝑒 𝑠𝑒 , 𝜙|Ω = 𝜙𝑐 |Ω𝐶𝑐 + 𝜙𝑑 |Τ𝑐𝑢𝑡 + 𝜙𝑑 |Τ𝑡 = 𝜙𝑐 |Ω𝐶𝑐 + ∑ 𝜙𝑑 |Τ𝑐𝑢𝑡 + ∑ 𝜙𝑑 |Τ𝑡 , 𝛺 với curl 𝒉′𝑟 = miền Ω𝐶𝑐 tích [4]: Xét tốn điện từ có cấu trúc hình học 2-D cho hình Sức từ động cuộn dây 100 (A.vòng), độ từ thẩm tương đối độ dẫn điện mạch từ nắp mạch từ 𝜇𝑟 = 1000, 𝜎 = 10 S/m tần số f = 50 Hz Hình Mơ hình hình học tốn 2-D Bài tốn kiểm tra với khe hở khơng khí khác Mơ hình chia lưới 2-D giới thiệu hình Hình mơ Số 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) tả phân bố mật độ từ cảm (trên) cường độ từ trường dọc mạch từ khe hở khơng khí dòng điện chạy cuộn dây tạo (trường hợp khe hở khơng khí Air Gap = mm) Hình Mơ hình chia lưới 2-D 𝜇𝑟 = 1000, độ dày bề mặt nhỏ dẫn đến hiệu ứng bề mặt lớn, nên mật độ từ cảm tập trung dọc theo đường biên phía bên mạch từ Điều đó có nghĩa rằng, phân bố cường độ từ trường chủ yếu tập trung khu vực cửa sổ mạch từ khe hở khơng khí Sự phân bố từ thơng tản từ thơng rị cửa sổ mạch từ khe hở khơng khí biểu diễn hình Cut lines (1-1) phân bố mật độ từ cảm dọc theo khe hở khơng khí với khe khác nhác (Air gap =1 mm, mm, mm) mô hình Nhận thấy rằng, khe hở khơng khí nhỏ, mật độ từ cảm tản rị nhỏ, nên tồn từ cảm khép kín qua nắp mạch từ Ngược lại, khe hở không khí lớn, mật độ từ tản từ cảm rị khe hở khơng khí cửa sổ mạch từ lớn, từ thơng khép vịng qua nắp mạch từ nhỏ Hình Sự phân bố mật độ từ cảm b (trên) cường độ từ trường h (dưới) Nhận thấy độ từ thẩm tương đối Số 23 Hình Sự phân bố từ thơng  mạch từ khe hở khơng khí 21 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 1.5 -6 Magnetic flux density 10 (T) (ISSN: 1859 - 4557) 0.5 -0.5 Air Gap = mm Air Gap = mm Air Gap = mm -1 -1.5 -2 -0.02 -0.01 0.01 0.02 Cut lines (1-1) along the magnetic circuit (m) Hình Cut lines (1-1) mật độ từ cảm (xem hình 2) dọc theo mạch từ phân bố mật độ dòng Foucault mạch từ, nắp mạch từ (trên) đường Cut lines (2-2) dòng Foucault dọc theo mạch từ ứng với trường hợp khe hở khơng khí khác Phân tích cách tương tự, khe hở khơng khí nhỏ, từ thơng mạch từ lớn, giá trị dòng điện Foucault lớn tập trung mạnh khu vực xung quanh cuộn dây Ngược lại, khe hở khơng khí lớn, từ thơng tản rị lớn, từ thông mạch từ nhỏ, dẫn đến giá trị dòng điện Foucault nhỏ Điều hoàn toàn phù hợp với lý thuyết KẾT LUẬN Eddy current density (A/m ) 2.5 1.5 Air Gap = mm Air Gap = mm Air Gap = mm 0.5 -0.02 -0.01 0.01 0.02 Cut lines (2-2) along the magnetic circuit (m) Hình Sự phân bố dòng điện Foucault mạch từ nắp (trên) Cut lines (2-2) (xem hình 2) dọc theo Hình báo cáo kết mô chi tiết Bài báo áp dụng thành công phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng, phân tích tính tốn phân bố mật độ từ cảm, từ trường, từ thơng dịng điện Foucault mạch từ khe hở khơng khí ứng với trường hợp khác thay đổi bề rộng khe hở khơng khí Phương pháp áp dụng thành cơng vào tính tốn tốn thực tế Các kết đạt minh chứng tin cậy, nhằm giúp cho nhà nghiên cứu giải việc tính tốn điện kháng tản, tốn nhiệt giải pháp thiết kế tối ưu mạch từ hướng nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Văn Đào - Lê Văn Doanh - Các phương pháp đại nghiên cứu tính tốn thiết kế kỹ thuật điện - Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2001 [2] S Koruglu, P Sergeant, R.V Sabarieqo, Vuong Q Dang, M De Wulf “Influence of contact resistance on shielding efficiency of shielding gutters for high-voltage cables,” IET Electric Power Applications, Vol.5, No.9, (2011), pp 715-720 [3] R.V Sabariego, “The Fast Multipole Method for Electromagnetic Field Computation in Numerical and Physical Hybrid System”, Ph D thesis, 2006, University of Liege, Belgium 22 Số 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) [4] Vuong Q Dang, R.V Sabariego, L Krähenbühl, C Geuzaine, “Subproblem Approach for Modelding Multiply Connected Thin Regions with an h-Conformal Magnetodynamic Finite Element Formulation,” in EPJ AP (Vol 63, No.1, 2013) [5] P Dular, R.V Sabariego, M.V Ferreira de Luz, P Kuo-Peng and L Krahenbuhl “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Circuits”, IET Sci Meas Technol., 2008, Vol 2, No.6, pp.440-446 [6] P Dular, Vuong Q Dang, R.V Sabariego, L Krähenbühl and C Geuzaine, “Correction of thin shell finite element magnetic models via a subproblem method,” IEEE Trans Magn., Vol 47, no 5, pp 158-1161, 2011 [7] Patrick Dular, Ruth V Sabariego, Mauricio V Ferreira de Luz, Patrick Kuo-Peng and Laurent Krahenbuhl “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Model Refinement of - Air Gaps and Leakage Fluxes, Vol 45, No.3, 1400-1404, 2009 [8] Vuong Dang Quoc and Christophe Geuzaine “Using edge elements for modeling of 3-D Magnetodynamic Problem via a Subproblem Method”, Sci Tech Dev J ; 23(1) :439-445 [9] Dang Quoc Vuong and Nguyen Duc Quang, “Coupling of Local and Global Quantities by A Subproblem Finite Element Method - Application to Thin Region Models”, ISSN 1859-2171 Advances in Science, Technology and Engineering Systems Journal (ASTESJ), Vol 4, no.2, 40-44 (2019) Giới thiệu tác giả: Tác giả Đặng Quốc Vương nhận Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện năm 2013 Đại học Liege, vương quốc Bỉ Hiện tác giả Giám đốc Trung tâm TCEE, giảng viên Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Lĩnh vực nghiên cứu: Mơ hình hóa hệ thống điện từ sử dụng mơ hình tốn nhỏ - ứng dụng tới thiết bị điện từ có cấu trúc mỏng (vỏ máy biết áp, tủ điện cao trung thế, chắn điện từ, thép kỹ thuật điện ); ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử biên) tính tốn ảnh hưởng điện từ trường đến thiết bị điều khiển hệ thống điện; ứng dụng “subproblem method” tính tốn thiết kế tối ưu hóa vật liệu thiết bị điện Tác giả Nguyễn Đức Quang nhận Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện 2013 Đại học Ecole Nationale Superieure d’Arts et Metiers Paristech, Pháp Hiện tác giả giảng viên Khoa Kỹ thuật điện, Trường Đại học Điện lực Lĩnh vực nghiên cứu: Mơ hình hóa hệ thống điện từ, ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp tích phân hữu hạn) nghiên cứu máy điện hệ thống điện, tác động điện từ trường tương hỗ tiết kiệm lượng thiết bị điện Số 23 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) 24 Số 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ISSN: 1859 - 4557) Số 23 25 ... dụng phương pháp số để giải phân tích, cụ thể phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp tích phân số, phương pháp phần tử biên… Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn. .. điện từ, ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp tích phân hữu hạn) nghiên cứu máy điện hệ thống điện, tác động điện từ trường tương hỗ tiết kiệm lượng thiết bị điện. .. bị điện từ có cấu trúc mỏng (vỏ máy biết áp, tủ điện cao trung thế, chắn điện từ, thép kỹ thuật điện ); ứng dụng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn phương